三角形三边关系范文第1篇

一、判断三条线段能否构成三角形

例1以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）.

A.1cm，2cm，3cmB.8cm，6cm，4cm

C.12cm，5cm，6cmD.12cm，3cm，3cm

解析：判断三条线段能否构成三角形的方法：若三条线段的长为a、b、c（a≤b≤c），则当a+b>c时，它们能构成一个三角形.由此不难判断，正确答案为B.

二、已知三角形两边长，求第三边的取值范围

例2已知三角形的两边分别为a=3，b=5，则第三边c的取值范围是______.

解析：根据三角形的三边关系可知，a-b

三、已知三角形两边长及其他条件，求第三边的长

例3已知三角形的周长为偶数，其中两边长分别为7和2，则第三边长应为（）.

A.6B.7C.8D.9

解析：先根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再根据其他条件求值.

设第三边长为x，根据三角形的三边关系可知，7-2

例4如果等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长为____.

解析：由于不知道已知的两边哪条边为底，哪条边为腰，因此需要分类讨论.

若长为3的边为腰，长为6的边为底，则三角形的三边长分别为3，3，6.由于3+3=6，不符合三角形三边关系，故这样的三角形不存在.

若长为6的边为腰，长为3的边为底，则三角形的三边长分别为3，6，6. 显然，3+6>6，符合三角形三边关系.

所以该等腰三角形的周长为3+6+6=15.

四、判断三角形的形状

例5已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，试判断这个三角形的形状.

解析：设三角形的三边长分别为a、b、c（a≥b≥c），则a+b+c=8，3a≥a+b+c，故a≥ ；根据三角形的三边关系可知b+c>a，则a+b+c>2a，故2a

说明：由以上分析可以得出这样一个结论：设三角形的周长为l，最长的边为a，最短的边为c，则 ≤a< ，0

五、根据题意画三角形

例6在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？一个同学通过尝试，列出了表1.

（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同的三角形？画出它们的示意图.

解析：（1）用4根火柴组成三条线段，只有1，1，2一种情形.因1+1=2，不符合三角形三边关系，故4根火柴不能搭成三角形.

（2）由例5推出的结论可知，用8根火柴搭三角形，最长的边应少于4根火柴，因此只能搭成（3，3，2）这一种三角形.而用12根火柴搭三角形，最长的边应少于6根火柴，因此能搭成三种不同的三角形，即（5，5，2），（5，3，4）（4，4，4）.（示意图略.）

六、解决实际问题

例7有四个村庄，位于四边形ABCD的四个顶点处（如图1），现在要建一个批发市场P.问P选在何处，才能使它到A、B、C、D四个村庄的距离之和PA+PB+PC+PD最小.请说明理由.

解析：连结AC、BD，设AC、BD的交点为P，任取异于点P的一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.由三角形的三边关系可知：

P′A+P′C>AC， ①

P′B+P′D>BD.②

①+②得，P′A+P′C+P′B+P′D>AC+BD.

三角形三边关系范文第2篇

等腰三角形三条边的关系：在三角形中任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，等腰三角形的两个底角度数相等。至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（来源：文章屋网 ）

三角形三边关系范文第3篇

【关键词】 三角形三边关系定理；数学

一、定理及其推论

定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：三角形任意两边之差小于第三边. 定理分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b，c表示三角形的三边，则定理可以表示为：a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a；推论则表示为：a － b ＜ c，b － c ＜ a，c － a ＜ b．而我们在实际应用时往往不需要考虑那么多，只需将定理和推论简化为a － b ＜ c ＜ a ＋ b（假设a ＞ b），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可. 具体的应用参考下面的例题.

二、定理的应用

1. 判断三条线段是否可以构成三角形

例1 下列几组线段中，不能构成三角形的是 （ ）.

A． 3，4，5 B． 2，4，6 C． 5，6，8 D． 7，10，15

解法分析 下面我们以A选项为例来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取3和4．然后根据定理我们作出4 － 3 ＜ c ＜ 3 ＋ 4，结果为1 ＜ c ＜ 7，最后我们来验证第三条边是否在c的范围内，如果在，则能构成三角形，如果不在，则不能构成三角形，此题显然1 ＜ 5 ＜ 7，因此可以构成三角形. 答案为B.

例2 以4厘米、8厘米、10厘米、12厘米四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是 （ ）.

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

解法分析 四根木条选3根有四种情况：4 厘米，8厘米，10 厘米；4厘米，8厘米，12厘米；4厘米，10厘米，12厘米；8厘米，10厘米，12厘米．由三角形三边关系定理知，以12厘米、8厘米、4厘米不能构成三角形，其他3种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择C.

说明 实际上判断能否构成三角形的条件和根据已知两边判断第三边的取值范围是一样的，因此在这里就不一一叙述了.

2. 判断三点是否共线

三角形三边关系定理的主要内容是描述构成三角形的条件，那么如果不能构成三角形会是什么情形呢？其中就包括三点共线的情况，当a － b ＜ c ＜ a ＋ b中等号成立时，恰好就是三点共线的情况，即当a － b ＝ c（假设a ＞ b）或c ＝ a ＋ b时，a，b，c三条线段共线.

例3 已知A，B，C三点，且AB ＝ 3，BC ＝ 4，AC ＝ 7． 判断这三点是否在一条直线上？

解法分析 根据题意，显然有3 ＋ 4 ＝ 7，所以这三点共线. 需要说明的是，a － b ＝ c和c ＝ a ＋ b本质上是一样的，因为3 ＋ 4 ＝ 7可以表示为3 ＝ 7 － 4 ．

3. 与三角形周长相关，尤其是等腰三角形的周长

例4 等腰三角形ABC两边的长分别是7和4，则三角形的周长为 （ ）.

A． 18 B． 15 C． 11 D． 18或15

解法分析 因为是等腰三角形，所以首先要判断7和4哪个是腰，哪个是底，因此要进行分类讨论. 把所有的可能都列举出来：7，7，4和7，4，4，然后根据三角形的三边关系定理来验证，结果两种情况都符合，故答案为D.

例5 等腰三角形ABC两边的长分别是一元二次方程x2 － 6x ＋ 8 ＝ 0的两根，则这个等腰三角形的周长是 （ ）.

A． 8 B． 10 C． 8或10 D． 6

解法分析 解法同例题4，不同的是两种组合分别为4，4，2和4，2，2，符合条件的只有4，4，2，故答案为B. 需要说明的是，因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在这里举例说明.

4. 证明线段的不等关系

例6 如图1，在ABC中，D是BC边上的任意一点，求证：AB ＋ BC ＋ AC ＞ 2AD.

证明 在ABD和ACD中， AB ＋ BD ＞ AD，AC ＋ CD ＞ AD， AB ＋ BC ＋ AC ＞ 2AD．

变式 如图1，在ABC中，D是BC边上的中点，求证：AB ＋ AC ＞ 2AD.

证明 延长AD到E点，使得AD ＝ DE，连接BE和CE，如图2，因为AD和BC互相平分，所以四边形ABEC是平行四边形，因此AC ＝ BE.

在ABE中，AB ＋ BE ＞ AE，

又 BE ＝ AC，AE ＝ 2AD， AB ＋ AC ＞ 2AD.

5. 判断两个圆的位置关系（创新应用）

上述的几种情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用. 我们都知道两圆的位置关系有6种，主要是根据两圆半径r1，r2和圆心距d三者之间的关系来判断的. 如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是这样做的，如图3，以两圆相交为例. 当两圆相交时，这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三角形三边关系定理，即r2 － r1 ＜ d ＜ r1 ＋ r2（假设r2 ＞ r1），而当两圆相切时，恰好对应等号成立时，如图2所示. 为了使应用的更加方便，我们可以用数轴来表示两圆的位置关系，如图4.

在判断两圆的位置关系时，只需抓住数轴上的两点即可，然后看圆心距在数轴上的位置就可以一目了然地判断出两圆的位置关系，具体的使用参照下面例题.

例7 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距取下列何值时两圆相交？（ ）

三角形三边关系范文第4篇

【关键词】三角形；判断；边边；角角

三角形是由三条线段首尾顺次连结而形成的图形。它主要由元素“边”、“角”组成。因此，按其边分类可分为：不等边三角形、等边三角形、等腰三角形。按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

故一般判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。下面浅淡一下判断这几类三角形的方法：

一、勾股定理逆定理的运用

根据勾股定理逆定理，在三角形中，只要三边满足关系式a2=b2+c2或b2=c2+a2或c2=a2+b2则此三角形定为直角三角形，因此当条件中有边边关系且有平方关系时，我们首先用勾股定理的逆定理进行考证：

例1 已知三角形三边满足关系：

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c判断此三角形的形状。

分析：此题中只有边边关系，因此，我们用勾逆定理验证，但没有直接的条件说明，故应制造条件，求出边长或边边关系，这里主要运用配方法：

解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c

（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0

（a-5）2≥0，（b-12）2≥0+（c-13）2≥0

a=5，b=12，c=13

a2+b2= c2

三角形为直角三角形

二、三角法

首先将条件中的边角关系，由正余弦定理统一为“角角”关系或“边边”关系，再由三角变成代数，变形分解因式从而判别形状。

例2 ABC中，bcosB=ccosC，试判断三角形ABC的形状。

分析：已知条件中既有边，又有角。通常是把它统一为“角角”或“边边”关系。

解：方法1 由余弦定理有：

a2+c2-b2 a2+b2-c2

b·————=c·————

2ac 2ab

去分母得：b2（a2+c2-b2）=c2（a2+b2-c2）

即：a2b2-b4-a2c2+c4=0

a2（b2-c2）-（b2+c2）（b2-c2）=0

（b2-c2）（a2-b2-c2）=0

b2=c2即b=c或a2=b2+c2

ABC为等腰三角形（b=c）或直角三角形（∠A=90°）

方法2：由正弦定理b=2RsinB c=2RsinC代入式中得：

2RsinBcosB=2RsinCcosC

sin2B=sin2C

B=C或2B=π-2C

2B=π-2C

B+C= π —2

ABC为等腰三角形（B=C）或直角三角形（∠A =90°）

三、韦达定理及判别式的运用

当题设中的条件与一元二次方程有联系，并且此一元二次方程的各项系数与三角形的边或角相关时，用韦达定理或判别式将其边或角转化为“边边”或“角角”关系，从而判别其形状。

例3 已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a、b、c是ABC的边长，判断ABC的形状。

解：设此方程两根分别为x1，x2由韦达定理有：

x1+x2= 2b —— a+c =-1

x1·x2= c-a —— a+c

x1-x2=

x1- x2=

=0，（a+c）≠0

a=c

又-=-1

=1 a=b

ABC为等边三角形

四、利用平面几何知识

当题设中的条件与平面几何知识密切联系，此时，利用平面几何的有关知识找出所要判断的三角形的边角关系。

例4 已知等腰梯形ABCD中，AB//CD（AB

解：分别连结BE、CF

四边形ABCD是等腰梯形

又∠AOB=60°

AOB与DOC均为正三角形

E、F分别是OA、OD的中点

BEOA，CFOD，EF=AD

G是BC的中点

EG =BC GF =BC

又BC=AD

EF=FG=EG

三角形三边关系范文第5篇

《平面图形的认识（二）》是学好平面几何知识的重要基础，怎样才能掌握这一章节，我建议同学们从下列几方面入手.

一、 体会知识结构

二、 明确重点难点

本章的重点内容是探究两直线平行的条件和平行线的性质，探索三角形的有关性质和应用.难点则是平行线的判定与性质的条件和结论易混淆，探索多边形内角和与外角和公式过程中应用的化归思想需深入领会.

三、 理解知识要点

1. 认识同位角、内错角、同旁内角

（1） 同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在第三条直线的同一边，在被截两条直线的同一方向，那么这两个角叫做同位角.如图2中的∠1和∠2分别在直线c的同一边，并且都在直线a、b的上方.同位角是指两个角的位置关系，在判别“同位角”时，注意位置上的两个“同”：在第三条直线的同一边，在被截两直线的同一方向.同位角不一定相等.

（2） 内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的两旁，那么这两个角叫做内错角.如图2中的∠2和∠7分别在直线a、b之间，并且在直线c的两旁.内错角是指两个角的位置关系，内错角的特征：在被截两直线之间，在截线的两旁.内错角不一定相等.

（3） 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同旁内角.如图2中的∠2和∠5分别在直线a、b之间，并且在直线c的同旁.同旁内角是指两个角的位置关系，同旁内角的特征：在被截两直线之间，在截线的同旁.同旁内角不一定互补.

（4） 同位角、内错角、同旁内角都是由两条直线被第三条直线所截而形成的，将其分别从图中分解出来，得出其基本图形可分别形象地记为“F” 形、“Z”形、“C” 形.当图形较为复杂时，一定要观察清楚同位角（或内错角、同旁内角）是哪两条直线被哪一条直线所截的.另外这三种角讲的只是位置关系，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系.

2. 两直线平行的条件

① 同位角相等，两直线平行.② 内错角相等，两直线平行.③ 同旁内角互补，两直线平行.

以上三种方法都是利用角的关系判断两直线的位置关系.具体做法：要判断两条直线平行，首先需要两个角，并且这两个角是两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角或同旁内角；其次是要具备角的大小相等或互补.在两者都具备的前提下，两条被截的直线互相平行.

3. 探索平行线的性质

① 两直线平行，同位角相等.② 两直线平行，内错角相等.③ 两直线平行，同旁内角互补.

同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是平行线特有的性质.不要误认为凡同位角、内错角都相等，凡同旁内角都互补.

4. 两直线平行的条件与平行线的性质的区别和联系

（1） 平行线的性质和两条直线平行的条件的前提和结论恰好相反，运用时关键是弄清楚它们各自的前提和结论.

（2） 两条直线平行的条件是由角的数量和位置关系推得直线的位置关系，而平行线的性质则是由直线的位置关系推得角的数量关系.

5. 图形的平移

（1） 图形的平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形的运动叫做图形的平移.平移运动时，图形上的每一点都是沿同一方向移动相同的距离. 图形的平移由平移的方向和平移的距离决定.平移的距离是指对应点之间线段的长度.

（2） 图形平移的性质：① 平移不改变图形的形状、大小，即平移前后的两个图形全等，平移只改变了图形的位置.② 图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一条直线上）并且相等.③对应线段平行且相等.

（3） 平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.两条平行间的距离处处相等.

（4） 画平移图形：画平移后的新图形，要首先确定平移方向和距离，再确定关键点平移后的对应位置，最后按原有的方式依次连接，就可得到平移后的图形.作图的依据是平移的性质.

（5） 图形平移的应用：利用平移的性质可以巧算某些图形的周长和面积，还可以设计美丽的图案.

6. 认识三角形

（1） 三角形的概念：三角形是由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形.三角形有3条边、3个内角和3个顶点.

（2） 三角形分类：① 按边分类为：不等边三角形和等腰三角形；② 按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

（3） 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.要判断所给三条线段能否构成三角形，可以用两条较小的线段长之和与最大线段长进行比较，若前者大于后者，则这三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形.

（4） 三角形中的特殊线段：①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一边，一个三角形有3条高，并且3条高相交于一点.②在三角形中，一个内角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线分三角形一角所成的两个角相等， 一个三角形有3条角平分线，并且3条角平分线相交于一点.③在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的中线分三角形一边为相等的两条线段， 一个三角形有3条中线，并且3条中线相交于一点.三角形的高、中线、角平分线都是线段.

7. 三角形的内角和

（1） 三角形的内角和：三角形3个内角的和等于180°.这个结论揭示了3个内角之间的数量关系.

（2） 直角三角形两锐角互余.

（3） 三角形外角的概念及性质：① 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.三角形的一个外角就是三角形某个内角的邻补角.② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.