数学建模的问题
数学建模的问题范文第1篇
1.建模教学的意义
建模教学指的是通过为了帮助学生加深对课本的理解和记忆，通过建立实物模型来阐述课本中抽象的理论。建模指的是建立课本中教学素材的模型，对课本中的素材模型化，通过实物对学生进行教学，比如说小学数学中的加减问题，教师可以使用水果或者别的可以方便进行教学的事物来进行教学，可以帮助小学学生对自己所学的事物有更直观的了解和印象。小学教学中，教师不光要将课本中的理论知识教给学生，还需要培养学生的动手能力，让学生独立建造模型就是很好的提升学生动手能力的途径，因为当学生上了小学之后，是小学生的思维就由形式转化为抽象的一个重要的阶段，是培养小学生的建模意识和建模理论的基础和奠基的过程，建模教学最主要的意义是很好的提高小学生的动手能力和对课本中知识的理解能力。
2.建模教学的模式
将建模教学融入小学数学中，要考虑到小学生对事物的认知能力和知识水平，还要遵循建模教学的基本规律。而可以将建模教学的过程分为几个部分：假设问题、精简假设、建立模型、解读模型等环节。
i.假设问题
建模教学中，教师需要根据教学内容来假设问题，假设问题必须是与小学生的生活并且符合数学教学内容方面的问题，这样才能够很好的建立小学生对建模教学的兴趣，才能够更好的帮助小学生去接纳建模教学从而更好的理解课本里的内容。
ii.精简假设
当给小学生假设问题以后，就要将这个问题转变成贴切课本内容的问题，所以要首先解答以下两个问题：对分析问题时建立的情景和将假设问题转变成课本问题，也就是根据提出问题的特征和建立模型教学的目的，简化提出的问题，把假设的问题通过小学生能够理解的数学语言描述出来，进而将假设的问题转变为数学问题。
iii.建立模型
通过构建模型让小学生能够更直观的更深入的了解问题的本质以及问题所指的内容，建模教学就是为了能够帮助学生理解和解读课本里面抽象的内容，通过实物来将课本里面学生看不到的一面展示出来。
iv.解读模型
最后通过教师来解读模型的内容来帮助学生理解模型的含义。建模教学知识教学中的一种教学形式并不能从根本上解决问题，所以教师应该向小学生解读模型代表的含义，这样才能让学生从根本上了解问题的本质。
教学中必须要以建模教育的基本理念为中心，遵循这一流程来进行教学，并在教学中融入教师自身对建模教学的理解和知识。
二、建模教学对学校教育的利弊
任何事物都有它的两面性，建模教育对于小学数学一样存在着它自身带给小学属小教育中的利与弊。
1.建模教学对小学数学的利
建模教学是直观的把课本中的教学素材通过实物的方式展现在学生的面前。在小学数学中融入建模教学能够帮助小学生更好的了解授课的内容和汲取课本中的知识，还能够很好的提高小学生的动手能力和抽象思维。建造模型让小学生能够看到课本中的文字所描述的问题，通过利用模型来教学，就能够通过建模教学来首先刺激小学生的视觉，让小学生能够直接看到课本中所描述的内容，这样就能通过视觉刺激大脑来进行记忆和提高自身的理解。其次，利用身边的小物件进行教学的时候，教师应该让小学生自己独立的动手进行建造模型，在这样的教学模式下学生既能够提高自身的基本理论知识，还能够提高自己的动手能力。
2.建模教学对小学数学的弊
数学建模的问题范文第2篇
[关键词]数学建模 计算机模拟
[中图分类号]TQ018 [文献标识码] A [文章编号] 1009 — 2234（2013）10 — 0138 — 02
数学建模教学与数学建模竞赛在全国各个高校中如火如荼的开展开来，但是随着大家对数学建模课程研究的深入，一些不可回避的问题甚至是矛盾逐渐显现出来，期中尤为突出的是下面几个。
一、数学建模的数学味道越来越淡
数学建模，无论是建模的过程还是最后得到的结果，数学味道都在淡化，其中的问题值得我们去思考。
（一）数学建模过程的数学味道在淡化
老师：“同学，你的模型最后的结果是怎么得到的啊？
学生：“用XX软件算出来的。”
上面的对话可以说在每一个学校的数模培训过程中都会上演。这使得我们不禁想问：什是数学建模呢？大家的一般观点是：“对于一个特定的现实对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学的结构”。也就是说数学建模的过程需要充分利用数学工具，但我们逐渐感到数学建模过程越来越像“计算机模拟”了。诚然，随着计算机技术的发展，一大批优秀的数学软件被开发出来，对于一些特定的问题甚至可以用计算机程序模拟数学建模的全过程。例如学生在做统计问题时，利用SPSS或是SAS软件就很快从“数据”到达了“结果”，期中的过程几乎没有用到模型的建立与数学算法技巧。甚至时下相当流行的“大数据”计算，其强调的就是劲量抛开中间环节，从“数据”到“结论”。对于这样的现象，我的观点是“计算机模拟在数学的应用层面上是十分有益的，但是过多的在数学建模的教学与竞赛中使用却是不利的，因为它极大的淡化了数学建模的‘数学味’”。建立数学模型的过程是一个“技术”的工作，也是一个“艺术”的过程，它无不体现了建模者的智慧和技巧，而在建立完数学模型后的解模过程往往也需要一些巧妙的算法。让我们试想一下，如果将这些过程全都去掉后，数学建模还剩下什么呢？我们开展数学建模竞赛的“开拓知识面，培养创造精神”目标达到了吗？
怎么办？我认为数学建模的基本过程还是应该完整的保留下来，在解模的过程中可以适当利用计算机辅助计算，这样对提高学生的数学思维，培养创新意识都十分有利。
（二）数学建模的结果的数学味道在淡化
如果完全用计数机模拟数学建模的全过程，得到的结果是难以反映研究对象的内在规律的，也是不利于模型的推广的。我们知道，有很多微分方程是没有解析解的，现在好多参加数模竞赛的同学都是用计算机软件算出了微分方程“数值解”就完了，他们根本不去思考方程是否能通过合理的假设得到一个方程的近似“解析解”。试问“一个计算机算出来的一个数值的结果和经过人们头脑分析后得到的解析形式的结果哪个更容易被推广呢？”答案显然是后者，因为它能反映研究对象的内在规律，抓住了问题的本质，甚至可以解决这一类问题。例如预测人口的“阻滞增长模型”，它除了可以预报人口以外，也可以预报某城市的汽车保有量等等。
二、数学学科的严谨性和数学建模教学的可行性的矛盾越来越突出
严谨性，是数学学科理论的基本特点之一。它要求数学概念必须严格加以定义，即使是那些最最基本的而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了用直观语言描述以外，还要求用公式加以确定。除此之外，它还要求数学的结论必须准确地表述，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，数学计算必须无可争辩。可以说，整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。
针对那些数学家提出的“数学学科的严谨性要求”，我认为在数学建模的教学中，教师在安排教学内容、讲授数模的基础知识的时候，还是应该根据数学学科的基本特点，使学生在理解、掌握、应用这些知识的时候能尽可能的满足严谨性的要求。
实际上，对于数学学科的严谨性要求，学习和讲授数学建模的学生和教师都需要有一个适应期。特别是刚刚接触数学建模的学生，由于缺少这个方面的训练，致使他们很不适应严谨性的要求。而教师呢，是否能在讲授数模课的时候很好的掌握严谨性的要求也存在疑问。
正是因为数学建模和数学建模教学对严谨性提出了极高的要求，使得它与教学的可行性的矛盾越来越突出了。严谨的东西其实是不利于教学的，因为这就像公理一样，我们只要记忆就好，还要老师教学吗，还需要发散思维干嘛？
其实，在数学建模中，严谨性和可行性是相对的。作为矛盾的双方，它们也在“对立与统一”中发展，我们可以在数模教学中体现出一种“有弹性”的严谨。这样既保证了教学的正常进行，又发展了学生的逻辑思维能力，从而达到一个相对统一的良性循环。例如，有些止步于不完全归纳的数学建模中的数量关系，不能因为他不严谨，我们就不去教学。又比如在不清楚x和y的函数关系y= f（x） 前，我们可以根据泰勒公式假设 y=ax+b ，我们不能因为假设不够严谨就不去使用它。
三、数学建模教学的抽象性与具体对象的直观性的矛盾
抽象性，数学学科的基本特点之一。数学建模是以现实世界的事物内在规律为研究对象，所以应该是非常直观的。但是，数学建模的过程又将客观对象的其他特征抛开，只是保留空间与数量关系来进行研究，所以，数学建模有十分显著地抽象性。于是，数学建模教学的抽象性与具体对象的直观性的矛盾就突显出来。
我们在进行数学建模教学时，应该把数学建模的抽象性与具体对象的直观性有机的结合起来，达到一个“平衡”。在数学建模教学过程中，老师讲授的数学建模方法对学生来说十分容易掩盖研究对象之间的具体联系。其实，那些数学方法本身并不排斥具体研究对象的直观性，恰恰相反，具体研究对象正是数学建模研究的素材。从学生的角度而言，他们的抽象思维是有局限的而且对直观的对象往往有很强的依赖。那么，我是在讲解数学建模课程时就必须以具体事例出发，切不可“凭空”讲授，例如在讲解“线性规划”时，在没有实际问题的背景下直接讲授概念和算法，会使学生觉得不好接受，学习起来步履蹒跚。也就是说，数学建模教学必须现实的研究对象入手，适时地上升为抽象的理论，然后还必须及时的把这些理论应用到更加丰富、更加广泛的具体对象上去。这样，学生就会逐渐突破其固有的抽象思维不强的局限，从而既能够适应数学建模教学的抽象性，提高抽象思维能力，又能够增强解决客观实际问题的能力。
我们在进行数学建模教学时，应该把握“理论联系实际”的原则。学了数学理论而不会用，自然是产生“数学建模的抽象性与具体对象的直观性的矛盾”的重要原因之一。我们在进行数模教学时，应该把握“理论联系实际”的原则，逐步的教会学生“把实际问题数学化，把数学理论实际化”。碰到具体问题，会利用数学建模的相关理论转化成数学关系，然后再通过计算得到结论，最后用所得结论去指导实际问题。也就是说，对于数学建模教学来说，必须通过实践这条纽带，才能使数模知识转化成实际技能，达到数学建模教学的目的。
四、实践环节弱化、不能学以致用。
这是在各个高校在数学建模教学中普遍存在的问题，是受到数学建模课程学时限制的。老师在讲解数学模型或是学生建立好数学模型后，能够在实践中检验的机会并不多，那么也就不能判定模型建立得是否合理，有没有脱离实际。数学建模是要用于实践的，所以必须遵循实践对象的内在规律。而我们培养的学生欠缺的往往就是“找寻研究对象的客观内在规律”的能力，也就是我们常说的“机理分析”的能力。比如在没有充分研究实践对象的情况下建立的“生产加工优化模型”虽然看似节省了原料，提高了产量，说不定会造成加工难度变大，劳动强度变大等问题，这些必须在实践中检验。又比如，我们如果建立了一个超市收银台的顾客排队服务模型，这个模型是建立在以往数据基础上的，是否真真正正和实际情况吻合，是否可以用于提高收银台的服务效率，这也必须用实践来检验。可惜的是这样一个实践检验的重要环节在数学建模的教学过程中能减少就减少，能弱化就弱化。究其原因，还是教学的功利心在作怪，因为学生在参加全国大学生数学建模竞赛时是不需要将建立的模型用于实践检验的。
任何一个新事物都有一个成长过程。数学建模教学对于教师和学生都有一个学习和适应的过程，由此产生的各种各样的问题，甚至是矛盾都是十分正常的。只要符合教学规律、对师生双方都有利的教学理论改革我们都应该大胆尝试，尤其是青年教师，应走在教学改革的前列。提高数学建模竞赛的质量重在提高数学建模教学的质量，而数学建模教学质量的提高依赖于对教学改革的勇于探索与实践。为提高我国数学建模竞赛水平，让我们加倍努力吧。
〔参 考 文 献〕
〔1〕姜起源，谢金星，叶俊.数学模型〔M〕.北京：高等教育出版社，2003.
数学建模的问题范文第3篇
解数学应用问题的关键是对问题原始形态的分析、联想、抽象、将实际问题转化为一个数学问题，即构建数学模型。利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是进行素质教育的一条有效途径。数学学习不仅要重视数学基础知识、基本技能、思维能力、运算能力等方面的训练，而且要重视在应用数学分析和解决实际问题的能力方面进行训练和提高，要让学生学会提出问题，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
一、构建方程模型
这类问题一般要通过列方程式或方程组求解，首先要明白题意，找出已知量和未知量，并分析各量之间的关系，在此基础上寻找相等的数量关系列出方程式或方程组。必须注意，在求得方程的解之后，要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。一要检验所求出的解是否为所列方程的解;二要检验方程是否符合应用题的题意，最终写出答案。
例1：有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校.此时，若绕道而行，需要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少分钟？
解：（1）因为36+7=19>15，所以王老师应选择绕道而行去学校.
（2）设维持秩序的时间为t分钟，则
36-（t+36-3t） =6， 解得t=3
二、构建不等式模型
现实生活中普遍存在着一些量之间的不等关系，应注意相关信息的联想、发现、探索及归纳总结，能有效的考查学生的阅读能力、探索能力和建模能力，培养学生的数学思想和实际应用能力，一般当问题中出现“未超过”、“最多”、“至少”等关键词，可考虑建立不等式的数学模型解之。
例2：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
某人1月份应缴纳税款80元，求他当月工资是多少元？
如果某单位共有50人，某月缴纳税款3080元，且每人的当月的工资都在超过800元而不超过2000元之间，求当月工资不超过1300元的职工最多可能有多少？
解：（1）设他当月工资为x元则，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）
答：他当月工资为1850元.
（2）设当月工资不超过1300元的职工为y人，则当月工资超过1300元，但未超过2000元的职工为（50-y）人，根据题意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，
所以y的最大整数解是y=23
答：当月工资不超过1300元的职工最多为23人.
三、构建函数模型
现实中普遍存在最优化问题，常可归结为函数最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决，这也是近年来中考命题的一个热点，这要求我们在教学中要切实重视最值问题的探究。
例3：某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系.
（1）求y与x的函数关系式;
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时， 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？
解：（1）设y=kx+b，x=4时，y=400;x=5时，y=320.
解之，得
y与x的函数关系式为 .
该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），
当y=380时，380=-80x+720， 得x=4.25，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少.
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620
当 x=4.5时， Wmax=1620
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。
四、构建几何图形模型
现实生活中，航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常构建几何图形，利用几何图形的性质，用方程、不等式或三角函数知识来解答。
例4：青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在 处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄 在北偏西52。方向.
（1）求B处到村庄C的距离;
（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）
（参考数据： ， ，
， ）
解：过C作 ，交AB于D.
（1） ， ，
， ，
即B处到村庄C的距离为70km.
（2）在 中，
即村庄C到该公路的距离约为55.2km.
数学建模的问题范文第4篇
数学建模中的灵敏度分析是研究和分析一个系统或模型的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性，通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响，因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的，其用途主要用于模型检验和推广，简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。
建立数学模型的五个步骤：
1、提出问题；
（来源：文章屋网 ）
数学建模的问题范文第5篇
关键词:数学模型 数学建模 问题解决
数学建模教学活动能否顺利地开展,一个重要的环节就是:教师应该对学生的能力有一个全面认识,正确评价和对待每一个学生。学生对于实际问题的解决中主要存在着一些问题,使得数学建模过程中学生很难将实际问题转化为数学模型。这里我们将学生解决实际问题的困难进行一下分析。
一、 学生解决实际问题的信心不足
同纯数学问题相比,数学实际问题的文字叙述更加语言化,更贴近生活实际,有时题目可能比较长,数量也比较多,数量关系显得分散隐蔽。因此,面对这样非形式化的材料,许多学生常感到茫然,不知从何下手,于是开始惧怕数学实际应用问题。具体表现在:
1、在信息的吸收过程中,受题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响,很多学生读不懂题目。
2、在信息的处理加工过程中,受学生自身阅读分析能力或者数学基础知识的影响,很多学生缺乏把握题目的整体数学结构的能力,无法理清各个数学对象间的复杂关系。
3、在信息的提炼过程中,受学生语言转换能力的影响,许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来,缺乏把实际问题转换为数学问题的翻译能力。
数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中的各种各样的问题,对师生来说都是一种创造性的活动,涉及到各种心理活动。心理学研究表明良好的心理素质是创造性劳动的动力因素和基本条件,它主要包括以下几个要素:自觉的创新精神;强烈的好奇心和求知欲;积极、稳定的情感;顽强的毅力;独立的个性;强烈而明确的价值观;有效的组织知识。而我们很多学生由于不具备以上良好的心理品质,表现出解决实际问题的信心不足。
二、学生对实际问题中的名词术语或背景不熟悉
在实际问题中,常常用到其他领域内的名词术语,我们现在的学生,从小到大一直生活在学校,很少与外界联系,对这些名词术语不敏感或很陌生,从而不能读懂题意。比如:实际生活中的复利率、所得税、保险金额、折扣率、零存整取等,类似这样的概念必须弄清楚,才能用数学解决问题。
例如关于“艾滋病”的检验:关于艾滋病的检验是当今世界讨论的热点话题。分析艾滋病呈阳性者真正被感染的概率是多少 ?
本题涉及到学生不太熟悉的词语有:艾滋病检验阴性,检验阳性;艾滋病感染等。学生需咨询有关医护人员,查医学资料等熟悉有关词语。
建模简介:设A(受艾滋病感染)T(检验呈阳性)A(没有受艾滋病感染)T(检验呈阴性)。
模型假设:两个检验相互独立,没有技术错误。
收集资料:在真正受艾滋病感染者中检验呈阳性的概率为:P(T|A)=99.8%在确实不受艾滋病感染者中检验呈阴性的概率为:P(A|T)=99%
以德国为例,目前真正受感染的P(A)=0.1%
建模目的:在检验结果几乎100%正确判断艾滋病的感染前提下论证呈阳性者真正受感染的概率有多大?
利用Bayes定理建立数学概率模型:
≈9%
模型结果令人惊讶,也就是说11000阳性中只有1000(9%)人真正感染。这个例子反映出只有在实际问题涉及到的名词术语和背景材料分析透彻后,在教师帮助分析理解的基础上,学生建模活动才好开展。同时近几年高考出现的应用性问题,除了经济、环保等敏感话题外,也涉及到工业、医学等冷门问题。
例如:高考数学“冷压机”一题,已知一台冷压机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有压辊的周长为1600mm,若第k对压辊有缺陷,每滚动一周在带钢压出一个疵点,在冷压机输出的带钢上,疵点的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检修,计算L1,L2,L3。
建立模型:假设轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗,且在操作过程中,两疵点间的钢板体积始终相等,故可以建立一个等体积的几何模型问题。
模型分析:我们假设第3对压辊有缺陷,求L3,因此,我们将第3对压辊剪薄后的带钢上相邻两疵点为端点的一段“截割”下来,弄清该段带钢经过第4对压辊后有何变化,这也是突破该题目的关键。
模型求解:根据等体积几何模型有:1600宽厚度=L3宽厚度(1-20%),
解得L3=2000
据统计本题得分率不高,我分析学生可能没见过冷压机,对冷压机的性能和作用也不了解,对于“轧辊”、“减薄率”、“疵点”这样的名词不熟悉,所以题目也难以下手。因此数学建模教学要求学生要不断学习各方面的知识,不断丰富自己的思维,以便于学科之交流,学科之综合。
三、 对实际问题中各种数据之间的数量关系分析不透彻
实际问题中有些数量关系不明确或比较复杂的问题,学生不知该把哪个数据作为思维的起点,感到无从下手,找不到解决问题的突破口。
例 某公司拟为一企业承包新产品研制与开发任务,但为得到合同必须参加投标。已知投标的准备费用为4万元,中标的可能性是40%,如果不中标,准备费用得不到补偿。如果中标,可采用两种方法进行研制开发:方法1成功的可能性为80%,费用为26万元;方法2成功的可能性为50%,费用为60万元,如果合同中标,但未研制开发成功,这开发公司需赔偿10万元。请你决策:(1)是否参加投标;(2)若中标了,采用哪种方法研制开发?
在此问题中,涉及到的量有:投标准备费用,中标可能性,开发成功可能性,未研制成功的赔偿等各种方案的益损值。如何正确用这些已知量去决策方案许多学生一片茫然。
四、对实际问题转化为数学模型缺乏经验
可以用作解决实际问题的数学模型的形式很多,有函数模型,数列模型,不等式模型、概率模型、简单微积分模型等。但是,当遇到一个具体问题,选择什么样的数学模型,怎样分析解决问题,是学生感到很困难的一个环节。存在这种情况的主要原因是学生存在把普通语言转化为数学语言的障碍。数学语言主要是指数学文字语言、图形语言和符号语言,这也是数学区别于其他学科的一个显著特征。数学语言简练、抽象、严谨,甚至有些晦涩,如“函数y=f(x)”,形式简单,但很抽象。而实际应用问题明显特征就是文字叙述多,生活常识多,字母符号变量多,相关制约因素多,怎样将这种普通语言转化为数学语言对于数学模型能否顺利建成非常关键。
在排列组合中就有一类分装组合问题,经常以各种形式出现在各类考试中,而这些问题往往都可以通过构造一个模型来加以解决,我们举例说明。
问题的提出:将n个相同元素分装到m个不同盒中,有多少种装法。
模型的构建:将10个球分别装入3个不同的盒中,且每盒非空(或每盒至少一个),有多少种不同装法?
模型分析:将10个小球排成一排,在其两两之间的9个空档中任取2个空档华上竖线,这样就将10个小球分成3组。如图:
――
模型求解:将每个小球顺序装入三个盒子中,这画竖线的方法就等于题中所求的装法数,共有C29=36种装法。
问题的推广:借助此模型我们可以研究更多的相关问题。例如:
1、(要求至少有n个的问题)将20本书分给4个学生,要求每个学生至少得3本,有多少种不同分发。利用模型分析得:首先每人2本,然后把剩下的12本按上述画竖线的方法分给4个学生,共有C311=45种方法。
2、集合从A到B的映射f中,求满
的映射个数。利用模型分析有:本题等价于将5个相同的小球放在3个不同的盒子中,每盒可空的方法总数 ,故有C27=21个映射。
以上几个问题在形式有很大不同,但只要学生抓住问题的主干,成功的将普通语言转化为数学语言,设计好数学模型,题目的求解就会有更新,更清晰的思路。
参考文献:
1、郑毓信。简论数学课程改革的活动化、生活化与个性化取向.数学教学,2003(7)
