数学与应用数学的认识
数学与应用数学的认识范文第1篇
参与式教学不仅能引导学生积极主动地参与教学过程，发挥主体作用，让学生获取知识，而且能转变学生的学习方式，激发学生的学习兴趣，挖掘学生的潜能，培养良好的学习习惯。那么，数学课堂中如何运用参与式教学呢？下面，以“圆的认识”一课教学进行尝试，以期抛砖引玉，与大家同探讨。
一、激趣导入，激发参与欲望
“良好的开端是成功的一半。”导入新课是课堂教学中的重要一环，既能吸引学生的注意力，又能激发学生的学习兴趣，增强他们参与学习的意识。求知欲是促进学生认识事物的巨大动力，是教师进行参与式教学的前提。因此，课堂教学中，教师可根据学生的实际生活，创设各种教学情境导入新课，激发学生迫切求知的欲望。如在本节课教学中，课始，我是这样导入的：“小猴子设计了一辆方形车轮的车，瞧，车子开过来了（多媒体演示）。呀，坐得太难受了，要重新设计。小猴子又设计了一种椭圆形车轮的车，可怎么还是不平稳呢？同学们能帮帮小猴子吗？”学生通过分析思考，设计出圆形的轮子。“看，圆形的轮子转得多快、多平稳啊！”……创设这样的教学情境，让学生感到好奇，激发他们参与学习的欲望，使学生全身心地投入到学习活动之中。
二、动手操作，强化参与意识
好动是学生的天性，好奇心促使他们什么事都想自己去尝试、去探究。课程改革提出用新理念指导教学活动，因此教师要根据教学内容和学生的年龄特征选用教、学具，让学生动手操作，获得新知。在这个过程中，能使学生最大限度地调动各种感官参与动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达等活动，培养学生的实践能力和创新精神。在这节课中，我先让学生自己画圆，并用剪刀剪出三角形、平行四边形、正方形、长方形、梯形、圆等图形，再用手摸摸所剪成图形的边沿，体会圆是曲线围成的图形。然后让学生说出怎样画不同位置、不同大小的圆，最后概括出定距、定点、旋转的方法，使学生学会画圆，并能想办法找出圆对折的折痕来认识直径。创设动手操作活动，不仅能加深学生对知识的理解，而且能强化学生参与学习的意识，使学生通过动手操作获得新知。
三、巧设问题，创造参与机会
问题是思维的动力，是创新学习的关键。课堂教学中，教师可以设计新颖、有趣的问题激活学生的思维，让学生动脑思考、动手操作，积极参与讨论探究，使学生获得新知。如课堂教学中，我在导入时提问：“你想提出什么问题？为什么车轮的车轴在中心位置时，车子才能平衡前进？”然后让学生分组讨论交流，使学生人人参与探究。又如，在学习画圆时，我通过以下问题检查学生的预习情况：（1）你学会了哪几种画圆的方法？（2）哪种方法能既准确，又方便地画圆？（3）怎样用圆规画圆？再如，在引导学生理解圆的直径和半径的关系时，我提问：“在同一个圆中，直径和半径的长度有什么关系？”在学生分组讨论后，我启发他们思考：“你们怎样发现圆的直径和半径的关系？”如此设问，不仅能激发学生主动参与探究的兴趣，而且能有效培养学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力。
四、注重合作，促使全面参与
课程改革的核心是“以人为本”，这就要求教师关注学生的全面发展，倡导自主、合作、探究的学习方式，让学生学会学习、学会合作。合作学习是参与式教学的一种形式，它以小组活动为载体，能充分发挥学生的主体作用。在本课教学中，我根据教学内容和学生实际，采用同伴互助式分组，发挥合作小组的最佳学习功能。分组时，既注意让每个小组都有各个水平层次的学生，又注意小组成员在性别、兴趣、能力等方面的合理搭配。这样分组，可以使不同学习水平的学生相互启发、互相补充，碰撞出思维的火花。如在学生认识圆的半径、直径之后，我让他们猜想半径和直径可能有哪些特征。通过分组讨论、全班交流后，学生得出结论：在同一个圆内，有无数条半径都相等，有无数条直径都相等，直径等于半径的两倍。然后我让学生想办法验证，有的用折叠法验证，有的用度量法验证。最后，我让学生把验证的方法和得到的结果交流汇报，互相补充完善。这样的小组合作学习，让学生积极参与教学过程，使每个学生都得到了发展。
五、设计练习，调动参与热情
《数学课程标准》指出：“要让学生能够认识到数学存在于生活中，并被广泛应用于现实生活，才能切实体会到数学的应用价值。”在本课教学导入时，我引用学生感兴趣的生活素材，使学生认识到数学与生活有着密切的联系，增强了他们的学习兴趣。如在学生认识圆、掌握圆的画法后，我设计了这样的练习：“学校要建篮球场，要在球场上画一个大圆，可是没有那么大的圆规，有什么办法可以画出来呢？根据是什么？”这样的练习，将数学知识与实际生活联系起来，让学生体会到学习数学的重要性，调动他们参与练习的热情，使学生积极主动地参与到学习中去。
数学与应用数学的认识范文第2篇
关键词：初中物理；函数；教学；策略
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）29-0113-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.29.069
一、初中数学函数教学的现状
自实施新课程改革以来，初中数学教学模式逐步改变，教学方式渐呈多样化趋势，数学函数教学也能充分利用现代先进的科学技术进行课程教学活动。历经多年的努力，在初中数学函数教学过程中，很多教师已经充分掌握了计算机操作、计算机应用功能，已经能较好地运用多媒体技术辅助教学，已经非常注重教学方式、教学策略，使很多学生提高了对函数问题的认识和理解，提升了他们的思维能力、分析能力及实际应用能力。为今后更深层次的学习数学知识，接受更高的数学教育打好了基础，铺平了道路。
二、初中数学函数教学的不足
很多初中数学教师通过不懈的努力，使学生很好地认知初等函数数学知识，掌握了相关的理论。但教学过程中依然有少数教师无法很好地运用教学谋略进行教学活动，主要表现如下。
（一）没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性
虽然大多初中数学教师都能认识到函数知识是非常重要的，也知道函数知识是连接高中数学知识的桥梁，起着承上启下的桥梁作用，都能在教学过程中好好设计教学方案，讲解函数的定义，都能教授初中学生从数学知识中认识什么是定量，什么是变量，什么是函数的三要素等。少数初中数学教师由于没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性，在教学过程中没有好好设计教学方案，没有充分准备和认真讲解初中数学中函数的定义和概念，没能有意识地运用函数将现实生活中的一些问题转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决现实生活中的一些问题。
（二）没有充分利用现代技术进行数形结合教学
很多初中数学教师知道图像法在函数教学中是三个表达函数关系的方法之一，是最为直观的表达方法，而数与形相结合的教学思想是函数教学最基本的思想，也是为了让学生去认知函数，通过数和形的相互变换将复杂抽象的函数问题变得更易接受、更易理解的重要途径。很多教师都是按照此类方法去教授函数课程，但有些教师在采用此法教学时，仍然采用“灌输法”，并不能按照新课改的要求，让学生自己开动脑筋进行自主式学习，也没有在课堂上留出一些时间，让学生自己去绘制函数图像，进行数形结合的学习活动。他们依旧认为让学生自己动手绘制函数图像是浪费教学时间。这种陈旧的教学模式不利于学生增强函数学习的印象与记忆，不利于学生通过函数图像数形结合思想培养与提高抽象思维能力，不利于学生从自己绘制函数图像中更加形象、直接地理解与掌握函数性质，不利于学生快速理解与掌握函数值范围、自变量取值范围，以及变化规律等理论知识。
三、初中数学函数教学的策略
（一）应充分认识函数知识在初中数学中的重要性
初中数学教师应充分认识到函数是数学知识中相当重要的部分，应充分认识函数知识在初中数学中的地位和作用。在这个变化较快的新时代，初中数学教师应把握函数知识的教学重点，应根据新时代的民众生活、学生环境的变化，改变教学思想，不再沿用陈旧的教学实例，而应更新教学设计，更新教学方案，有意识地运用函数的定义、函数的概念，运用函数的思想、理论，将更新鲜、更贴近生活的、更与时俱进的一些问题、一些教学实例转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决这些问题、去分析研究这些教学实例，去激发学生对函数知识的兴趣，使他们愿意去思考生活中的这些数学问题，愿意去找寻解决这些数学问题的途径，进而提高他们的学习能力。
（二）应充分利用现代技术进行数形结合教学
初中数学教师都应认真钻研数形结合的教学思想和教学方法，改变传统的灌输式教学模式和方法，在教授函数知识时，应主动预留教学课时，分利用现代技术，让学生自己动手绘制函数图像，进行自主式学习，让他们通过数和形的相互变换去认知函数，进而更易接受与理解函数性质，更易接受与理解函数值范围、自变量取值范围及变化规律等，更易理解复杂抽象的函数问题。
总之，要有效开展初中数学函数教学，提高初中学生函数学习能力，教师必须改变教学观念，转变教学模式，结合教学实例，同时应转换教学角色，把课堂交给学生，并充分利用现代科学多媒体技术加强演示教学，尽可能安排学生自己动手操作，使有限的教学课时达到最佳教学效果。
参考文献：
数学与应用数学的认识范文第3篇
一、数学应用意识与能力培养的重要性
1、高中数学的学习目的之一是培养学生解决实际问题的能力。要让学生积极运用所学数学知识，会提出、分析和解决实际生活中遇到的各种问题，特别是与生产、生活有关的数学问题。
2、重视数学应用是数学教学改革的需要。当前在世界范围内进行的数学教学改革，加强数学的应用是这场改革的一个显著特点。同时加强数学应用意识与能力的培养，可加深同学对数学重要性的认识，增强兴趣，提高自主学习的主动性和积极性，这也正是新课改的目标之一。
3、数学应用意识与能力的培养是高考的需要。从考试的角度看，国家在1993年起在高考中正式出现数学应用题，经过多年的摸索，近年来应用题在高考中又呈现出加大考查力度、重在考查学生应用能力的趋势，应用题的教学成为中学数学教学的热点和难点。
4、数学应用意识和能力的培养是时代的需要。当今时代，数学出现了技术化的倾向，它的全方位渗透，正日益转化为人们在生产生活中所必须具备的技术手段和工具，并且随着国家对外太空领域的探索，数学的应用越来越广泛，作用越来越大。数学应用能力的培养是时代的需要，也是我们教育工作者义不容辞的责任。
二、当前高中生数学应用意识与能力差的主要原因
高中生数学应用意识与能力普遍较差的原因主要表现在以下几个方面：一是对数学的价值认识不到位。数学作为从量的方面处理现实世界各种关系的科学，当然也要处理有关生产关系的问题，这就是数学的价值。但由于历史的影响，教师在过去的教学中过分强调数学的逻辑性、严谨性、系统性和理论性，把主要精力放在了讲解数学的概念、解题的技巧上，对数学的精神、数学的价值、数学结论的形成和发现过程、数学对科学进步所起的重要作用却很少讲。这使得学生对数学的认识片面化、狭隘化。比如：许多学生认为“数学只不过是数字的逻辑游戏”，甚至认为“数学只是一个考试科目而已。”二是运用数学的意识较差。我国传统的数学教育内容的选择，在体系结构上追求严格的理论推导和论述为主的“理论型教材”占多数。课程内容的选择很大程度上反映了数学应用的程度和水平。学生包括教师很少用数学的眼光，从数学的角度观察事物、阐释现象、分析问题。理论型的教材是造成学生缺乏甚至逐渐丧失应用意识的主要原因。三是数学的应用能力弱。在数学课堂培养学生的应用意识与能力，数学建模是关键。学生普遍阅历有限，对应用问题的背景不熟，难以从中构建出数学模型，阻碍了实际问题的解决。
三、培养学生数学应用意识与能力的有效途径
1 提高对数学价值的认识，增强对数学学习的兴趣。学生能否对数学产生浓厚的兴趣，与我们的教学实践、教学内容和教学方法的选择和运用密切相关。首先，教师要在教学方法上下功夫，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，不断提高学生的数学知识水平，加强数学的实践和应用，注重用数学知识解决学生身边的实际问题，以学生喜闻乐见的方式进行数学教学。其次，课堂教学中应以新课改理念为指导，充分发挥学生的主体地位和教师的主导功能。教师应根据教学内容的特点，’精心组织、形象比喻，把抽象的概念、深奥的原理，拓展为生动、有趣的典故，或适当、合理地运用图片、模型、多媒体的教学手段，促进理论与实际的结合，激发学生浓厚的学习兴趣。
2 采用“数学建模”的活动和教学，培养学生的数学应用意识和能力。要培养学生的数学应用意识和能力，就要站在构建数学模型的高度来认识和实施应用题教学，使学生从实际问题中发现、归纳出抽象的数学问题，然后用已有的数学模型来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题。通过这种“实际－理论－实际”策略的实施，不断提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
数学与应用数学的认识范文第4篇
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，并且现代数学的研究早就超出了“数”与“形”的范畴.这种“数”和“形”是事物存在的一种自然属性，反映了事物的内在联系与本质特征.然而它们的“表现”往往不是客观世界中直观的、具体的对象，这决定了数学具有高度抽象性的特点.根据数学知识体系的发展规律和人对数学的认知规律来培养学生的数学素质与能力.大学数学教育不仅仅是数学知识的教授，在要求学生系统的掌握数学知识的同时，更应该注重数学思想、数学品质、数学能力的学习与培养.让学生在学习的过程中，学会从数学的角度来抽象出数学问题，合理的建立数学模型;运用数学的知识和工作来分析、推理、论证，并得到确切的结论;最后通过实验来验证结论的正确性，从而创造性的解决问题.简而言之，数学素质，就是人们运用数学观察和处理问题的意识和能力.李大潜院士认为大学数学应达到如下教学目标：1.对数学这个学科有一个正确的认识和理解，对数学的重要性，对数学在推进人类社会物质文明与精神文明发展方面的重要作用，对数学是一种先进的文化，包括对数学带来的美感，有一个基本的认同和体会.2.能逐步领会到数学的精神实质和思想方法，在潜移默化中积累起一些优良的素质.3.不仅积累数学的知识和方法，掌握必要的工具和技巧，而且提高将数学有效地用于解决现实世界中种种实际问题的自觉性和主动性，并具备一定的数学能力.本质上李大潜也是将数学素质的培养作为大学数学教育的培养目的，这种素质其实就是一种科学创新的素质.
数学教育策略顶层设计，是提出一种“立体的数学认识”教育方法，并希望这种方法在一定程度上能够有效的解决一些数学教育上存在的问题，并在实践中取得好的效果.我们希望这种方法能有效激发学生的认知兴趣，能发挥学生的主观能动性，能促使学生形成优良的数学认知结构;同时也希望这种方法也能培养学生的数学思维和素养，使学生具备一定的观察、分析、解决问题的综合能力.据作者所知，现在有一些“立体化教学”的教学实验和研究成果主要是在数学教学方面作出的努力和改进，其中浙江科技学院的薛有才老师对工科院校大学数学的教学改革作了理论与实践上的探索，创立了“大学数学立体化课程教学模式”.这种多样性、分层次、个性化的立体式课程教学模式对发展学生个性、促进学生发展和全面提高高等学校教学质量是一条有效途径.我们从学生的认知角度出发，提倡“立体的数学认知”，主要立足于数学教育，而不仅仅是数学教学层面.
“立体的数学认知”方法包含以下几个层面：
1.发挥教师的认知示范作用.教师是教育的主导者和数学认知与实践的先行者，教师在教授学生数学知识的过程中所展现出来的理性思维，数学视角，问题的探讨与解决等等行为都会直接影响学生对数学的理解和感悟.所以首先要提高教师的综合素质，加强教学团队建设，这样才能给学生作出示范与指导.教师不仅需要系统而理解深刻的专业知识，还需要数学教育与教学理论、知识与技能.教师应在教学内容的把握，教学活动的设计、开展，教学理念的具体实施，培养学生的数学思维与能力方面做到胸中有数.事实上，大学教师往往都在专业知识上具有较高的理论水平，而在教学水平与能力上有所不足，这不利于学生的发展与培养.因此，大学教师应加强职业培训，特别是教育、教学的理论与实践的学习.教学团队的建设对优化教师整体结构，改革教学内容和方法，开发教学资源，促进教学研讨和教学经验交流，推进教学工作的传、帮、带和老中青相结合，提高教师的教学和科研水平都有很好的效果.
2.认知材料应反应时代要求.好的教材和教学资料不仅要传递学生数学知识，到达培养学生的目的，还应该符合学生的认知心理.教材的选取应注重数学概念的实际背景与几何直观的引入，强调数学的思想和方法，紧密联系实际，服务专业课程，精选一些实际应用案例.教学内容要体现数学的实用性，使数学的科学价值、文化价值、思想价值、应用价值展现出来.教材的内容不应过分强调理论的科学性、严谨性和系统性，而忽视了基本概念的应用背景和对学生创新能力的培养.
3.激活主体的认知能动性，渗透数学思想和文化于认知体验中.人的认知活动应充分调动智力因素与非智力因素，发挥主体认知的积极性，把握认知对象的本质思想与精神实质，才能构建良好的认识结构，具备认知的可创造性与可持续性.作者认为应采用多层次的分班教学以适应不同层次学生的需要，充分利用现代教育技术，网络优质资源使学生从多方面，不同角度学到不一样的数学知识.教学活动的展开应以学生为本，转变以学科为中心、片面重视专业教育的思想，树立专业教育与人文教育并重的思想，采用灵活多样的教学手段与方法激发学生的主体认知意识，呈现数学问题的脉络，认识数学思想的本质，感受数学文化的魅力.课堂教学方法科学，教学手段先进，重视实验、实践性教学，引导学生进行研究性学习和创新性实验，培养学生发现、分析和解决问题的兴趣和能力.教师不仅要教授学生数学知识，训练学生的数学思维，更要培养学生的探索精神与实践能力.使得学生从“数学现实”出发，在教师的帮助下自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜测等手段收集资料，获得体验，并作类比、分析、归纳，渐渐达到数学化、严格化和形式化.在课程的设置上，除了专业课外应加强数学实验、数学文化、数学竞赛等课程的学习与辅导.讲授内容还需与经济发展适度的相结合，做到了解学科、行业现状，追踪学科前沿，及时更新教学内容.
4.丰富认知活动，提高认知的迁移性与可发展性.丰富多样的课外数学学习活动，不仅是教学活动的补充，而且是全面提高学生的数学素质的必要途径，有利于学生形成“立体的数学认知”.全面实行“导师制度”，让学生能够享受教师的全面指导，做到个性化教育.导师要与学生保持良好的交流与沟通，以便及时了解学生的思想状况、对学生的学习作出指导并给出合理的建议.鼓励学生采取小组学习的模式，组员之间分工明确、互相协作共同探讨数学问题，按时完成任务.支持学生参加数学建模活动，数学建模是沟通数学理论与实际问题的中介和桥梁，培养学生数学建模能力是提高数学思维和应用能力的重要手段，使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力.“数学作为一种文化，具有比数学知识更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括.”数学文化属于科学文化，是一种理性文化，可以表述为以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统.这种具有核心价值的文化理应被我们的认知结构吸收并发挥潜移默化的功能，课外活动应加强这方面的认识与体验.
小 结
本文根据数学的特点以及大学数学教育的目标，从数学认知的角度，提出了“立体的数学认知”这一教育理念与方法，并从教师示范作用，教材的与时俱进性，教学内容与方法，课外活动的开展等四个方面说明这种方法的必要性与实施办法.“立体的数学认知”在很大程度上能使学生从传统数学教育的枯燥模式中活跃起来，从而能更全面、深入地认识数学思想的实质，并能积极地将数学知识应用于实践，最终提高数学素质.这种方法契合当前的教学、教育改革，能有效培养学生的数学思维与能力，提高学生的数学素质，锻炼学生的数学精神与品质，熏陶数学文化的价值，从而为促进社会的发展与进步培植具有理性与科学精神的文化种子.
数学与应用数学的认识范文第5篇
结构是“系统诸要素相对稳定的联系方式”。数学知识的结构就是数学知识体系中各知识点的一种相对稳定的联系形式。一个抽象的集合只不过是一组元素而己，无所谓结构，一但引入了一种联系方式，就形成了一种结构。例如，实数集引入通常加法就形成了基本的代数结构一群。知识本身具有复杂的结构形态，同时在结构中显现其特性。一方面，数学知识的结构，不是各组成部分的简单排列和组合，而是受一整套内在规律支配，各部分以不可分割，不可简化，互为补充的方式运作。这套规律超越并支配着知识结构的每一种表现形式，决定了结构的性质和功能，任何部分的意义由它和既定情景中其他部分之间的关系确定。例如，正数、负数和零组成实数域结构，它受到有序性、完备性的支配，独立存在的一个实数没有任何实际意义。另一方面，假如离开了知识的各种表现结构，知识便失去了自己存在的意义。人类对客观世界的认识经历了千百万年，历代数学家积累下来的数学知识浩如烟海。以数学知识的组织方式为逻辑范畴，可将数学知识结构分为四种类型：逻辑结构、认知结构、教材结构和教学结构。下面分别阐述其对中小学数学教育的作用。
1逻辑结构是数学知识系统的基础
逻辑推断是贯穿数学知识的主线。由公理出发并严格按逻辑规律构造的知识结构就是逻辑结构。数学知识的逻辑结构是非线性的树状结构，它的根在不停地向下延伸，它的枝叶在不停地向上生长，今天己成为一棵枝繁叶茂根深的参天大树。
数学知识的逻辑结构以《几何原本》为典范。公理化方法加强了似乎彼此相距很远的那些数学领域之间的联系，把某一领域得出的方法（结论）应用于与之同构的其他领域，从而获得一系列重要成果。这种结构方法从个别推出一般，是非常经济的思维。公理化思想方法不仅渗透到数学的每一个分支，而且影响到其余科学领域，它避免了“无限向前推”的情况，把人们的目光引到向后推一今后的发展上，类似数学这样建立起的知识体系才是科学。按解释法，几何公理体系和实数公理体系的无矛盾性都可归结为自然数算法的无矛盾性，但自然数算法的无矛盾性不可能用它自己内部形成的方法来证明，因此，数学中的公理化方法有一定的界限，数学知识的逻辑真实性也有一定的界限。于是，公理化方法在中学数学教学中的地位被逐渐削弱了，旨在让学生体会公理化思想的过程。
传统认为“‘数学是研宄数量关系和空间形式的科学”在现代数学中“数”和“形”需要在更加广阔的意义下去理解！布尔巴基学派认为，数学是研宄形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来归类和统一，具体地说就是，利用形式公理化方法抽象出各数学分支的各种结构，找出各分支之间的结构差异，从而获得各分支之间内在关系的清晰图象。即用结构的观点来看待数学全局的每个分支。今天的数学己不再是彼此分开的章节所集合起来的一堆东西，而是一个巨大的相互联系的结构体系。这些结构原来都是从三种“母结构”一代数结构、序结构、拓扑结构一脱胎出来的。由此可以形成各种子结构和多重结构。例如，实数域同为上述三种结构的多重结构。
2认知结构是学生学习的出发点和归宿
所谓“认知结构”是指学科知识的实质性内容在学习者头脑中的组织结构。这种知识结构是由学科知识的基本概念、原理、过程、思想方法以及它们之间的关系组成。数学学习是数学认知结构的组织（同化）和重新组织（顺应）并形成新结构的过程，即是一个“再创造”过程。任何一门学科知识的学习就是在学生的头脑中形成一定的知识结构。良好的认知结构不是知识点的简单堆积，而是经个体理解并重新组织过的、稳定的、可利用的统一体。
儿童在入学之前很久，就因社会环境的作用而学会了数数，从而可以学会一些经验性知识与准则。皮亚杰以他的朋友作为结构主义的范例：有一位数学家小时候对数学第一次发生兴趣是因为一次偶然的游戏，他把一堆石子排成一行，发现无论从那端开始去数石子，石子总数都是一样的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一条线。总数不在石子之中，也正是他自己把它们合并在一起。石子总数表现了这一堆石子之间的数量关系。在这个例子中包含了数学事实、数学活动经验、思想等。次序、总数等就其本身而言是没有意义的，它的意义事实上由它和游戏中的其他因素所决定的。总之，任何数学事实或经验的意义除非它被结合到结构（它是其中的组成部分）中去，否则便不能被人们感觉到。儿童在生活中下意识的排序、分类和玩几何模型玩具等，是在为知识的形成提供理想的基础，其可能就在构筑日后出现的集合论！学龄前儿童在十分狭窄的范围内意识到或认识到数量、序列与拓扑。因此，我们必须让儿童积极构筑个人技能与算术概念及逻辑概念的基础，儿童今后的全部数学知识结构都将以此为基础。
儿童在学校中主动地建构认知结构，数学教学应易于学生根据特定目标生成新的知识结构。如学习负数时，由生活中的收支盈亏问题引入，揭示盈亏的内在联系，理解引入负数的必然性,从而建构新的认知结构,同时也是对原认知结构的进一步认识和理解，并得到重组。如图1表示学生在学习过程中认知结构形成的一般过程：学习者首先下意识地将新知识纳入原有认知结构--同化新知识，使认知结构的数量得到扩充，当原有认知结构不能同化新知识时，则必须改造或创建新的认知结构，才能和新知识相适应一顺应，才能维持生物演化的平衡机制。
3教材结构体现了一定的社会价值标准
教材结构是指教材要素体系的框架结构。它反映了学习者认识客体的活动及进程。一般认为数学教材要素是知识点，而知识点由知识与技能（含事实、概念、原理、公式），过程与方法，情感、态度与价值观三大部分组成。数学教材中，由知识点构成知识树、知识网、知识块和螺旋体等结构，并以有利于学生建构稳定的、可辨的和可利用的认知结构为首要标准。编写教材不但要注重数学知识之间的逻辑关系，还应考虑表现数学知识的符号与客观事物的联系，以及与人的关系，从而实现教材对学生的教养、教育和发展功能。因此,教材结构当以一定的社会价值标准为基础,提出某些标准作为教材建设的理论前提，使之成为编写教材的依据，并研宄如何才能符合这些标准。用发展的眼光来看，中小学学生应学习将来最有价值的数学，教材就要回答“应该学什么”的问题。由于社会的多元化，教材也具有社会多元化特点，教材的典型代表教科书也应是多样化的。
数学教材只是数学知识这座冰山露出水面的冰峰的一角，其显著特点是不追求数学科学本身的完备性和覆盖面，不要求公理体系的独立性，此时，扩大了公理的数量，也不太要求严格的论证，这一点与数学史不谋而合。旦是，精确的定义、严密的演绎展开、几乎没有多余的文字叙述，用人为编造的内容情节来呈现知识，还是让学生难于理解“淡化形式，注重实质”己经成为共识，力求把干巴巴的、符号化的学术形式演绎体系，转化为生动活泼、有血有肉的教育数学形态，就是为了便于学生学习。新一轮基础教育课程改革理念指导下所开发的教材，重心己从教师如何教，转移到学生如何使用教材上，寻求学生心理发展与数学本身发展逻辑的整合，赋予教材中数学知识更多的社会价值观，最终使学生明白学习数学的意义何在，价值在哪儿。
4教学结构是实现数学教育目的的必要手段
数学教学是人类活动之一，是一种以参与者为主体，并在一定文化环境中所从事的创造性活动。某种教学结构是为达到某一方面教学目的而设计的教学活动典范。在实际教学过程中,教学结构所包含的因素由于其组合方式的不同而具有多种不同的形态，并有各自独特的功能。尽管教学结构种类繁多，但都主要由目的、目标、程序、策略、内容和评价等因素组成。例如，问题情境一建立模型一解释一应用一拓展这种教学结构，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义。1]讲授式教学结构包 括：诱导学习动机一感知理解教材一巩固知识一运用知识一检查反馈5个基本步骤，常用于系统知识和技能的讲授和学习。
研究数学教学结构，就是研究数学知识构建、传播与吸收的过程及规律，其目的是缩短儿童认识数学知识的过程，实现对数学知识的真正理解，而不是简单的会做。人逻辑成分的多少来看，至少可将数学知识分为二类：一类是常规的东西。数字名称、线段、角、一年的月份等常识，如同“为什么汽车不靠左行驶”一样，都是心智努力而无法发现的，应该逐字逐句地教，使儿童赋予我们所用词语的意义跟我们头脑中所想的定义相同，只有记住才行，必要时可熟练地复述并随时利用。另一类基于理性思考的东西则应该去理解。如“稀稀拉拉的自然数和密密麻麻的有理数一样多”又如：儿童在理解基数意义（指一个有限集合的整体）之前，模仿成年人，“依葫芦画瓢”，以“最后一个数字来回答是多少”的问题。要从本质概念上真正掌握基数，不仅要了解最后一个数字指所有计算成分的总数，而且还要知道，它包括着按顺序保留的此前的所有较小的数字。随着学习的不断深入，需要理解地掌握的数学知识愈来愈多，只有真正理解了数学知识孕含的思想方法，才能转变为数学能力。
知识是无法传递的，传递的只是信息。在数学课程中既有凝固的、明示的知识信息，也有流动的、隐喻的知识信息。学生在数学教学过程中感受、体验获得的情感、态度与价值观，是可学不可教的，甚至是只可意会，不可言传的！在数学教学结构中，主体之间多向传递对数学知识的认识的信息，学生由此建构数学认知结构。由于教学活动是多种教学结构的有机整合，任何一种教学结构都不是孤立存在的，教学效果也往往是多种教学结构的综合效应，因此，每种教学结构作为解决具体问题，完成目标的一种工具，需要相互配合，才能发挥各自的最佳效能。根据不同的目标、内容、环境等，可采取不同的教学结构。
5小结
