三角函数范文第1篇

1、三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

2、常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）.在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数.不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式.

（来源：文章屋网 ）

三角函数范文第2篇

锐角三角函数的函数值与三角形的边和面积之间存在这样的关系:

S■=■ac·sinB =bc·sinA=ab·sinC.

下面我们进行分类讨论此公式的正确性.

1.如图,在锐角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α,求证:

S■=■ac·sinB.

证明:过点A作ADBC于点D

AB=c,BC=a,∠B=α

AD=AB·sinα 即AD=c·sinB

S■=■BC·AD=■ac·sinB

同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.

2.如图,在RtABC中,若∠C=90°,AB=c,BC=a,∠B=α,求证:S■=■ac·sinB.

证明:AB=c,BC=a,∠B=α

AC=AB·sinα即AC=c·sinB

S■=■BC·AC=■ac·sinB

同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.

3.如图,在钝角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α, 求证: S■=■ac·sinB.

证明:过点A作ADBC于点D

AB=c,BC=a,∠B=α

AD=AB·sinα 即AD=c·sinB

S■=■BC·AD=■ac·sinB

同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.( 求sinA的值可利用诱导公式)

二、锐角三角函数和勾股定理的关系

锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系,可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生,二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解.我们在应用三角函数的同时,也在应用着勾股定理.三角函数值是一个比值,这个比值的得出,是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的.正是由于直角三角形的三边的数值,我们可以得到直角三角形两条直角边的比值,那么也就得到三角函数的正切和余切的值,同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值,也就是得出三角函数的正弦和余弦的值.

三、锐角三角函数在生活中的应用

锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用,“不上高山,能测山高;不下湖泊,能量河宽”,正是三角函数应用的独特魅力所在.同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性.在应用三角函数解决各类实际问题时,建立数学模型就是十分关键的一步,同时也是很困难的一步.建立数学模型的过程,是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.在建立数学模型中,会更有利于发挥我们的主动性、创造性,让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来.下面用一个实例来体会三角函数在生活中的重要应用.

如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任意取一点A,再在河的另一岸取两点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC长为20米.求小河的宽度.

解:过点A作ADBC,垂足为点D,

设AD=x,在RtABD中,

∠ABC=45°

ABD为等腰直角三角形.

BD=AD=x.

在RtABD中,

∠ACB=30°

tan30°=■=■,

CD=■=■=■x

BD+CD=BC=x+■x=20,

x=■

= 10(■-1)(米).

三角函数范文第3篇

例1.(2009宁夏)如图1、图2,是一款家用的垃圾桶,踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP=A′P,BP=B′P).通过向下踩踏点A到A′(与地面接触点)使点B上升到点B′,与此同时传动杆BH运动到B′H′的位置,点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点H′,从而使桶盖打开一个张角∠HDH′.如图3,桶盖打开后,传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直,垂足为点M、C,设H′C=B′M.测得AP=6cm,PB=12cm,DH′=8cm.要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°,那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm?(结果保留两位有效数字)(参考数据:■≈1.41,■≈1.73)

■

图1

■

图2 图3

解:过点A′作A′NAB垂足为N点,

在RtH′CD中,

若∠HDH′不小于60°,

则■≥sin60°=■

■

即H′C≥■H′D=4■

B′M=H′C≥4■

RtA′NP∽RtB′MP

■=■

A′N=■≥■=2■≈3.5cm

踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm.

归纳:本题以生活为背景,生活气息比较浓厚,体现了数学源于生活,生活离不开数学。解决此类问题需要正确地理解题意,从实际问题中构建直角三角形模型。

例2.(2009宁德)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅.图2是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm,∠DOB=100°,那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm?(结果精确到0.1cm)

■

图1 图2

解法1:连接AC,BD

OA=OB=OC=OD

四边形ACBD为矩形

∠DOB=100°, ∠ABC=50°

■

由已知得AC=32在RtABC中,

sin∠ABC=■

AB≈41.8(cm)

tan∠ABC=■

BC≈26.9(cm)

AD=BC=26.9(cm)

答:椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.

解法2:作OEAD于E.

OA=OB=OC=OD,

∠AOD=∠BOC

AOD≌BOC

∠DOB=100°,

∠OAD=50°

OE=16

■

在RtAOE中,sin∠OAE=■

OA≈20.89

AB=2OA≈41.8(cm)

tan∠OAE=■,AE≈13.43

AD=2AE≈26.9(cm)

答:椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.

归纳:求椅腿的长AB和篷布面的宽AD,其解题思路是从实际问题中构建直角三角形模型,通过解直角三角形求得相应线段的长度,近而求得线段的长。新课程倡导, 在教学中,应注重所学知识与日常生活的密切联系;应注重数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

三角函数范文第4篇

一、要理解记忆公式

三角函数部分公式比较多，学生记忆起来困难比较大，应该在教学过程中注意公式推导和公式与公式之间的互相推导。

二、要立足课本，夯实基础，突出重点

对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法，做完题后，要仔细进行反思，就能体会到三角恒等变形的主要途径――变角、变函数、变结构。这样进行以点带面的复习，复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用，二是三角函数的图象与性质，在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。

三、要重视方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ=tanx・cosx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2θ+2cos2θ=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，等。③降次与升次。④引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin（θ+α），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tanα确定。

2.证明三角等式的思路和方法。①思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。②证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。对三角函数试题中的选择，填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法，验证法，特例法，淘汰法与直接法，充分运用数形结合的思想，把图形和有机地结合起来，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。

在教学过程中，做完题后，要及时进行反思、一题多解，做一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善，日积月累，自己的水平与能力就会逐步得到提高。

例：已知函数y=cos2x +sinx・cosx+1（x∈R）

求（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y= cos2x +sinx・cosx+1= （cos2x+1）+（2sinx・cosx）

+ = （cos2x+sin2x）+ =（cos2x・sin +sin2x・cos ）+ =

sin（2x+ ）+所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即x= +kπ，（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ，k∈Z}。

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数y=sin（x+ ）的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（2x+ ）的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到函数 sin（2x+ ）的图像；④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y= sin（2x+ ）+ 的图像。综上得到y=cos2x+sinx・cosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+α)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

四、易错问题辨析

由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见易错问题进行分析。

在解题过程中，学生经常忽略正切函数定义域。

例：函数y=sinx（1+tanx・tan ）的最小正周期，忽视了定义域的限制，导致出错。注意挖去（kπ+ ，0）、（2kπ+π，0），则可得所求函数的周期为2π。

五、要加强对三角函数应用的训练

三角函数范文第5篇

关键词：三角函数；定义域；性质；周期

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）15-0126

一、关于三角函数的定义域、解析式、值域

由象限角引入的正弦函数，使我们面临两个直角坐标系――象限角所在的直角坐标系与的图象所在的直角坐标系，这两个“系”中，此 x非彼 x，此 y彼 y，此“象限”也非彼“象限”，在教学之初，应明确指出期间的联系与差别，以避免学生混用 。

多对一的（函数）对应关系，学生并不是第一次接触，他们最为熟悉的“多对一”函数模型，是二次函数，但二次函数之“多”，最多为两个，与正弦函数之“无穷多”还是不能同日而语。所以，在最初教师做正弦函数图象时，要多画几个周期，以帮助学生较好的建立“无穷多对一”的直观形象记忆 。

正弦函数的值域为有限区间，我们在处理与值域有关的问题时，要注意引导学生与以前常见的值域有限制的函数（如：反比例函数、（定义域为有限区间的）二次函数、指数函数等等）研究同类问题时的常用方法做比较，以促进前期学习内容的正迁移 。

例：求函数y=sinx+cosx+sin42x的值域。

二、关于三角函数的图象

由于前期学习，在单位圆背景下学生对正弦函数的图象有了初步的认识，所以，与以往用“描点作图”的方法做出函数图象相同的是：我们会根据对定义域、函数性质的分析选点作图；比较特殊的是我们可以利用三角函数线这一数形结合的工具来实现选点、描点、连线等步骤。

与前期学习一样，我们会关注图象的几何特征。特别的，正弦函数的对称点、对称轴、平衡轴等图象特征，将在正弦型函数图象研究中再次起到关键作用，所以，我们可以在研究正弦函数图象性质时为后期的学习做好铺垫。

例：已知函数的部分图象，如图所示。

（1）求ω、φ的值；

（2）求函数的对称轴方程和对称中心坐标。

三、关于三角函数的周期

在三角函数这一章中我们知道y=Asin（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，（A，ω，φ）为常数）与y=Acos（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）这些三角函数的周期。那么，三角函数y=Asinn（ωx+φ）与y=Acosn（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）的周期又是怎样的呢？

定理1 函数y=sinnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π；函数y=cosnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π。

证：易证y=sinnx（x∈R）是周期函数（显然2π为其一个周期）。

设k（k≠0）为y=sinnx（x∈R）的周期。

由周期定义知sinnx= sinn（x+k）（x∈R）（1）

当n为奇数时，（1）成立的充要条件为sinx= sin（x+k）（x∈R），

即k=2mπ（m∈Z，m≠0）最小正周期为2π。

所以当n为奇数时，函数y=sinnx（x∈R）。的周期为2mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为2π。

当n为偶数时，（1）成立的充要条件为sinx=sin（x+k）（x∈R）。

所以当n为偶数时，y=sinnx（x∈R）。的周期为mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为π。

同理：函数y=cosnx（x∈R）的周期也成立。

当然一些比较简单的我们也可以用降低函数的次数来求函数的周期，不过我们在降低次数的时候千万不能出错，不然就会功亏一篑。

四、关于三角函数的性质

周期性与单调性、奇偶性的不同点在于周期性的概念叙述，是“存在性”命题，一般来说，利用“存在性”来判定给定函数是否具有满足命题的特征时，比较困难。特别的，对学生将要接触的组合或复合型函数，要想利用周期性符号语言的概念来判定、证明其是否满足周期性，是否存在最小正周期，有些问题将相当困难。但是，若能通过图象变换等方法，做出待判定的函数图象，则判断函数是否存在周期性、求出函数的最小正周期往往就比较容易。