高等数学教学中融入数学建模思想初探(免费论文)

【摘要】在高科技发展的今天,数学直接发挥着第一生产力的作用,高等数学是工科学生的必修课。数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型。在高等数学教学中融入数学建模思想是搞好高等数学教学,充分发挥数学重要作用的有效手段和途径。

【关键词】高等数学;融入;数学建模

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。数学以抽象的形式,追求高度精确、可靠的知识。抽象并非数学独有的特性,但数学的抽象却是最为典型的,数学的抽象舍弃了事物的其他方面而仅仅保留某种关系或结构,同时,数学的概念和方法也是抽象的。数学是在对宇宙世界和人类社会的探索中追求最大限度的一般性模式,特别是一般性算法的倾向。这种追求使数学具有广泛的适用性。同一组偏微分程,在流体力学中用来描写流体动态,在弹性科学实验中用来描写振动方程,在声学中用来描写声音传播等等。数学作为一种创造性活动,具有艺术的特征,具有优美性。英国数学家和哲学家罗素对数学的优美性曾有过一段精辟的话“:数学不仅拥有真理,而且拥有至高无尚的美,是一种冷峻严肃的美,就像是一种雕塑。这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰,它可以纯洁到崇高的程度,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。”最近几十年来,由于计算机技术的高速发展,数学的地位更是发生了巨大的变化。科学的本质是数学,现代科学的一个重要特征就是数学化,高技术在本质上就是数学技术,现代数学已不再仅仅是其他科学的基础,而是直接发挥着第一生产力的作用。

一、当前工科数学教学的现状

作为一门基础课,高等数学是理工科学生的必修课。高等数学教学,就其内容而言是比较完备与定型的。高等数学是以讨论函数微积分为主要内容的一门学科,主要内容是函数、极限、连续、导数、微分、积分、向量代数与空间解析几何、微分方程等。这些内容不仅是工科各专业课的理论基础及数学表达语言和工具也是学生从基础教育思想向高等教育思想的过渡。高等数学教学不仅仅是一门知识的传授和学习现代自然科学的工具,更主要的是以此作为提高学生的素质素养以及培养学生分析问题、逻辑思维和创新能力的一种手段和途径,这已是大多数教育工作者的共识。它是从有限的、形象的思维形式向无限的思维形式过渡的一门承上启下的基础理论课程。但是,过分强调这一点,导致在数学计划中加入越来越多和越来越细的内容。通常是,老的内容不减,新的内容又必须插入,学生的负担越来越重。不少学生带着数学到底有什么用的困惑,在沉重的学习负担下感到数学难懂又枯燥,学习兴趣日下。一部分学生上课不听,作业照抄,考试临时抱佛脚。考试抑或没通过,即使侥幸通过,也是学得快忘得更快。虽然有的学生严格按照老师的要求好好学习了,考试也许得了满分,但一旦碰到以数学为工具解决各种实际问题时,也会束手无策,不知从哪儿下手怎样搞好高等数学教学,充分发挥数学在各科和实际生活中解决实际问题的重要作用,这是值得我们探讨的问题。

二、数学建模在高等数学教学中的重要作用

数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,即数学建模。数学建模是指对现实世界的一些特定对象,为了某特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。一般来说数学建模过程可用

从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予了更为重要的意义。

大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办,竞赛以三名学生组成一个队,赛前有指导教师培训。赛题来源于实际问题。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文,包括:问题的适当阐述;合理的假设;模型的分析、建立、求解、验证;结果的分析;模型优缺点讨论等。

数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法,通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力;用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力;应用计算机及相应数学软件的能力;独立查找文献,自学的能力,组织、协调、管理的能力;创造力、想象力、联想力和洞察力。他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志,培养自律、团结的优秀品质,培养正确的数学观。这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注,逐渐有其他国家的高校参加。我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。1994年数学建模竞赛被正式列为国内大学生四大赛事之一,我校从95年就组队参加全国大学生数学建模竞赛,也取得了较满意的成绩。

通过多年全国大学生数学建模竞赛的实践表明,数学建模对培养学生观察力、想象力、逻辑思维能力以及分析、解决实际问题的能力起到了很大的作用,但是限于竞赛的规模及对参赛水平的要求,参与数学建模竞赛的只是少部分学生。尽管许多院校每年也为学生开设数学建模选修课及数学建模培训班,但课程对学生数学知识要求较高,因此这些课程并不适合大众化教育。要全面提高大学生的素质,培养有创新精神的复合型应用人才,责任应该落在平时的传统数学课程,则高等数学就是一个非常理想的载体。

三、在高等数学教学中融入数学建模思想、培养学生解决实际问题的能力

中国科学院院士李大潜指出“:数学的教学不能和其他科学和整个外部世界隔离开来,只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子,这不利于了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉,不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题,不利于提高学生的数学素养。在开设和改进数学建模课程的基础上,逐步将数学建模的精神、内涵和方法有机地体现到一些重要的数学课程中去,并在条件成熟时最终取消专门开设的数学建模类课程,或将其变为课外训练的辅助环节,应该是一个努力的方向。”数学建模的思想和方法对于学生的创造性思维、意识和能力具有特殊的意义和良好的效果。在高数教学中浸透数学建模的思想,我们必须把握两个原则:一是教学过程必须因材施教,合理安排,以高数教学为主,建模过程为辅,以保证高数课教学任务的完成。二是教学过程以介绍建模的思想、方法为主,提高建模能力为辅,故所选建模例子不宜过于复杂。

高等数学的微积分概念是现代数学的精髓之一事实上,在高等数学的微积分概念的形成中本身就渗透着数学建模思想,因此在数学概念的引入时,融入数学建模过程是完全可行的。为了在概念的引入中展现数学建模,首先必须提出具有实际背景的引例。下面我们就以高等数学中导数这一概念为例加以说明。

(一)、引例

模型I:变速直线运动的瞬时速度

1、提出问题:设有一物体在作变速运动,如何求它在任一时刻的瞬时速度?

2、建立模型:

分析:我们原来只学过求匀速运动在某一时刻的速度公式:S=vt那么,对于变速问题,我们该如何解决呢?师生讨论:由于变速运动的速度通常是连续变化的,所以当时间变化很小时,可以近似当匀速运动来对待。假设:设一物体作变速直线运动,以它的运动直线为数轴,则在物体的运动过程中,对于每一时刻t,物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标S表示,即S与t之间存在函数关系:s=s(t)。称其为位移函数。设在to时刻物体的位置为S=s(t0)。当在t0时刻,给时间增加了△t,物体的位置变为S=(t0+△t):此时位移改变了△S=S(t0+△t)-S(t0)。于是,物体在t0到t0+△t这段时间内的平均速度为:v=△

S

△t当

△t很小时,v可作为物体在t0时刻瞬时速度的近似值。且当△t越小,v就越接近物体在t0时刻的瞬时速度v,即vt0=lim

△t→0

△S

△t[

(1)式];

(1)即为己知物体运动的位移函数s=s(t),求物体运动到任一时刻to时的瞬时速度的数学模型。模型II:非恒定电流的电流强度。己知从0到t这段时间流过导体横截面的电量为Q=Q(t),求在t0时刻通过导体的电流强度?通过对此模型的分析,同学们发现建立模型II的方法步骤与模型I完全相同,从而采用与模型I类似的方法,建立的数

学模型为:It0=lim

△t→0

△Q

△t。

要求解这两个模型,对于简单的函数还容易计算,但对于复杂的函数,求极限很难求出。为了求解这两个模型,我们抛开它们的实际意义单从数学结构上看,却具有完全相同的形式,可归结为同一个数学模型,即求函数改变量与自变量改变量比值,当自变量改变量趋近于零时的极限值。在自然科学和经济活动中也有很多问题也可归结为这样的数学模型,为此,我们把这种形式的极限定义为函数的导数。

(二)、导数的概念

定义:设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义,

当自变量x在x0处有增量△x时,函数有相应的增量

△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果当△x→0时△

y

△x的

极限存在,

这个极限值就叫做函数y=f(x)在x0点的导数。即函数

y=f(x)在点x0处可导,记作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=lim

△t→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x。

有了导数的定义,前面两个问题可以重述为:(1)变速直线运动在时刻to的瞬时速度,就是位移函数S=S(t)在to处对时间t的导数。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定电流在时刻t0的电流强度,是电量函数Q=Q(t)在t0处对时间t的导数。即It0=Q′(t0)。如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,称y=f(x)在区间(a,b)内可导。这时,对于(a,b)中的每一个确定的x值,对应着一个确定的导数值f′(x),这样就确定了一个新的函数,此函数称为函数y=f(x)的导函数,记作y′或f′(x),导函数简称导数。显然,y=f(x)在x0处的导数f′(x0),就是导函数f′(x)在点x0处的函数值。由导函数的定义,我们可以推导出一系列的求导公式,求导法则。(略)有了求导公式,求导法则后,我们再反回去求解前面的模型就容易得多。现在我们就反回去接着前面模型I的建模步骤。

3、求解模型:我们就以自由落体运动为例来求解

设它的位移函数为S=1

2g

t2,求它在2秒末的瞬时速

度?由导数定义可知:v(2)=S′(2)=1

2*

2gt|t=2=2g。

4、模型检验:上面所求结果与高中物理上所求得的结果一致。从而验证了前面所建立模型的正确性。

5、模型的推广:前面两个模型的实质,就是函数在某点的瞬时变化率(这也是函数导数的实质)。由此可以推广为:求函数在某一点的变化率问题(如切线的的斜率、边际成本、细杆的线密度、化学反应速度等)都可以直接用导数来解,而不须象前面那样重复建立模型。除了在概念教学中可以浸透数学建模的思想和方法外还可以在习题教学中浸透这种思想和方法。在这里就不一一列举。

综上所述,在高数教学中浸透数学建模的思想方法,一是可以使学生了解数学建模的基本思想,初步掌握从实际问题中提炼数学内涵的方法,并使用数学技巧加以解决;二是作为对传统意义上数学教学的补充可以提高学生学习数学的兴趣,活跃课堂气氛,培养学生的创新意识,也能检验学生的知识结构和综合运用能力。三是可以使学生把数学知识同专业知识相结合提高其解决实际问题的能力。充分发挥数学是一切自然学科基础的重要作用。

【参考文献】

[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]严勇,夏龄.数学建模教学与能力培养初探[J].康定师专学报,2003(增刊).

[3]刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模[M].北京:北京师范大学出版社.1998.