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数学思想方法的应用

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数学思想方法的应用

数学思想方法的应用范文第1篇

关键词:数学思想;教学方法;划归;分类

应用高等数学的思想指的是在解决数学问题的过程中,提出有见地的数学观点,运用数学知识解决生活中的问题。数学思想方法应用主要是指通过科学的方法使学生能够利用数学中的思维方式解决问题,以体现数学的科学性,通过良好的数学思维方式选择比较明确的数学思维方法,从而更好地进行数学学习。高数的学习方法是通过科学的思维方式对数学进行认识和改造的方法。数学教育方法主要是关于数学的发展规律、数学教育的思想以及数学方面等思想方法。掌握数学的思想不仅能够加深对高等数学的认识,还能够提高应用数学中各种思想方法的水平。本文就高等数学中的转化归纳法和分类法进行了讨论,具体分析了这两种方法在日常数学学习中的应用,希望能够对日后的数学教育工作有所帮助。

一、化归的思想方法

高等数学中一个非常重要的思想就是转化和归纳,简称为化归,这种方法是高数学习中一种比较常用的方法,其基本思想是人们在解决数学问题的过程中将较难或者比较陌生的问题转化为另一个比较熟悉或者比较简单的问题,通过后者固定的或者已有的解决模式来为前者提供解决办法,解决这类问题的核心思想就是将未知的向已知的问题进行转化,将复杂的问题向简单的问题转化,就是新知识转化为旧知识的过程。生活中的大部分问题都可以利用数学进行解决,这当中一方面是命题之间的互相转化,另一方面是强调问题之间、实物和数学之间的联系。要通过逻辑的归纳,善于将日常生活中的实物进行数字化,按照数学内部的逻辑联系,讨论问题和结论之间的关系,这就为解决新问题提供了更多的途径,通过化归的思维方法来做到基础问题解决方法的积累,然后通过这些知识的积累完成更多更复杂的问题。

如高数中的导数,首先需要理解初等函数的求导问题,在进行学习开始之前要以导数的基本公式和四则运算的学习作为基础,然后进行复合导数求导的教学。这就是利用基础函数求导和基本法则为基础为复合函数做铺垫的化归教学方法。要在高数学习中熟练地运用化归方法就要做好对传统知识点的积累,同时要把握好各种传统知识点之间的联系,通过这些联系做好新旧知识的转化。

二、分类的思想方法

高等数学中运用分类进行学习的方法就比较基础了,这种学习方法是根据高数的各种元素在学习生活中的运用范围和使用特点进行分类的思维方法。在进行高数教学的过程中,分类方法的运用十分广泛,可以通过帮助学生理顺各个知识点之间的联系,学习各个知识要点,使学生能够清晰地认识到各种概念和问题存在的异同点。这种学习方法比较注重理性思维方式,能够将整个知识进行条理化和系统化的划分,促进知识结构的优化,对学生巩固高数知识、深化理解概念和例题以及对后续学习复习都具有非常好的指导作用。对于日常学习能力较差的学生来说,学习高等数学具有一定难度,高数中如分部积分的不定积分的方法是一个比较难的问题,不仅要选择具有代表性的函数,同时还要对原函数进行有针对性的划分,这样选对了分类就容易解决了,否则在不进行分类的情况下,每一道例题都是一个新的问题,这就无法运用积累的方式进行学习,必然会造成学习效率的低下。当然,在做好分类工作的前提下要做好积累工作,在信息积累达到一定程度之后就要做好根据特点的筛选工作,之后再根据筛选出的特点进行细致的分类。

举例来说,很多学生在进行不定积分的学习过程中没有进行合理的划分,在做题之前首先要对问题进行划分,根据实际问题的特点将问题归结到分部积分,然后再根据以往出现的几种分部积分的问题,判断该问题属于哪类问题。学生在进行这部分内容学习的过程中往往会出现代替函数选择的错误,从而导致不定积分无法顺利得到解决。因此要通过分类的方法理清不定积分的特点和类型,在划分问题的基础上确定好类型的划分,然后再进行问题的实际解决。

综上所述,在高等数学的教学过程中,对于学生的独立思考能力和思维创新能力的培养是一项比较系统的工作。这不仅是教育的目的,同时也是一个长期的过程。这就需要教育工作者不断实践,共同探索出数学改革的方案,在日常教学交流的过程中开展创新性人才的综合性培训,为我国培养更多高素质的数学人才。

参考文献:

数学思想方法的应用范文第2篇

关键词:数学思想方法;教学

数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学教学的实践活动。数学方法,是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们合称为数学思想方法。在初中阶段对学生进行数学思想方法教育是培养和提高学生素质的有效方法。并且,在《全日制义务教育数学课程标准》(修改稿)中明确指出:“义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位,要着眼于学生整体素质的提高,促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要适应学生未来生活、工作和学习的需要,使学生掌握必需的数学基础知识与基本技能,发展学生抽象思维和推理能力,培养学生应用意识创新意识,并使学生在情感、态度与价值等方面都得到发展。”所以,在初中阶段对学生进行数学思想方法教育是十分重要的。

在初中阶段,数学思想方法主要有:函数与方程思想、字母表示数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。笔者认为要使数学思想方法在教学中有效的应用,应该注意以下几点:

第一,教师要整体把握初中阶段的数学教材,要对初中数学教材进行数学思想方法的研究。教师作为知识的传授者要对教材进行整体的分析和研究,理清教材的体系和整体脉络,统揽教材全局,站在一定高度对教材的知识点、知识之间的连接等进行归纳,揭示其内在联系和一般规律。

第二,以数学知识为载体,将数学思想方法融入教学内容之中。在数学教学的过程中,时刻都在体现着数学思想方法。如:转化思想。在七年级数学中的一些重要章节中就体现得十分明显。在《整式》这一章中,有很多知识点都体现了转化思想。例如,已知x+y=-2,xy=3,求代数式(x+xy)-[(xy-2y)-x] -(-xy)的值。

解:原式 =x+xy-(xy-2y-x)+xy=x+xy-xy+2y+x+xy=2x+2y+xy=2(x+y)+xy

当x+y=-2,xy=3时,2(x+y)+xy=-1

除了在代数中体现外,在几何学习中也体现突出。例如在《三角形》这一章中,已知∠A-∠B=20°,∠A+∠C=70°,求∠C的度数。这种类型题十分常见,在讲解的过程中教师要注意通过题目对学生灌输转化的思想。

第三,对于重要或者较难掌握的数学思想方法,在教学过程中要反复讲解、渗透,使学生逐步积累,以求达到掌握。例如,用字母表示数的思想方法,它是基本的数学思想之一。初中开始的代数就是建立在字母表示数的基础上的。所以,教学中能否很好地渗透这一思想、应用这一方法,是使学生能否学好代数的关键之一。但是,从笔者自身的教学中发现,学生普遍觉得用字母表示数很难。例如:某商场1月份的销售额为m万元,2月份比1月份的2倍多4万元,3月份是2月份的3倍少7万元,求该商场第一季度的销售额?一道简单的数学题只要将数字换成字母,原本会做的题目就变为一道不知如何下手的难题。当然,从数到字母的过渡,是由特殊到一般,由具体到抽象的飞跃,这种飞跃,学生不可能一下子就能形成,需要一个较长的过程。要完成一个形象思维到抽象思维的过渡需要由浅入深,逐步形成。教学是个循序渐进的过程,以这道题为例,在教学中应该将这道题分成几道小题来讲解:①某商场1月份的销售额为m万元,2月份比1月份的2倍多4万元,求2月份的销售额?②2月份的销售额为(2m+4)万元,3月份是2月份的3倍少7万元,求3月份的销售额?③某商场1月份的销售额为m万元,2月份的销售额为(2m+4)万元,3月份的销售额为[3(2m+4)-7]万元,求这三个月销售额的总和?这样分解之后,学生的正确率大大提高了,并且十分有利于学生对字母表示数这一重要数学思想方法的掌握和理解。

参考文献:

[1]曾祥伟.浅谈初中数学思想方法教学(J).教育理论,2009.4

[2]全日制义务教育数学课程标准(修改稿),2007.4,p4

数学思想方法的应用范文第3篇

摘 要: 数学思想方法是培养学生数学素养的有效途径,将教学思想方法应用于教学,能有效增强教学效果。

关键词: 数学思想方法 数学教学 应用

一、数学思想方法教学的心理学意义

从心理发展规律看,进行数学思想方法的教学是发展青少年思维的重要途径。高中学生的思维是辩证思维的形成阶段。而所谓思想方法,就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动产生的结果,所谓数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中,经过思维活动产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。从学习的认知结构理论来看,数学学习过程是一个数学认知结构发展变化的过程,在数学认知结构中,存在数学基础知识、数学思想方法、心理成分三种主要因素。这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的,而同化与顺应必须在数学思想方法的指导下进行。

二、对数学思想方法的认识

1.数学思想。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识。它是指导学习数学、解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则,具有导向性、统摄性、迁移性。

2.数学方法。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。

3.数学思想方法。数学思想与数学方法既有差异性,又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。数学思想是数学方法的灵魂,指导方法的运用,它们有时是等同的,没有明确界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系,我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。

4.数学思想方法教学。因为数学教学内容始终反映显形的数学知识和隐形的数学知识两方面。所以,在教学中,我们不仅应当注意显形的数学知识的传授,还应当注意数学思想方法的训练和培养。加强数学思想方法教学,必然对提高数学教学质量起到积极作用。

三、提高数学思想方法教学的意识性

对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍问题。主要表现在以下几方面:制定教学目的时,关于具体知识、技能训练的教学要求不明确,忽视数学思想方法的教学要求;教学时,注重知识的结论,削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等,致使数学教学停留在较低层次上。教师要进行并加强数学思想方法教学,就要有意识地在教学各个环节中体现出来。

四、数学思想方法教学的原则

进行数学思想方法的教学必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则,揭示渗透与浅显结合。数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等(或称表层知识)及其内容所反映出的数学思想和方法(或称深层知识)组成的。在教材中,除个别思想方法外,大量的较高层次的思想方法是蕴含在表层知识之中的,处于潜形态。教师应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。这样才能根据学生实际,采取适当措施体现思想方法教学,反复系统与螺旋推进相结合。

五、把握数学思想方法教学的途径

在进行数学思想方法教学的各种途径探讨中,表层知识的发生过程实际上是思想方法的发生过程。如下几条重要途径值得我们把握。“展开概念”,概念是思维的细胞,是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,需依据数学思想方法的指导。因而概念教学应当完整地体现这一过程,引导学生揭示隐藏在概念之中的思维内核。“延迟判断”,不要过早地下结论,教学中要引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式,以及结论的探索、发现、推导过程,弄清每个结论的因果关系,最后引导学生归纳得出结论。“激活推理”,不要呆板地找关联,要使已有判断上下贯通,前后迁移,左右逢源,尽可能从已有判断生发众多思维触角,促进思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出新的判断、思维结果。

数学思想方法只有在反复运用中,才能得到巩固与深化。

六、中学数学中的主要思想方法的简单应用

中学数学中的主要思想有以下几种:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和化归与转化思想。

1.函数与方程思想:就是用函数的观点、方法研究问题,将非函数问题转化为函数问题,通过对函数的研究,解决问题。在中学数学中,方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解;几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。

2.数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总围绕着数与形。数量关系决定了几何图形的性质,几何图形又反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系,以“形”直观地表达数,以“数”精确地研究形。华罗庚曾说:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想,由形思数,由数想形,利用图形的直观诱发直觉。

3.分类讨论思想:就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,使所学知识条理化。

4.化归与转化思想:在教学研究中,使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中,就是将原问题进行变形,使之转化为我们熟悉的或已解决的或易于解决的问题,就这一点来说,解题过程是不断转化的过程。

参考文献:

[1]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学,1997(9).

[2]王光明,张文贵.中学数学思想方法及其教学[J].数学教学研究,1997(1).

数学思想方法的应用范文第4篇

关键词:数学;思想方法;高中;应用

中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2015)08-264-01

数学思想、数学方法很多,这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种:函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨,让学生从中体会四种基本数学思想方法在解题中的重要作用。

函数思想就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图象和性质去分析问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决的思想。

方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型―方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想。

1、函数与方程的思想

函数与方程的思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一,在高考中有非常重要的地位。数学中很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持,很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决,即函数与方程可相互转化。

下面来看这样一道例题:

例1:和 的定义域都是非零实数集,是偶函数,是奇函数,且求的取值范围。

分析:已知两个函数的和,求商,好象从未见过。我们不能只看符号,不注重文字,其实这一题的关键在于“是偶函数,是奇函数”,于是就有,又有再把换成。这时不能再把 当函数解析式来看了,知道了+,-就可以把它们当成两个未知数,只需去解一个二元一次方程组问题就解决了。

由于函数在高中数学中的举足轻重的地位,因而函数与方程的思想一直是高考要考察的重点,它在解析几何、立体几何、数列等知识中都有广泛应用。

2、数形结合的思想

数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过图形的描述,代数论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数学是研究数量关系和空间形式的科学,数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来,能够使抽象的数学知识形象化,把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形,在具体的几何图形中寻找数量之间的联系,由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。

看一道数形结合的例题:

例2:已知关于x 的方程=px,有4个不同的实根,求实数p的取值范围。

分析:设y = = 与y=px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像

(1)直线y= px与y=-(x-4x+3),x[1,3]相切时原方程有3个根。

(2)y=px与x轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y=px应介于这两者之间,由:得x+(p -4)x+3=0,再由=0得,p=4±2,当p=4+2时, x=-[1,3]舍去, 所以实数p的取值范围是0

在数学中只要我们注意运用数形结合思想,既可增加同学们对数学的兴趣,同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力,也是提高数学素质不可缺少的因素之一。

3、转化与化归的思想

转化与化归思想是通过某种转化过程,把待解决的问题或未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要思想方法。通过不断转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。

转化与化归的思想贯穿于整个数学中,掌握这一思想方法,学会用转化与化归的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义

看一个简单的例子:

例3:求函数的最值

分析:若平方、移项等,你会发现这些尝试都是徒劳无功的。我们注意到:可以把换成什么?有了,也是在上的!

从某种意义上讲,解答每一道题都是通过探索而找到解题思路,通过转化达到解题目的。转化时,一般是把一个领域内的问题转化为另一个领域内的问题;把实际问题转化为数学模型;把陌生繁复的问题转化为熟悉,简单的问题等。

4、分类讨论的思想

所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思想”。

分类讨论时,必须遵循两个原则:(1)对存在总域的各个子域分类做到“既不重复,又不遗漏”;(2)每次分类必须按同一标准进行。数学分类思想的关键在于正确选择分类标准,要找到适当的分类标准,就必须运用辨证的逻辑思维,就必须对具体事物具体分析,在表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点,在表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点。这样才能揭示数学对象之间的内在规律,对数学对象进行有意义的分类。

分类讨论难免会有点繁琐,看似一道题,却相当于几道题的工作量。但当目标不明确时,分类讨论就是开门钥匙了!

数学思想方法的应用范文第5篇

关键词: 初中数学 分类讨论 应用

我们在研究数学问题时,由于受到各种限制条件的制约和变化因素的影响,往往是根据数学本质属性的相同点和不同点将其分成不同种类进行讨论,这就是数学分类思想方法。这种思想方法在初中数学中得到广泛应用。它不仅是解决数学问题的一种策略,还是训练学生思维方法培养思维能力的重要手段。那么,如何才能使学生形成分类讨论的数学思想呢?下面我结合自己多年的学习心得和经验教训谈谈这个问题。

一、提高一种认识

初中数学的分类思想最初见于有理数的引入,并在以后各章节内容中不断加强。如绝对值性质的讨论,二次根式的化简,一元二次方程根的讨论,三角形、四边形的分类,点、线、圆与圆的位置关系等。在教学过程中,不仅要充分利用这些知识,让学生明白分类讨论是清晰、完整、严密地解答复杂数学问题的方法,还必须让学生认识到,这对提高全面分析问题的思维能力及养成严谨的思维品质是大有益处的。通过这种策略形成学生对分类讨论数学思想重要性的认识,激发他们形成这种思想的积极性和主动性。

二、突破两个难点

关于分类讨论思想的运用,学生常出现的问题有两个方面:一是对于某些应该讨论的问题,因思维不严谨,发现不了可能出现的不同情况,想不到需要讨论;二是发现需要讨论的问题时,划分情况又难做到不重不漏,以及不善安排讨论时机。这是教学过程中必须突破的两个难点。一般地,确定一个题目是否需要讨论,可看该题条件或结论所述对象是否唯一确定;何时进行讨论,要看将要进行的步骤是否有足够的条件。如解答某些问题时,若遇到需要用某一个含字母的式子作除式时,如果问题的条件中缺少判定此式非零的条件,则应据此式能否作除式分情况讨论。再如从二次根式内开出因式前,则应考虑已知条件中是否具备判定此式非负的条件,若不具备,则应讨论。

三、遵循三个步骤

应用分类讨论思想方法解决数学问题的一般分为三步:第一步是确定分类对象,统一分类标准;第二步是逐类讨论,分级进行;第三步是归纳总结,做出结论。如,某问题中涉及关于x的方程ax+bx+c=0,若已知它是“一元二次方程”或“有两根”,则隐含a≠0,不需讨论;若已知它“有根”或“是方程”,则由于不能保证a≠0,故需分a=0和a≠0两种情况解答。

四、掌握四种形式

1.由数学概念引起的分类讨论,如a的绝对值就要按a>0,a=0,a

2.由定理、公式、运算性质的适用范围引起的分类讨论。如,一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个一次函数的解析式为?摇?摇?摇?摇.

本题的自变量x的取值和函数值的取值的对应关系不明确,因此当x=-3时y=-5,x=6时y=-2;也可以当x=6时y=-5,x=-3时y=-2;于是有:-5=-3k+b-2=6k+b或-5=6k+b-2=-3k+bk=b=-4或k=-b=-3,所求的函数解析式是:y=x-4或y=-x-3.

3.由图形的不确定性引起的分类讨论,如平面几何中线与线、线与面、面与面的位置关系均有多种可能,研究各元素间的位置关系时,要注意每一个位置关系都不可遗漏,对于多种可能的情况必须分开来进行研究。例如,已知圆O、圆O外切,半径分别为1cm和3cm,那么半径为5cm且与圆O、圆O都相切的圆一共可以作出多少个。此题也有两个层次的分类,首先分三种情况:(1)都内切;(2)都外切;(3)一个内切,一个外切。而每种情况又都有两种情形,所以共有6个这样的圆。几何分类讨论问题,通常是按几何图形的特征或几何图形的位置进行分类。它以分析、观察、比较为基础,通过找出共同点和不同点,从而提出分类依据和标准。正确的分类符合两条原则:(1)分类应按同一标准进行;(2)分类应该不重复,不遗漏。如把三角形分成斜三角形和等边三角形两大类就是错误的,因为既有重复(等边三角形是斜三角形),又有遗漏(不包括直角三角形)。分类降低了问题的难度,是一种“分而治之”的解题策略。

4.由参数值的“量变”导致结果发生“质变”,而引起的分类讨论。在研究含参数的函数、方程、不等式等问题时,如(m+1)x+4x+1≤0,需对二次项系数m+1是否等于0进行讨论.又如,关于x的方程kx-4x-3=0有实数根,求k的值.本题首先要考虑到的x系数是字母k,因此要对字母k进行讨论:(1)当k=0时,原方程为一元一次方程,它有实数根,所以k=0;(2)当k≠0时,原方程为一元二次方程,要使它有实数根,则≥0,得到k≥-,所以k≥-且k≠0.综合①、②得到k的取值范围为k≥-.

应注意的是:一道题目是否需要讨论,什么时候讨论,并不是看题目中是否含有参数,而是看它是否影响继续解题。有些题目一开始就要进行分类讨论,有些题目则是在解题过程中进行讨论,甚至可以回避讨论。