三角函数值范文第1篇

三角函数中的求值问题主要有：已知某三角函数，求另外某些三角函数值或三角式的值；已知某三角函数式的值，求某些三角函数或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等几类，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变化，还常涉及到函数、不等式、方程及几何计算等众多知识，这类问题往往概念性强，具有一定的综合性和灵活性。我以为就三角函数的求值与计算应注重以下问题：

一、三角函数式的化简：

（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

二、三角函数的求值类型有三类：

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

三、三角等式的证明：

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

例题（1）若 ，化简

主要口诀：化异分母为同分母，脱去根式符号化简

解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。

原式=

= =

=

例题（2）已知函数f（x）=- sin2x+sinxcosx.

（Ⅰ） 求f（ ）的值；

（Ⅱ） 设 ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.

例题（3）求证：tan x - tan x =

思路分析：本题的关键是角度关系：x= x - x，

右式= =

= tan x - tan x。

=

思路分析：将左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替换，

左边= = = =右边

三角函数值范文第2篇

【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学

三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.

例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.

点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v

把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.

例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

设y=sinu，u=π4-x，

因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采

三角函数值范文第3篇

关键词:三角函数 最值 类型解决方法

最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题

的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。

三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。

一、配方法

例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()

A.2 B.0C.-■D.6

略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]

利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。

答案:B

点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。

二、“合一变形”及有界性法

例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()

A.2-■ B.2+■

C.0 D.1

略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。

答案:A

点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。

变题:函数y=■的值域为

略解:由y=■得,sinθ=■

而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:

[-2,0]

三、“和积不等式”与“勾子函数”法

例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。

答案:C

变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号

答案:A

点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。

四、数形结合与换元法

例4.函数y=■的值域为

答案:(-∞,0]

例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为

答案:[-■,1+■]

点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。

例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。

五、三角函数最值问题的简单应用

例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

=■cos2x+■sin2x+■

=■sin(2x+■)+■

y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,

即x=■+kπ,k∈Z

所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝

点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。

例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)■

(2)求角θ的最大值及相应的x值。

解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)

( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0

(■-■)■

(2)cosθ=■=■

=■

又x∈(0,■)

令:■=t,则t∈(1,3)

cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)

又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数

θ≤■

θ的最大值为■,此时相应的x值为■

点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。

三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。

三角函数值范文第4篇

一、化为最基本的初等三角函数型

例1：求下列函数的最值：

（1）y=sin（x+ ）+sin（x- ）

（2）y=2sin（ +x）+sin（ -x）

略解：（1）将y=sin（x+ ）+sin（x- ）化为：y= sinx，即得：y = ，y =- .

（2）将y=2sin（ +x）sin（ -x）化为：y= cos2x，即得：y = ，y =- .

二、反解型

将三角函数解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ为辅助角），然后利用正余弦函数的有界性，即|f（y）|≤1求解，常见能够反解化为上述类型的函数有：

（1）y= 或y= （c≠0，a：b≠c：d）

（2）y= 或y= （c≠0）

例2：求函数y= （x∈[0，π]）的最大值和最小值.

解：原式化为y= =-1+ ，反解得：sin2x= -2，由|sin2x|≤1得| -2|≤1？圯 ≤y≤3.

y =3，y = .

例3：求函数y= 的最值.

解法一：

原式化为：sinx-ycosx=2y-1

？圯 sin（x+φ）=2y-1

？圯sin（x+φ）=

由|sin（x+φ）|≤1得 ≤1？圳0≤y≤ ，

故有y = ，y =0.

解法二：

化为y= ，于是y表示点（-1，-2）与点（cosx，sinx）直线的斜率，用解析法可求（以下略）.

解法三：

用万能公式代换为：（1-y）tan +2tan +（1-3y）=0

tan ∈r及y≠1，

=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤ ，

因此，y = ；y =0.

三、化为y=asinx+bcosx型

将三角函数式化为y=asinx+bcosx，然后引入辅助角φ化简成一个角的三角函数y= sin（x+φ）再利用基本初等函数的最值求解.

例4：当- ≤x≤ 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（ ）

a.最大值是1，最小值是-1？摇？摇？摇？摇b.最大值是1，最小值是-

c.最大值是2，最小值是-2？摇？摇？摇？摇d.最大值是2，最小值是-1

解：由已知f（x）=2sin（x+ ），因为- ≤x+ ≤ ，故-1≤f（x）≤2，故选d.

例5：函数y=sinx+cosx的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.

解：原式化为：y= sin（x+ ），

当x=2kπ+ （k∈z）时，y = .

四、化为y=asin（ωx+φ）+k（或y=acos（ωx+φ）+k）型

例6：函数y=sin2x-2cos x的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.

解：原式化为：y=sin2x-（1+cos2x）= sin（2x- ）-1

|sin（2x- ）|≤1

y = -1

例7：函数y=sin（2x- ）cosx的最小值是？摇？摇？摇 ？摇.

解：y=sin（2x- ）cosx= [sin（2x- ）-sin ]= sin（2x- ）-

当sin（2x- ）=-1时，函数有最小值，即：y =- .

五、化为y=pf （x）+qf（x）+r（其中p、q、r为常数）型

将三角函数式做恒等变形，等价转化为形如y=pf （x）+qf（x）+r，再进行变量代换t=f（x）化为二次函数y=pf （x）+qf（x）+r在给定区间上求最值问题，这里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解时需要注意变量的取值范围即可.

例8：如果|x|≤ ，那么函数f（x）=cos x+sinx的最小值是

（ ）

a. b. c.-1 d.

解：f（x）1-sin x+sinx=-（sinx- ） +

|x|≤

|sinx|≤ ，则当时sinx=- ，有f（x） =1-（- ） - =

故应选d.

例9：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解：令sinx+cosx=t，|t|≤ ，则有sinxcosx= ，

于是函数式化为：y= t -t- ，解得：y = + .

六、化为能用函数的单调性或均值不等式型

例10：求函数y=sinx+ （x∈（0，π））的最小值.

解法一：

令t=sinx，t∈（0，1），则可证y=t+ 在（0，1）内为单调递减函数，从而引发y=f（t）≥f（1）=3，即y =3.

解法二：

y=sinx+ =（sinx+ ）+

≥2 +sinx=2

+sinx

三角函数值范文第5篇

1 利用两角和（差）公式及三角函数有界性求解

三角函数里有很多关系式，如：sin2θ=2sinθ・cosθ、sin2θ+cos2θ=1、cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，cosβcosα=12等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的.

例1 如图1所示，在倾角为θ的斜面上方有一定点P，到斜面的（垂直）距离为h，过P点可作若干光滑轨道，使质点从P点由静止沿轨道下滑到斜面，试证明当轨道与竖直线的夹角α=θ2时，质点下滑时间最短，并求最短时间.

解析 根据质点受力情况和牛顿第二定律，可知质点在光滑斜轨道上的加速度

a=FM=gcosα，

在APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，

由几何知识有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.

则质点沿PA做v0=0的匀加速直线运动的时间为

t=2sa=2hgcos（θ-α）cosα.

令y=cos（θ-α）cosα，则由“积化和差”公式：

cosβcosα =12，

得y=12，

当α=12θ时，y有极大值ymax=12，

此时时间的最小值t=2hgymax=2hg（cosθ+1）.

本题不用“积化和差”公式而用其他办法也可求极值，但比较麻烦.另外此题结论可用“等时圆”加以验证.

2 利用“化一”法求三角函数极值

对于较为复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时，先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”.

因为 y=asinθ+bcosθ

=a2+b2（aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ）

=a2+b2（cossinθ+sincosθ）

=a2+b2sin（θ+），

其中tan=bal，故y的极大值为a2+b2.

例2 如图2所示，在竖直放置的光滑绝缘圆环上，有一带负电可以滑动的小球m套在环的顶端，整个装置在图示的正交的匀强磁场中，磁场与圆环的圆面垂直，若小球所受的电场力和重力大小相等，则当小球沿着环相对圆心滑过的角度多大时，它所受的洛伦兹力最大？

解析 因小球运动的v总与B垂直，故洛伦兹力表达式为：f=Bqv，只要速度达最大，洛伦兹力即最大，则由动能定理知当合外力做功WE+WG最大时满足条件，设小球从图示位置转过θ角，则

WE+WG=Eqrsinθ+mgr（1-cosθ）

=mgr（sinθ-cosθ+1）

=mgr2sin（θ-45°）+1〗.

由上式知当θ=145°时合外力做功最大.即物体获得速度最大，满足条件.

3 利用基本不等式与三角函数结合来处理

如果a，b，c为正数，则有a+b+c≥3abc，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号.

推论：

①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小；

②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大.

例3 如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？

解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则

E1=E2=kQ（asinθ）2（1）

又有 E=2E1・cosθ（2）

由（1）、（2）可得 E=2kQ・sin2θ・cosθa2（3）

将（3）式左右都平方，并整理成

E2=4（2kQa2）2（12sin2θ）・（12sin2θ）・cos2θ，

由于12sin2θ+12sin2θ+cos2θ=1 （定值），

则（12sin2θ）（12sin2θ）・cos2θ存在极大值.即

E2≤4（2kQa2）212sin2θ+12sin2θ+cos2θ3〗3

=427（2kQa2）2，

所以E≤43kQ9a2.

当12sin2θ=cos2θ，即θ=arctan2时取等号.

就是说，当θ=arctan2（差不多是55°）时，P点的电场强度最大：

Emax=43kQ9a2.

4 利用导数法求解三角函数极值问题

若物理量曲线的切线的斜率为零时，说明这个时候物理量的变化率为零，这时，该物理量一定具有极值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是变化过程中的极值.这为我们求物理量的最大值和最小值提供了方法.

例4 一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力功率的最大值？

解析 设小球运动到与水平方向成α角，则速度v和重力mg之间的夹角也为α，小球从A到C由动能定理

mgRsinα=12mv2，R为轻绳长.

由功率定义式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，对功率P求导：

P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα

=mg2gR1-3sin2α2sinα=0，

解得sinα=33时P具有极值，再求P在sinα=33处的二阶导数，p″=-mg2gRcosαsinα

当然还可以从另一个角度考虑，始末两个状态重力的瞬时功率均为零，易得到在a=arcsin33时，重力的瞬时功率具有最大值.