一、数学美学的追求是数学发现的内驱动力

一个正确的数学理论，就其反映现实世界的量的内在规律性而言，就是数学的真；就其实现对外部现实和目的的要求而言，就是数学的善；就其体现人的能动的创造力而言，就是数学的美。美学的真、善、美在本质上是一致的，统一于人类的社会实践。因此，对于数学美的追求，在数学发现中具有重要意义。首先，美感来源于客观现实中的美，是人的一种特殊的复杂的心理现象，包含着丰富的想象、情感和丰富的理解，是诸种要素共同活动的结果。在一定意义上来说，没有美感就不会有数学发现。庞加莱曾指出：“科学家研究自然，并非它有用处，他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。正是这种美使物体，也可以使结构具有让我们感官满意的彩虹的外表。没有这种支持，这种疏忽即逝的梦幻之美其结果是不完美的，因为它是模糊的，总是短暂的。相反，理性美可以充分达到它自身，科学家之所以投身长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。”当代有名的数论大家赛尔伯格说，他喜欢数学的一个动机。其次，美学的考虑选择正确的研究方向。庞加莱指出：“数学创造实际上是什么呢？它并不在于用已知的数学实体作出新的组合。任何一个人都会做这样的组合，但这样的组合在数目上是无限的，他们中的大多数完全没有用处。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的、为数极少的组合。

发明就是识别、选择。”20世纪以来，科学分化与科学综合的辩证运动，一方面使得数学的分支日趋繁多、精细，另一方面又使数学在不同范围、不同层次上结合为有机整体。面对又分化又综合的数学发展潮流，要想作出新的数学发现，更需要选择正确的研究方向。数学美感是作出正确选择的一个必须遵循的准则。数学美的简单性、对称性、统一性和奇异性都是作出正确选择的重要原则。第三，鉴于现代数学的高度抽象性，美学的考虑对于评价数学理论也具有一定的作用。数学发展的历史表明，如果一种数学理论符合数学美学原则，那么这种理论就具有更大的生命力，它就能被流传下来，得到进一步的发展；否则就会被淘汰、遗弃。例如，概率论是从量的侧面研究随机现象的一门科学，它的产生始于17世纪，由于人们对概率论概念的不同理解，因此所建立的体系也不完全一样，最迷人的体系是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的概率论。[2]用数学美的原则来评价，他的理论体系显示了数学的简单美和统一美，不仅对论述无限随机试验序列或一般随机过程给出了足够的逻辑基础，而且应用于统计学也很方便。所以他的概率论得到了进一步发展，后来又产生了不少的分支。从认识论上来分析，人类的实践需要，以实践为主导的实践同认识的矛盾，是数学发展的最终动力；同时，数学发展到一定阶段，在一定程度和一定范围内具有相对独立性，数学体系的内部矛盾、各种数学理论的矛盾、数学理论与审美标准之间或数学美形态前后之间的矛盾，也都成为数学发现不可缺少的内在推动力。在数学发现的过程中我们既应重视美学的考虑也不应忘记数学发展的根本动力在于实践。

二、数学直觉是数学发现的源泉

直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象。数学直觉则是对数学对象或数学问题的直接领悟或觉察。随着科学由经验时期发展到理性时期，直觉在数学发现中的作用越来越引起人们的关注。[3]数学直觉是数学创造的一种思维方式，在数学家的创造性思维活动中可以找到很多实例。例如古希腊数学家阿基米德奉国王之命，鉴别王冠的质地是否纯正。他花了很多心血，但许久找不到合适的方法。在感到特别疲劳的时候，他来到浴室。当他跨进澡盆，看到溢出盆外的水时，突然受到启发，连连高喊“：我知道了！我知道了！”在随后的实验中，阿基米德不仅揭开了王冠之谜，还发现了有名的浮力原理。庞加莱曾指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”“没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但确是毫无思想。”爱因斯坦曾说过“：真正可贵的因素是直觉。“”我相信直觉和灵感。”大量史实证明，庞加莱和爱因斯坦的论断是正确的，直觉思维有逻辑思维所不能替代的特殊作用。主要表现在以下几个方面：

首先，在科学认识活动中，科学家常常依靠直觉进行辨别、选择，找到解决问题的正确道路或最佳方案。阿达玛指出：“构造各种各样思想的组合仅仅是发明创造的初步。正如我们所注意到的，也正如庞加莱所说的，发明创造就是排除那些无用的组合，保留那些有用的组合，而有用的组合只是极少数的。因此我们可以说，发明就是辨别，就是选择。”人们在尝试解决复杂的问题时，大都预先要遇到许多可能的思路，究竟先选择哪条思路？单凭逻辑思维或形象思维往往难以解决，在不少情况下需要借助直觉力量，凭借直觉去辨别、去选择。

其次，凭直觉启迪思路，发现新的概念、新的方法和新的思想。科学发展的历史表明，许多重大的科学发现，既不是从以前的知识中按严格的逻辑推理得到的，也不是作为经验材料的简单总结、归纳而形成的，科学家当解决问题的逻辑通道受到阻塞时，常常凭借直觉从大量复杂的材料中，直接得出结论，作出新的发现。庞加莱就是在山岩上散步时，突然想到不定三元二次型的算术变换和非欧几何的变换方法是完全一样的。

第三，利用直觉获得猜想（公理或假说），然后演绎推出若干定理，建立科学理论体系。我们的数学教育不能忽视直觉力的培养，这样不仅可以使青少年的学习是创造性的，而且在使他们学好数学的同时变得更聪明，并为未来做好更充分的准备，人类的未来与创造性的关系更密切。因此，从经验事实上升科学理论是十分复杂的创造性思维的活动。一般说来，在建立首创性理论的过程中，直觉常常起主导作用。

三、数学发现内容、思想方法及意义

数学发现的内容十分广泛，大体上包括数学问题的发现，数学概念、数学规律、数学方法的发现和数学理论的发现三个互相联系的基本层次。数学问题是数学发现的基础性层次内容。发现问题提出问题是全部数学发现的基础。数学概念、规律和数学方法是数学发现的一个中介性层次的内容。数学理论是数学发现的最高层次的内容。[4]数学同其他各门科学一样，在其发展的进程中，形成了一整套思想方法，数学思想方法是数学的灵魂。历史表明，一个重大数学成果的取得往往与数学方法的突破分不开。类比猜想和归纳推广是数学发现的重要方法，而观察、尝试是进行猜想的必要前提，联想化归是进行猜想的必要方法。一个好的数学发现必须以细致的观察为前提，正如爱因斯坦所指出的“即使是最明晰的数学理论，它本身也不能使真理得到保证，要不是用自然科学中的最准确的观察来检验，它也是毫无意义的。”罗巴切夫斯基在19世纪20年代提出非欧几何时，许多著名数学家都很不理解，直到本世纪初，非欧几何在相对论中得到了成功的应用，现代天文学又发现大质量的周围空间的非欧几何性质，罗巴切夫的非欧几何学才最终被证实。数学发现的意义在于，首先，它推进数学研究。研究数学发现的认识与方法，有助于拓宽人们的思路，推进数学研究工作。在科学技术突飞猛进的今天更具有重要的现实意义。据估计19世纪的知识更新周期是80到90年，现在已缩短为15年，某些领先学科更缩短为5到10年，数学也是如此，面临着文献爆炸。这就要求在数学研究中作出新的成果，除了要具备扎实的数学基础知识，还必须熟悉数学发现的案例、模式、方法，从认识论方法论中汲取成功的经验。其二，它改革数学教学方法。研究数学发现的认识与方法，有助于培养学生的创造性思维能力，开发学生的智力。在数学教学中，讲清原始思想，分析解决问题的念头，给出证明定理的思路，引导学生从各个不同的角度看问题培养学生的创造能力是必要的。数学发现将有助于填补这方面的空白。有针对性地研究数学发现的案例、模式和方法，有助于充实教学内容，改进教学方法，优化教学结构，从本原上发展学生的思维，增强学生的数学素质，提高学生的分析问题和解决问题的能力。第三，它有助于坚持和发展马克思主义哲学。数学本身具有坚实的客观基础和丰富的辩证性质是“辩证的辅助工具和表现方式”。从本质上说，深入研究数学发现的案例，模式和方法，必将有助于培养我们的辩证唯物主义观点。例如，由于非欧几何的发现，几何理论与现实空间的联系在形式上被切断了，从而推进了关于数学的真理性问题的哲学思考。

四、个人素养与数学发现的辩证关系

数学发现是个人的创造发明，一个人的数学观念、品质对于数学发现有着必然的影响。同时数学发现对个人素养又有着积极的影响，具有一定的数学发现能力使人更聪明、更富有、更高尚。个人素养与数学发现二者之间是相互影响，相互促进的。

（一）崇尚真理，不怕失败

在探索数学发现真理的过程中，为了成功首先就要面对失败。一个成功者，特别是有重大成就者，其成功的道路几乎是由失败铺垫而成的。[5]有一位英国数学家兼物理学家开尔文曾说：“我坚持奋斗55年致力于科学的发展，用一个词可以道出我最艰辛的工作特点，这个词就是失败。”在真理探索过程中，有许多人甚至冒着一辈子一事无成的巨大风险。学习数学，研究数学还不得不面对可能出现的错误。即令一些大数学家也很难避免不出任何错误。欧拉有过大量杰出的成就，但他也出现过错误，例如在函数的可微性、级数的收敛性以及关于曲线的观念上出现过错误。一位法国数学家哈达玛认为，优秀的数学家经常犯错误，但能很快发现并纠正，他甚至还说他比他学生犯错误更多。所以问题并不是有没有错误，问题在于如何面对错误。

（二）勤于探索，谦虚谨慎

许多科学家不愿意承认自己有多高的天赋，而特别愿意说自己主要靠了勤奋，天才在于勤奋。我们都把牛顿视为有史以来最伟大的数学家。可是，牛顿“在21岁之前，他尚未涉猎较高深的数学知识”。二十几岁才开始较高深的数学研究。“牛顿反复研读经典，异常刻苦、勤奋，经常废寝忘食。”他曾追忆说，笛卡尔的《几何学》很难懂,只读了大约10页，就不得不停下来。然后再开始，比第一次稍进步一些，又停下来，再从头开始，直至真正掌握全书的内容。到这种程度时，他对笛卡尔几何的理解比对欧几里得几何的理解要好些。他又开始重读欧几里得，再后又第二次读笛卡尔的几何。随后他又通过悉心研读他的老师巴罗所编的《原本》和《数据》两书，弥补了他早期对欧氏几何的忽视。1676年，牛顿已是成绩卓著，但他却说：“如果我看的远些，那是由于我站在巨人们的肩上。”这句话的背后是他实实在在的经历，在他的大学生涯中，仅“沉迷于扑克牌两次”“，上小酒馆两次”。

（三）情感陶冶，兴趣持久、广泛

在探索数学发现过程中是需要情感投入的，因而探索数学发现是肯定能陶冶情操的。首先就要对数学有兴趣，对数学没有兴趣是不行的，兴趣不浓厚也难以在数学学习和研究中有所成就。兴趣的持久性是进一步要关注的，这种持久性必须与意志、与认识、与情感联系起来。兴趣的长久保持和发展必须有意志的支撑，因为成功与失败必定是交替出现的，困难与顺利也常常会同时存在，只有经得起失败与困难考验而又同时在成功与顺利之中有过喜悦与欢欣，才会更有兴趣。兴趣的广泛性也十分重要，如果说数学处在自己的兴趣中心的话，那么，更广泛一些的兴趣是有利于加强这一中心强度的。祖冲之对数学、天文、历法、文学都有广泛的兴趣，但他的兴趣中心在数学。欧拉对力学、天文、船舶、机械、音乐、数学都有广泛的兴趣，但他的兴趣中心也在数学，并且这又大大有利于他在数学领域里更广泛的范围内活动。从哲学上说：数学发现就是发现问题、提出问题、进而再创造性地解决问题的过程。我们要以马克思主义哲学作指导，从数学特点出发研究数学发现的认识和方法，力求为拓宽数学研究思路、丰富数学教学内容、增强数学创新意识提供恰当的途径方法。

作者：曲亚民单位：大庆市龙凤区教育局