混沌分析范文第1篇

混沌理论的主要特征表现在：

（一）随机性特征。事物内部的随机性产生的不规则运行轨迹通常是混沌状态的根本原因，在对数学模型的演化中，即使参数和初始值都是确定的，在没有任何外界因素干扰下，系统在运转时往往还是保持了很大的随机性，表现出一种混沌状态，这种随机性来自于系统运转的内部，科学家通常称之为内随机性。这种随机性往往表现出强烈的不稳定特征。（二）敏感性特征。混沌理论认为，一切事物的发展无论是高级的还是低级的，连续的还是离散的，保守的还是耗散的，与时间有关还是空间有关的，都离不开一个共同的特点，那就是事物在系统运转的时候对基础初始值的极大敏感性。正所谓“失之毫厘差以千里”便是这种敏感性的真实写照，这种敏感性反映出了系统内部随机性的强烈影响，也反映出了一个系统经过长时间的运转其结果会怎样是具有不可预测性的。（三）混沌序特征。虽然从宏观的整体的角度看，一切事物的系统运行都是由混沌状态到有序状态最后再到混沌状态的一个发展过程，混沌现象体现了无周期性、非线性的特征。由于这种特征普遍存在，因此，又呈现出一种有序状态，只要进行精确的、系统的、全面的数据分析，是可以从混沌现象中捕捉到有序的运动轨迹的，中国有句俗语教“万变不离其宗”就是很好的解释。混沌理论的研究目的在于揭示系统运行的随机性，描绘其运转的基本特征，从而认识混沌进而利用混沌。从应用方面看，已经出现了基于混沌理论的生物工程研究、天气系统研究、非线性机械故障诊断等。在学科体系中也有不少学校引入了混沌经济学、混沌管理学、混沌力学等交叉学科。音乐教育作为一门实践性、操作性较强的学科，从教育过程的长期发展看，离不开混沌理论内在特征的指引，正所谓“一样的教育条件、一样的教育基础、一样的学生类型却产生了不一样的教育成果”。即使在不受外界因素干扰的情况下，其教育结果也有着很大的不确定性，因此，如何在混沌中抽丝剥茧，把握音乐教育过程中的内在规律，对提高音乐教育效果意义重大。

二、高校音乐教育的混沌性分析

（一）高校音乐教育的非线性特征首先，从高校音乐教育的思想认识方面看，1988年的《在普通高等学校中普及艺术教育的意见》中就已经明确提出了“普通高等学校必须把艺术选修课逐步纳入教学计划中”。经过多年的探索与发展，高校音乐教育状况虽然有了一些改善和提高，但目前为止，除清华大学、北京大学、浙江大学等国内知名高校外，鲜有普通高校将系统的音乐教育纳入到日常教学计划中去，国内大部分的高校对于音乐仅停留于赏析层面。这源于人们没有认识到音乐教育作为美育不可替代的重要媒介作用，他们片面地认为，在高校内通过团学组织，举办一些社团，组织几场文艺活动，带领同学们唱唱跳跳愉悦一下身心，活跃一下校园氛围，就已经发挥了音乐的价值了。在我国当前的教育背景下，一些高校对学生的培养仍然偏重社会需求，重功重利的现象仍然不同程度存在，这就会造成培养出来的学生人文知识储备不足，艺术修养及审美能力极低，想象力、创造力更是无从谈起。其次，从高校音乐教育开展效果方面看，音乐赏析课程、文艺汇演、专题讲座是国内高校普遍采用的高校音乐教育方式，其目的是为了塑造人格、陶冶道德情操、开发智力、提高想象力和创造力等，各高校每年为此投入了巨大的师资、物力、财力。从教育实践的效果来看，虽然大部分学生都能对音乐产生浓厚的兴趣，但汲取到的音乐艺术养分却少之又少。有调查显示，大多数的同学不知道巴赫是谁，不知道小提琴有几根弦，也分不清交响乐队都有哪些乐器，对民族音乐文化的理解更加肤浅，能够识谱或是掌握一种乐器的同学占极少数，系统学过音乐的更是寥寥无几。虽然音乐教育选修课程已在国内各个高校开花落地，但当代大学生的音乐艺术素质普遍不高，音乐知识修养极其薄弱也是真实存在的现象。按照人们的愿想，在高校大力推行艺术教育的背景下，社会上应当形成浓厚的文化艺术氛围，而现实情况与在高校开设音乐教育课程的初衷极为不符，体现出非线性发展特征。单一的、简单的音乐教育课程设置无疑是原因之一，这种培养模式忽略了音乐教育对人才培养的内涵价值，脱离了培养当代高素质人才的基本目标，也就失去了高校音乐教育发展的理论意义。（二）高校音乐教育的初值敏感特征根据混沌理论的初值敏感性特征，不难分析出，对高校音乐教育发展过程而言，任何一个初始的微小差异对结果的影响都可能是巨大的。就像“丢了一颗钉子，输了一场战争”的谚语那样，显示出事物发展内随机性的强烈影响和不可预测性。在我国当前的教育体制下，从宏观角度看，高校音乐教育发展的影响因子主要来自两个方面，一方面来自学校外部，另一方面来自学校内部；从微观角度看，一方面来自教师，另一方面来自学生。学校外部主要有社会认知、行政决策、艺术氛围、基础教育模式等产生的影响，学校内部有行政决策、师资结构、资源配置等产生的影响；教师主要有知识结构、研究能力、实践能力、职业规划等产生的影响，学生有家庭环境、成长历程、受挫经历、课业压力、心理健康等产生的影响。社会及行政决策单位对高校音乐教育发展重视程度不够、义务教育阶段音乐教育本位功能缺失、高校音乐教育师资配比不均衡、配套设施不完善、教师职业发展定位不准确及培训不系统、学生日渐繁重的课业压力以及周边事物变迁引起的情绪波动、学生成长过程中在某一次音乐活动中受到挫折等，这诸多因素都会对高校音乐教育的教学效果和本位发展产生重大影响。（三）高校音乐教育的混沌序特征从历史发展的角度看，高校音乐教育的非线性和初值敏感性特征造成了结果的无序性，而发展至今天，高校音乐教育的培养模式和发展方向又有着有序性。这是因为在教学实践中，教学的对象是人，人的发展总体上是有序的，这就决定了教学的有序性和教学必须符合教育对象发展的顺序性。同时，每一个学生无论是否具备天性，都享有接受音乐教育的权利；教师固定的课件和讲授方法会引起学生的抵触情绪，逐渐缺失对课堂的兴趣；综合实力较强的高校音乐教育发展的水平明显较高；学生在考试周和主专业课程较为集中的学期会产生烦躁情绪，进一步影响对音乐相关课程的兴趣度；高校音乐教育发展过程中表现出的有序性还有很多，对教师而言，“教学有法，教无定法”，模式化、单一化、固定化的教学方式只会让高校音乐教育的内随机性更加凸显，无法使高校音乐教育取得最大收益。只有充分重视有可能影响音乐教育发展的每一种影响因子，充分发挥社会各界的积极作用，利用大数据的手段进行全面的、系统的分析，才能准确地把握和矫正这些因素，从而促进高校音乐教育的发展和提高。

三、混沌理论对高校音乐教育发展的启示

通过对混沌理论的特征梳理以及高校音乐教育课程中的混沌性分析，使我们认识到，要想提高当代高校音乐教育的质量，必须把握好以下几个方面。（一）遵循阻力最小原则，树立正确的教育观念首先，是要注重审美引导，正如美国的教育学家贝内特•雷默所认为的，人类对任何事物的认知都离不开主观感觉。人的一生都在被感觉所支配着，没有了感觉的影响，人就只能像机器一样。因此，音乐教育应当注重培养人对音乐表达初始感应的感觉教育，它应当注重对音乐作品内涵的审美体验，而非流于表面，音乐教育最初动力应当是审美教育。其次，是要重视高校音乐教育的本位作用，高校的上级主管部门及学校行政应当认识到音乐教育不仅是辅助教学、增添乐趣的工具，其内涵价值对学生全面成长成才，以及学生人生成长道路中不可替代的影响作用应被重视起来。树立高校音乐教育在教学计划中的重要地位，满足学生对音乐知识的渴求，根据各高校和地区之间的音乐文化背景差异，有计划、分阶段地制定教学计划，使高校音乐教育的规律性、有序性逐渐清晰。（二）发掘不可见的根本结构，丰富教育内容第一是加强教师队伍的建设。师资队伍建设在教育中占据着重要的位置和分量，从混沌理论视角分析，音乐教师是音乐教育系统运转内部不可或缺的重要环节。著名音乐教育家柯达伊也曾说过，做好一个教师比做一个布达佩斯歌剧院的导演还要重要得多。加强对外交流、严格考核制度、持续提升科研创新能力是一名教师不断进步的助推器。第二是加强学生自我实践。音乐教学活动决不能再像以往那样说教式、机械化、填鸭式地进行。音乐教育系统发展中的自相似性特征正是由实践表现出来的，教师在反复重复着教学过程，学生在重复着学习过程，整个教学系统的发展正是基于分形的特点逐渐由简单慢慢变为复杂。故而，在教学活动中充分注重学生的自我实践活动显得十分重要。音乐实践活动不仅能为学生的音乐知识积累打下坚实的基础，对其自身综合能力的开发也有着无穷的益处。第三是加强多元化教学模式。在教学中，教师可以引入多元化的思维，开拓不同的角度进行交叉教学。如对和声学教学来说，和声学属于音乐领域比较复杂的领域，对学生而言普遍存在一定难度，教师可以抓住和声关系的数字特点，将和声关系行进等较为难懂之处以数字或图标的方式抽离出来，再进行概念讲述，对学生的吸收有一定的帮助。再如对曲式分析等配器领域的学习而言，学生对音乐的综合性积累不够，可以在教学中融入计算机软件应用，使学生能够掌握一些配乐软件使用技术，这样能够帮助学生直观地在课堂内外学习专业知识。（三）注重反馈控制方法，遵循改变适度原则音乐教育本身是一个有机的整体，它有着很鲜明的混沌特征，在音乐教育中，从片面地重视技能教育到片面地侧重审美教育只在一念之间，从片面地看重教学到片面地看重科研也只是一念之间。混沌理论的非反馈控制是指不改变系统运转的本身，而从外界因素对其进行影响，从而达到引导的目的。对音乐教育系统的控制也正是基于此论，但也必须遵循非反馈控制的规则，即“最小限度地改变原系统”。把握教育改变适度的原则，会为音乐教育改革提供最安全的成长环境。

总之，混沌理论不是混乱无序的，通过仔细探索不难发现其中的有序性。使用混沌理论研究高校音乐教育有高度可行的实践意义。它能够为高校音乐教育传播提供有利环境，运用混沌理论对教师素质、大学制度、教学环境、学生需求等方面进行研究，能够在大的环境中分析出其混沌特征，有利于学校对教师和学生的需求进行了解，更加有利于学校、教师、学生之间互相和谐的校园形态展现。

作者:李媛媛 杨照帅 单位:郑州大学音乐学院

参考文献：

[1]洛仑兹.混沌的本质[M].刘式达，等译.北京：气象出版社，1997.

混沌分析范文第2篇

关键词： 分数阶; Buck变换器; 建模; 混沌行为

中图分类号： TN710?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）24?0154?06

Fractional order simulation model and chaos analysis of Buck converter

SUN Hui?ming1， CHEN Wei1， SUN Long?jie1，2， HUANG Yun?long1

（1. College of Electrical & Control Engineering， Xi’an University of Science and Technology， Xi’an 710054， China;

2. High?Tech College， Xi’an University of Science and Technology， Xi’an 710100， China）

Abstract： According to the fact that inductance and capacitance is essentially fractional order， in combination with fractional calculus theory and improved Oustaloup fractional calculus filter approximation algorithm， the fractional?order mathematical simulation model and the corresponding circuit simulation model of Buck converter controlled by voltage and worked in continuous current mode were established in MATLAB/Simulink. the correctness of the models was verified by simulation. The chaotic behavior of Buck converter， which few people select reference voltage and scaling factor as chaos control variable， is studies on the basis of fractional mathematical simulation model. Two VI chaotic phase diagrams of Buck converter taking reference voltage and scaling factor as control variable were obtained. This model can analysis seven cases that all variables may lead to chaotic behavior of voltage?controlled Buck converter. Meanwhile the impact of the order of Buck converter on dynamic response is also analyzed in this paper. The establishment method of this model is applied to the fractional model establishment of other DC / DC converters.

Keywords： fractional order; Buck converter; model; chaos behavior

0 引 言

已有的研究表明，实际电容和实际电感在本质上均是分数阶的。整数阶的电感和电容在实际中并不存在[1?3]，以往用来描述电感和电容电特性的整数阶模型是不够准确的甚至可能是错误的[3]。Westerlund等人于1994年通过实验测定出在不同电介质情况下分数阶电容的阶数，Westerlund同时指出，电感实际上也是分数阶的;而Jesue等通过选择具有不同分形结构的电极表面面积、不同电解液制造出了具有0.59阶、0.42阶等不同的分数阶电容[1]。

开关变换器是典型的开关非线性系统，容易发生各种非线性现象，直接影响到变换器的稳定性以及可靠性。作为研究和设计开关变换器的关键环节，开关变换器的建模一直是研究的热点问题[4]，特别是由于开关功率变换器建模是实现开关变换器设计的基础，建模的准确性直接影响到控制器设计性能的高低，而采用整数阶模型只能粗略近似的描述实际电容和实际电感的电特性，用整数阶模型描述DC/DC变换器的动力学行为与变换器的分数阶本质相违背的，不能准确反映变换器的动力学特性甚至可能出现错误的结论[3]。

实际上，以往的硬件电路获得的实验结果本身就是由实际分数阶电感和电容得到的实验结果;而以往基于整数阶电感和电容仿真模型获得的结果与硬件电路获得的结果一致，说明了基于整数阶模型建立的仿真是可以用来近似分析实际的系统的。已有研究表明，实际的电容和电感是分数阶的，因此，建立分数阶仿真模型就显得必要。在已有的文献中，对于DC/DC变换器中的混沌现象的研究并不少见，主要有实验电路法和数值仿真法[4?7]，但是所有的仿真模型与理论研究方法都是基于电感和电容为整数阶出发建立的仿真模型。而且在对不同类型的变换器电路的混沌研究中，很多文献都是以电源电压和负载电容[5]、负载电阻[7]、电感[4]为混沌控制变量进行分析和研究的，但是Buck变换器电路中的其他参数也可能引发混沌。本文首先基于电容和电感本质上是分数阶的事实;结合分数阶微积分理论，建立了Buck变换器的分数阶数学模型;基于Matlab/Simulink建立了Buck变换器的分数阶数学仿真模型;通过对模型的仿真结果与以往的硬件电路实验和理论分析结果对比分析验证了模型的正确性。最后基于此模型，仿真分析了Buck变换器中以参考电压Vref和比例放大系数A为混沌控制变量的Buck变换器的混沌行为。

利用此模型分析了电容和电感的阶次对Buck变换器的动态响应的影响，得出了与文献[3]相同的结果，即电容和电感的分数阶阶数取值越大，从暂态过渡到稳态的时间越长。建立Buck变换器的分数阶模型的方也适用于其他DC/DC变换器的建模仿真，此分数阶模型有利于促进分数阶微积分理论的应用推广。

1 Buck变换器的分数阶建模

由文献[7]可知，分数阶电感和电容的数学模型为：

[vL=LdαiLdta;iC=CdβvCdtβ]

根据Grunwald?Letnikov分数阶导数定义式下的分数阶导数的拉普拉斯变换[8]，即：

[L[0Dqtx（t）]=0∞e-st0Dqtx（t）dt=sqX（s） n-1

（1） 当VT导通、VD关断时，图2（a）的状态方程为：

[LdαiLdta+vC-vin=0iL-vCR-CdβvCdtβ=0]

对状态方程进行拉普拉斯变换并整理得：

[Is=-1L1sαVCs-VinsVCs=IsC1sβ-VCsRC1sβ]

（2） 当VT关断、VD导通时，图2（b）电路的状态方程为：

[LdαiLdta+vc=0iL-vcR-Cdβvcdtβ=0]

对状态方程进行拉普拉斯变换并整理得：

[Is=-1L1sαVCsVCs=IsC1sβ-VCsRC1sβ]

2 Matlab/simulink下分数阶仿真模型的建立

比较Buck变换器的两个工作状态时的状态方程可知，VC（s）是相同的，而I（s）的表达式是不同的。VT导通时I（s）的表达式中多了一部分Vin（s），这部分与电路的输入有关，即当VT导通时要接入这部分，而当VT关断时则不需要接入这部分。接入和不接入的信号输入依赖于Simulink模块库中的Switch开关，该开关有一个输入控制信号输入端，在控制信号大于零时接入一路输入信号，而在控制信号小于零时则接入另一路输入信号[5]。基于Matlab、simulink软件以及薛定宇等人在Oustaloup滤波器分数阶微积分算法基础上提出的改进算法[9]。根据文献[9]所提出的改进的Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法，构建Fractional Int s^{?a}的Matlab/simulink模块。

基于以上的分析，在Matlab/simulink下搭建的分数阶Buck变换器Simulink数学仿真模型如图3所示;Buck变换器Simulink电路仿真模型如图4所示。对于图3模型中的三个Fractional Int s^{?a}子模块，用积分模块代替之后就获得了整数阶Buck变换器的数学仿真模型。

针对图4的电路仿真模型，可以结合文献[3]中采用的基于分抗链得到分数阶电感和分数阶电容的等效电路模型，基于文献[9]中的改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法获得的等效[1sq]的传递函数模型的整数阶阶次非常高，使得系统用硬件实现起来困难，同时如果直接利用此算法获得的传递函数形式来计算分抗链中的电阻、电容、电感等原件的值，则计算量很大，容易出错。因此，利用文献[9]提出的模型降阶方法，对高阶模型进行降阶之后结合文献[3]提到的分抗链等效来模拟分数阶电容和分数阶电感，利用获得的等效分数阶电容和分数阶电感来代替图4中的电容和电感元件，就可以获得分数阶Buck变换器的电路仿真模型。必须明确的是以往硬件电路获得的实验数据是基于实际的分数阶系统得到的数据。以往的整数阶仿真阶模型的仿真结果与实际硬件电路获得的实验数据的一致性只能说明整数阶模型可以用来近似描述分数阶系统的动力学行为。

薛定宇等人提出的改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法有三个关键参数：拟合频率下限ωb、拟合频率上限ωh、滤波器的阶数2N+1。在对实际分数阶系统进行数值仿真时，需要选择合适的拟合频段（ωb，ωh）和N值，一般选择ωb ωh=1。对于模块Fractional Int s^{?a}子模块，同样可以根据已有文献[10]的结论，利用分数阶微积分的波特图频域近似算法所得到的[1sq]的频域近似式来代替，文献中给出了q从0.1～0.9的近似表达式（最大误差2 dB和3 dB）[10]。同样可以利用改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法得到的传递函数通过降阶以后获得低阶次的传递函数来替换Fractional Int s^{?a}模块，可以获得相同的仿真结果。因此模型的使用很灵活和简便，可以满足不同的需求。而文献[9]建立的仿真模型则不能用于分数阶模型的仿真。

3 模型的正确性验证

电路参数为[5?6，11]：L=20 mH（电感），R=22 Ω（电阻），A=8.4（误差放大器的放大倍数），Vref=11.5 V（参考电压），VL=3.8 V（斜坡电压的下限），Vh=8.3 V（斜坡电压的上限），T=400 μs（开关周期），K=1（取样系数），稳定的占空比为0.6左右，输出电压基本在12 V波动。当电路中某一参数改变时，其他参数保持不变。由于篇幅原因，本文仅给出部分0.9阶分数阶和0.8阶分数阶模型在不同参数变化下的分数阶Simulink数学仿真模型的仿真相图。在实际的研究过程中，Buck变换器中6种混沌控制变量的每一个变量作为混沌控制变量时，都仿真了分数阶0.9阶和0.8阶以及整数阶Simulink数学模型和Simulink电路模型，获得的相图形状都是相同的。同时对第2节提到的若干方法也进行了仿真，观察到的相图与以往的实验结果和分岔图所呈现的动态特性是一致的。其中相图是以电压作为横坐标，单位为V;以电流作为纵坐标，单位为A;由于开关周期T=400 μs，则选择ωh>104，ωb<10-4，ωh=106，ωb=10-6。相图的详细分析见文献[12]。

3.1 电压变化时的仿真结果

图5为输入电压变化时0.9阶分数阶相图，从图中可以看出，随着输入电压电压的增大，电路不再稳定;分数阶仿真模型获得的仿真结果与文献[5?6，13]结果完全相符。说明此分数阶模型对于Buck变换器以输入电压Vin为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

3.2 电容变化时的仿真结果

图6为输出电容变化时0.8阶分数阶相图（Vin=20 V，R=22 Ω，L=20 mH），从图中可以看出，随着输出电容的减小，电路不再稳定;较小的负载电容使系统可能呈现混沌运动，因为负载电容C的电压是通过对电感中的电流iL积分得到的，是一种惯性环节，大的电容其电惯性自然增大，则其电压的随机波动性减少，故不易出现混沌运动[14]。仿真模型获得的仿真结果与文献[5?6，13]完全相符。说明此分数阶模型对于Buck变换器以输出电容C为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

3.3 负载电阻变化时的仿真结果

图7为负载电阻变化时的0.9阶分数阶相图（Vin=34 V，C=47 μF，L=20 mH），当R=3 Ω时，负载电压处于单周期稳定状态，此时相图是一个单周期极限环。当R=5 Ω时，负载电压处于2分裂状态，相图是一个2周期的极限环。当R=10 Ω时，负载电压处于4分裂状态，相图是一个4周期的极限环。当R=15 Ω时，处于混沌状态，相图由永不重复的极限环簇组成。仿真得到的结果与文献[17]硬件电路得到的实验结果相符，同时文献[17]中的分岔图所呈现的动态特性与此仿真结果一致。说明此分数阶模型对于Buck变换器以负载电阻R为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

3.4 电感变化时的仿真结果

图8是以电感做为混沌控制变量，以0.8阶分数阶模型获得的U?I相图（Vin=20 V，C=47 μF，L=20 mH）。结果与文献[4]中的仿真结果、分岔图以及硬件电路得到的结果相符。此处给出的相图是Vin=20 V时的结果，而文献[4]中给出的是Vin=34 V时的结果，在实验过程中，Vin=34 V时的仿真结果与文献[4]完全相同。给出Vin=20 V时的结果相图与文献[身]形状相同，但是相同形状的相图对应的电感L的值不同，说明了Buck变换器的混沌行为是以上所有参数共同决定的，同时证明了模型的正确性。硬件电路实现见文献[4，7]。结果说明此分数阶模型对于Buck变换器以电感L为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

3.5 以开关周期T为变量时的混沌仿真结果

图9是0.9阶分数阶模型获得的仿真结果。其中（a）～（c）与文献[15]分岔图反映的结论一致，而文献[15]电路中的参数Vin=34 V时的混沌相图与图5（d）相图一致。同时由图9（d）可知，在前面图5中可以看出输入电压Vin=34 V时、T=400 μs时处于混沌状态，而当开关周期T=200 μs时处于周期一稳定状态;即较大的开关周期T容易导致混沌行为的发生。同时比较可以看出，相图的面积有明显的减小，即输出纹波随开关周期减小而减小。此结论与文献[3]的硬件电路结果一致。

4 以Vref，A为变量的混沌仿真及α，β对系统的

动态响应的影响分析

由第3节的仿真分析可知，分别以输入电压Vin、输出电容C、负载电阻R、电感L以及开关周期T这五个参数为混沌控制变量仿真了整数阶、0.9阶分数阶、0.8阶分数阶模型，得到的仿真结果与以往的理论分析、仿真和硬件电路获得的结果相同，所建立的分数阶模型可以准确的仿真Buck变换器的混沌行为。

现有的大量的文献都是针对电容和电感为整数阶建立的模型进行的理论分析和仿真验证，而用硬件电路获得的结果，由于电容和电感本质是分数阶的事实[1?3]，也就是说，硬件电路得到的结果本身就是分数阶结果，只是不能明确的知道具体的电容和电感的分数阶阶数。第3节通过分数阶模型得到的仿真结果与以往的硬件电路获得的结果是一致的，至少说明了在这里建立的分数阶模型能和以往的基于电容和电感为整数阶建立的理论分析和模型获得的结果等同。

目前对于Buck变换器的混沌分析，都是以输入电压Vin或负载电容C[5?6，13]、负载电阻R[7]、电感L[4]为混沌控制变量进行分析和研究的，而比例放大系数A和参考电压Vref也可以作为混沌控制变量。第3节的仿真已经验证了建立的分数阶模型的正确性，因此，对以A、Vref为变量的混沌仿真分析采用分数阶模型与整数阶模型同时进行仿真分析，由于篇幅所限，此处仅给出分数阶模型获得的部分仿真结果。电路参数为Vin=20 V，C=47 μF，L=20 mH，R=22 Ω;除混沌变量可变以外，其他参数选择前文中的典型参数。

4.1 参考电压Vref变化时的混沌仿真结果

图10为0.9阶分数阶数学仿真模型获得的仿真结果。由相图可以看出，较小的参考电压可能导致Buck系统进入混沌，参考电压的减小意味着输出的减小，对于一个确定的输入电压，参考电压的减小则反过来可以认为是小的参考电压下外加了大的输入电压Vin，由前面的分析知道，较大的输入电压Vin能使系统进入混沌。因此，对于以参考电压Vref作为混沌控制变量的输出相图可以与以输入电压Vin做为混沌控制变量的输出相图对比分析。实际仿真过程中同时仿真了整数阶数学仿真模型和电路模型以及0.8阶分数阶数学仿真模型，获得了与0.9阶模型相同的相图。

4.2 比例放大倍数A变化时的混沌仿真结果

图11为0.8阶分数阶数学仿真模型得到的仿真结果。A=9时，相图处于单周期稳定状态，此时的相图是一个单周期极限环。A=10.8时，相图处于二分岔状态，相图为2周期的极限环。当A=13.4时，相图为4周期的极限环。当A=14.3时，相图处于混沌状态，相图由永不重复的极限环簇组成。由相图可以看出，较大的比例放大系数A可能导致Buck系统进入混沌状态。实际仿真过程中同时仿真了整数阶数学仿真模型和电路仿真模型以及0.9阶分数阶数学模型，获得了与0.8阶模型相同的结果。

4.3 阶数对系统动态过程的影响仿真分析

在仿真过程中，取了α=β=0.8、α=β=0.9和α=β=1三个不同的阶数，在同一个窗口中长时间多次观察了每次输入电压Vin变化而其他参数相同（除阶数不同）时的输出相图演化过程和时间，发现随着阶数的变小，系统动态过程时间减小;即阶数减小系统能在更短的时间从暂态运动到周期稳定状态;同样在系统参数已决定了其工作在混沌状态的情况下，通过长时间的观察，系统阶数小时状态变量相轨迹也能在更短的时间里运动到混沌吸引子附近。仿真结果与文献[3]中得到的在其他参数不变的情况下，其动态响应过程随着电感L的分数阶阶数a和电容C的分数阶阶数b的增大而增大，即其阶跃响应的上升时间、延迟时间、调节时间、峰值时间、超调量都将增大[7]的结果吻合。

5 结 论

基于Matlab/Simulink仿真软件，建立了Buck变换器的整数阶和分数阶数学仿真模型以及Simulink电路仿真模型，通过对模型得到的仿真结果与以往的理论分析、仿真以及硬件电路获得的结果[4?7，11?14]对比分析验证了模型的正确性。在此基础上，通过这些模型研究了现有文献较少涉及到的以参考电压Vref、比例放大倍数A为混沌控制变量的Buck变换器的混沌行为，给出了部分分数阶模型的仿真相图;通过仿真分析和观察仿真过程与结果发现：

（1） 研究结果表明，正确选择电路参数对Buck变换器的稳定运行具有重要意义。较大的输入电压Vin、较大的负载电阻R、较大的比例放大系数A、较大的开关周期T、较小的负载电容C、较小的电感L、较小的参考电压Vref都可能导致系统出现混沌运动;选择合适的输入电压Vin、输出电容C、电感L、负载电阻R、参考电压Vref、比例放大系数A、开关周期T的值可以有效的避免Buck变换器进入混沌状态。

（2） 本文研究了Buck变换器中的7个变量引起的混沌行为，定性的给出了各个参数引起混沌的变化方向，对变换器的设计、优化以及故障分析提供了有用的参考，文中研究的内容可以帮助设计者在选择设计参数时可以依据此内容来选择合适区间的参数以避免变换器工作在混沌状态。

（3） α和β的取值越大，从暂态过渡到稳态的时间越长。综上所述，由于实际的电感和实际电容在本质上是分数阶的事实，建立的Buck变换器的分数阶数学仿真模型可以准确的对Buck变换器的混沌学行为进行仿真分析。同时建立此模型的方法可以用来建立其他DC/DC变换器的分数阶模型。下一步准备在此分数阶数学模型的基础上，从硬件电路角度对文中结论（2）加以验证;同时基于此模型对以往的混沌控制方法加以研究和分析。由于电感和电容本身是分数阶的事实，则对于分数阶模型和整数阶模型这两种模型都可以正确分析系统动力学行为这一事实，需要分析那个模型能更精确的反映实际系统的动力学行为。而目前市面上的电容和电感的实际分数阶阶数并不知道，如何准确获得电容和电感的分数阶阶数也是研究的一个新问题。

参考文献

[1] 王发强，马西奎.电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析[J].物理学报，2011，60（7）：5?10.

[2] 王发强，马西奎.基于分数阶微积分的电感电流断续模式下Boost变换器的建模与分析[J].中国科学，2013，43（4）：368?374.

[3] 谭程，梁志珊.电感电流伪连续模式下Boost变换器的分数阶建模与分析[J].物理学报，2014，63（7）：5?6.

[4] 李磊，金爱娟，夏震，等.PWM Buck变换器电感引起的混沌及其控制[J].微特电机，2013，41（10）：58?60.

[5] 王春芳，王开艳，李强.Buck变换器仿真模型及分岔与混沌研究[J].系统仿真学报.2007，19（24）：5824?5831.

[6] 王开艳，王春芳，张玲丽.CCM和DCM模式Buck变换器建模与混沌现象仿真[J].系统仿真学报2008，20（14）：3881?3887.

[7] 金爱娟，陈建霖，夏震，等.PWM Buck变换器阻性负载引起的混沌及其控制[J].系统仿真学报，2014，26（2）：394?397.

[8] 高心，刘兴文，邵仕泉.分数阶动力系统的混沌、控制与同步[M].成都：电子科技大学出版社，2010.

[9] 薛定宇，陈阳泉.控制数学问题的Matlab求解[M].北京：清华大学出版社，2007.

[10] 刘崇新.分数阶混沌电路理论及应用[M].西安：西安交通大学出版社，2011.

[11] 尹奕光，于盛林.PWM型降压式DC/DC变换器中的混沌现象[J].河海大学常州分校学报，2001，15（1）：6?9.

[12] 包伯成.混动电路导论[M].北京：科学出版社，2013.

[13] 张波，曲颖.BUCK DC/DC变换器分岔和混沌的精确离散模型及实验研究[J].中国电机工程学报，2003，23（12）：99?103.

[14] 罗晓曙，汪秉宏，陈关荣，等.DC?DC变换器的分岔行为及混沌控制研究[J].物理学报，2003，52（1）：12?18.

[15] 金爱娟，邢军，赵东方，等.Buck变换器频率引起的混沌及其控制[J].控制工程，2014，21（1）：66?69.

混沌分析范文第3篇

[关键词]混沌 时间序列 神经网络 边坡

[中图分类号] P62 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2015）-9-347-1

1引言

混沌时间序列分析方法是一种基于混沌理论的非线性时间序列分析方法，能够有效处理长跨度、非线性时间序列。

边坡常见于各类工程中，如果失稳，往往带来较大的生命财产损失。对边坡变形分析并在一定跨度内预测预报显得十分重要。本文基于混沌时间序列分析方法的最新进展，将其应用在边坡变形分析领域，得出该方法在变形分析领域具有广阔的应用前景。

2改进最小预测误差法确定相空间重构参数

当前的混沌时间序列分析理论大都是建立在相空间重构理论基础之上的。相空间重构的主要工作是确定嵌入维数和延迟时间。确定延迟时间的方法有自相关函数法、平均互信息法等，确定嵌入维数的方法有试算法、虚假邻点法及改进，以及同时确定二者的C-C法等。

实践中通常用模型预测误差来检验建模的可靠性。但该方法随着数据量增大，计算量会呈现几何级数式的爆炸增长，数据处理效率低。现将其予以改进，改进的基本思想是通过其他方法现确定一组概略延迟时间和嵌入维数组合，然后再在概略组合附近搜索最佳组。

3混沌RBF神经网络预测模型

根据延迟嵌入定理，可以定义一非线性函G数来逼近重构后的相空间。

通过一定的模型逼近非线性函数G，再逐步后推，就可以对该序列进行预测。RBF（Radial Basis Function）网络，称为径向基函数神经网络，其训练效率和逼近效果都优于BP神经网络，且不存在局部极小值的问题[3]。

这是一种前馈网络拓扑结构，隐含层的单元是感受野单元，每个感受野单元输出为

X是N维输入向量，Ci是与X同维的向量，Ri（・）是具备感受的特点，RBF网络具有严密的数学理论支持[4]。正交最小二乘法OLS（Orthogonal Least squares）是目前训练RBF网络应用的最多的一种方法，也是本文采用的训练RBF网络的方法。

4链子崖危岩实测序列混沌RBF神经网络预测

链子崖危岩体地处西陵峡新滩滑坡、崩塌频发区，变形监测始于1974年，已三十余年，获得了丰富的第一手观测资料。本文选取其中几个观测时间跨度较长的A3、A4、Hs点三维位移监测序列分析。 型辨识中，除A3、A4、HS点的高程方月变量向序列未通过混沌检验，其余各序列均通过混沌检验。

将原月变量时间序列重构相空间，先用平均互信息法和改进的虚假邻点法分别计算延迟时间和嵌入维数的概略值，然后再用改进的最小预测误差法同时计算延迟时间和嵌入维数。再结合RBF神经网络预报，将预报值和实测值进行了对比（预报12期）。选择经典线性自回归模型作为对比，将其预测误差和混沌RBF模型作为比较，同列于表1。

从表1可以看出，改进的混沌预测方法的均方根误差均小于原方法的预测均方根误差。例如HS点H方向序列改进前预测失败（预测均方根误差131mm），而改进方法的预测均方根误差为0.7mm，效果很好。绝大多数序列的混沌预测均方根误差要明显小于自回归预测均方根误差，这说明前者的预测效果要好于后者。A3、A4、HS三点的高程方向序列被确定为非混沌序列，两种方法预测效果并无显著差别，单列于表2。

5结果分析及结论

（1）基于改进的最小预测误差法者预测效果优于常用的方法，该改进方法是有效的。

混沌分析范文第4篇

关键词：混沌理论；密码学；混沌加密

随着时代的不断变化，计算机网络技术已经广泛的应用在各行各业当中，给人们提供了大量的数据信息，让人们可以足不出户，就可以清楚的了解到自己想要的信息。但是，由于网络的基础协议无法达到信息安全管理的效果，因此可以使得一些没有进行特别加密的信息数据，在网络上传的过程中，就很容易直接发放在网络上，给人们带来巨大的损失。所以为了避免这样的现象出现，人们在数据传递的过程中，就要对数据验证进行一定的安全加密，从而有效的保障信息数据的安全。

1 密码学概述

密码学具有很强的综合性和保密性，而且由于它是多门学科组成的，因此这对其进行理解学习的时候，就需要长期的知识积累和创新思维。目前，密码技术已经不在仅仅局限政治、军事以及其他重要方面信息的安全保护的过程中，已经广泛的应用到人们的生活和生产当中。

2 混沌的基本原理

所谓的混沌理论就是一种将量化分析理念和质性思考相结构的一种理论方法，通过对各种动态的系统进行讨论，来完成对整体、连续的数据信息之间的关系进行相关的解释和预测。由此可见，混沌理论是一种复杂的系统演化理论，主要将系统数据从有序的状态下转变成无序的状态模式。对确定性系统的内在随机变化情况进行相关的讨论。因此，在实际应用的过程中，混沌理论主要有以下几个特征：第一，混沌系统的行为主要是由多个有序分量组合而成的，但是却不能对其每个有序分量起到一定的主导作用；第二，虽然混沌系统是采用随机的方式对其进行调节的，但是这些部分都是确定的；第三，初始条件对混沌系统的发展有着十分重要的意义，如果在两种不同初始条件下存在着相同的混沌系统，那么这两个相同的混沌系统就会很开的操着不同的两个方向发展。

在20世纪60年代，美国相关气象学家开始将混沌理论应用到气象分析上，从而得出结论：天气气候具有不可预测的特性，但是人们可以对简单的热对流现象进行分析，产生不可思议的气象变化，从而产生了所谓的“蝴蝶效应”。随后，在人们的不断探索的实验的过程中，人们也将混沌理论应用到各个方面，并且取得了不错的效果。

2.1 混沌理论的定义

目前，对混沌理论还没有进行明确的定义，而且在不同的学者眼中，对混沌理论的定义也存在着很大的不同。其中最为常用的李-约克混沌定义、devaney混沌定义以及melnikov混沌定义。下面我们就以李-约克混沌定义为例，给大家进行简要的介绍。

设（x，f）是紧致系统，d是x的一个拓扑度量。设x0x非空，如果存在不可数集合s x0，满足：

1.limn∞supd（fn（x），fn（y））>0，x，y∈s，x≠y；

2.limn∞infd（fn（x），fn（y））>0，x，y∈s，x≠y。

称f在x0上是在李-约克意义下混沌的。这里的s亦称作“f的混沌集”，s中不同的两点称作“f的混沌点偶”。

“敏感初条件”就是对混沌轨道的这种不稳定性的描述；拓扑传递性意味着任一点的邻域在f的作用之下将“遍历”整个度量空间v，这说明f不可能细分或不能分解为两个在f下不相互影响的子系统；周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，而是形似紊乱，实则有序，这也正是混沌能够和其他应用学科相结合走向实际应用的前提。

2.2 混沌系统示例

此处以经典logistic映射xn+1=1-ux2n为例，对有关混沌吸引子刻划的一些数值计算结果进行分析，从而将混沌加密方法分成两种不同的研究对象：一种是将混沌同步技术作为系统保密技术的核心内容；另一种则是通过混沌系统将加密技术分成各种不同形式的密码。

虽然混凝土密码作为一种新型的密码体制，在实际应用的过程中并不成熟，但是由于这种密码体制中存在着强大的吸引力，可以给信息数据提供相关的安全保护，而且在使用过程中，混沌密码中所具有的安全强度不受到计算机技术的影响，因此这种保密技术具有先天的优越性和良好的发展前景。

3 混沌在加密算法中的应用

混沌和密码学之间具有天然联系和结构上的某种相似性，利用混沌系统，可以产生数量众多、非相关、类似噪声、可以再生的混沌序列，这种序列难于重构和预测，从而使密码分析者难以破译。所以，只要加以正确的利用，就完全可以将混沌理论用于序列密码的设计中。混沌的轨道混合特性对应于传统加密系统的扩散特性，混沌信号的类随机特性和对系统参数的敏感性对应于传统加密系统的混乱特性。可见，混沌具有的优异混合特性保证了混沌加密器的扩散和混乱作用可以和传统加密算法一样好。另外，很多混沌系统本身就与密码学中常用的feistel网络结构是非常相似的，例如标准映射、henon映射等。所以，只要算法设计正确合理，就完全可能将混沌理论用于分组密码中。

但是混沌毕竟不等于密码学，它们之间最重要的区别在于：密码学系统工作在有限离散集上，而混沌作在无限的连续实数集上。此外，传统密码学已经建立了一套分析系统安全性和性能的理论，密钥空间的设计方法和实现技术比较成熟，从而能保证系统的安全性；而目前混沌加密系统还缺少这样一个评估算法安全性和性能的标准。表1给出了混沌理论与传统密码算法的相似点与不同之处。

通过类比研究混沌理论与密码学，可以彼此借鉴各自的研究成果，促进共同的发展。关于如何选取满足密码学特性要求的混沌映射是一个关键问题。l.kocarev等在文献中给出了这方面的一些指导性建议。选取的混沌映射应至少具有如下3个特性：混合特性、鲁棒性和具有大的参数集。需要指出，具有以上属性的混沌系统不一定安全，但不具备上述属性而得到的混沌加密系统必然是脆弱的。

4 混沌序列密码的加密原理

众所周之，加密的一般过程是将明文的信息序列变换成可逆的类随机序列。解密过程是对数学变换逆变换的猜测处理过程，将得到的类随机序列还原为明文。而混沌加密主要是利用由混沌系统迭代产生的序列，作为加密变换的一个因子序列，混沌加密的理论依据是混沌的自相似性，使得局部选取的混沌密钥集，在分布形态上都与整体相似。混沌系统对初始状态高度的敏感性，复杂的动力学行为，分布上不符合概率统计学原理，是一种拟随机的序列，其结构复杂，可以提供具有良好的随机性、相关性和复杂性的拟随机序列，使混沌系统难以重构、分析和预测。

结束语

随着信息化时代的到来，人们也逐渐的意识到了信息安全的重要性，开始对各种新型的保密进行研究，这不仅有效的推动了社会经济的发展，还对人们相关的数据信息起来了一个良好的保护作用。目前，虽然混沌保密技术在人们的生活还没有进行广泛的推广，但是这种保密技术存在良好的优先性，因此我们有理由相信这种保密技术，在未来的经济发展过程中，可以得到更加广泛的发展。

参考文献

[1]张向华，韦鹏程.混沌理论在密码学中的应用[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2008（3）.

混沌分析范文第5篇

关键词：Logistic映射；混沌；图像加密

中图分类号：TP309文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)35-2538-02

Logistic Chaotic Map

ZHANG Yi

(Department of Computer Science and Information Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang 050043,China)

Abstract: Chaos Theory is the law to study on nonlinear dynamic systems over the time’s change.As chaotic system with many fine characteristics,gradually put its application to cryptography and cryptanalysis and other disciplines.This paper briefly on the basis of chaos on the one-dimensional mapping by the Logistic chaotic times chaotic period bifurcation to the process and analysis of some complex dynamic behaviors.Finally,the one-dimensional mapping Logistic chaotic encryption applied to the image,and through simulation testing algorithm for the safety and superiority.

Key words: logistic map;chaos;image encryption

1 引言

混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非线性。混沌系统具有很多优良特性，如对初始条件和控制参数的敏感性、混沌轨道的伪随机性和不可预测性、遍历性、混和性、确定性等等，使其与保密系统的密码特性之间存在着紧密的联系。因此，使用混沌系统来开发现代密码学是很自然的事。

1989年Robert Matthews在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维Henon映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等。

2 一维Logistic映射分析

一维Logistic映射也称为虫口模型，从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，其数学表达公式如下：

xn+1＝xn×μ×（1－xn）

其中x∈［0，1］，μ∈［0，4］被称为Logistic参数。研究表明，当x∈［0，1］时，Logistic映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件x0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。在μ的取值符合3.5699456＜μ≤4的条件，特别是比较靠近4时，迭代生成的值是出于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，在经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值。[1]

对Logistic映射的研究发现，Logistic映射是经过倍周期分岔达到混沌的（如图1所示），

这给出了倍周期分岔途径的最早的一个实例。Feigenbaum指出Logistic映射分岔点的参数值μm (m＝1，2，3，…)形成无穷序列，并有一个极限值μ∞＝3.5699456。

1) 当0≤μ＜3时，映射有2个不动点

(1)当0≤μ＜1时，

是映射在［0，1］内的稳定不动点。

(2)1＜μ＜3时，

是映射在［0，1］内的稳定不动点。

2) 当3＜μ＜1＋时，失稳。需要考虑二次迭代，解二次迭代方程有4个不动点。

其中是稳定的，此时系统有周期二解。如此继续下去当μ＝μ∞＝3.5699456时系统进入混沌态。[2]

3 Logistic映射在混沌加密中的应用

在混沌密码学的研究方面，国外的研究从70年代初期开始到现在为止，不断有混沌密码的文章出现。Marco Gotz等人在1997-1998发表在IEEE T.C.S.上的文章[3-5]介绍了利用混沌统计性质设计混沌加密的方法，具体的实现方法和特性分析，密码分析方法等，在这些文章中,从理论上系统全面的介绍了混沌加密系统的设计方法与混沌密码分析的方法。

在已有的混沌加密算法中，有相当一部分是用于图像加密的，典型的如美国的J. Fridrich、奥地利的J. Scharinger、日本的M. Miyamoto等人提出的基于2-D混沌映射的图像加密算法。美国Binghamton University的N. G. Bourbakis和希腊University of Patras的C.Alexopoulos联合提出的SCAN-based图像加密(联合压缩)算法。许多的研究已经发现，相当多的图像加密算法不能抵抗已知(选择)明文攻击，因此从严格的密码学意义上来说是不安全的。

在混沌加密算法的实现中，主要考虑混沌信号的序列流如何得到，为了得到混沌序列流，设计了以下的方法（如图2所示）。

研究表明，Logistic映射的离散模型当μ从3逐渐趋向4时，由Logistic映射产生的序列倍周期通向混沌，只要给定适当的μ值，就能产生满足混沌特性的序列。设初始迭代次数md，初值x0，对于给定的μ，由Logistic映射生成的混沌序列从第md次迭代后形成的混沌序列集合记为{ xmd，xmd+1，xmd=2，…}，从该集合中连续取出n项构成的混沌序列子集记为{xl，x2，… ，xn }。为了从混沌序列中获得密钥，需要对产生的混沌序列进行有限精度的二进制编码，即：把混沌序列中的每一项与一个定长的二进制编码相对应。定义映射函数g如下：g(t)＝t×2k其中，t∈(0，1)；k为二进制编码长度。

图3为加解密仿真对比图。其中图3(a)为加密前原图，图3(b)为加密后的图，图3(c)为正确解密后的图，图3(d)为错误解密后的图。

将Logistic映射的算法应用在图像加密的领域，我们可以看到有诸如安全性高、时间代价和空间代价小、易于实现等优点。

4 总结

该文对Logistic混沌映射进行了一些粗浅的分析，在初值和控制参数都会改变的情况下，该系统还是具备很好的安全性的。

可以看出，混沌作为信息加密的伪随机序列发生器，是可靠的，而且有着广泛的应用前景。但是，一维混沌系统的随机性有限，现在对具有多个指数的超混沌系统的研究越来越多，使用多混沌系统进行加密可以成倍增强系统的安全性。

参考文献：

[1] 黄润生,黄浩.混沌及其应用[M].武汉大学出版社,2005:23.

[2] 关新平,范正平,等.混沌控制机器在波密通信中的应用[M].国防工业出版社,2002:7-8.

[3] Marco Gotz,Kristina Kelber,Wolfgang Schwarz.Discrete-Time Chaotic Encryption System (Part I)[J].Transaction on Circuits and System.IEEE 1997:963-970.