数学建模基本算法范文第1篇

关键词：计算机图形学；科学思维；学科结构；教学改革；教学方法

0 引言

大学的主要任务是培养人才，特别是培养创新人才。培养创新人才的基本途径与方法有课程教学、参与科学研究与项目开发、对外学术交流等。然而传统本科课程教学多注重传授学科的系统理论等专业知识，不重视对知识产生原因、方法的介绍，如忽视思考解决学科基本问题的具体过程等，这会造成课程教学传授知识与科学研究相脱节，导致学生的知识结构产生缺陷，不利于他们将来从事创新等研究工作。为配合计算机图形学课程的教学改革，根据计算机图形学课程的特点，笔者提出一种面向科学思维的教学新方法，它能有效弥补传统本科课程教学的不足。

1 面向科学思维教学方法的基本要求

常见典型的教学方法有：结构主义的教学方法、建构主义的教学方法、问题（任务）驱动教学方法等。这3种方法各有其优缺点，一个好的教学方法最好能全面综合这3种方法的优点。面向科学思维的教学方法要求把思考问题的方法、系统分析与综合的方法、科学研究的工作方法、查找资料与抽象的方法等知识产生的方法引入课程教学中，有效讲解学科专业知识是根据发展需求、通过研究各种问题产生的；专业理论体系或与其学科结构是由多项研究成果形成的，这些知识是科学研究与科学思维产生的结果。

结构主义、建构主义与面向科学思维教学方法的异同点见表1。

2 确立计算机图形学课程的教学内容与教学模式

2.1 传统计算机图形学课程教学改革的原因

2013年以前，国内外传统计算机图形学课程教学以讲授图形标准（显卡驱动与显示图形等子程序的集合）或CAD为主。这种CAD与计算机图形学（即图形标准）学科的划分有问题，它只便于图形标准的硬件实现，却因基本概念不全导致这两者均不能独立讲清三维真实感图形的自动生成原理以及计算机程序设计的基本规律，更不能总结计算机图形学的研发成果与发展规律，不能满足计算机图形学学科建设发展需求。

2.2 用系统分析与综合的方法确立计算机图形学课程的教学内容

2.2.1 系统分析：从理论上确立实现计算机图形学课程目标的发展路线图

本课程目标是用计算机程序自动生成类似人眼观察世界获得的观察图像（亦为学科研究的基本问题，它适合作为建构主义教学方法要求的教学环境需求问题）。为此至少要完成3个子任务：①掌握三维图形的生成原理；②掌握生成三维动画等图形的程序设计；③理顺新课程教学内容与图形标准、CAD的相互关系。

1）第一个任务的实现方法。

照相机生成照片遵循光线传播生成三维图形这一物理原理，计算机生成所有三维图形（包括光线跟踪算法、辐射度算法、投影、多边形填充、纹理映射、阴影算法、图像融合算法与二维直线的生成等）也应遵循该原理。这是本课程知识理论体系的完备性与一致性的基本要求，它决定了计算机图形学的学种性质与教学定位。

2）第二个任务的实现方法。

用辐射度和光线跟踪算法生成的三维真实感图形等程序，是一类典型的显示图形的计算机仿真应用程序。故计算机图形学的编程实现既遵循计算机仿真的基本原理，也遵循计算机程序设计的基本规律。

计算机仿真遵循系统（决定被仿真对象的范围与其行为特性）、建模（用数学模型描述仿真实验对象）、仿真算法（计算机通过执行该仿真算法，进行仿真实验）与评估（检验仿真实验的结果是否与应用需求保持一致）这一基本原理。

计算机程序设计应遵循计算理论可计算性的实现前提对程序设计的规范要求：①待解问题被模型与系统形式化方法所描述；②这种描述要转换成算法；③算法要有合理的复杂度。

这里，形式化描述指用数学符号、逻辑符号与流程图描述并要求保持逻辑上的一致性。系统的概念被本文定义为软件系统：它按解决问题的系统流程要求，编程实现数个模型描述数据与命令的输入、存储管理、运算处理、输出显示4个过程，能直接达到自动运行软件的设定目标并具有完整动态结构的综合程序。软件系统的概念是国内传统计算机核心课程教学缺失的重要概念。

故三维图形学的教学内容，主要用3组数学模型描述可视物体、灯光、照相机物理模型的物理特性（如用几何模型、材质模型与纹理模型描述可视物体；用光线几何模型、颜色模型、照明模型、辐射度算法和光线跟踪算法等描述点光源；根据类照相机的观察参数，用阴影算法、图像融合等算法描述照相机模型；对光线跟踪算法，应重构照相机模型）；在物理仿真、数学建模与软件系统概念的指引下，编程构建三维图形软件系统，实现三维图形的自动显示。物体运动与变形、灯光变幻、照相机运动可形成计算机动画。计算机游戏是用人机交互的操作方式并通过实时动画与声音有效描述具有智能行为能力的人（或动物）的多种社会实践活动。

3）第三个任务的实现方法。

计算机动画包含了传统图形标准与CAD的原理，所以在课程最后，可讲解图形标准OpenGL的原理与编程使用方法。同时图形标准是游戏软件的基石，是现代计算机应用不可缺少的基本配置。

2.2.2 系统综合：介绍图形学的基本原理与动画软件的实现方法

这要求教师先查找资料、汇集前人发表解决以上问题的不同论文与教材（解决课程教学问题的先决条件），挑选材料编写课程讲义，详细介绍完成该任务所需的基本原理与实现方法，讲义试用成熟后再编著出版教材。

教材按以下思路组织：用二维图形学构建软件系统概念的教学，用三维图形学构建三维图形数学建模的教学（直接用三维图形构建软件系统概念的教学，会导致课程教学内容的复杂化）。在每章的开头，均提出应思考并解决哪些问题才能达到本章的教学要求，加强训练读者思考问题的习惯。

学完本课程，学生要能胜任计算机动画软件的设计与编程实现等任务。

2.3 归纳计算机图形学的学科结构

以上教学充分展示：由物理模型（化学模型、生物模型、社会发展需求模型等）数学模型（数据模型是数学模型的一种简单特例，其编程操作主要是数据的存储与检索，以实现数据库软件。根据数学模型“曲高和寡”的原理得知，数据库软件是应用软件中应用面最广的一类软件；或用离散数学的方法、判断规则与判据或可编程实现的自然语言与功能等描述解决问题的过程与步骤；或用通信协议描述数据通信过程要遵循的规则、约定等要求，这是网络通信编程的基础）软件的系统功能与结构用算法语言实现程序编码并形成算法软件测试评估等过程所确立程序设计的基本规律。程序设计这一规律，能被雷达的设计与制造过程所佐证，如通过物理实验确立雷达原理用数学模型描述雷达的工作过程设计雷达系统的功能与结构用电子技术制造雷达设备做好的雷达要通过测试评估才能交付使用等。

由此能用理论（物理原理、建模、软件系统、仿真、程序设计）、工具（OpenGL、Direct3D、着色语言、ACIS、WebGL、OpenCL、3D游戏引擎等）与应用（显示图形的应用程序，如3D动画或CAD、地理信息系统（空间复杂性高而时间复杂性低）、游戏与虚拟现实系统（时间复杂性高而空间复杂性低））3个学科形态描述计算机图形学的学科结构。

2.4 用科学研究的工作方法确立计算机图形学课程的教学模式

（1）选题（发现问题）：找任务、了解用户需求、检索阅读资料并提出问题。自由选题要确立研究问题的科学性、目标性、创新性和可行性，并找准课题的申报渠道。提出问题是对任务深入思考或科学研究的前提。如计算机图形学的学科属性与教学内容是否成熟，是此前国际计算机图形学教育界多年关注的教学疑难问题。

（2）分析问题：真实照片由照相机、可视物体与灯光3个主要因素决定，由此确立解决问题的方法。

（3）寻找解决问题的方法（提出假说）：首先用二维图形建立软件系统的概念；然后建立描述照相机、可视物体、灯光物理模型物理特性所需的数学模型，构建仿真光线在计算机场景与照相机模型中传播，生成三维动画图形。

（4）做实验解决问题（找寻证据支持假说）：针对建立的数学模型，选择数据结构，设计算法，编写程序源代码并调试测试程序，构建三维图形软件系统，实现图形的自动显示。

（5）取得新成果（查新验证）：改进学科的系统理论与基本方法，发表研究论文，推广该研究成果或论证申报新开发项目，推动学科建设向前发展。当我们解决好计算机图形学的教学问题时，就为撰写本文并申报计算机图形学国家规划教材奠定了基础。

由此构建程序设计教学的完整过程，并把程序设计拓展成科学研究工作方法的一种形式与组成部分。

该教学模式不仅把教学与科学研究两个不同性质的学术过程结合在一起，还说明围绕课程教学思考问题的训练属于科学研究领域思维活动的一种基本形式。

3 在课程教学过程中合理安排思考问题的训练

教师在重点介绍、讲解每个专题前，要考虑如何训练学生根据学科的发展需求思考问题，这些问题是任务驱动教学法中各种问题的来源。

3.1 用二维图形学构建软件系统概念的教学

专题1：线段图形的描述与生成。基本问题：如何用数学的语言与方式（如描述函数）描述各种线段图形的几何形状，以形成各种线段图形的几何模型？如何形成矢量汉字等子图形高效率的描述方法？如何把这种描述函数转换成算法，并根据其描述数据生成这些基本图形？

专题2：实面积图形的描述与生成。基本问题：用什么方法描述实面积图形的几何形状，以形成各种实面积多边形的几何模型？如何利用显示设备的绘图功能生成实面积图形？如何实现直线图形边缘的反走样显示？

专题3：图形的基本运算。基本问题：图形运算的目的是什么？如何用几何变换矩阵的方式描述图形几何模型的几何变换？若用实面积多边形的布尔运算构建新的复杂图形的几何模型，则布尔运算的数学基础是什么？如何实现其布尔运算？

专题4：图形的观察运算。基本问题：如何把输入到计算机中的图形几何模型描述数据，转换成显示设备坐标系中的图形几何模型描述数据？并调用图形的生成算法显示各种图形的几何形状？

专题5：图形数据与命令的输入。基本问题：能用哪些方法把图形模型描述数据与命令高效率地输入到计算机中？如何利用输入设备的数据输入功能与显示设备的图形显示功能，编程实现图形数据的交互输入？如何规划应用程序中的人机交互设计问题？

专题6：图形的数据结构。基本问题：图形数学模型的种类与复杂、复合图形的构建方法，这些对保存图形几何模型的描述数据提出了哪些动态管理上的要求？如何设计相应图形的数据结构，才能有效地保存、管理存储于计算机中的各种图形描述数据（命令）？如何把图形显示区中的图形描述数据编译转换成多种显示设备能识别并运行的显示指令代码，以实现图形的显示？为编程实现各种图形的自动显示，需要确定编程处理图形数据的基本流程和程序的功能与结构，以形成软件系统的概念。

3.2 用三维图形学构建数学建模的教学

专题7：照相机模型的建立与三维几何图形的显示。基本问题：如何用数学模型，特别是用矩阵的方法，描述照相机拍摄（投影显示）三维直线图形的物理过程？

专题8：平面物体几何模型的构建与图形显示。基本问题：如何用直线与平面函数描述平面物体的几何形状？如何记录这种描述所形成的几何模型数据？如何构建形状复杂的平面几何物体？如何显示平面物体的几何形状与表面？

专题9：曲面物体几何模型的构建基础与线框模型图形显示。基本问题：用什么方法描述曲面物体的几何形状并构建其几何模型？如何显示曲面物体的几何形状？

专题10：灯光模型的建立与光照物体的图形显示。基本问题：如何用数学模型的方法描述灯光的物理特性？如何描述在灯光照射条件下几何物体的可视物理特性？如何显示光照效果的曲面物体的表面与几何形状？如何更有效地描述光线传播的物理特性与变化规律？

学生按照这一思路进行选题，可考虑为实现像照片一样自然景观（如白光的薄膜干涉等现象）的图像显示，需研究哪些问题等，并发表其研究成果。课程教学内容成熟完整后，才便于界定计算机图形学的学科内涵。

4 分析计算机专业主要课程的基本特点，提炼计算科学的学科结构

4.1 计算机教学此前无计算科学学科结构概念的原因分析

现有权威资料和维基百科、百度百科表明，此前国内外计算机教学均无计算科学学科结构这一重要概念。以下3点是导致这一现象存在的重要原因。

4.1.1 对计算工具的分类作用认识不足

尽管人们知道计算机是一种计算工具，计算机有广泛的应用，计算机科学有自己的一套理论根据，但仅用“理论、工具与应用”很难全面概括计算科学的研究全貌与多项用途。事实上，计算机的系统工具对总结计算科学的学科结构非常重要。

计算机系统是一个能对编程实现的数学模型与逻辑模型，进行自动解算与推理的通用计算工具。这决定了程序设计在编程使用计算机上的重要性。

操作系统是对计算机的各种硬件资源与软件资源进行程序管理，使计算机正常运行的系统工具软件。同时，它能对用户程序（命令）的输入、存储管理与自动运行提供服务（包括对通信进程进行有效监管控制），并用人机交互与图形界面的方式记载这种用户程序与命令操作的运行结果。

编译系统是用高级语言编程必备的系统工具软件，它可以把用户用高级语言编写的程序源代码、编译转换成计算机能识别并自动执行的机器语言程序代码。

算法语言是用户为编程使用计算机的各种计算功能，用类自然语言的方式与计算机相互交流思想的符号表达工具。

这些计算工具本身没有直接解决数学计算与逻辑推理等应用问题，该任务由编程解决。

这类计算工具是在实际应用过程中总结、提炼的结果，工具本身一般不直接解决最终的应用问题，这是工具的第一个特点。它的第二个特点是工具的制造具有递归性，即可用简单工具制造复杂工具。它的第三个特点是专业复杂工具的制造方法与技术具有封闭性与隐蔽性，但这不影响他人对工具的操作使用；且其隐蔽、封闭性是工具使用方便、高效的主要原因。

软件系统与计算工具等概念的形成，是用抽象的方法（从众多事物中总结提炼出具有共同本质的特征、而舍弃其非本质的特征等内容）处理形成的结果。

4.1.2 传统课程没有讲清计算机仿真的原理与计算机程序设计的基本规律

传统计算科学的核心课程（计算机导论、计算机原理与系统结构、算法语言与数据结构、编译系统与操作系统、软件工程、离散数学、数据库和计算机网络）从未讲清计算机程序设计的基本规律与计算机仿真的基本原理。学生往往通过课后大量的编程训练，积累对计算机程序设计与计算机仿真的认识。这种程序设计经验式教学培养模型，无助于学生总结并提炼计算科学的学科结构。相反，人们在算法语言与数据结构课程的教学上存在一些模糊认识。例如，算法语言是用一组语法规则与功能约定的一种符号标记系统，它让人们掌握语言的符号约定、功能、特性以及用算法语句描述给定的数学计算与数据处理、逻辑判断等――即其教学主要是完成程序的编码训练，由此形成算法；也为研制该语言的编译系统做铺垫。然而部分算法语言的教科书，只有一些算法验证性应用实例，并把它们等同于计算机程序设计教学，这无助于初学者全面正确地掌握计算机程序设计的基本规律，因为学习算法语言后，他们还是没有数据结构的概念。

数据结构是研究用程序编码的方式，在计算机中有效实现多种类型数据的存储组织（形成线性、非线性、网状结构形式以及静态或动态结构形式的数据存储方法）、存储管理、排序检索与编程效率等任务的一门专业基础课程。数据结构课程有很多计算复杂性的案例，是培训人们掌握编程技巧的一种有效方法。因为编写程序所采用的数据结构往往决定了算法的编码实现方法，更重要的是，CPU是根据保存在内存各处程序代码的逻辑次序、通过逐条读取其指令代码来完成用户指定应用程序（或命令）的执行。如何规划、设计、调度与管理内存的使用，这与数据的调度与管理原理类似，是数据结构讨论的问题之一（常在操作系统课程中介绍解决该问题的方法。数据结构问题本质上属计算机内存的动态、合理使用与管理问题）。而该课程中所谓抽象数据类型，是指在指定的数据集上定义对该数据元素进行多种加工等编程操作方法。这个数据集以及对其数据元素的加工方法（数据集与其加工方法均能递归定义），应来源于人们用数学的方法描述解决实际应用问题这一过程，该主次关系不能颠倒。没有这些数据结构与程序编码等基础训练，初学者很难规划好一个软件的系统功能与结构。

由于传统的算法语言与数据结构课程教学无数学建模（它决定了解决多种应用问题算法的来源）与软件系统的概念，故传统的算法语言与数据结构课程没有讲清程序设计的基本规律。

4.1.3 传统计算机课程存在教学问题

首先，传统计算机图形学课程存在教学问题，现已被本教学改革有效化解。

其次，软件工程课程存在教学效果空洞抽象等困惑。若把新的计算机图形学课程作为软件工程课程的教学实习对象，可以有效解决该教学困惑。由于新的计算机图形学课程可以讲清程序设计的基本规律与计算机仿真的基本原理，这使软件工程课程的教学从理论上能达到软件全生命周期设计的教学目的。

第三，计算机导论与计算机基础课程存在教学困惑。计算机导论应对计算学科发展的全貌作整体介绍，并理顺计算学科与其他学科之间的关系，引导读者根据自己的需求有效选择学习不同的计算机专业知识。由于此前计算机课程存在以上问题，导致历次获部级奖励的计算机教学改革成果以通过有效载体进入课程教学，致使计算机课程教学体系仍然不够成熟。这往往是行业外人士选修计算机课程的迷惑。因为自牛顿时代以来，用数学的语言描述自然科学取得的新进展，是各自然学科之间相互交流学术思想与成果的通用方法；然而目前其他自然科学工作者学习计算机后，却无法顺利地用计算工具的方法来表达其各自学科建设研究成果的数学模型等。这种计算机课程教学不便于计算机教育与其他自然科学教育进行对等有效的学术交流，并导致计算机基础课程教学出现危机。另计算机教学无计算科学学科结构的概念，即人们没有评判计算机导论教材好坏的客观标准。计算机图形学教学改革取得的新成果――发现计算科学学科结构的客观存在，为重构计算机导论与计算机基础课程提供了重要借鉴。

最后，计算机网络课程存在不足。如该课程介绍网络通信协议较多，却较少介绍网络通信工具的构建与编程使用方法，以及计算机网络通信程序的编程实现，这不利于初学者承担计算机网络计算的重任。

4.2 借鉴计算机图形学的教改成果。归纳计算科学的学科结构

传统计算机核心课程缺少一门计算机的综合运用课程，以总结并提炼计算机程序设计的基本规律与计算机仿真的基本原理。计算机图形学课程可以很好地承担这一重任。有了计算工具的概念与计算机图形学课程后，可以重新分类、归纳已知计算机的多种应用。

成熟的计算机图形学与传统计算机核心课程的教学，使计算科学理论（即计算机的系统理论和专业知识。它需回答：什么能被工具有效地进行自动计算，用什么方法研究该命题并形成哪些结论、成熟的理论与发展方向；满足何种条件的实物装置能实现计算功能，计算装置如何构造实现并使其正常运行、操作使用；可计算性的实现前提是什么，如何用该计算装置实现这种自动计算，如何保证计算结果的正确性和计算装置运行的安全稳定，该计算装置有多强大的计算能力；计算理论与计算机专业各课程的关系等）、工具（算法语言、编译系统、操作系统、计算机系统）与应用（数据存储与检索，数据计算、仿真、符号变换与推理，数据网络通信，数据获取、输出表达与控制即多媒体）3个学科形态得到完整展现。它们是形成计算机专业多个发展方向（如杀毒与网络防火墙、网络存储与查询、网页设计开发工具与网站建设、网络浏览器，即时通信、流媒体与播放器、人工智能与专家系统、计算机嵌入式应用、计算机在通信与自动控制系统中的应用等）与综合（如3D网络游戏）或研发计算机硬件（计算机系统结构与CPU设计、计算机工程）的基础。

因互联网的应用，计算机网络计算有网络理论（在通信理论的支持下，如何可靠、快速、方便、安全地实现计算机信息描述数据的通信；网络计算的理论基础与基本规则是什么，如何利用网络资源进行有效的传输与计算）、网络工具（计算机与互联网、路由器与交换机、调制解调器、Java、html语言、浏览器、Socket、遵循HLA标准的分布式实时仿真工具RTI、网络游戏引擎）与网络应用（如计算机数据通信与监管、电子商务、社交网站、网络游戏、云计算、信息技术与信息系统、物联网、大数据的应用等）。

图1显示了计算科学的学科结构。由计算机仿真的基本原理与可计算性的实现前提，可论证程序设计教学与计算机仿真教学的一致性。

故计算作为一门学科（招生专业）的根据是：①它有自己独立的研究领域。即什么能被有效地用工具进行自动计算以及可靠、安全、快速地传输？②产生专业知识的方法。科学研究与科学思维是产生（创造）多种学科新知识的主要方法，这是研究生阶段的主要学习任务。③由此形成的理论体系与其学科结构。这是本科生学习阶段应掌握的专业知识。④传授知识的法定机构与办学条件。⑤广泛的应用基础。

5 结语

数学建模基本算法范文第2篇

关键词 应用型本科教学；经管类线性代数；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）04-0133-02

线性代数是应用型本科高等院校经济和管理类专业一门重要的数学基础课，与微积分、概率论与数理统计等其他数学基础课程之间有着密切联系，并在计算机科学、自然科学、经济管理科学等领域有着广泛应用。特别是随着计算机技术的发展，用线性观点看待实际问题，并用线性代数语言描述它，然后借助计算机解决该问题，显得日益重要。线性代数的广泛应用也为这门课的教学不断注入新的活力。

目前，线性代数课程改革已取得很大进步。但大部分教材忽略了基本原理的实际意义。一般的，学生学习本门课程后，只会应付考试解题，并不了解本课程的实际应用领域以及如何应用，不利于激发对本课程的学习兴趣，不利于培养发现问题和解决问题的能力。针对经管类专业开设线性代数这门课程，其目的不是培养数学专业人才，对于经管类专业的学生来说，能够理解本课程的基本原理，较为熟练地运用数学模型、数学软件去解决部分与其专业相关的实际问题就可以了。将数学建模的思想和方法融入线性代数教学中，针对经济管理学科中的实际问题，通过线性代数方法建立模型，进行案例分析，将有利于改变这一现状，增强学生运用数学模型和数学软件解决实际问题的综合能力，同时为部分优秀学生参加数学建模竞赛奠定良好基础。

1 线性代数实践教学的实施

由于线性代数内容比较抽象，学生学习起来有一定的难度，而目前可供选用的线性代数教材大多内容偏难，“少而精”的原则并没有得到充分体现。另外，天津财经大学珠江学院作为一所以经济管理类专业为主的应用型本科院校，和其他高校相比，在学生学习水平、人才培养方向上有其特殊性，很有必要针对学生的实际学习水平认真进行教学内容的改革和实践，从而做到因材施教，让学生真正掌握线性代数的核心内容和关键概念，逐步提高教学质量，同时提高任课教师的教学水平。可以参照国内外优秀教材的编写体系，突出矩阵理论与方法在线性代数中的地位，在保证教学基本要求的前提下，适当降低理论难度，重点讲清核心的概念和关键的内容，使教学内容更加合理简洁。

课程内容主要包括行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组的线性相关性、特征值与特征向量、二次型等基本内容，其中矩阵是线性代数最基本的工具，其理论和应用是贯穿本书的一条主线。配备适量的习题，着重基本技能的训练，以配合学生理解和掌握教学内容，其中补充习题可供学有余力的学生作为课外练习。

重新调整教学大纲，适当降低行列式、矩阵以及线性方程组的运算难度 如在经济管理实际问题中都是求解一个有确定阶数的行列式，然而这些问题的具体计算都可以直接利用MATLAB等数学软件来完成。因此可以适当降低行列式计算的教学要求，只要求学生能够熟练掌握低阶行列式的计算方法就可以了。同样对于矩阵运算，矩阵和向量组的秩、求解线性方程组、求特征值和特征向量等，都可以适当降低其运算难度。这样更有利于学生领会线性代数的思想和方法。同时在教学中引入MATLAB等数学软件，让学生从繁琐的计算中解脱出来，不仅有利于调动学习兴趣，更能提高实践能力。

引入多媒体教学辅助课堂教学 针对线性代数课程在课堂教学中存在书写量大、费时、费空间的问题，教师应该采用黑板书写和多媒体教学结合的方式。对书写较多教学内容或者较复杂的应用实例，任课教师可以以多媒体的形式展示，直接利用多媒体讲解；但对于理论上的内容，如定理证明等，要求教师采取传统的板书方式进行讲解，使学生能够随着教师的讲解和板书书写过程一起思考。引入多媒体辅助线性代数课堂教学，有利于提高教学质量。

2 将数学建模思想和方法融入经济管理类线性代数教学中去

目前的线性代数教学过程都过于侧重理论，这使得学习线性代数枯燥乏味。教学内容应理论联系实际，加强实例介绍。由于现有的线性代数教材欠缺实际应用内容，因此在讲授本课程的实际应用方面时最好结合学生的专业，以便于学生了解本课程在自己所学专业领域中的应用，以提高学生的学习兴致。

数学建模是一种数学的思想方法，其本质是利用数学的原理和方法，建立能刻画并解决实际问题的一种有效的数学手段。随着计算机技术与数学软件的高速发展，为数学建模提供了非常好的发展条件，使学生利用其强大的运算功能、比较算法及分析结果，通过几何图形来帮助联想，类比和发现问题，找出规律，得到结论。开设数学建模选修课应该以渗透数学建模思想、培养学生创新思维为出发点，引导学生自主活动，在学习过程中根据实际问题构建数学建模，提高分析、解决问题的能力，真正提高数学学习兴趣。

本课程在概念和方法引入时，注意突出线性代数的应用背景，并且通过介绍一些典型的经济数学模型，如马尔科夫预测、投入产出模型、线性规划模型等，着力体现线性代数在经济管理方面的应用，并配以相关的应用练习题，力图增强学生用线性代数知识解决实际问题的意识。

在第一章“行列式”增加介绍性实例“解析几何中的行列式”，模型“曲线方程的行列式形式”；在第二章“矩阵及其运算”增加介绍性实例“飞机设计中的计算机模型”，模型“马尔科夫预测”；在第三章“矩阵的初等变换与线性方程组”增加介绍性实例“经济学与工程中的线性模型”，模型“投入产出模型”；在第四章“向量组的线性相关性”增加介绍性实例“统计分析中的线性模型”，模型“线性规划模型”；在第五章“矩阵的特征值与特征向量”增加介绍性实例“动力系统和斑点猫头鹰”，模型“莱斯利种群模型”；在第六章“二次型”增加介绍性实例“公共工作计划的制订”，模型“条件优化问题”。并制作相关讲解模型的课件。在珠江学院，编写“MATLAB数学软件在线性代数中的应用”，引入MATLAB数学软件，介绍其在线性代数中的应用，将理论推导、数值计算与计算机实现相结合，并配以相应的上机操作练习题，让学生积极参与学习过程，积极开展数学实践教学，激发学生学习线性代数的兴趣，提高教学质量。

3 结语

综上所述，将数学建模思想融入应用型本科经管类线性代数课程教学，教给学生一种新的数学思想方法，为学生架起一座从数学知识原理到解决实际问题的桥梁，使学生能够根据实际问题构建出合理的数学模型，能培养学生发现问题和解决问题的能力，使学生养成良好的设计问题、分析问题、解决问题的习惯，为其今后真正走上工作岗位奠定坚实的基础以及为社会做出一定的贡献。

参考文献

[1]姜启源，等.一项成功的高等教育改革实践：数学建模教育与竞赛活动的探索与实践[J].中国高教研究，2011（12）.

数学建模基本算法范文第3篇

关键字：复杂系统建模系统模型

中图分类号：TP27文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）02（c）-0000-00

1 引言

复杂科学这一概念在20世纪80年代就被提出，但是到目前为止，它还没有一个统一确切的定义。如美国学者霍兰认为，“适应性造就了复杂性”；国内如钱学森院士引领的“开发的复杂巨系统”的研究。虽然不同学科的学者对它的理解不同，但无可厚非的是已经有很多科学家把它誉为“21世纪的科学”。又因为复杂系统的建模方法是研究复杂系统的基础，所以研究复杂系统的建模方法就显得尤为重要了。

2 复杂系统的本质及其特点

复杂系统最本质的特征是其组成具有某种程度的智能，即具有了解其所处的环境，预测其变化，并按照预定的目标采取行动的能力。

复杂系统具有以下主要的几个特点：（1）自适应性/自组织性。系统是有时空交叠或分布的组件构成的。（2）不确定性。因为不确定性与随机性相关，与混沌相关，复杂系统是不确定的系统，通常不可能对复杂系统进行形式化的分析。复杂系统的行为表现为不可重复性，不能再现复杂系统的行为。（3）涌现性。涌现是有层次的，同时也体现了一种质变。它强调个体之间的相互关系。（4）系统规模大。系统规模是复杂系统的前提。（5）系统结构具有多样性和层次性。复杂系统的各个组成部分的多样性和差异性造成了组成部分之间相互关系的多样性和差异性。（6）预决性。复杂系统的发展趋向取决于系统的预决性，预决性是系统对未来状态的预期和实际状态限制的统一。（7）演化。其演化是从低级到高级，从简单到复杂的不断过程。（8）主动性。系统与外部环境以及子系统之间存在能量、信息或者物质的转换。

根据复杂系统的这些特点，我们可以很容易的发现，采用传统的理论方法和完全使用单一的数学动力学模型很难描述复杂系统。那么我们要解决复杂系统问题，则必须要发展和寻找与之相适应的复杂系统理论。因此，研究复杂系统的建模方法就具有重大的现实意义了。

3 复杂系统的建模方法

许多学者致力于复杂系统建模的研究，并且已经取得了许多研究成果。这些成果主要有：

神经网络有强大的学习能力与非线性表达能力。王书舟等[1]提出一种基于混沌变量的并行变尺度优化算法，根据混沌优化方法的优点，可以很容易的跳出局部极小点。黎明等[2]提出一种基于粗糙集的神经网络模型，它对数据分析采用粗糙集理论，并从数据中提取规则，从而将输入映射到输出的子空间上，用用神经网络对其进行逼近。该方法具有处理连续数据能力、神经网络训练速度提高、对系统本身有一定的认识等特点，但是它还存在各参数物理意义不明确、在数据离散化时可能产生矛盾规则等不足。李艳君等提出的一种将遗传算法和正交优化相结合来训练径向基函数（RBF）神经网络的新方法，称为GRBF算法。

模糊模型具有结构简单、参数较少、运算量低、泛化能力强等特点，其较高的结构解释性使模型就有较少的模糊规则和输入的变量个数，且模糊规则不存在容冗余和矛盾等优势。邬沛雄等[3]提出了一种改进遗传算法的模糊建模方法，该方法是在标准的T-S模糊模型基础上，通过改进的遗传算法来优化扩展的T-S模糊模型的结构和参数。该方法具有模型复杂度低、计算时速快等特点。马广福等[4]提出了基于模糊聚类和模糊神经网络的模糊建模方法。该方法先利用模糊聚类技术确定系统的模糊空间和模糊规则数，然后通过模糊神经网络来调整模型的前后件参数，给出详细的算法。李波[5]提出的基于模糊模型同径向基函数相结合的复杂系统建模方法。在确定后件结构的MTS模糊模型和径向基函数网络之间有直接对应关系，因此我们可以把前件结构确定和后件辨识分开。该方法具有精度较高、简单的特点。

毛媛等[6]提出基于元模型建模方法，把元模型技术应用到复杂系统仿真平台中进行建模，可以加速复杂系统仿真的设计、开发和实现，且获得的静态数据结果跟实现情况相差不大，即其信用度高。

李柠等[7]提出基于LPF算法的多模型建模方法。从理想建模思想出发，在大量输入输出数据中找与系统当前状态相关的数据，并用LPF算法建立一个系统局部模型，根据系统状态的变化建立多个这样的局部模型，从而实现准确的全局建模。该方法获得的具有可靠性、更强的适应性、为距离意义上的概念、算法性能强等优点，其不足之处为工作点领域和模型切换准则将直接影响模型的精度。

粗糙集理论可以有效的分析和处理各种不完备信息，李文等[8]提出的基于粗糙集理论建立模糊模型的方法，并针对模糊模型的完备化问题，提出了扩充和整定的概念，从而建立了脉冲TIG焊动态过程模型。该方法能在数据不完整，精确度不高的情况下进行比较客观和有效的提取复杂过程的模糊模型。

此外，还有肖人彬提出了基于结构建模的方法；康立山等提出一种常微分方程组的演化建模方法；马旭等提出了基于现象的复杂系统建模方法等等，在这里就不一一列举了。

4 结语

虽然复杂系统建模还处于萌芽阶段，但是我们已经取得了令人瞩目的成绩。可以发现，在未来采用两种和两种以上的方法相结合建模将成为未来发展和讲究的方向。主要是将神经网络、粗糙集理论、模糊逻辑、遗传算法、小波等其它一些兴起的方法相互渗透和结合。虽然由于目前的建模方法不成熟，使得理论和现实还存在一定的差距，对于如何建立一个精度高、准确性好、算法简单、适用性强的模型，还需要进行进一步的研究。

参考文献

[1]王书舟，伞冶.基于混沌神经网络的复杂系统建模方法研究，全球化制造高级论坛暨21世纪仿真技术研讨会论文集

[2]黎明，张化光.基于粗糙集的神经网络建模方法的研究，自动化学报，2002

[3]邬沛雄，杨善水.一种基于改进遗传算法的模糊建模方法，南京航空航天大学学报，2004

[4]马广富，王宏伟，王司.基于模糊神经网络的系统模糊建模方法，哈尔滨工业大学学报，1999

[5]李波，张世英.基于神经模糊方法的房子系统建模，信息与控制，2001

[6]毛媛，刘杰，李伯虎.基于元模型的复杂系统建模方法研究，系统仿真学报，2002

数学建模基本算法范文第4篇

关键词 建模思想 小学数学 除法竖式计算教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A

0 引言

小学属于学生形成一定的数学思维意识、初步感知数学学习魅力的关键阶段。若老师教学时，还沿用古板的教学理论、教学方式，则很难提升的学习积极性及热情。在此种情况下，建模思想在小学数学教学中起到的作用就渐渐显现出来，它应用事物规律，经简化、假设的方式，在未知量和已知量间构建相应的数学模型，可清晰地解释各种数学现象、规律，以简单、通俗的方式将一些复杂的数学知识展现给学生，便于逻辑思维能力要求强的数学知识展现出来，便于学生学习及掌握相应的数学知识。因此，深入了解建模思想在小学竖式计算教W中的应用效果，对提升小学生的学习能力起到积极作用。

1 融入建模思想，培养小学生的思考能力

建模思想在小学竖式计算教学中，可帮助学生学习数学理论知识的同时，还能使学生对数学模型有一定基本的了解，在之后的学习中也相对容易。而且，在实际教小学竖式计算教学中，老师需了解建模特点，并协调好数学理论知识点和数学模型间存在何种联系，使学生了解学习重点，同时将建模过程简化，促进学生学习。

例如，以“9？”的竖式计算为例展开讲解，方法为：第一，老师先安排4位学生尝试着在黑板上用竖式写出9+3，，9-3，9？，9？，在计算除法时，大多数学生会选择和9？相似的竖式计算9？；第二，老师肯定了学生的类推后，指导学生使用工具操作、符号操作来建构9？的数学竖式计算模型（加、减、乘、除）。老师拿出9本书，问学生若将99本书平均分给2个同学，1个可以分几本？，并把竖式中涉及的除数、被除数、除号、商写出来；第三，老师提问学生1人分得3本书，3人共有几本书？如何求解所分出的9本书？学生得出答案3？=9与竖式计算的积9。之后提问分掉9本书之后，老师还剩余几本书？学生回答0，板书9-9=0与竖式内代表“0”横线和0；第四，老师让学生试着将竖式计算过程表达出来，9除以3商3，三三得九，9减去9等于0；第五，老师让学生仔细观看除法的竖式计算过程，回想自己在黑板上写的过程，这样可使学生经实际操作后，在大脑中积累一定的操作方法，在之后的学习中，慢慢学会将操作方法和符号构建构建相应的联系，逐层深入学习“加、减、乘、除”的简单数学计算模型，这对之后学习如何构建除法竖式计算模型有很大帮助。

2 优化建模过程，提高小学生的解题能力

数学课程学习过程中，对学生思维能力、逻辑能力的要求相对高，而数学语言作为数学思维的核心工具之一，在实际学习中，若学生的数学语言表达能力相对差，则在学习中，对于数学思维的理解也会有一定的难度。这就要求在小学竖式计算教学中，老师通过有序表达，促进数学模型应用，同时优化建模过程，便于学生理解的同时，还能培养其思维能力，促进学习。

例如，小学数学老师为学生讲解“乘除法竖式计算”这部分内容时，老师可先让学生表述之前笔算学习中，构建的“加、乘、乘”、“减、乘、商”的竖式算法过程，并以“864？”这一式子为例展开如下讲解：第一，根据问题与“减、商、乘”的竖式计算模型，指导学生思考迁移，如864最高位属于什么位？（百位）；第二，根据以前学习习惯，思考先选用几个100来除以2，怎样“减、乘、商”？再运用几个10除以2，如何“减、乘、商”？而后应用几个1除以2，如何“减、乘、商”？第三，在老师和学生的互动过程中，学生会潜移默化地生成下述竖式计算方法：先使用8个100除以2，商4得4个100，运用我们学过的乘法口诀“二四得八”，而后8减8得0，后用6个十除以2，商3得3个10，运用口诀“二三得六”，而后6减6得0，最后用4个1除以2，商2，口诀“二二得四”，最后4减4得0。在以上表述过程中，让学生明白除法的计算先从高位开始算起，然后一步一步的开始往下计算，使整个建模过程变得更加简单化，通过简明的表述与简约的板书，使小学生清楚地理解并掌握一个三位数除以一个一位数的具体竖式计算方法，步骤为：第一步先用几百去除，第二部再用几十去除，第三步用几个1去除，各步骤均要进行“商、乘、减”。若被除数高位上的数字比除数小不够除，则需和十位上的数字结合起来一起去除，经过长时间学习后，可慢慢生成相应的竖式计算模型。

3 优化建模方式，简化小学数学问题

小学竖式计算教学中，利用建模思想把一些抽象的问题，变得更加简单化，这样有利于学生学习并掌握相应的解题方法。这就要求老师应在协调建模理论的同时，简化数学知识点，使小学生在学习数学知识时，学会融合数学（下转第94页）（上接第80页）建模。

例如，以某一习题为例展开讲解：“桌子上放着13颗糖果，一个盘子放6颗糖果，请问可以放几盘，还剩下几颗？”老师要学生做相应的思考如何求解以上问题，并适当提点学生该问题属于平均分问题，将13颗糖果6个6个地分，列出式子为13？。老师让学生自己来计算结果，并说出自己的想法。学生可以先思考13这个数里面包含有2个6，这样可以分出12颗糖果，还剩下1颗没有放入盘子，计算式子可列为：13？=2（盘）……1（颗）。学生通过计算以上式子，老师做仔细讲解后，可将计算方法分成以下几个步骤计算：第一，13里面包含有多少个6（所得出的结果为商）；第二，分出几个（老师可以用图表演示出来，这一步骤很关键，学生需要记住）；第三，还剩下几个（所得出的结果就是余数）。学生通过以上分析，可将复杂的问题进行分解，计算简化，可使小学生理解及体验数学竖式计算中，建模方法的优化流程，这对小学生之后学习一些复杂的运算帮助很大。

4 结语

综上阐述，在小学数学竖式计算教学中，有效利用建模思想，不仅能优化竖式计算流程，还能使一些复杂的数学计算问题变得更加简单化，具体表现在：优化建模方法，简化小学数学问题、优化建模过程，提高小学生的解题能力、融入建模思想，培养小学生的思考能力等方面。通过构建数学建模，可大大吸引小学生对数学学习积极性及兴趣的同时，还能帮助学生掌握学习重点、掌握数学计算方法，这对今后进一步提升小学生的数学解题速度、保证答案准确等方面具有重要参考意义。

参考文献

[1] 林大鹏.基于建模思想的“列方程解决实际问题”的教学与思考[J].小学教学参考，2013.14（26）：40.

数学建模基本算法范文第5篇

关键词：地基承载力；抗剪强度指标；模糊可靠度

中图分类号：TU431

文献标识码：B

文章编号：1008-0422(2008)02-00132-02

1引言

在建筑地基基础设计中，现有方法主要是利用地基容许承载力进行地基基础设计的，其所采用的地基容许承载力是根据地基极限承载力除以定值安全系数得到的，即所谓的定值安全系数法。该方法在计算极限承载力时是采用传统的定值分析模式，没有考虑各个计算参数的变异性对极限承载力的影响，即便在计算时取用安全系数来考虑包括参数变异在内所有不利因素的影响也缺乏一定的科学依据，本质上仍属于定值分析的范畴[1～2]。事实上，由于地基极限承载力影响因素的复杂性和不确定性，导致岩土参数具有随机不确定性是不可避免，所以考虑影响地基稳定性的各随机变量的变异性与模糊性，用模糊概率来度量地基承载力的安全度，并采用可靠度理论对地基稳定性进行分析则更加符合工程实际。

概率分析是针对随机事件发生的可能性而言，但事件本身的含义明确；而当事件本身具有模糊性时，对事件发生的可能性进行描述则用模糊概率分析方法[3]。就地基的稳定性而言，失稳和稳定本身就是具有一定模糊性的事件，在二者之间存在一个模糊过渡区。因此，本文将视地基失稳为一模糊概率事件，利用概率理论与模糊数学理论建立分析地基失稳的方法，并通过建立相应的隶属函数对影响参数变异性及荷载效应与模糊可靠度之间的关系作进一步的分析。

2模糊概率的基本概念及模糊可靠度

工程问题的数学模型通常可分为三种：（1）背景对象具有确定性或固定性，且对象之间又具有必然联系的确定性模型；（2）背景对象具有或然性或随机性的随机性模型；（3）背景对象及其关系均具有模糊性的模糊数学模型。工程中传统的分析方法属于确定性模型，它以定值参数及定值安全系数来衡量工程的可靠度。而工程中目前使用较多的概率分析法则属于第二类方法，即随机数学模型，其以可靠度作为工程安全的评价标准，由于考虑了参数的随机性从而比定值安全系数法合理。但是参数本身不仅具有随机性而且还具有模糊性，理想的方法应该同时反映这些性质，模糊可靠度分析则能很好的体现此特性，因此，本文采用模糊可靠度分析方法对地基极限承载力进行分析。

由模糊数学理论[4]可知，如果模糊事件A在区域X上的隶属函数为u(x)，则该模糊事件的概率[5]可表示为

式中，f(x)为X的概率密度函数。

则模糊可靠度为：

3地基失稳的模糊性及隶属函数确定

进行地基模糊可靠度分析，首先要建立地基稳定的极限状态方程。以综合随机变量表示的极限状态方程为：

(3)

式中，fu为地基的极限承载力，s为作用于基础底面的点荷载效应，等于恒载sG与活载sQ之和，即为：

(4)

地基极限承载力的计算公式较多，一般采用汉森公式[6]，可写为：

式中，Nr，Nc，Nq为承载力系数，按Vesic公式有：

按传统的非此即彼的思维方法，可知M＜0，地基失效；M＞0地基稳定。实际上地基失效是一个过程，而不是由某一个点的状态决定，是一模糊事件。若用uA表示失效程度，则当uA接近0时，表示失效的可能性很小；当uA＝0.5时，处于失效与非失效的模糊状态，可看作传统分析的极限平衡状态；当uA＝1时，失效的可能性最大，因此公式(3)中的M为随机变量，其数字特征值为：

由于M同时具有模糊性，在此设M的失效程度隶属函数uA采用降半梯型分布[7]，即

4安全系数下地基稳定的模糊可靠度计算

安全系数下地基承载力的实用设计表达式写为：

式中，sG为恒载效应均值，sQ为活载效应均值， 为c、φ均值代入式(6)所计算的结果。

考虑荷载效应比值，代入(13)可以确定sG，sQ为：

式(15)、(16)代入(9)得到：

按《建筑结构设计统一标准》的规定，恒载效应的变异系数为0.07，活载效应的变异系数取为0.29，所以有：

不考虑fu，s之间的相关性，即cov(fu，s)＝0，则由式(10)可得：

本文视几何尺寸B、D，土性指标γ，γ0为常量，仅把抗剪指标c、φ作为随机正态变量，简化假设fu，s也服从正态分布，则z近似服从正态分布，分布密度函数为

将(11)、(16)、(19)、(20)代入(1)得到地基失效的模糊概率为

地基失效的模糊可靠度为：

5算例分析

已知某条形基础，基底宽度3.5m，埋深2.5m，各随机变量均服从正态分布，其均值和变异系数如表1所示，取安全系数为2，荷载效应比值为0.5，试求地基的模糊可靠度。

5.1 将各基本随机变量代入公式（22）、（23）可以计算得到：

Pf＝23.16％,此时模糊可靠度β＝0.75。

5.2 基本随机变量对模糊可靠度的影响 为了分析不同随机变量的变异对模糊失效概率的敏感程度，特对某一随机变量的变异系数进行了单独调整，并分析计算结果的变化，见表2。

从表中结果可知c、φ值的敏感性大，而γ的敏感性小，为简化计算，γB、γD可视为常量。

5.3 荷载效应ρ与模糊可靠度的关系

表3给出了安全系数为2时荷载效应与模糊可靠度的关系，由分析结果可知，当荷载效应系数增大时，活荷载的比重相应增加，由于其变异性比恒载大，故模糊失效概率增加。

6结论

地基承载力的模糊失效概率值，不仅考虑了基本随机变量的随机变异性，同时考虑了变量及判别模式的模糊性，因此，计算分析结果更为合理、全面。通过研究分析可得如下结论：

6.1地基承载力的模糊概率分析的主要影响因素为强度参数c、φ的变异性，而γ的变异性可以不计，计算中按常量考虑；

6.2随着荷载效应系数的增大，地基承载力的模糊失效概率增加。

参考文献：

[1] 高大钊.土力学可靠性原理[M].北京: 中国建筑工业出版社，1989.

[2] 倪红，刘新宇，秦玉.土性参数概率特性对地基承载力可靠度的影响[J].理工大学学报（自然科学版），2004，5(3):67～69.

[3] 郭书祥，吕震宙.概率模型含模糊分布参数时的模糊失效概率计算方法[J].机械强度，2003，25(5): 527～529.

[4] 彭祖赠，孙韫玉.模糊(Fuzzy)数学几其应用[M].武汉:武汉大学出版社，2002，3.

[5] 吕震宙，冯元生.考虑随机模糊性时结构广义可靠度计算方法[J].固体力学学报，1997，18(1): 80～85.

[6] 熊启东，高大钊.用汉森公式确定地基承载力的可靠度分析[J].岩土工程学报，1998，20(3): 79～81.