三角函数变换规律范文第1篇

【关键词】变换；高中数学；三角函数

0.引言

三角函数是学习以及研究其他数学知识的有效工具之一，它不仅在高中数学中占有非常重要地位，而且它还和中学数学的其他各个分支也有着紧密的联系。在高中数学中，三角函数的考查范围主要是在三角函数图像和性质方面，还包括三角函数的求值、简化以及证明恒等式等这几个方面。其最主要的核心是三角函数的变换。三角函数的变换基础是建立在深刻了解和熟悉三角函数的概念、图像以及性质，还有熟练地掌握三角函数的每类公式的基础上进行的。在历年的数学高考中，有关三角函数的变换的常用的思想方法、解题技巧，以及三角函数在其他数学领域的综合运用，到现在都是高考比较热的考试重点。所以笔者认为，现在研究高中数学的三角函数变换给学生一些参考是很有必要的。

1.三角函数概况

1.1三角函数的地位及其定位

函数是中学数学课程里的一个学习重点。在现实世界中，不同的变量之间一般都有互相依存的关系，然而函数用极其明确的语言、数学表格和数学式子或者图像来描写这种关系。

世界上的事物和现象都是一直处于不断的变化和联系之中的，函数是描述客观世界的变化规律最重要的数学模型之一。函数概念是高中数学概念中最基本的概念之一，它产生的时间非常晚，至现在为止也只有三百多年的历史。三角函数是描述客观世界的周期变化规律的函数中最重要的数学模型之一，并且三角函数在数学学科发展过程中有属于它自己的发展历史。在中学数学教育阶段，三角函数也有它独特的地位[1]。

三角函数是函数中的基本初等函数，它是属于描述周期现象这一类的数学模型，并且它在数学和其他领域中都有很重要的作用。学生一般通过实例来学习三角函数及其基本性质。三角函数是指由正弦函数、余弦函数、正切函数等组成的函数类，它是一个从特殊到一般的过程。在对三角函数的学习过程中，帮助学生了解三角函数在解决有关周期变化规律方面的问题中的作用是非常有必要的。

1.2三角函数的作用

三角函数在数学及其他领域中都有着非常重要的作用。三角函数作为高中学生必修的基础知识，它不仅与物理学等其他学科门类的联系非常紧密，而且还与研究微积分、复数、参数方程等有关于数学知识的联系也非常紧密。而且，三角函数还有利于学生数学思维和数学能力的培养。这体现在，首先，在高中紧张的学习过程中，学生们先后学习了指数函数和对数函数等初等函数，在此之后，学生又必须掌握三角函数这又一重要的基本初等函数。三角函数的实际应用背景十分丰富，例如在现实世界中的波浪和四季的更替等都可以发现三角函数的影子。一般情况下，只要是存在于客观现实世界中的并且有关于周期性变化规律的事物，都可以借用三角函数来说明。所以，学习三角函数，有利于学生充分认识到三角函数和现实生活的联系，有利于学生体会数学在现实生活中的使用价值，有利于学生用数学思维分析事物，解决日常生活中的问题。其次，三角恒等变换不仅是一种数学运算，而且它也是在数学研究中公理化方法以及推理论证的实际应用。两角和差公式和二倍角公式等一系列公式的推导过程，不仅有利于学生了解知识之间存在的内在联系，而且有利于学生体验知识的发现、创造，形成过程。帮助学生更容易更便捷的理解知识，锻炼学生的推理能力和运算能力。三角函数还具备工具性，利用三角换元解决问题，并综合使用三角函数的图像和性质使得复杂问题简单化[2]。

2.三角函数变换中的几种常见类型

2.1“角”度变换。

三角函数中角度变换一般主要表现在差角、和角、半角和倍角、余角以及凑角、补角等之间相互转换。因此，角度变换在三角函数计算中起到了纽带和桥梁的作用。当然，在三角函数角度变换的同时，函数的运算符号、名和次数都起到一定的变化。在三角函数问题的求解过程中，表达式经常出现很多相异角，所以，一般要根据三角角度之间的关系（例如，和、差、半、补、余等等），用“已知角”来表示相应的“未知角”，然后再进行相应的计算，从而可以顺利的解决三角变换的问题[3]。

2.2函数名称的变换。

函数名称变换最常见的就是切割化弦。这种情况一般从化函数或者化形式这两方面着手。正弦和余弦这两个函数是六个三角函数中的基础，相比于其它四种，它们的应用非常广泛。第二就是正切。一般说来，在解答三角问题的过程中，经常出现各种不同的三角函数名称，在这种情况下，我们一般把不一样的三角函数名称变换成同名三角函数，这是我们最经常使用的函数名称变化方式：“切割化弦”和“齐次弦代切”。

2.3“形”的变换。

在三角函数化简、求值或者证明的运算过程中，经常根据相关要求将常数转化为相关的三角函数，然后再使用相关的三角函数公式对题目进行运算。在这些常数中，我们一般使用常数 1来进行三角函数的变换运算。一般在进行三角变换过程中，我们运算必须要遵循由繁到简和由简而易的规律。只有通过这种方法，我们才能在这么多的三角函数公式中找到相应的解题思路，从而最终明确解题目标，顺利解题。

3. 三角函数变换的几种常用解题方法

3.1把“弦函数”和“切函数”进行相互转换。

把“弦函数”和“切函数”进行相互的转换，是平常在解答三角函数问题中比较常用也比较基础的两种转换手法。例如，如果在三角函数式中有了正切函数，那一般能够利用三角函数间最基本的关系对问题进行解答和论证，或者是把“弦函数”变换为“切函数”来解答和证明。这种方法相对来说比较简单，而且学生使用起来也比较顺手。因此，在三角函数的解答中应用的比较广泛[4]。

3.2 “角”的等量代换。

我们解决三角函数问题的时候，要时刻注意到已知角和未知角之间的相互关系。我们要根据具体情况，决定何时应该使用拆角和拼角进行解题。例如，在三角函数中提供了已知角与未知角时，我们首先要判断它们两者之间的可能存在的关系。在确定了两者之间有了某种联系时，我们就开始使用“角”之间的等量代换进行运算。举例：α = （ α + β） - β = β - （ β - α） =（ α + β）/2+（β-α）/2。

因此，采用一些比较简单实用的“角”变换，可以把复杂题目简化成我们熟悉易懂的题目来求解。

3.3公式逆用以及变用。

在教学活动中，我们会经常面临一些在三角函数的解答过程中必须要对三角公式进行变用和逆用的相关问题。关于公式的变用和逆用，有许多学生很难掌握或者错误的运用，而使得解答错误。在这个方面我们就需要在教学中着重关注这些重点，并多给学生练习的机会，让学生熟练运用。

4. 总结

本文的论述主要是围绕着三角函数的概念和变换时会遇到的问题和解决方式来展开的。因此，整篇文章下来，三角变换的基本思想我们可以概括为：寻找差异、建立相关联系、选用公式和加紧转化这四种。最后，希望这篇文章可以对有需要的人有实际的帮助和作用。

【参考文献】

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007（5）.

[2]赖彩玲.论高中数学中的三角函数变换[J].教育教学论坛，2012（12）.

三角函数变换规律范文第2篇

关键词：正弦型函数；五点法；平移；伸长；缩短

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）30-0083

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书・数学必修4》（人教B版）第一章1.3.1《正弦函数的图象与性质》其中部分内容。作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、正弦函数的后继内容，也是三角函数的基本内容。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

正弦型函数的图象变换是在学生掌握了三角函数的定义、三角函数线、诱导公式、五点作图的基础上进行的一节新授课，是学生对所学内容的巩固以及五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用。通过本节课熟练掌握五点作图和三种图象变换。

知识分为陈述性知识和程序性知识。正弦型函数的图象变换是学生对前面所学五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用和延伸，属于程序性知识。本节课通过图象变换具体案例的分析，发现变换规律，掌握变换规则，再提供适当的变式练习，以便让学生熟知规则适用的各种不同条件，让学生把静态的知识转化为动态的技能，从而形成程序性知识技能的熟练掌握。

二、学情分析

学生进入高中学习已经半年多，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方法和教师的教学方式，喜欢独立积极思考、喜欢小组探究、合作交流、有着较强的求知欲和好奇心。

本节课以学习自主课为先行，通过导学案预习本节课内容，通过图象的五点法作图，参数A、ω、φ的作用，并设置阶段性问题，使学生在学习过程中学会观察问题，研究问题，进一步自觉地总结问题，引导学生渐进式加深对图象变换的认知。

三、目标分析

1. 知识与技能目标

结合观览车的实例，了解周期、频率、初相的定义；掌握用五点法作y=Asin（ax+φ）的简图，并通过作图过程明确A、ω、φ对函数图象变化的影响，概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律，并用图象变换画出函数y=Asin（ax+φ）的图象。

2. 过程与方法目标

通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想，锻炼从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3. 情感、态度、价值观目标

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识；领悟物质运动具有规律性的哲学思想；唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

四、本节课的教学重点和难点

教学重点：考查参数A、ω、φ对函数图象的影响，理解并能形成由y=sinx的图象到y=Asin（ωx+φ）的图象程序性变换过程。

教学难点：发现与概括A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图象影响的规律是本节课的难点，再者是变换时，图象的平移量和伸缩过程为本节课教学难点。

五、过程分析

1. 设置情境

通过课本中的观览车问题引入正弦型函数y=Asin（ωx+φ），那么，这个函数的图象怎样作？图象与y=sinx的图象有什么关系呢？参数A、ω、φ对函数有什么样的影响？提问这些问题，激发起学生讨论学习的兴趣，并初步形成结论。

2. 讨论例1-例3，分别明确A、ω、φ对函数图象变化产生的影响

学生展示，教师引导补充得到结论：

（1）函数y=Asinx（A>0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

（2）函数y=sinωx（ω>0，ω≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0

（3）函数y=sin（x+φ）的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ

【设计意图：展示学生通过五点作图法做出的三个函数图象，引导学生通过图象对比观察两个图象的异同点。进一步提出问题：函数y=Asinx （A>0）、y=sinωx（ω>0，ω≠1）、y=sin（x+φ）的图象与y=sinx的图象有什么关系？】

3. 讨论例4正弦型函数y=sin（2x+■），对比图象，探究变换过程

作出函数y=sin（2x+■）的简图问题1：观察对比 y=sinx、 y=sin2x与y=sin（2x+■）图象，思考：如何由函数y=sinx的图象通过变换得到函数y=sin2x和y=sin（2x+■）的图象？y=sin（2x+■）可否进一步变换到y=3sin（2x+■）？是否有其他变换过程？

（1）提出问题，小组讨论，并由学生提出问题：如何由函数y=sin2x的图象通过变换得到函数y=sin（2x+■）？对此问题，笔者的设计意图是激发兴趣、提出问题、构建平台。

①学生在进行此变换时，可能会类比例3：“左移■个单位长度”，但是通过“五点作图法”画图进行对比，最后发现这样做是错误的，从而激发他们强烈的好奇心和求知欲，提出（下转第87页）（上接第83页）问题，当疑问被抛出后，有一部分已经注意并解决此问题的同学，通过课堂展示，试图解释此问题，由此推动本问题的探究，掀起本节课的一次高潮，而探究的过程就伴随评价的过程，教师在每一个环节中，引导学生自评、互评，并通过教师的激励性评价，激发学生的学习热情。

②探究本质、寻求关键点。当学生找到此题的答案后，自然就会思考这个问题的一般性结论是什么？解决的关键点是什么？通过练习题，分析得出一般规律时，引导学生着眼x的变化，把ωx+φ变形为ω（x+■），因此，从y=sinωx到y=sin（ωx+φ）的变换过程就是把x变成了x+■，这就是解决问题的关键点。

（2）由函数y=sinx的图象是否有其它方法变换得到函数y=sin（2x+■）的图象？

y=sinxy=sin（x+■）y=sin（2x+■）

先进行平移变换，再进行周期变换时，初相改变吗？函数图象变换时，变换的主体始终是自变量x，抓住这一要点，难点迎刃而解。

【设计意图：第二种变换方法难点在于初相在周期变换中是否受到影响，首先引导学生观察例3函数y=sin（x+■）的图象，并对比与函数y=sin（2x+■）的横坐标的关系，让学生从感性上认识到变换的过程；再从函数的观点出发，强调自变量的主动权，故而，学生对此问题的认识从感性上升到理性，深刻认识这一变换的实质，突破了这节课的难点】

4. 课堂练习

（1）要得到y=sin（2x+■）的图象只需将y=sin2x的图象（ ）

A. 向左平移■个单位 B. 向右平移■个单位

C. 向左平移■个单位 D. 向右平移■个单位

（2）已知函数y=3sin（x+■）（x∈R）的图象为C：

①为了得到函数y=3sin（x+■）（x∈R）的图象，只需把C上所有的点（ ）

A. 向左平行移动■个单位 B. 向右平行移动■个单位

C. 向左平行移动■个单位 D. 向右平行移动■个单位

②为了得到函数y=3sin（2x+■）（x∈R）的图象，只需把C上所有的点（ ）

A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的■倍，纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的■倍，横坐标不变

（3）说明由函数y=sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象（两种方法）：

①y=sin（2x-■）； ②y=■sin（■x+■）

【设计意图：让学生进行自我练习，进一步熟悉本节课所学内容，形成程序性步骤，达到熟练程度。】

5. 课堂小结

提出问题：会用五点法做正弦型函数图象了吗？

由y=sinωx的图象到y=Asin（ωx+φ）的图象，会进行变换了吗？有几种方法？

【设计意图：让学生通过问题进行自我总结，使本节课学到的知识上升到方法的层面，便于总结记忆。】

六、效果分析

三角函数变换规律范文第3篇

本节内容是人教版A版数学必修4第一章第五节《函数y=Asin（ωx+φ）的图象》.它是在学习了正弦函数的图象和性质的基础上，对正弦函数图象的深化和拓展.通过学习y=Asin（ωx+φ）与y=sinx的图象间的变换关系，从而揭示图象变换的内在联系，通过向学生展示观察归纳类比等数学方法，使学生掌握函数图象变换综合应用的基础.

二、 学情分析

学生已经学习了y=sinx的图象和五点作图法，并且具有了一定的画图能力，但是学生对于ω、φ对图象带来的影响在理解上有一定的难度.为此让学生通过动手画图，在实际的操作过程中体会并发现对应变化点的坐标之间的联系，从而理解变换的实质.

三、 教学目标

1.知识目标：利用“五点法”作图，使学生掌握y=sinx与y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律.

2.能力目标：通过对函数握y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的探索使学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，培养学生归纳分析、解决问题的能力.

3.情感目标：通过对问题的探究，培养学生独立解决问题的能力，并通过分组合作提高学生的合作意识.

四、教学重点、难点

1.函数y=sinx与y=Asin（ωx+φ）的图象的变换过程；

2.参数ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图象的影响.

五、 教学设计理念

根据“问题探究教学”的教学模式，教学过程以“探究――归纳――应用”为主线，给学生创设问题情境，使学生通过自主探究，在大量的数学活动中去体会和发现问题的实质，激发学生的成就感.

六、 教学手段

利用课件，通过多媒体演示形象直观地为学生提供更感性的材料有利于重难点的突破.

七、教学过程

1.复习回顾，如何在直角坐标系中画出正弦曲线？

设计意图：让学生回忆“五点作图法”，为后面的学习做好准备.

2.创设情境，启发诱导，探索规律

将学生分为三个小组，分组合作探讨下列图象的变换过程.

问题一：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=2sinx，y=12sinx的图象（如图1所示），并寻找三个图象的区别和联系.

问题二：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=sin（x+π3），y=sin（x-π3）的图象，并寻找三个图象的区别和联系.

问题三：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=2sin2x，y=sin12x的图象，并寻找三个图象的区别和联系.

分组汇报研究成果，用课件展示，学生分析并回答参数A、ω、φ分别对函数y=sinx造成的影响，得出结论并将其一般化.

设计意图：互动探究将参数A、ω、φ对图象变换的影响进行分解，让学生结合图象体会变换

问题四：通过“五点作图法”画出y=sin（x+π3）与y=sin（2x+π3）的图象，并探索两个图象之间的关系，汇报研究成果，理性思考函数图象之间为什么有这样的关系.

设计意图：学生通过填表，将ω、φ对图象的影响进行分解，让学生体会ω对图象的影响，并着重分析“先平移后伸缩”的变换过程.用课件展示图象.

学生得出结论并将其一般化：所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍.

问题五：利用“五点作图法”在同一直角坐标系中画出y=sin2x与y=sin（2x+π3）的图象，并探索两个图象之间的关系，汇报研究成果，理性思考函数图象之间为什么有这样的关系.

设计意图：学生通过填表，将ω、φ对图象的影响进行分解，让学生体会φ对图象的影响，并着重分析“先伸缩后平移”的变换过程.用课件展示图象.

学生得出结论并将其一般化：所有点的纵坐标不变，横坐标向左（右）平移|φω|个单位长度.

问题六：总结填表y=sinxy=Asin（ωx+φ） （其中A>0，ω>0）的变换过程.

（1）五点法作图；（2）利用图象变换作图.

2. 用参数思考探究y=Asin（ωx+φ）的图象变换过程.

设计意图：梳理本节所学知识强化教学重点，培养学生的概括总结能力.

三角函数变换规律范文第4篇

关键词：三角函数 性质 应用

前言：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。在这部分内容中函数的图像和性质起着至关紧要的作用。下面我以正弦函数为例浅谈三角函数图像和性质的理解和简单应用。

一、通过图像分析正弦函数性质

1.在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中，明确了y=sinx的最小正周期为之后，常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线。所谓的五点本质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点。在正弦函数中这五点分别是（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0），用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到正弦函数y=sinx一个周期的图像。然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律。如下图：

2.通过分析正弦函数的图像特点，可以很容易得到正弦函数y=sinx的其它性质

（1）定义域

函数的图像是向左右两个方向无限延展的，所以正弦函数的定义域是。

（2）值域

函数图像呈波浪形，具有周期性。函数图像最高到达1，最低到达-1，并且函数图像是连续的，可以确定函数的值域是[-1，1]。从函数图像可以看出函数具有周期性，所以正弦函数有无数个极值点。距离y轴最近的最高点（，1）即当x=时，y取最大值1。根据正弦函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值，即当y=1时，x=+2kπ，k∈Z。同样的方法就可以写出函数取最小值即y=-1时，x=-+2k，k∈Z。

（3）对称轴

由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称。也就是说正弦曲线有无数的对称轴，且相邻的两个对称轴的间距为π即对称周期为π。用一条距离y轴最近的对称轴x=做参考，根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x=+k，k∈Z，k的每一个取值对应一个对称轴。

（4）对称中心

由中心对称的定义，正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心，坐标可以统一表示为（kπ，0）k∈Z。因为坐标原点也是对称中心，所以正弦函数是奇函数。

（5）单调性

根据单调增函数图像上升和下降的特征规律，确定是正弦函数的一个单调增区间。把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正弦函数的其它增区间完全重合。根据正弦函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间 k∈Z，k的每一个取值就对应一个增区间。同样表示出正弦函数所有的单调减区间 k∈Z。

二、利用正弦函数的图像和性质解决有关y=Asin（ωx+φ）的问题

解三角函数不等式。

例题：已知f（x）=3sin（2x+），f（x）>6，求x的取值范围。

解析：由题目条件可知3sin（2x+） >6，即sin（2x+） >

用换元法令X=2x+，即可得到sinX>.结合正弦函数y=sinX的图像

找到sinX>对应的图像位于在直线y=的上方不包含于y=sinx的交点。先写

出距离y轴最近的一个区间

2.求三角函数单调区间

例题：已知函数f（x）=sinx+cosx，求函数f（x）的单调增区间。

解析：通过所学把函数f（x）变形f（x）=sinx+cosx=

所以f（x）=sin（x+）。我们令X= x+，函数变为f（x）=sinX。

根据正弦函数曲线可以得到距离y轴最近的一个增区间-

3.给定区间上三角函数的值域的问题

例题：已知函数f（x）=sinx（cosx-），求函数f（x）在的值域。

解析：首先化简函数f（x）=sinx（cosx-）=sin（2x+）-，

因为，所以，参照正弦函数的图像，

三角函数变换规律范文第5篇

一、掌握内容变化是备考的重点

新增部分高考比例远远高于保留内容，删除的部分肯定不考，同时提高要求和降低要求部分高考也有相应较大变化.

新增部分有幂函数、函数零点与方程根、二分法求方程根思想、三视图、算法初步、统计、茎叶图、、函数模型及其应用、线性回归方程、独立性检验、统计案例 、古典概型与几何概型、全称量词与存在量词、导数及其应用、函数的导数公式、推理证明、坐标系与参数方程、复数、平面几何证明，不等式证明.

提高要求部分有Venn图的应用、分段函数的应用、函数模型及其应用、加强了与函数与方程的联系、线性规划与非线性规划问题及应用、等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系、利用函数及导数解决现实生活中优化问题、直线、双曲线、抛物线参数方程.

降低要求部分有反函数只要求用具体举例解释定义，不要求给出一般定义和求反函数；不要求求椭圆双曲线准线方程、只要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，对性质不作要求.

删减部分有两条直线的夹角和到角公式、由三角函数值求角、线段的定比分点、平移公式.无理不等式、计数原理、排列组合、二项式定理及其性质.

二、摸清考题的分布是备考的方向

几乎年年必考知识有集合运算、三视图、程序框图、复数运算、线性规划、导数意义求切线、三角变换求值（不考求角）、向量运算、圆锥曲线定义离心率等，以小题为主；立体几何以柱锥为载体考查证明平行、垂直和求距离、角、体积、面积等；求导函数主要考查单调性、极值、最值、参数值和范围、不等式证明等；圆与直线或圆锥曲线与直线；概率统计与函数；数列或解三角形应用或三角函数，以大题为主.

函数零点与二分法、特称全称命题、命题真假、四种命题、充要条件、解不等式、古典几何概型、函数变换、线面垂直平行偶尔考；多面体与球为高考热点.

三、了解考题的规律是考好的关键