数学公式范文第1篇

关键词：课堂实录；数学公式；教学策略

笔者近期听取了一节名为《三角函数诱导公式》的录像课，现以本节课为例，谈谈公式教学的策略问题. 本课由南京师范大学附属中学刘洪璐老师执教，所用教材为普通高中课程标准实验教科书（江苏教育出版社2008年出版，以下简称教材）必修4.

课堂实录分析

1. 问题情境，引入课题

片断一：

T：同学们，在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义.那么任意角三角函数值怎么去求呢？先来看问题1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT给出），请同学们思考.

T：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？？摇？摇

S2：相等. 终边相同的角计算三角函数值时都可以取终边与单位圆的交点，结果相同.

分析：进行公式教学时，应首先关注公式的来龙去脉. 所谓“来龙”不仅指对公式的推导. 笔者认为，公式存在的必要性也是“来龙”的一部分. 因此，公式的引入就显得非常重要. 本课以390°的正弦值、余弦值这个看似简单的问题激发学生对于任意角与常用角的同名三角函数值之间关系的探讨，使诱导公式的出现自然、不突兀.

2. 公式推导，方法总结

片断二：

T：非常好，这两个角的数量间有什么关系，它们角的终边间有什么关系？

S4：30°+150°= 180°，它们的终边关于y轴对称.

T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同学们思考，式子中的30°用α替换是否成立？

S5：任作一个角的终边与单位圆交于P，作终边关于y轴的对称线与单位圆的交点P′，P与P′纵坐标相同（如图2），这两个终边表示的角的正弦值相同. （教师几何画板展示）

T：很好，总结一下，刚才我们怎么得到公式的？

S8：先作单位圆，找到α与180°-α的终边与单位圆交点，它们关于y轴对称，那么横坐标互为相反数，纵坐标相同，就有了正弦值、余弦值的关系，正切可由余弦与正弦得到.

T：非常好，我们得到如下的关系转化图.

（板书）？摇 角的关系对称关系坐标关系三角函数值间的关系

下面同学们沿着这个思路，找找还有哪些角的终边与α在坐标系中有特殊的对称关系？它们的同名三角函数值有没有特殊的对应关系？

S9：（板演，作答）我研究的关于x轴对称，如果α在第一象限，关于x轴对称的角就在第四象限，可以用-α来表示，这时P′点横坐标与P点相同，纵坐标互为相反数（如图3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.

分析：三角函数的诱导公式是具有相关并列关系的公式群，相互之间结构类似，若通过死记硬背，往往容易产生混淆.

本例中通过师生合作找到了研究的共同出发点――图形中终边的对称关系. 从单位圆这一公共图形中开辟了一条相同的研究方法.学生通过自主探究，经历从数量关系到图形关系再到数量关系之间的相互转化，从而生成新的公式. 同时在公式记忆时，学生可将公式的代数映象转换为视觉映象，使抽象的数学知识形象化. 整个学习过程中，学生能主动用所掌握的知识进行师生、生生间的交流，由此学生数学学习能力与学习自信心得到增强.

3. 公式运用，深化理解

T：请同学们完成下列练习：

例1 求下列三角函数值

（2）cos（-60°）；

（3）tan（-855°）

（学生板演） ……

分析：本课练习只安排了例1.题目设置与本课的问题引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼应，使得整节课有问有答，前后呼应. 同时三个小题涉及不同情况下角的转化，对诱导公式进行了基本运用，且教师引导学生探寻不同的转化途径，题与题之间保证了统一性.

数学公式的教学策略

1. 公式引入的策略

在新公式的引入阶段，为了激发学生的意义学习，加深对所学公式的感知和理解，教师应尽力创设有利于学生集中注意、激发学习动机的情境，并以此情境为契机，促进学生调动原有知识结构与经验基础积极同化新公式.

（1）创设数学问题情境

在新公式学习之前，教师可以从与原有知识类似但原有知识无法解决的问题出发，激发学生学习的热情，促进学生温故知新. 学生若能以新旧知识的联系为桥梁，以新旧知识的区别为突破口，对新知识产生探究的渴望，那么这一情境的创设就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入诱导公式；再如由两角和与差的正余弦公式引入二倍角公式.

（2）创设生活实际情境

数学公式往往很多最初都来源于生活世界，但是当它们在教材中呈现时，这些生活面貌大多已经隐去了. 如果教师能在公式展示之前赋予这些公式生活的背景，那么学生就能从被动转为主动. 此时数学公式的外表往往也能更加亲和、容易接近，从而降低学生对于新知识的畏惧程度，消除他们对新知识的抵抗心理. 如教材必修5第39页等差数列前n项和的引入“某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？”

（3）创设实验操作情境

公式引入也可以以一些简单的、可操作的数学实验来呈现.数学知识的发现并不一定要以严密的逻辑推理或证明形式呈现. 教师可以设计与教学内容有关的、便于课堂实施的实验，以此为索引，引导学生操作、归纳、猜想新知识，再通过逻辑论证得到数学公式. 如空间几何体的表面积公式的引入，可以在学生制作纸质的常见几何体，将几何体剪开得到侧面展开图的操作过程中引导学生找到表面积公式.

（4）创设数学史情境

古今中外典籍里有很多问题的解决都与教育形态的数学知识相关，它们在历史长河中闪烁着智慧的光辉，教师有必要将这些无价之宝呈现给学生. 这一情境的创设过程可以是数学家发现新知识的契机，可以是知识发现过程中数学家所付出的努力，也可以是新知识在数学发展过程中的作用. 如等差数列求和公式的引入可以用一个学生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在学生给出答案后给出求1+4+7+…+67与求等差数列前n项和两个问题引导学生逐步深入.

2. 公式推导过程的策略

当学生通过各种情境对公式有初步朦胧认识的时候，数学公式的教学就要转向公式的推导，让学生在教师的带领下感受知识的产生、发展，主动参与新知识的构建.

（1）公式推导过程中的思维展现

教材中公式的面貌往往都是以最简洁的语言、最完善的符号来表达，而公式来源过程中那些真实存在过的观察、发现、猜想、探索、证明，以及种种尝试、种种失败都隐藏在完美结果的背后. 因此，教师在教学过程中必须要让学生感受到人的思维活动的存在，否则公式就只能是文字、符号，没有温度的堆砌.

公式教学过程中可以展现学生思考的思维活动. 每当学生展现一次思维过程，教师可通过问题系列的设计将学生带入更深层次的思考. 公式教学过程中可以展现的还有数学家的思维过程或数学教师的思维过程. 对于一些条件隐藏得较深、推导目标又所知甚少的问题，教师不妨还原教师或数学家推导公式的历程，让学生看到真实的思维过程是怎样的. 如教材选修2-2推理案例赏析中的“棱台体积的推导. 这一过程并不一定要直接指向正确的解答，而是要让学生看到教师或前人如何发现成果或如何从困境中寻找新的思路.

（2）公式推导过程中的思想方法总结

数学学习过程中蕴涵着众多的数学思想与数学方法，如数学方法中有给人们如何思考、探索、发现的逻辑思维方法，包括一般化、归纳、类比等；有较为固定的操作步骤的操作程序方法，如待定系数法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常规方法. 数学思想中有以相关数学概念为内容背景的概念型数学思想，如函数思想、方程思想、公理化思想等.

在公式的教学过程中，教师要努力让公式课成为以知识为明线，以思想为暗线的发展过程. 随着多节课在不同公式、不同知识点中反复分析、提炼、概括、反思，学生数学思想方法的习得将不再是难事，公式的教学价值也将得以充分发挥.

3. 数学公式运用的教学策略

学生在掌握了公式的来龙去脉后将进入公式运用阶段. 这一阶段教师要给学生创设由简单到复杂、由单一到多重、从抽象到实际的问题背景，促进学生对公式的理解.

（1）公式运用中呈现载体的选择

根据数学背景的不同可分为纯数学题与应用题. 公式运用的呈现载体可以是在数学知识系统内部，也可以是在实际中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一条腰BD的长”，这是一条纯数学题，给它赋予不同的实际背景便得到教材必修4第103页的数学应用题例5：“如图4，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD”.

（2）公式运用中的认知层次

数学公式范文第2篇

工程问题公式

（1）一般公式：

工效×工时=工作总量；

工作总量÷工时=工效；

工作总量÷工效=工时。

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

数学公式范文第3篇

关键词：数学概念；数学公式；歌谣口诀；通俗易懂

高中数学公式有数百个，难记易忘，概念抽象、涉及面广。有不少高中生学习数学较吃力，公式记不住，定理不会用，甚至有些学生觉得学习数学枯燥无味，对数学有一定的厌烦情绪。怎样将广泛而芜杂的教学内容变得简单化？如何在教学中突出要点、化解难点？采用怎样的方法让学生对所授知识易于理解、乐于接受、便于记忆、善于运用？如何减轻学生的学习负担、提高学生学习数学的兴趣、提高学生解决数学问题的效率？这些都是数学教学中亟待解决的问题。

根据多年的教学实践，笔者总结出一些理解数学概念和记忆数学公式的经验和方法，例如，咬文嚼字法、数形结合法、歌谣口诀法、构造图形法、巧用定义法等等，旨在对学生掌握数学知识真正有所帮助。下面一一举例说明。

一、咬文嚼字法――紧扣字眼，概念释然

（例如交并补的运算）中学数学书中的概念定义很多，如果死记硬背很容易混淆，那么如何让学生记得牢固，用得准确呢？例如，在集合的运算这一个知识点里，就讲到了集合的交集、并集和补集。交集是由各个集合的公共元素构成的集合；而并集是由给定的各个集合的所有元素组成的集合；补集则是把全集中不属于某集合的所有元素构成的集合称为该集合在全集中的补集。学生往往会把交集和并集弄混，所以在教学中我总是在讲概念时就让他们望文生义，从语文的角度去咬文嚼字。问他们“交”最容易想到的是什么意思，“并”是什么意思，“补”又是什么意思？他们都异口同声地回答出“交”容易想到相交、交往；“并”想到合并、并且；“补”想到补充、互补。而这些语文的释义刚好贴近集合的“交并补”这三个运算的概念，所以我就教学生用生活实例去理解“相交”是因为两个朋友有共同的兴趣和爱好，所以就交往，重点是共同、相同的元素；“合并”这个字眼学生很容易理解，就是合起来，并起来；“互补”这个字眼也不难理解，因为不同所以才互为补充。所以通过望文生义，咬文嚼字，学生很快对交并补运算的概念完全理解并掌握了，而且集合运算练习的准确率非常高，几乎没有出错的（实例省略）。

二、数形结合法――画出图形，结论便知

（例如一元二次不等式的解法）在教学中关键是要引导学生将一元二次不等式ax2+bx+c>0（或0的情况，反之下方的函数图象代表不等式ax2+bx+c0）就看x轴上方的图象，其解则为上方图象所对应的x的范围；反之小于号则看下方的图象，其解为下方图象所对应的x的范围；同时还可根据图象总结出几句口诀来写出一元二次不等式的解：（当a>0时）大于取两边，小于取中间。此口诀便是将数形结合起来，利用几何图形分析代数问题的直接体现，理解问题的实质以后，画出图形，结论一看便知。

从图象上来观察，结论一目了然，非常简洁直观（实例省略）。所以数形结合起来分析解决数学问题，往往简洁明了，事半功倍。

三、相互对比法――此起彼伏，形同陌路

（例如指数函数和对数函数的单调性问题）中学数学中有很多大小的比较问题，例如，指数和对数中就经常出现。对于指数函数的单调性，主要是由底数a确定。底数a>1，则为增函数；底数0

这个知识点学生往往容易忘记，所以这里一般要求学生通过函数的图象来归纳和记忆函数的性质。这两个指数函数的底数不同，函数图形也截然不同，两者此起彼伏，形同陌路，函数的单调性也是针锋（增减）相对，狭路相逢，所以刚好可以利用强烈的视觉反差对比来加强记忆。而对数函数虽与指数函数互为反函数，但其底数与指数函数是相同的，所以在单调性这个问题上是一致的（图形略），这样可以通过图形的相互对此，将指数函数与对数函数的单调性知识同时记住，一举两得。

四、歌谣口诀法――朗朗上口，值得拥有

从图上一下就能看出来，只要学生会在坐标轴上取四个单位点，那其轴上的三个三角函数值全部可以马上得出，而且绝对不会混淆。这样可以方便地做到轴上取点，点到即出。学生通过亲身体验后无不觉得方便实用，感觉终于可以从枯燥的死记硬背中解脱出来，轻松很多。

六、构造图形法――外加口诀，牢记不忘

（等差数列的求和问题）中学数学中数列的求和问题非常有意思，对思维的锻炼非常好，但中职学生的特点是爱动但不喜欢逻辑推理，于是我往往在教学中给学生讲解完公式的推导过程以后，重点教学生用方法去记住公式和运用公式，例如等差数列的求和问题，Sn=，我建构植树问题，将数列中的各项数用树来代表，构造出图形（梯形），并将图形颠倒后与原图形拼接在一起，让学生理解等差数列的求和过程如果采用逆序相加，可以方便地解决高斯首尾配对方法中如果是奇数项的话中间一个数无法配对的问题，逆序拼接后每列树都是一样多，恰好构成矩形，其面积=长×宽，非常容易计算，如图3所示：

只是要注意逆序拼接后的图形面积扩大了一倍，所以最后的和应该取其一半（另一个求和公式的图形拼接记忆法此处省略）。这时只需要将梯形的面积公式让学生背出来，没有学生不会背的，他们往往朗朗上口，Sn=S梯形=（上底+下底）×高÷2，运用公式计算也是得心应手，很方便地解决了学生不愿意推理的问题，而且借用梯形面积公式记忆等差数列的求和公式，学生记忆深刻，牢记不忘。

七、计算推理法――动动笔头，一生不丢

（例如常用特殊角如30°、45°、60°的三角函数值）在中学数学三角函数中经常会用到这些特殊锐角的三角函数值，如求三角形的面积，诱导公式的化简等问题。有的学生总是记不住，有的记住了，却是张冠李戴，经常混淆。在这个问题上，我常常教学生画出几种直角三角形的图形，利用其边角关系通过计算，动动笔头，轻松解决，如图4所示：

总之，在中学数学的教和学中，只要我们能够善于思考、勤于总结、乐于变通、勇于创新，相信我们能化枯燥乏味为神奇，感受到数学世界里不仅有图形美，还有方法诀，不仅有思维新颖，还有不少独到的小窍门，即使是言简意赅的几句歌谣口诀都可以在朗朗上口的同时起到提纲挈领的良好效果，最重要的是能够让学生从众多复杂冗长的公式和概念中真正地解脱出来，简单好记，轻松应对，学以致用，事半功倍，这应该是数学教学工作者长期坚持努力的一个方向。

数学公式范文第4篇

【关键词】高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f'（a），则相应的切线方程就是y-b=f'（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R，f'（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），设f'（x）=0，得到x=±2，当，x>2或x

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1，0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f（x）=x3-3x+1的单调区间

解：当f（x）=x3-3x+1，可以得出f'（x）=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f（x）有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

【参考文献】

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现―案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

[4]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].教学参谋（解法探究），2014（02）

数学公式范文第5篇

高考数学指数函数对数函数公式

(1)定义域、值域

指数函数

应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还叫做欧拉数。

一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R);

定义域：x∈R，指代一切实数(-∞，+∞)，就是R;

值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。

对数函数

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

(2)单调性

对于任意x1，x2∈D

若x1

若x1f(x2)，称f(x)在D上是减函数

(3)奇偶性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数

(4)周期性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂

正分数指数幂的意义是

负分数指数幂的意义是

(2)对数的性质和运算法则

loga(MN)=logaM+logaN

logaMn=nlogaM(n∈R)

指数函数 对数函数

(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数

(2)x∈R，y>0

图象经过(0，1)

a>1时，x>0，y>1;x<0，0< p="">

a> 1时，y=ax是增函数

(2)x>0，y∈R

图象经过(1，0)

a>1时，x>1，y>0;0

a>1时，y=logax是增函数

指数方程和对数方程

基本型

logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

同底型

logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

换元型 f(ax)=0或f (logax)=0

 

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