【教学过程】:

一．问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是；

二．新课的引入：

1．反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2．反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3．反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三．课堂练习：

例1．请说明下列各式的含义：

(1)；(2)；(3）；(4)。

解：（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；

（2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；

（3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；

（4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：（1）与；（2）与。

解：（1）设：，；，，

则，，

∵在上是增函数，，

∴，即。

（2）中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3．已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4．已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5．求证：（）。

证明：∵，∴，设，，

则，即：，即：，

∵，∴，

∴，∴，即：。

例6．求证：（）。

证明：∵，∴，设，，

则，即：，即：（*），

∵，∴，

∴，∴，即：。

注意：（*）中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

四．课后作业。

书上：P76.练习,P77.习题4.11。（均要准确值，划掉书上的精确到）