一、引言

混沌思想最早可以追溯到庞克莱，他在关于常微分方程定性理论的研究中发现的同宿轨蕴含了混沌的萌芽。经过几十年的蓬勃发展，到了20世纪五六十年代，混沌现象在众多学科领域被发现，成为非线性科学的主要研究内容之一。最早在文献中使用混沌一词的是李天岩和约克，1975年他们在对线段动力系统研究中证明了一个众所周知的结果周期3蕴含混沌，正是这一结果给离散动力系统提供了一个混沌定义的蓝本。1989年Devaney以初值敏感依赖为核心建立另一复杂系统的混沌定义。此外在物理和工程中被广泛应用的Lyapunov指数，在分形几何中的Hausdorff维数和盒维数等等。二十世纪八十年代美国学者Schinkman和LeBaron发现了股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象之后，在经济学领域上，非线性系统的混沌现象引起众多学者的关注。例如，1988年，陈平等从美国货币指数中发现经济混沌的经验证据，建立描写复杂经济波动的软边界振子模型。在1994年进一步找到将经济增长和波动分解，将噪声和信号分解研究的有效方法，从而在各种代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据。1992年，JoneF.Gibson等通过对离散时间的差分方程研究建立所谓白混沌模型。

二、股市价格混沌考虑

如下非线性时滞系统其中是维欧氏空间上的连续映射，是的一个开子集。称闭子集A为F闭的不变集，如果有；称F闭的不变集A是系统(1)的吸引集，如果存在A的一个开领域V使得对所有有。在金融证券的复杂性研究中，向量是表示市场因素。我们能观察到的是市场数量因素的数值信号户决定的股价指数的一维时间序列模型：其中是连续可微的市场观察函数。通过这个时间系列模型我们获得一个股指输出的时间序列系统，它是一个具有确定变量的动力系统。可以通过分析时间序列的多维延迟信息可以揭示市场的混沌动力学行为。利用已知的股指时间序列构造如下的一个维向量：这里是的次迭代式。Takens提出的嵌入定理证明，只要嵌入维数足够大，即使延迟坐标的维数，D为吸引子的分数维，在该嵌入维空间里可把原系统中的吸引子再现，即在重构的空间中的存在与原动力系统吸引子拓扑共轭的闭子系统。混沌吸引子一个最重要的特征是维数，它是描述稳态行为所需要的状态变量数目的下界。混沌吸引子的维数是一个分数。我们可以利用GP算法估计重构动力系统(3)的吸引子的维数。

三、实证分析

1.数据样本选取。上证综指和深成指数是我国证券市场的两个主要指数，代表了我国证券市场的整体变动情况，因此我们将以这两个指数为样本数据进行复杂性分析。选取1998年1月2日到2008年1月4日上证综指与深成指数周收盘价的对数收益率为样本，共计492个数据；以此数据作为模型的时间系列向量。

2.数据处理及分析。将周收盘价数据转换成对数收益数据，计算公式为：，其中，为对数收益率，本周收盘价，为前周收盘价；通过G-P算法对样本数进行反复测试，我们发现较为合适的时滞为8个交易周，取延迟时间，当嵌入维数k=2，3，…，8时，计算得到混吸引子的关联维数d(k)如下表所示：为上证指数的吸引子关联维数，为深圳成指的吸引子关联维数。由表1可知，当嵌入维数时，沪深两市的股指混沌吸引子关联维数基本饱和，其值分别为和。由于分形维数代表了决定系统的混沌吸引子的自由度，沪深两市股指收益率序列的分形维数在2和3之间，说明我国证券市场的混沌吸引子是存在的，股指波动较复杂，市场较活跃。李雅普诺夫指数是刻画系统复杂性的另一指标，它体现混沌系统对初始条件敏感依赖程度。最大李雅普诺夫指数的数值是判断系统混沌现象存在的直接依据。在关联维数计算的基础上，通过Wolf算法来求解李雅普诺夫指数。我们得出上证综指这一时间序列的最大李雅普诺夫指数=0.532，深成指数的最大李雅普诺夫指数=0.476。由于沪深两市最大李雅普诺夫指数都大于零，这也证实了我国证券市场的运行具有混沌特性。

四、总结

通过实证研究，可以看到我国股票市场确实存在混沌现象。这使我们认识到股价收益率的变化遵循某种确定性规律，其变动应该可以通过某种具有混沌性质的离散动力系统进行预测。股票价格的这种复杂的非线性动力学结构表明在人们对市场信息的消化吸收是非均衡的，获取市场信息的方式与途径是非对称的，这些市场信息一般都是以非线性的方式呈现。因此这不一致的非线性因素都将反映在股票价格上，使其变化呈现出复杂的非线性动力学性态。股市指数的混沌分析是通过对样本数据的分析，利用相空间重构技术而得出的。类似地我们可以采用对个股的股价进行混沌模型的构造，对股价进行预测。

总之，股市的混沌行为与自然界的其它混沌现象一样是具有确定性的动力系统模型，通过该混沌动力系统模型的研究可以对其做有限时间的股价预报。虽然这种对初始条件极为敏感的系统不可能得到完美的预测值，然而在它的可预测能力丢失之前，特别当时间长度较短时，其预测性还是可以获得的，而且比基于一般统计方法的预测能力更好。