数学建模及应用
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数学建模及应用范文第1篇
中图分类号：O24文献标识码：Adoi: 10.3969/j.issn.1003-6970.2011.03.037
The applications and Constructions of computer lab in Mathematical Modeling
YU Ming-chai, CHEN Xing
(Nanyang Normal University,Nanyang ,473061,China)
【Abstract】Based on the experience of selection, training, competitions, organization in Mathematical modeling andthe experience of laboratory management, the authors discussed the effect of computer in mathematical modeling and pointed out laboratory has an irreplaceable role in mathematical modeling. It Proposed methods of building computer labs for developing mathematical modeling
【Key words】Laboratory construction ;Mathematical modeling; computer
0引言
1985年美国出现了一种面向大学生的数学建模竞赛，1992年中国开始举办数学建模竞赛，自此我国各大高校相继参加。我校自2003年开始参加数学建模竞赛至今，取得了不错的成绩。在2003至2008这六年间，共有33个队参加了数学建模竞赛，规模较小，计算机实验室设备和管理都没有跟上，且每次比赛时都是临时将教师办公室腾出作为考场，因此取得的成绩也不多。2009年开始扩充了实验室设备，配备了系统的计算机软件，完善了实验室管理，数学建模队伍也扩充了，2009年、2010年分别有16个和35个队参加数学建模竞赛，获得的奖为国家二等奖3个、省一等奖6个、省二等奖12个、省三等奖26个，其成果远远大于前几年。而且从河南省近几年同等院校参赛和获奖情况来看，参赛队伍越多，获奖的几率就越大，且获得高等次奖的队伍也增加。数学建模是培养创新型人才的方式之一，培养创新型人才是建设创新型国家的需要，创新型人才要通过创新性的理论教学和实验教学来培养，实验教学是培养高素质创新型人才过程中的重要环节，是始终贯穿、不可或缺的重要组成部分[1]，而实验室是实验教学的重要基地。
1计算机在数学建模中的作用
数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，这个过程包括模型的建立、求解、验证、改进等，这个过程如果用人工进行，则不是短时期内能解决的，因此需要借助计算来完成这些过程，以加快数学建模全过程的进度。
1.1利用计算机通过网络获取参赛题目以及查询有关的数据和建模所需的文献及资料
每年的参赛题目都是公布在网上，建模竞赛首先要利用计算机和网络将试题下载下来，然后分析各试题，上网查资料，决定选做题目。再根据选定的题目，上网查询更多的文献及相关的资料。因此，参赛队员应掌握网上查询文献的能力，会在各大期刊网查询[2]。
1.2利用计算机进行大量的数据分析和数值计算、编程、模拟(仿真)、图形处理等
选定题目查好文献，开始建立模型。有的题目有大量的数据要分析，如2005年全国大学生数学建模竞赛A题，“长江水质的评价和预测问题”中涉及长江的水质数据就有2000多个，这些数据如果人工计算，就很难在三天时间内很好地解决问题和完成论文。计算机具有高速的运算能力，能满足数学建模过程中复杂的数值计算。它的大容量贮存能力以及网络通讯功能，使得数学建模过程中资料存贮、检索变得方便有效，它的多媒体化，使得数学建模中的一些问题能在计算机上进行逼真的模拟实验[3]。例如著名的汉诺塔问题：64个直径不同的环按上小下大得顺序放在一个塔上，要求将这些环移到另一个塔上，仍按上小下大的顺序，可以利用第三个塔暂时存放，存放的塔也必须是小的环在大的环上面，要求一天移动一个环。这个问题可以用MATLAB编程
新建如下m文件
function Hanoi(n,A,B,C)%把n个盘子从A经C移到B
global countN;
if n==0
return;
end;
Hanoi(n-1,A,C,B);% 先把n-1个盘子经B移到C
disp(['第',num2str(countN),'步: ',A,'->',B]);
% 再把A最后一个盘子移到B
countN = countN+1;
Hanoi(n-1,C,B,A);
% 最后把n-1个盘子从C经A移到B
然后在命令窗口输入如下脚本：
global countN;
countN = 1;
Hanoi(64,'A','B','C');
countN
最终搬运的次数为2^64-1次，并且每一步移动如何移动环都计算出来，移动环的整个过程都也就模拟出来了。2^64-1是个多大的数，从这个数字上很难看出来，如果将题目的要求变一下，要求1秒钟移一个环，则需要的时间为（264-1）÷60÷60÷24÷365÷100=5849424174世纪，近58.5亿个世纪，是地球诞生时间的128倍，这个时间是不可想象的，实际去完成移动也是不可能的，而用计算机模拟却可以做到。
1.3利用计算机编写竞赛论文
建模竞赛最终交上去的论文,一般要求是打印的,论文格式除了要按照组委会的要求外,论文的版面设计如大小标题、段落、字体字号以及表格、插图、公式等都要安排得合理，给评审一个好印象，对成绩的提高有帮助。Word是大家熟悉的也是专业的排版软件，但Word在含有数学公式的论文排版时板式不容易调整到美观，数学论文最好用专业的数学排版软件TEX来做，公式用mathtype软件来输入，这样学生不仅能将论文排版美观，还学会了一个新技能。
2实验室在数学建模中的作用
数学建模作为联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学理论知识和应用能力共同提高的最佳结合点，在培养学生过程中，数学建模课程起到了启迪学生的创新意识和创新思维、培养创新能力和实践动手能力的作用，是培养创新型人才的一条重要途径。计算机在数学建模中对提高学生的实践动手能力和培养学生的创新能力的重要性是已知的，是必不可少的。
计算机实验室在数学建模中的作用不仅仅在于拥有计算机上，它还有着众多无法替代的功能。
2.1开展集中培训
参加数学建模的学生从大一到大四的都有，学生层次不一样，需要在比赛前进行集中培训，给队员补充必要的数学和计算机知识。并且在培训同时学生要学习使用数学软件和编程软件，以及论文写作与排版等，需要每个学生一台计算机，这是普通教室不能办到的，让每个学生都自带计算机到教室是不现实的，而计算机实验室就很好地能解决这个问题。
2.2学生在集中培训中和同学们切磋、磨合，找到最好的搭配
数学建模的竞赛形式是三人一组，在建模过程中队员需要协同工作才能解决问题。数学建模过程是一个不断讨论、不断完善的过程，在这一过程中，团队的分工合作必不可少，这就需要学生具有团队精神、协作意识。如何在众多同学中选取最好的搭档，这就要经过切磋磨合了。通常学生熟悉的同学大都是本班的，而建模往往需要不同院系不同专业的同学融合，这就需要把队员放在一起，让他们互相了解，互相切磋磨合，这个过程不是一两天就可以完成的。如在2010年全国大学生数学建模竞赛前10天，我院根据学生的专业，想对几个队的队员进行调整，让他们再进行一次模拟训练，结果所有被重组的队都反映他们与新队员的协作不好，要求还回原来的队员。因此，队员的搭配问题最好在培训期间解决。
2.3为方便教师辅导、学生小组合作学习提供场地
除了开展集中培训外，老师还在模拟赛和平时自由练习时对学生进行辅导，计算机实验室为学生和老师集中交流提供了一个非常方便的环境。此外，数学建模是多个方向的知识综合，辅导老师各有专长方向，学生对于不同方向的问题问不同的老师，往往会得到更全面的答案。如果没有一个集中学习辅导场所，学生就不能够同时与多个老师交流，对于综合性的问题，很难及时准确的找到答案。
建模同队队员往往是不同专业的学生，平时自学和训练时，除了实验室他们很难再找到一个更好的共同学习、训练的去处。在学生们自学消化期间里，需要合作学习，合作学习有效调动了学生讨论交流的积极性，在无戒备、轻松的气氛中听取和采纳他人见解，自主表达自己的观点，在有限时间内辨析、取舍、评价、知识重组乃至创新，实验室便是数学建模中合作学习的最佳场所。
2.4竞赛场地
数学建模竞赛中有一个规定是竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。而且数学建模竞赛还有老师巡考，数学建模场地要求集中，如果考场太分散就不方便管理了，因此计算机实验室是最好的数学建模竞赛场地。
3完善实验室，更好地为数学建模服务
实验室是科学研究、探索与发现、人才培养、科技开发、社会服务的基地，是推动一个民族和国家科技发展和进步的基础。在高校中，实验室更是开发学生智力、启迪学生思维、培养学生实践能力、设计能力、应用能力和创新能力的综合平台[4]。数学建模离不开实验室，只有完善实验室建设，才能保障数学建模顺利进行。实验室建设应注意一下几个方面的建设。
3.1实验室规模
在规模上，需要比较充足的实验教学设备和场地，才能够开展较大的实验课程教学、培训、竞赛和学生的创新活动，例如今年我院参加培训的队员有140人，可我们两个实验室分别只有50台计算机，计算机明显不够，后来向其他院系借了一个有150台计算机的实验室，我们的集中培训才得以正常进行。因此，实验室规模是保证实验教学活动的首要条件。
3.2实验室硬件、软件
数学建模实验的主要实验仪器是计算机，做数学建模需要进行大规模数值计算以及系统仿真，没有先进的硬件环境是很难实现的。先进的硬件环境当重点考虑高性能的计算机，如今计算机的发展是迅速的，每隔两三年，计算机的性能就会更新一代，如果仍用多年前的性能很低的计算机来做数学建模，那么程序的运行速度会非常慢，甚至有的软件根本就不能运行。
除了配备高性能计算机外,还应配上先进的软件,系统及常用软件是必须的，在此处不作讨论。需要使用的数学软件及功能如表1：
这些软件都需要性能好的计算机来运行，否则速度会很慢，耽误宝贵的时间。
3.3实验室师资和管理
实验队伍水平高低决定了实验室建设水平的高低，实验队伍可分为实验教师系列和实验技术人员系列两大类，前者主要承担实验教学任务及开展科学研究工作，后者主要从事实验室的日常教学管理、实验操作运行管理、实验室技术安全管理及实验仪器设备的管理使用维护保养等工作[5]。因此需要加强实验室师资队伍和管理人员队伍的建设，提升现有人员的综合素质，引进高层次高学历的人员。师资队伍和管理人员不仅要有扎实的专业基础,还要对数学建模有浓厚的兴趣,有一定的数学建模的实际经验、又有献身精神[6]。数学建模选拔、培训及竞赛都要付出很多劳动，非常辛苦，而老师的经费收入又相对较少。因此，数学建模教师及实验室管理人员不仅要有高水平，还要高素质，乐于奉献。
4建设好实验室，充分发挥实验室作用
在高校中实验室是重要的教学和科研基地，建设好实验室也是建设好学校的一个重要内容，实验室建好后，还可以为教师科研开发和应用提供更便利的软硬件环境，更有利于提高教师现代化的教学水平，教师、科研人员、学生都可以充分利用实验室的丰富资源，学生可以在实验室的实践中学到许多以前在书本上没有学到的知识和技能，学会如何在图书馆、互联网浩如烟海的资料中查找出自己所需要的资料[7]。实验室建好后，如果还有多余的资源，可以为社会服务，如和企业使用联合实验室或为企业开发软件等。这样不断提高了实验室的利用率，也带来了经济效益。
参考文献
[1] 刘志刚.三分天下有其一――加强实验教学工作,培养高素质创新人才[J].实验室研究与探索,2009,28(2):1-4
[2] 刘华等.加强培养学生在数学建模中运用计算机的能力[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2009,23(4):121-125
[3] 姜军 张利颖 薛峰.浅谈计算机在数学建模中的作用及特点[J].实验室科学,2007.5:81-84
[4] 王兴邦.实验室开放的内涵与机制研究[J].实验室研究与探索,2009,28(5):11-13
[5] 徐世同 曾繁丽.加强高校实验队伍建设 促进创新新型人才培养[J].实验室研究与探索,2009,28(9):152-154
[6] 韦程东.指导学生参见全国大学生数学建模竞赛的探索与实践[J].高教论坛,2007.1:27-29
数学建模及应用范文第2篇
关键词：纯粹数学；应用数学；数学建模
高校数学教育改革的目标就是让应用数学符合社会的需要，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让数学更好地为社会经济发展服务。进行数学建模思想的教育能够很有效地培养学生运用数学知识解决问题的能力。
一、应用数学的发展现状与发展趋势
应用数学、自动控制、运筹学、概率论、数学史、数学教育以及基础数学是“数学与应用数学”的七个主要研究方向。应用数学在发展的过程中又与其他的一些学科相交叉融合，产生了很多其它的学科与研究方向，如拓扑学、数值分析与矩阵论等。
经过很长一段时间的发展，应用数学学科已经变得更加成熟与完善，与其他一些学科有着越来越紧密的联系。应用数学所应用的领域不再仅限于传统的物理数学领域，在医学、经济学、生态学以及其它的一些学科中都产生了许多需要用应用数学来解决的问题。从这些新的研究方向中也诞生了很多新兴的学科，如金融数学、生物数学等。原先纯粹数学的重要性并没有被普遍认同，应用数学的发展使得数学学科的实用性得到了普遍的认同。应用数学现在正从传统的领域进入到各行各业，应用数学在社会发展中所起的作用也越来越大。马克思曾经说过，一门与数学高度结合的学科才是一门精确的学科。从现在的情况来看，这句话是十分正确的。这就为应用数学的发展提供了广阔的空间，同时也对数学工作者提出了更高的要求。数学工作者必须不断地去学习、接触各个领域的知识，跟上时代的发展，用数学解决一些实际的问题，为社会发展作贡献。
二、重视推动应用数学的发展
1.数学建模的必要性。数学模型的建立就是用数学的语言来将整个事件过程表达出来。换一种表达方式，就是用数学的方式来描述一个事件或者现象，这个事件可以是生物的、物理的，也可以是金融的、心理学的。数学的特性不仅是逻辑严密、概念抽象、结论明确，数学应用的范围还非常广泛。随着计算机的普及和科学技术的发展，各个领域对于各种数据的精确性要求越来越高，使得数学在各个领域中的应用越来越深入，数学已经成为一种科学技术手段。进行数学教育的一个重要方面，就是培养学生的数学意识和能力，主要是学生的逻辑思维能力和思维的缜密性。而建立数学模型的过程就是一个锻炼学生逻辑思维能力的过程，所以数学建模对于培养学生的逻辑思维能力是非常有益的。建立数学模型的过程也是一个创新的过程，能够培养锻炼学生的创新思维，能够促进教育和课程的改革。建立数学模型的过程同时也是进行实践的过程，能够培养学生的实践能力，提高学生的素质。所以数学建模是十分必要的。
2.在教学中渗透数学建模思想。数学建模是联系理论与实际的纽带，是各个学科之间相互交流的节点，对于学科的交叉融合，对于不同学科师生的互动起着非常重要的推动作用。高校教师在平时的教学活动中，要尽可能地向学生教授数学建模的思想，培养学生的逻辑思维能力，在进行相关例题的讲授时，要注意讲授方法，将一些比较明确的习题修改成比较不明确的例题，让学生去探索例题的解决方法，逐渐培养学生的探索精神和数学建模思维。
3.技术实用主义教学教育观。在19世纪20年代初，著名的教育家克莱因和贝利进行了一场数学教学的改革，这次改革的核心是强调数学教育的实用性。这种教育观点一直延续到今天，对现今的数学教学有着重大的影响。基于技术实用主义的教学观点，在进行数学教育时要重视数学技能的教育。笔者认为，让学生充满学习兴趣和动力的是教师的教学艺术。学习数学与学习一门技术相类似，技术和知识主要是通过实践来获得和掌握的，所以要掌握数学建模的方法和技巧必须经过充分的建模实践。基于以上的观点，与建模相关的教学资源就变得十分重要，教师要利用教学资源引导激发学生，学生要利用相关的资源进行建模实践。在平时的数学教学中，要创造条件让学生掌握计算机技术，用计算机解决相关的数学问题。在平时的教学中，应当引导学生发现问题并且提出相应的问题，然后逐步引导学生去解决相应的数学问题，在引导的过程中将数学建模的方法教授给学生。在平时的数学教学中，要鼓励学生发表自己的观点，提出一些设想，同时要引导学生之间对相关的数学问题展开讨论，让学生参与到数学教学中。数学教师也应当改变观念，由原先的“灌输式”的教学向“探究启发式教学”转变。
当前的数学教学应该着重于培养学生的创新能力和将实际问题抽象成数学问题的能力，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。数学建模的普及将会培养学生的创新意识，提高学生应用数学的能力，激发学生的创造欲望，有利于人才的培养。
参考文献：
数学建模及应用范文第3篇
关键词:经济学 数学模型 应用
在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。
一、数学经济模型及其重要性
数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。
数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。
二、构建经济数学模型的一般步骤
1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程,直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来,又能够应用到实际问题中去的。
三、应用实例
商品提价问题的数学模型:
1.问题
商场经营者即要考虑商品的销售额、销售量。同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系。定价低、销售量大、但利润小;定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下.商品的最高定价问题。
2.实例分析
某商场销售某种商品单价25元。每年可销售3万件。设该商品每件提价1元。销售量减少0.1万件。要使总销售收入不少于75万元。求该商品的最高提价。
解:设最高提价为X元。提价后的商品单价为(25+x)元
提价后的销售量为(30000-1000X/1)件
则(25+x)(30000-1000X/1)≥750000
(25+x)(30-x)≥750[摘要]本文从数学与经济学的关系出发,介绍了数学经济模型及其重要性,讨论了经济数学模型建立的一般步骤,分析了数学在经济学中应用的局限性,这对在研充经济学时有很好的借鉴作用。即提价最高不能超过5元。
四、数学在经济学中应用的局限性
经济学不是数学,重要的是经济思想。数学只是一种分析工具数学作为工具和方法必须在经济理论的合理框架中才能真正发挥其应有作用,而不能将之替代经济学,在经济思想和理论的研究过程中,如果本末倒置,过度地依靠数学,不加限制地“数学化很可能阉割经济学的本质,以至损害经济思想,甚至会导致我们走入幻想,误入歧途。因为:
1.经济学不是数学概念和模型的简单汇集。不是去开拓数学前沿而是借助它来分析、解析经济现象,数学只是一种应用工具。经济学作为社会科学的分支学科,它是人类活动中有关经济现象和经济行为的理论。而人类活动受道德的、历史的、社会的、文化的、制度诸因素的影响,不可能像自然界一样是完全可以通过数学公式推导出来。把经济学变为系列抽象假定、复杂公式的科学。实际上忽视了经济学作为一门社会科学的特性,失去经济学作为社会科学的人文性和真正的科学性。
2.经济理论的发展要从自身独有的研究视角出发,去研究、分析现实经济活动内在的本质和规律。经济学中运用的任何数学方法,离不开一定的假设条件,它不是无条件地适用于任何场所,而是有条件适用于特定的领域在实际生活中社会的历史的心理的等非制度因素很可能被忽视而漏掉。这将会导致理论指导现实的失败。
3.数学计量分析方法只是执行经济理论方法的工具之一,而不是惟一的工具。经济学过分对数学的依赖会导致经济研究的资源误置和经济研究向度的单一化,从而不利于经济学的发展。
4.数学经济建模应用非常广泛,为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导,如节省开支,降低成本,提高利润等。尤其是对未来可以预测和估计,对促进科学技术和经济的蓬勃发展起了很大的推动作用。但目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧。这既是我们今后应该努力发展的方向,又是我们不可推卸的责任。因此,我们要以自己的辛勤劳动,多实践、多体会,使数学经济建模为我国经济腾飞作出应有的贡献。
数学建模及应用范文第4篇
依据职业教育的培养目标,在职业教育阶段,学生仅掌握书本知识已经不能满足社会的要求,因此,引导学生把所学的数学知识与生活中的实际问题相结合,开展数学建模活动应成为职业教育数学教学活动的重要理念之一。
1 问题提出
1.1 问题
商场经营者即要考虑商品的销售额、销售量。同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系。定价低、销售量大、但利润小;定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下.商品的最高定价问题。
1.2 实例分析
某商场销售某种商品单价25元。每年可销售3万件。设该商品每件提价1元。销售量减少0.1万件。要使总销售收入不少于75万元。求该商品的最高提价。
解:设最高提价为x元。提价后的商品单价为(25x)元
提价后的销售量为(30000-1000x)件
则(25+x)(30000-1000x)≥750000
(25+x)(30-x)≥750
0≤x≤5
即提价最高不能超过5元。
2 数学建模的概念
数学建模,即构造数学模型,具体地说就是将某一领域或部门的某个实际问题,经过抽象、简化、明确变量和参数,并依据某种“规律”建立变量和参数间的明确关系(数学模型),然后求解该问题,并对结果进行解释和验证,如果正确,则可投入使用,否则将重新对问题的假设进行改进,多次循环,直到正确。
3 数学建模的一般步骤
这里所说的建模步骤只是大体上的规范,实际操作中应针对具体问题作具体分析,灵活运用。建立数学模型的一般步骤如下:
(1)模型准备:
了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识,明确建模的目的,掌握研究对象的各种信息(如数据、资料等),弄清对象的特征,分析原型的结构,有时要求建模者做深入细致的调查研究,按模型的需要有目的地收集所需要的数据。
(2)模型假设:
分析处理数据、资料,确定现实原型的主要因素,抛弃次要因素,对问题进行必要的简化,用精确的语言找出必要的假设,这是非常关键的一步。
(3)模型建立:
根据主要因素及所作的假设,利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系,并建立相应的数学模型(如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等)。在建模时,数学工具的采用要根据实际问题的特征、建模的目的和要求以及建模者的数学特长而定。因此,采用的数学方法不同,建立的模型可能也不同。但应遵循一条原则,即尽量采用简单的数学工具,以使模型得到更广泛的应用。
(4)模型求解:
使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。利用数学工具,对模型进行求解,包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等,以找出数学上的结果。要求建模者掌握相关的数学知识,尤其是计算技巧和计算机技术。
(5)模型分析:
对模型求解的结果进行数学上的分析,有时需要根据问题的性质分析各变量之间的依赖关系或性态,有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。
(6)模型检验:
把模型分析的结果返回到实际应用中,用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性,即验证模型的正确性。通常,一个成攻的模型不仅能够解释已知现象,而且还能预言一些未知现象。
(7)模型应用:
如果检验结果与实际不符或部分不符,而且求解过程没有错误,那么问题一般出在模型假设上,此时应该修改或补充假设。如果检验结果与实际相符,并满足问题所要求的精度,则认为模型可用,便可进行模型应用。
我们用图1示来解释一下它的基本过程:
4 数学模型介绍
4.1 建立竖式模型
例1 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划本年度投入800万元,以后每年投入比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计约400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游收入每年比上年增加。问至少经过多少年,旅游业总收入才能超过总投入?
解:设n年内(本年度为第一年),总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元。
第一年投入800万元,
第二年投入万元……,
第n年投入为万元,所以n年内的总收入为:
第一年旅游收入为400万元,
第二年旅游收入为万元,……,
第n年旅游收入为万元,所以n年内的总收入为:
,化简得:
>0
解得5.
故至少经过5年,旅游业总收入才能超过总投入。
4.2 建立方程(方程组)模型
例2 永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用a米长的材料440根,b米长的材料480根,可采购到的原材料有三种,一根甲种材料可截得a米长的材料4根,b米长的材料8根,成本为60元;一根乙种材料可截得a米长的材料6根,b米长的材料2根,成本为50元;一根丙种材料可截得a米长材料4根,b米长的材料4根,成本为40元。问怎样采购,可使材料成本最低?
分析:若直接设材料成本最低为x元,则根据已给条件不好列方程,所以我们不妨借助于辅助变量;令甲种取x根,乙种取y根,丙种取z根,那么可得到
再设总成本为p元,则求出p=60x+50y +40z的最小值即可。
解:设甲种材料取x根,乙种材料取y根,丙种材料取z根,则x,y,z满足
设总成本为p元,则求p的最小值,由①,②得
因x,y都是正数0≤z≤100又x,y都是非负整数 令z=5t,则0≤t≤20
于是p=60x+50y+40z=60(50-2t)+50(40-2t)=5000-20t
显然t=20时,成本最低,即当x=10,y=0,z=100时,取得材料的最低成本为4600元。
4.3 建立不等式模型
例3 南泉汽车租赁公司共有30辆出租汽车,其中甲型汽车20辆,乙型汽车10辆。现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司,其中20辆派往A地,10辆派往B地,两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如表1:
(1)设派往A地的乙型汽车x辆,租赁公司这30辆汽车一天共获得租金为y(元),求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元,请你说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来。
解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x (0≤x≤10)
(2)由题意得:26000+100x≥26800,
又因为0≤x≤10,且x是整数,所以x取8,9,10故方案有3种。
方案1:A地派甲型车12辆,乙型车8辆;B地派甲型车8辆,乙型车2辆;
方案2:A地派甲型车11辆,乙型车9辆;B地派甲型车9辆,乙型车1辆;
方案3:A地派甲型车10辆,乙型车10辆;B地派甲型车10辆。
例4 学校食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米,每次购进大米需支付运输费100元,食堂每天需用大米1吨,贮存大米的费用为每吨每天2元,假定食堂每次均在用完大米的当天购买。(1)该食堂每多少天购买一次大米可使平均每天支付的总费用最少?(2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于20吨时,大米价格可享受九五折(即原价的95%),问食堂可否接受此优惠条件?说明理由。
解:(1)设每n天购进一次大米,则购米量为n吨,那么库存费用为:
2[n+(n-1)+…+2+1]=n(n+1),
记平均每天的总费用为y1,则
当且仅当,即n=10时,等号成立,故应每10天购买一次大米,可使平均每天支付的总费用最少。
(2)显然,若接受优惠条件,则至少每20天订购一次,即每m天购一次时,有m≥20,记此时每天总费用为y2,那么
(m≥20)
因为
所以函数是增函数,故当m=20时,y2最小值为1451,因为1451
4.4 构建几何模型
例5 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南方向300km的海面P处,并以20kmh的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10kmh的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
解:记时刻t(h)台风中心为p,台风侵袭区域的半径为r(t)
则
,由题意当时,城市O受到台风侵袭。
而令,
所以
即:
故
所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭。
4.5 构建排列,组合模型
例6 两条直径把圆面分为四部分,如图所示:现用四种颜色涂这四个区域,问相邻区域不同色的涂法有几种?
解:分三类:用四种颜色去涂有
用三种颜色去涂,则相对的两个区域涂同一颜色,
于是有
用两种颜色去涂有。
所以共有24+48+12=84种。
4.6 构建函数模型
例7 一商场经销某种电器,根据销售情况年进货量为5000台,分若干次进货,若每台电器价格为2400元,每次进货需费用1600元(包括运输等各种费用),且在售完该电器时能立即进货,每一台电器的年库存保管费率为10?。为降低成本,使一年的进货费用和库存保管费用之和最省,每次应进货多少台?此时一年的进货费与库存保管费之和是多少?
解:设每次进货x台,则由上述分析知,每年总费用y(进货费与库存保管费之和)为:
当且仅当即x=250时取等号,此时可取最小值60000。
答:每次进货250台时,一年的进货费与库存保管费之和最省,为60000元。
例8建造一个容积为8m3,深为2m的长方无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别120元和80元,那么水池的最低造价为多少元?
分析设池长为xm,由已知条件,池底面积4m2,则池宽为4m,那么水池总造价y元为:
解:将函数转化为方程,利用判别式来解决。
时取得最小值解得=1760元,此时x=2附条件,则水池的最低造价为1760元,
4.7 构建实际生活的数学模型
例9海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行。开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处后,货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
已知:由数学模型知
求AD的长
解:由数学模型得
而
由BD―CD=BC 又BC=20海里,
得
海里
20.79海里>10海里, 货轮没有触礁的危险.
例10我们都知道,《乌鸦喝水》的故事,说的是:一只乌鸦口渴了,到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子,瓶子里有水。可是瓶子里的水不多,瓶子口有小,乌鸦喝不着水,怎么办呢?乌鸦看见瓶子旁边有许多小石子,想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里,瓶子里的水渐渐升高,乌鸦就喝着水了。问:这一只聪明的乌鸦,可是这只聪明的乌鸦真的能喝到水吗?
解构建数学模型,不妨假定所投入的石块都是大小相同的石球,其直径为r,共有n 个。所有的小石球都紧密地排在一起,并且球心都在同一条直线上。再假定瓶了的形状是方柱体,其内部空间被分成 n个棱长为r 的小正方体。这样,瓶子里的总空隙就可以看作是每个小石子的外切正方体与小石球体积差的总和。由上面的假定可知:每一个小石球的体积为,其外切小正方体的体积为r3,所以瓶子里的总空隙为,
数学建模及应用范文第5篇
数学建模是培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. 我国受国际上“问题解决”教学的影响, 也注意强调对学生的分析问题和解决问题的能力培养, 开始在教育中引进实际问题, 教育部 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准》把数学建模纳入其中, 这是我国中学数学应用与建模发展的里程碑, 同时标志着数学建模正式进入我国高中数学教学.
【关键词】高中；数学；建模；问题；应用
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)02-0230-01
在高中数学中，数学建模实际上就是如何去解决生活中的实际问题。根据本人的实际教学经验，发觉学生很难掌握数学建模这一方法。学生存在的主要困难有以下三点：（1）望而怯步,弃城投降。数学实际问题的文字叙述比较长,数量比较多,关系比较隐蔽;因此,面对一大堆非形式化的材料,许多学生不知从何下手,产生惧怕心理,有的一看是篇幅较长的文字题读也不读就放弃了。（2）术语不熟,题意难懂。由于实际应用题中有许多其他知识领域的名词术语,如利率、利润、打折、保险金、纳税率和折旧率等。如果对这些名词术语语不熟悉,那么,正确理解题意也就谈不上了。（3）杂乱无章,无从下手。许多实际问题中,涉及到的数据多又杂,数量关系不明显,而且数据具有生活实际的本来面目,杂乱无章,头绪纷聚,很难找到解决问题的实破口。面对题目,无从下手。但实际问题的解决又非常重要，在高考试卷中一般都会出现。
下面来看几个2007年各地高考试卷中出现的一些关于实际问题的题目。
例1、（浙江卷理4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
（A）3 （B）4
（C）5 （D）6
例2、（安徽卷理21）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n－1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n－2，……. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证Tn=An+ Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.
例3、（湖南卷理19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0″
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论.
可知用数学建模来解决实际问题的方法已越来越重要。如何来解决呢？一般可构建一些学生所熟悉的模型：如构建函数模型，构建数列模型，构建不等式模型，构建解析集合模型，构建立体几何模型，构建排列组合模型等等。下面我们结合案例来讲述数学建模的一般过程。在《数学课程标准》中我们可以看出建模重点在于过程, 我们要为学生创设一个学数学、用数学的环境, 为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会. 尽量为不同水平的学生提供展现他们创造力的舞台, 发挥学生自己的特长和个性, 提高他们综合利用自己所学知识解决问题的能力, 感受数学的使用价值. 充分发挥学生的创新意识, 同时培养学生团队合作的精神,养成与人交流的习惯.
案例：
你正在为你父母的投资选择充当顾问, 你的父母早就想改善住房条件, 5 年前在银行开设 5 年期零存整取账户, 坚持每月在工资发放当天存入现金 1000 元, 从没间断,今年刚好到期. 最近, 你的父母看中一套价值 20 万元的房子, 决定从银行取出这笔存款, 不足部分再向银行申请按揭贷款, 我们一起研究你的父母还需要向银行贷多少款? 你父母向银行申请为期10年的贷款13万元, 结果只批准贷款 10 万元, 请你解释这是为什么.问题分析: 首先收集材料调查银行住房存贷款类型、( 整存整取, 零存整取等) 年利率、利息计算形式( 单息, 复息) . 题中所要解决的问题:父母存款额, 需贷款额, 父母的偿还能力.模型假设: 银行存贷款利率不随物价波动即为常数.模型建立与求解:
(1) 父母现在共有存款多少?还需贷款多少?
在上述简化假设下, 父母五年存入 5×12×1000=60000( 元) , 每笔款子由于存期不同所得本利和不同, 按单利计算, 当年五年期零存整取的月利率为 8/1000, 每期为一个月, 1000 元每期的利息为 1000×8/1000=8( 元) , 设按本金存入顺序本利和依次为 a1, a2, ...a60, 则:a1=1000+60×8, a2=1000+59×8, a3=1000+48×8, a60=1000+8, 故{ an} 为公差 d=- 8 的等差数列, 实际问题就转化为求等差数列前 n 项和:S=n( a1+an) /2=60( 1000+60*8+1000+8) /2=74640( 元)
200000- 74640=125360( 元) .
父母现有存款 74640 元, 还需向银行贷款约 13 万元.
( 2) 银行减少贷款数额, 考虑什么因素?(偿还能力)
( 学生互相讨论) 据统计, 全家四口人每人每月的生活费400 元, 每年全家稳定收入 3.7 万元,
月偿还能力=年净收入/12=( 37000- 400×4×12) /12=1483.33,
父母申请按揭贷款 13 万元, 每月应归还贷款为:( 按歇贷款是每月等额归还本息的一种贷款种类. 10 年期贷款的月利率为 4.65/1000, 按复利计, 从贷款日起, 每过一个月还贷款一次, 每次归还的金额相同, 10 年即 120 个月后本息全部还清. 设每月还款额为 x, 每期还款后的金额为 ai(i=1,2,…120).贷款额p=13万,利率r=4.65/1000.则:
a1=p(1+r)-x,
a2=a(11+r)-x=p(1+r)-x(1+r)-x,
ai=ai-(11+r)-x=p(1+r)i-x(1+r)i-1-…-x(1+r)-x,
a120=p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118-…x(1+r)-x.
由于第120月贷款还清,所以a120=0(这是极关键的一步).所以
x［1+(1+r)+…+(1+r)119］=p(1+r)120（转化成数学问题),
则有x=p(1+r)120r(1+r)120-r.
把p=130000,r=4.65/1000代入得x=1415.99,
1483.33-1415.99=67.34.
银行认为贷给13万元风险较大,月偿还1415.99/13×10=1089.22(元)较符合实际.
模型分析与推广.
(1)银行存贷款利息计算方法是不一样的.但复利计算则存款与贷款的本利和就相等,对换银行与父母的角色还钱就变成零存整取了.
