数学拓展知识范文第1篇

一、熟悉统计学的含义

正常情况来看，统计学是对各种统计对象的数据资料进行搜集、整理、研究和分析，以表现其总体的特征和规律性的学科。 统计学的分析对象是客观事物的数量特征和数据资料，它主要培养学生搜集、整理、研究和分析等统计本领。学生要通过对所分析对象的总体数量关系和数据资料去伪存真、去粗取精，从而找出分析对象的特征、变化趋势和规律等。因此，初中数学课堂教学中的统计学实际上便是统计学课程，它是本文由收集整理根据生活中的各种具体现象，联系学生实际，并让学生收集、整理和研究统计数据的科学。其目的是让学生探索数据的内在规律性，以达到对客观事物的科学认识。

二、统计学与初中数学的关系

1. 数学是统计学的基础

数学是统计学的形成基础，统计学中诸多的基本理论都是以数学的演绎推理为支撑，而统计学又是数学书本知识在生活领域的具体应用和延伸。

2. 统计学是数学的一个分支学科

数学逐渐发展成为具有多个分支学科的大家族，统计学就是其中一个分支。这些年以来，随着社会的不断发展进步，统计学与人们的实际生活越来越密切，统计学也变得越来越重要。初中统计知识教学中，要经过分析大量的案例，使学生体会统计知识与生活生产和科技领域的密切关系，体会数学来源于生活，又用于生活，从而增强统计意识。因此，在授教课程时，教师应该放手让学生经历数据的收集、整理、描述、研究的整个过程，掌握统计的一般方法，建立统计的思想体系，从而提升学生研究难题、解决难题的本领。

三、初中统计教学应突出的重点

1. 带领学生摆脱经验的束缚，树立统计观念

在统计的入门教学中，通过简单的实例体会统计知识在实际生活中的应用，认识数学与实际生活是密不可分的，经历方差、研究数据、描述信息、进行判断的整个过程，树立统计观念，使学生获得一种新的解决难题的本领和方法，即把基本理论知识转化为一种解决实际难题的本领。

2. 强化学生统计意识

统计主要是分析人们实际生活中的一些数据，研究某些规律和特征，并以此帮助学生处理生活中的具体难题。 用样本估计总体是统计的基本思想，统计中常常采用从总体中抽出样本，经过研究样本数据来估计和推测总体的情况。教学中，教师要带领学生体会统计这种归纳的数学思想，并针对不一样的抽样大概得到不一样的结果，即对结论的“不确定性”有所感悟，使学生认识到统计知识是联系实际的枢纽。

3. 重视实际难题随机抽样

统计学主要有关两大类难题：首先是怎么样抽取样本，其次是怎么样对所抽取的样本进行整理、研究，从而对总体情况作出判断。 而样本的抽取是否得当，直接关系到对总体估计的准确度。

数学拓展知识范文第2篇

一、合理把握“深与浅”——深度适“群”

既是拓展延伸，就一定有提高的要求，和基础题目比较，挑战性会更突出。因此，“深浅度”的把握是教师首先要考虑的。太“浅”，缺乏真正的数学味，不能体现数学学习的思考价值，如同“排排坐，分果果”，不是“跳一跳，摘果子”，失去了拓展的实际意义。太“深”，只适合于极少数的优秀学生，使得拓展延伸成为优秀学生的“专利”，后进生乃至成绩一般的学生，对拓展延伸望而却步。因此，“深度适群”是拓展教学有效的必要保证。“深度适群”的意义是指：“拓展延伸”需要的知识基础一定要适合绝大多数学生，至少可让绝大部分学生尝试解决。

1. 立足群体认知水平——适当提高。如同一位优秀的歌手找准每一节的音调一样，优秀教师在拓展环节也必定会找准全体学生的认知起点，充分考虑全体学生已有的生活知识经验与学生当前学习水平，让拓展的问题努力靠近维果茨基的“最近发展区”。设计的挑战题力争达到“趣”、“近”、“小”三个要求。“趣”就是符合学生的兴趣；“近”是要和本节课的知识紧密联系；“小”是指目标不是太高，跳一跳，能摘果。

例如，在教学长方形和正方形的面积计算这课内容，最后的拓展环节出示以下两个问题供学生思考：

（1）一块正方形的菜园，有一面靠墙，用长24米的篱笆围起来，这块菜地的面积是多少平方米？

（2）图中每个小方格表示1平方厘米，你能计算出下面长方形的面积吗？

在拓展延伸时，紧紧扣住长、宽、边长与长方形、正方形的面积、周长的关系，设计了多层次、多方位的问题。这些问题的解决都建立在利用面积公式的基础上，但又略高于简单的运用公式；都需要学生“跳一跳”，但又远离偏、难、怪，就在学生的最近发展区内为学生创设了一套“思维训练操”，实实在在地让大部分学生都得到了锻炼，获得了全面和谐、可持续的发展。练习1是求长方形周长的一道变式题，在解决时，要引导学生想到24米实际上并不是周长只是三边的长度，这是解决问题的关键。通过这样的练习，学生对长方形和正方形的面积计算必有了进一步的认识。如果说习题1是对生活的延伸，那么习题2就是对本节课所学的探究方法的拓展。在解决这个问题的过程中，学生要运用到本节课开始所用的操作探究的思路，然后经过分析知道1平方厘米正方形的边长是1厘米，经过综合知道长方形的长、宽，从而求出长方形的面积。在一系列的思维转换中，学生对长方形、正方形的面积与长、宽、边长的关系又有了辩证的掌握，为以后学习其他平面图形的面积计算打下了基础。

2. 关注群体发展需要——整体提升。尊重每一个课堂中的生命，尊重每一个生命拥有的课堂权利，所以课堂拓展环节也应该是属于每一个学生的。从这个意义上来讲，教师设计的拓展就不能是点缀，不能是形式，更不能是属于某一部分人的“舞台”，所以它一定不能是太深太难的，需要适合群体的发展。比如，在《能被3整除数的特征》教学中设计这样的拓展题：比一比，赛一赛，看谁能最先判断出下列各数是不是3的倍数。

（1）93963 （2）97263155

第（1）题，利用各数字之和的方法判断出93963是3的倍数，适合全体学生解决。“看谁能最先判断”就要求学生思考更简洁的方法，“因为这个数是由9、6、3这3个数字组成的，而9、6、3这3个数字都是3的倍数，所以我判断这个数是3的倍数”。不少善于观察、思考的学生会站起来这样说，在他们的启发下，其余学生随即会恍然大悟，欣喜地接受这个方法。第（2）题的解决，各层次的学生可以有不同的方法，可以加一加求和来判断，可以去掉其中的9、6、3再求和判断，最高层次的思考是：先把9、6、3去掉，因为7与2的和是9，也是3的倍数，所以也可以同时去掉，同样也可以同时去掉1和5，只剩下一个5，5不是3的倍数，所以这个数不是3的倍数。这样的提高练习，具有很强的基础性、层次性、灵活性、趣味性，可以激励全体学生积极参与、努力进取、不断提升，从而体现“不同的人学不同的数学”的理念。

二、适度把握“宽与窄”——点面适“宜”

知识的学习过程就是一个不断联系的过程，有教育专家说，“课堂学习不求多但求联”，就是强调知识学习联通的重要性。因此，我们看到很多老师在教学的拓展环节会把知识延展开，以期学生学习的面更广、知识的联通更透、解题的技巧更活。那么，这个延展的“宽阔度”该如何把握？联系太多太广，漫无边际，费时费力，教学效果事倍功半。联系太少太窄，原地打转，理解欠联，教学效果不尽如意。因此，适度把握知识联通的“宽”与“窄”是拓展教学有效的必要保证。

1. 注重知识体系。在把握知识“宽窄”度的时候，教师首先要明晰知识体系，根据体系在拓展环节做好“量身定裁”的设计。在一些公开课上，有些教师设计的拓展练习其实是课本接下去一课时（或后几课时，甚至是后年级）的教学任务，就是把知识前移作为拓展，这是非常不可取的。因为学段、学年、学期、单元、学时都有其特定的教学任务，知识前移既增加教学难度也打乱教学秩序。

例如，有教师在执教《小数乘以小数》时，在拓展环节安排了这样的两道练习题：（1）算一算，比一比，你发现了什么？0.48×1.3= 0.48×1= 0.48×0.7= （2）巧妙计算：23.4×0.9= 3.8×10.1= 事实上，第（1）题探究积与因数的关系教材做了合理的安排，安排在练习一中呈现，而第（2）题的巧妙计算是教材接下去安排的“整数乘法运算定律推广到小数”中的教学内容。教师安排这样的两道题目作为拓展，一是会占据不少课堂的时间，势必影响小数乘以小数的基础练习，二是给学生增加了不小的学习难度，三是打乱了教材安排的教学体系，这显然是不可取的。

在《小数乘以小数》这一课时，其中的一个教学重难点是积的小数点处理，所以这节课的拓展可以紧扣这个知识点的纵深去思考设计。比如，可以是完成类似（ ）×（ ）=0.48这样的练习，或者是安排一些小数点“安家”的拓展练习，让学生进一步明晰小数乘法和整数乘法的相互关系以及积的小数位数变化规律。

2. 讲究点面适宜。不同的课型，学习的目标不同，当然拓展的思路也会不同。新课学习是“点”位知识，对它的延伸应该是在顺应知识脉络的那条线上生长。如果是“面”上的知识，虽说相互知识有联系，但知识点总是不同的，学生学来费时费力，而且对本课新知的学习也有干扰。如，本文前面的案例中，把多边形的内角和知识作为三角形内角和知识的拓展，就是从知识“点”拓展到了知识“面”，起不到对三角形内角和知识的巩固、深化作用，反而因为需要花费时间来研究多边形内角和的知识，挤占了三角形内角和知识的探究时间和练习时间。如果沿着“三角形内角和180度”这个知识“点”设计这样的问题：小明不小心把一块三角形玻璃摔成了两快，一块只有原来的一个角，另一块有原来的两个角，他想重新买一块，可以用什么方法配到和原来一模一样的玻璃？这样的拓展让学生既有兴趣，又有挑战性，而且也是围绕着知识“点”作纵深的挖掘，起到巩固和发展的作用。相反的，练习课或者是复习课的拓展设计，则需要更多地把知识从“点”、“线”拓展到“面”和“体”上，以架构起知识的网状结构。如，复习平面图形面积，最后的拓展可以通过改变梯形“上底为0”变三角形，“上底和下底一样”变平行四边形，及进一步变成长方形、正方形，把各种平面图形的面积计算统一成（上底+下底）×高÷2，帮助学生完善知识网络的建构。

三、艺术把握“取与舍””——取舍适“需”

每一位优秀的教师，“生本”理念是他走进课堂应具有的最基本的教学思想。他们时刻意识到数学课堂教学要以生为本，以学为根，做到一切教学行为都只为教学实际需求服务。这种依实际需求而教的理念也体现在课堂拓展环节的取舍上。

1. 取舍适需。数学拓展延伸环节是课堂学习的延伸与发展，是课堂教学的补充，但它却不是课堂的必备环节。它的存在，首先由教学内容确定，一些对后继学习关联大、数学思维含量高、生活联系紧密、有利数学素养养成的内容需要拓展。例如，在学习了基本的数量关系后，可以熟悉商场的购物发票，熟悉“单价、数量、总价”，让学生根据自己家的实际情况“当一回家”，增强学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力等。而有些教学内容就不一定非要拓展，比如低年级中一些内容比较浅显的，再加之学生认知较少，拓展太多太深反而会使学生学习数学的自信心受挫。还有一些初步认识的教学起始课，它的教学目标就是初步感知，后继将进行系统的学习，也不宜太多太深的拓展等等。其次，拓展延伸环节是否需要以及所达到的程度如何要看授课班级学生的学习能力，整体能力突出，可以拓展多点深点，整体能力不是很好，抓好基础更重要，适当提高促发展。综言之，数学课堂拓展环节的教学应该在学生扎实掌握和落实基础知识和基本技能的基础上，立足文本、立足生本、立足发展，进行或知识、或文化、或实践的拓展延伸才是需要的，才是可行的，才是有效的。

2. 学会放弃。课堂教学的时间是个常数，学生学习的历程也不会都是一帆风顺的，磕磕碰碰中时间就悄然而过了。也许，等到可以对所学的知识拓展延伸的时候，时间却不充裕了；亦或许，根本就没有时间了。这个时候，不要走过程，不要走形式，更不能为保证课堂的完整而让你设计的拓展延伸“紧急上场，仓促下阵”，只留下一个“羞答答”的“身影”。比如，同样是教学口算乘法，笔者在自己任教的班级上课，可以按教学设计顺利完成，但送教下乡到一个乡镇小学，由于学生的认知起点较低，在前面的算理和算法的理解中磕磕碰碰，于是，笔者果断地放弃了后面解决问题和拓展应用环节。正因为放弃，学生有足够的时间把口算乘法的算理和算法理解透彻，后面的计算就很顺利，学生学习的积极性也被充分调动。大哲学家书格拉底说：“千鸟在林，不如一鸟在手”，这句话也让我们感悟到有时放弃就是最明智的选择。简言之，数学拓展延伸环节的教学要根据课堂教学的实际做到“取舍”合理。

四、有效把握“学与用”——选材适“切”

实用主义教育家杜威曾提出“如何使学校教育与儿童的日常生活相联系”的重要问题。因此，在拓展环节的教学中，教师要有意识地联系学生的生活实际，设计一些贴近学生生活的拓展练习，让学生尝试着运用所学的知识去解决自己身边的问题，并且指导他们如何寻找生活和数学的联系。

1. 内容贴切。学生生活的环境不尽相同，个人的成长道路亦有差别，这就造成了学生情况的复杂性。因此，拓展延伸时，教师需要综合考虑授课班级学生的各方面因素，比如年龄特征、生活经验、地域特色、特长喜好等，设计的拓展练习尽量选用与学生密切相关的或直接尝试过的数学材料，这样学生才有学习兴趣和动机，才有解决问题的基础，才有探索的价值。比如，学习“折线统计图”的时候，可以虚拟一个股市行情图让孩子模拟演示。

2. 内涵丰厚。课堂的拓展延伸可以使课堂呈现全方位的开放，可以从教材走向生活，从学习走向文化，从感悟走向哲理，这种全方位的开放既丰富了课堂的知识含量，又凸显了数学文化的内涵。因此，课堂拓展延伸的材料选择除了要与学生的生活实际相贴切，还需要追求内涵的丰厚。

请看经典案例——特级教师张齐华《圆的认识》。

数学拓展知识范文第3篇

关键词：数学拓展课；教材内容；知识体系；思想方法；数学文化

数学拓展课是学校或教师自主开发设计的一种以非教材例题为学习内容的教学课型，其教学资源来源宽泛、体量庞大、内容丰富，包括教材知识延伸、生活问题解决、数学实验探究、数学文化介绍、数学游戏互动等。不同的知识领域，有着不同的教学定位，也有着不同的拓展需求[1]。由于受教学时间等因素的限制，某些知识内容、思想方法、数学文化等在教材中难以得到充分的延伸与拓展，这给数学拓展课的开发与实施提供了空间。数学拓展课是对现行教材的有效补充，但与教材不同的是，它既没有现成的教学内容，也没有成熟的教材体系，因此，在开展数学拓展课教学时，教师不但要解决“怎么教”的问题，还要解决“教什么”的问题，为此，教学内容的开发与实施便成为数学拓展课教学的两个重要任务。下面以苏教版《数学》六年级上册“长方体与正方体”单元为例，谈谈基于教材内容的数学拓展课的开发方法与实施策略。

一、基于教材内容的数学拓展课的开发方法

数学拓展课重在拓展，拓展点是数学拓展课中重要的设计要素。基于教材内容的数学拓展课的开发重在对教材中拓展点的挖掘，常用的开发方法有以下几种。1.梳理知识体系，在教材留白处挖掘拓展点结构化教学对知识学习具有重要作用，当知识以一种结构化的方式进行储存时，便可以大大提高知识应用时的检索效率。因此，我们需要在教材留白处寻求突破，帮助学生完善知识网络，实现知识的结构化与体系化。苏教版小学数学教材在编写教学内容“长方体与正方体的体积”时，以水为媒介广泛运用了转化思想，如在建构体积概念时，借助倒水的操作实验，让学生感悟到桃子体积的存在；在拓展体积意义时，通过对量杯的观察实验，引导学生发现马铃薯的体积就等于水上升部分的体积……学生由此积累了“等（体）积变化”经验。然而，这里的经验是狭隘的，因为上述素材都有一个共同之处——物体被完全浸没在水里，而部分浸没的现象却没有涉及，显然这里的认知是不全面的，我们不妨以此为拓展点，从物体完全被浸没延伸至物体部分被浸没，带领学生体验不同状态下“等（体）积变化”思想的巧妙运用，以此帮助他们拓展认知视野、完善知识结构。2.凝练思想方法，在求同求通中挖掘拓展点数学是理性的，其中蕴藏着至真至通的智慧[2]。教师要引导学生跳出繁杂事物的表象，在迷乱中逼近本质、在无序中寻找有序、在冗长中寻求简洁，让他们在转化与通达间感悟数学的智慧，在探究与实践中享受创造的乐趣。探究表面积的计算方法是学习“长方体与正方体”的重要内容，苏教版小学数学教材这样编排：例4旨在探究长方体表面积的计算方法，“试一试”旨在探究特殊长方体（正方体）表面积的计算方法，练的“思考题”旨在探究不规则物体表面积的计算方法。三种物体，形状不一样，表面积的计算方法也不一样，但这些计算方法之间存在相通之处：它们都可以从前面、右面、上面三个角度来计算不同面的面积，进而乘以2后得出表面积。可惜教材没有将对此进行比较与勾连，因此，我们不妨以此为拓展点（如图1），带领学生探究不同计算方法之间的共同之处，在化繁为简中感悟思想方法的融通与和谐。图1表面积的拓展点图示3.引入数学文化，在溯本求源中挖掘拓展点在数学课堂中，我们要重视数学文化的教育价值，在数学文化中溯本求源、生长智慧。关于长方体（或正方体）体积的计算方法，苏教版小学数学教材带领学生重点探究的是“长方体的体积=长×宽×高”“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”以及“长方体（或正方体）的体积=底面积×高”。然而体积的计算方法是多样的，我们可以收集与体积测量有关的数学文化知识，并以此为拓展点引入不同的体积测量方法，如在天平的两边，在材质一样的情况下，用1立方厘米的立方体“称”出未知物体的体积（如图2）。在思辨中聚焦方法本质、在转化中发展创新精神。4.重视学情分析，在盲区误区中挖掘拓展点学情是指与学生生活、学习相关的一切因素，包括学生的学习态度、学习基础、学习习惯、学习能力、兴趣爱好、家庭环境、年龄特点、心理特点等因素。在数学教学过程中重视学情分析，可以帮助教师及时地调整教学方向，有的放矢地查漏补缺，当然也可以适时地进行拓展延伸，从而引领学生走出学习的盲区与误区。在教学“长方体（或正方体）的展开图”时，教师安排了这样的前测问卷：“想一想，为什么要学习长方体（或正方体）的展开图？”学生的反馈情况如下：回答“帮助我们更深刻地理解长方体和正方体”的学生占58.3％，回答“帮助我们学习表面积”的学生占31.3％，回答“不清楚”的学生占10.4％。由此可见，学生对“为什么学习展开图”的认识较为狭隘，他们大都仅局限于知识技能的学习。针对以上的情况，教师跳出知识层面的局限，开发了这样的拓展点：将展开图的学习定位为一种研究方法的探究，把它与“拆”“切”“拼”等研究方法有机融合，带领学生从立体到平面、从平面到立体，感悟研究事物方法的多样性、研究角度的全面性、研究结果的深刻性。

二、基于教材内容的数学拓展课的实施策略

拓展点是数学拓展课中最为基础的组成部分。在数学拓展课教学时，我们可以从一个或几个拓展点出发，寻求它们之间的内在联系，并借助教学主线将拓展点串成线，连成片，形成块，进而整合成一个有机的整体。数学拓展课的实施离不开教学主线的提纲挈领。1.以“萌发—生长—丰盈”为教学主线，经历知识的形成过程对学生来说，学习的过程就是认识新事物的过程。数学教学不是科学数学的重现，而是学科数学的再造，因此，在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，学生的学习体验才会更为深刻。在“长方体与正方体”的编排中，物体完全被浸没在水中的情况较为常见，但对部分被浸没在水中的情况却鲜有涉及，可是在一些相关练习中却常常遇到。面对这一情况，我们有必要以此为拓展点开展一些衔接铺垫工作，意在丰富学生的认知、拓展学生的思维。案例1：拓展课“两个容器，哪个容积更大”选择题：甲、乙两个容器都装满水，把两个体积相同的铁块分别放入甲、乙两个容器中。如果甲容器溢出的水比乙容器溢出的水多，那么甲、乙两个容器，哪个容积大？（）A.甲容器容积大；B.乙容器容积大；C.一样大；D.无法确定。面对此题，学生很疑惑：把两个体积相同的铁块放入水中后，水上升部分的体积是一样大的，溢出的水自然也应该是一样多的，可为什么甲容器溢出的水会比乙容器溢出的水多呢？是不是题目出错了？面对这些的矛盾，很多学生百思不得其解，他们无奈地选择了D选项“无法确定”。但当教师出示示意图（如图3）之后，他们惊奇地发现铁块放入水中，居然可以有两种不同的状态：完全浸没和部分浸没，于是他们得出了新的结论——乙的容积较大。此时，新的认知正在悄然萌发。图3甲容积比乙容积小借助核心问题“在甲容器比乙容器溢出的水多的前提下，甲、乙两个容器的容积大小还有其他可能吗？”学生展开新的思考。得益于前面的启发，学生冲破了原有认知的束缚，知识在生长、经验在生长、思维在生长。接着，学生讨论、交流其他不同情况（如图4、图5）：图4甲容积比乙容积大图5甲容积与乙容积相等此时，学生的认知得以丰盈与完善，虽然最终的答案仍然是“无法确定”，但与当初的“无法确定”相比，已经截然不同：当初的“无法确定”是一种无奈、一种迷茫，而现在的“无法确定”则是一种笃定、一种理性。2.以“心理认同—模仿内化—创造发展”为教学主线，经历能力的提升过程在教学过程中，学生能力的提升总是和教学活动联系在一起的：一方面，在教学活动中学生的能力水平能得到充分体现与外显；另一方面，活动本身就是很好的载体，它为学生能力的发展提供了舞台。对数学学科来说，学生的核心能力包括抽象能力、推理能力、建模能力等等，它们的发展都有一个螺旋式的生长过程。在“长方体和正方体”单元中，涉及三种物体表面积的计算：长方体、正方体以及不规则物体（形如教材第9页“思考题”中的物体）。其中，不规则物体表面积的计算难度最大。为了突破难点，教材先引导学生画出从前面、上面和右面看到的形状，然后再计算不规则物体的表面积，但学生对“求不规则物体表面积之前为什么要先画图？不规则物体的表面积计算方法与正方体、长方体的表面积计算方法有怎样的联系？”却不甚明了，为此，教师以“心理认同—模仿内化—创造发展”为教学主线，带领学生经历了能力的提升过程。案例2：拓展课“巧算表面积”学生从长方体与正方体的表面积计算公式中寻找两者之间的联系：它们都是从6个方向来观察、计算表面积的。出示教材第9页的“思考题”，追问“为什么计算表面积之前需要先画图？”引导学生认识到“计算不规则物体的表面积与计算长方体、正方体的表面积一样，也可以从6个方向来考虑”，从而将三种方法进行概括与统整，即：表面积=（前面面积+右面面积+上面面积）×2，引发了学生的认同与共鸣，为能力的提升奠定基础。模仿是一种能力，也是培养其他能力的基础，有了前面的情感认同与经验迁移，教师设计了以下教学活动：分别求下面物体的表面积（每个小正方体棱长均为1厘米）。图6表面积的题组练习“为什么第2个物体与第1个物体的表面积一样大？”“第3个物体，凹进去一块，还能用刚才的方法解决吗？”借助以上问题引发学生思考，从单一到复杂、从一般到特殊、从生涩到熟练，学生在模仿与内化中实现了能力的持续发展。创造能力的养成是能力高品质提升的重要标志。为了激发学生的创造能力，教师开展了如下的开放活动：在一个棱长为3厘米正方体木块中，挖走一个长、宽、高分别为是3、2、1厘米的长方体，现在的表面积是多少？有几种可能？你能创造出几个表面积相等的不规则物体？借助以上问题，学生在多维思考与动手实践中提升思维品质、发展创造能力。3.以“求真—求通—存异”为教学主线，经历智慧的生长过程在数学拓展课的教学中，我们的拓展不能止步于知识的延伸，还应凸显知识背后蕴藏的数学方法与数学思想，带给学生可以受用终生的理性精神与创新能力。“等（体）积变化”实则是一种转化思想，在苏教版小学数学教材中，这样的数学思想有很多体现，诸如铁块的锻压、沙堆的摆放、橡皮泥的变形等等。但在教学过程中，我们发现很多教学活动仅仅停留在知识的掌握、方法的操练层面上，对“等（体）积变化”中蕴藏的智慧因子的发掘不够到位。于是教师以此为拓展点，以“求真—求通—存异”为教学主线，借助一道题目的三次变化，引领学生经历智慧的生长过程。案例3：拓展课“翻滚吧，水箱！”一个封闭的长方体水箱，从里面测量，长30厘米、宽20厘米、高10厘米。水箱里有一些水，水深8厘米。如果把这个水箱向后推倒（即以后面为底面放置容器），那么现在水深是多少厘米？第一次改编：把原题中“长是30厘米”这一条件去掉，现在水深还是16厘米吗？学生得出等量关系“长×20×8=长×10×现在水深”，根据等式性质同时消去等号两边的“长”，从而得出结论：现在水深仍然是16厘米。接着，教师又追问“为什么去掉一个条件后，水深还是16厘米呢？”引导学生在题目的变化中寻求不变：水箱翻滚前后，水的体积没有发生改变，而且水的体积都与“长”这个条件有关，更重要的是“长”的大小也没有发生改变。在此基础上，教师引领学生认识到：面对繁杂的信息，要学会透过表象看本质。第二次改编：把第一次改编题中“向后推倒”变为“向右推倒”，现在水深还是16厘米吗？学生在探究中发现：本题与上一题有所不同，这里的等式“长×20×8=10×20×现在水深”中的“长”没法直接抵消掉，但是却可以得到两者之间的关系，即现在水深是现在水箱高度的54。借助问题“上述三题中，都存在54的关系吗？为什么都会存在54的关系呢？”引导学生归纳总结：当底面积一定时，长方体的体积与高之间存在正比例关系。至此，学生跳出了题目之间的差异，在贯通方法、融通思想中生长智慧。在第二变化的基础上进行了第三次改编：加一条件“向右推倒N次（N为大于0的自然数）”，现在水深是多少厘米？学生进行分类思考：当水箱向右推倒奇数次时，水的深度不能确定，但它与水箱高度的关系是可以确定的，始终存在着54的关系；当水箱向右推倒偶数次时，水的深度永远为8厘米。学生由此认识到现实世界中，问题解决的方法是多样的、结果是多元的，在求同存异间，他们体悟到了数学的和谐之美。基于教材内容的数学拓展课的开发与实施，离不开对教材的深刻解读，离不开对学情的精准分析。唯有在拓展中实践、在实践中创新，才能充分体现基于教材内容的数学拓展课的教学价值——激发学习兴趣、巩固课本知识、完善认知结构、丰富探究经验、培养创新精神。

参考文献

[1]王卫东.数学拓展课的结构化教学研究[J].教学与管理，2021（35）：43-46.

数学拓展知识范文第4篇

【关键词】拓展性课程 内容选择 教学策略

当前，随着课程改革的不断深入，“课程拓展”“课程整合”等已经成为完善与深化课程建设的重要理念，尤其是对落实“学科核心素养”的关注和实践，使得学科教学的目标进一步指向于学生的基本素养与整体发展，教育行政部门也从课程建设的层面提出了相应的规定和要求。

小学数学课程，总体而言，思维要求比较高，知识结构严谨抽象，注重方法与能力，因而常常给人一种“坚精”和“高冷”的感觉，这种“印象”对于发展学生的数学素养、丰富学生对数学的积极情感体验是不利的。笔者以为，数学学科是具有多面性与丰富性的，教学还应该展现它“有趣”和“柔软”的一面，而数学拓展性课程的教学恰是提高数学兴趣、关注数学经验和落实“核心素养”的有效载体与途径。

一、拓展性课程的内容选择与价值取向

“拓展性课程应涉及三级课程的所有学科和学习领域。学校应依据培养学生思想品格、核心素养和各科课程标准的目标要求，把国家课程和地方课程的部分内容开发为拓展性课程，把大部分校本课程开设为拓展性课程。”1因此，根据省教育厅的文件精神，开发小学数学拓展性课程是必要的。同时，在内容的选择上应该关注以下几个方面。

（一）以教材实践活动为基点，进行适度拓展

从拓展性课程的三个组块看，小学的重点是体艺特长类和实践活动类课程，因此，数学拓展性课程的基础是将教材的实践活动内容教学好。教材中的很多实践活动内容，其发展兴趣、提升能力和积累经验方面的价值，远高于知识技能方面的价值。例如，五年级上册第50页的“掷一掷”，教材通过几个情境图引领学生经过“初步实践：知道两数之和的可能与不可能（认知初构）―再次实践：认知与结果产生冲突（认知塌陷）―三次实践：统计发现并用可能性解释（认知再构）”的过程，在这个过程中，学生所有的获得都基于自身的实践，显然，这样的实践活动有别于传统的知识技能教学。

再比如六年级上册第80页的“确定起跑线”，教材引领学生从现象中提出问题：为什么运动员站在不同的起跑线上？距离相差多少呢？继而引领学生进行实践测量和计算，得到相差的距离并发现一般的规律。

这一系列的能力拓展是必不可少的，教材并不强调结果的记忆与固化，这是非常好的，因此不必将目标定位于“得出结果，掌握一般规律”，而应重在拓展课堂的时间与空间，以及学习方式。设想：如果在教学中我们将所需数据全盘给出，让学生在教室里看图计算，填表观察并得出规律，那么就与一节圆周长的练习课无甚区别了。如果这样，那么“相关数据怎么去得到？哪里有？直径等长度的测量应该怎么操作？测量工具怎么使用……”这些拓展性的能力一概没有得到培养。因此，避免将实践活动当作知识技能教学是第一步。

（二）以数学能力发展和数学活动经验积累为重点组织内容

一般来说，对学生拓展性课程内容的学习情况宜采用灵活多样的考查方式进行评价，而不应成为期末学业考试的必考内容，否则就容易使主动、积极的实践性学习降格为被动的巩固与训练，不仅会降低学生学习的兴趣，甚至会加重学生的负担。这与我们实践课程改革、构建学科拓展性课程的初衷是相悖的。因此，数学拓展性课程的内容选择不应增加知识，而应解决问题，应以能力发展和经验积累为重点。例如，四年级学生以“周长和面积”作为知识的基点，进行课程内容的拓展，可以让学生解决以下的问题：你能在方格纸上画出一个和图1周长相同但面积更大的图形吗？你能找到面积最大的图形吗？

一种创造性的面积估算方法得以产生，一种跨界式的思维得以训练，这种方法的价值不在于是否“实用”，而在于思维方式的创新，本来“面积”与“概率”是两个领域的内容，在这样的思考与实践中实现了完美的融合。像这样的拓展性内容，丰富了经验，发展了能力，学会了解决问题，又不增加知识，是很好的课程选择。

（三）将教学内容与数学游戏有机整合构建内容

笔者以为，数学拓展性课程内容的选择，应建立大数学、大教育的理念，目的是埋下种子，而不必过于追求即时的收获。数学玩具、数学游戏、数学绘本是笛拓展性课程内容选择的重要源泉。七巧板、魔方、鲁班锁、华容道、数独以及很多数学绘本，都隐含着大量的数学知识和数学原理，对激发学生学习数学的兴趣，自觉运用数学知识解决问题，促进学生数学推理能力和空间想象能力的提高，形成对数学的正确理解和积极情感，都有非常重要的意义。必须明确的是，在数学拓展性课程中，这些不应仅仅成为问题提出的情境或引子，而应该是学习的主体，解决问题的形式和途径，以及探索发现的源泉。

我们认为，数学拓展性课程的价值取向应该是“兴趣”“过程”和“体验”，即立足于培养学生学习数学、研究数学的兴趣；立足于让学生在过程经历中积累数学活动经验，发展能力；立足于促进学生形成良好的数学观和数学意识，具有积极的数学情感体验；立足于拓宽学生的数学视野，融通数学知识间的“壁垒”，体会数学的联系性、基础性和普遍性。

二、拓展性课程内容的教学策略

数学拓展性课程展现的是数学的“软实力”，教学时教师务必转变观念。功在课前，研究组织内容和设计学习任务；隐在课中，突出学生的实践和活动，突出学习的自主和体验，不轻易干预；导在学后，必要时作适度指导，并引导学生提出新问题。

（一）材料设计

教学材料设计要蕴含丰富的实践探究性和驱动力，要有利于学生以内容为载体去进行操作、尝试、试误并产生顿悟，而不是承载过多的知识与技能。要将课内的知识与课外的内容、游戏等融合起来，拓展和延伸数学学习的时间和空间，课内重在提出问题，引发兴趣，激发思维，而不是试图解决所有的问题。例如，《神奇的汉诺塔游戏》提出了以下的问题：在印度有一个古老的游戏（见下图），每次只能搬动一个圆饼放到别的杆子上，并且在搬动过程中大的圆饼不能放在小的圆饼之上。传说有预言：当有人将下图中左边杆子上的64个圆饼利用中间的杆子全部移到右边的杆子上，并且从小到大的顺序不变时，世界末日即来临。你认为这个预言可信吗？你估计完成这个任务可能需要多少时间？

这个问题带来了强烈的探究欲望、认知冲突和丰富的实践探究空间，里面隐含了大量的数学规律和计算模型，这正是内容本身给学生带来的兴趣与震撼。那么，我们是否要在课内刻意把所有的规律、模型都找到呢？如果这样，我们可能又在向知识技能教学的思路靠拢！这个内容真正的目标价值在哪里呢？笔者以为，不是发现了多少规律，记住了多少计算模型，而是在研究实践中找到正确有效的方法以及学习活动本身所带来的乐趣，有了这样的乐趣体验，喜欢数学的情感种子在学生的内心就不会泯灭。

（二）目标设计

要有高弹性和大跨度的目标设计，而不是教学要求整齐划一。拓展性课程内容的教学目标设计，应有别于基础性课程，是对人和谐、自主、有差异发展目标的完善和提升，而不是增加更多的知识。应更关注目标的整体与整合，要将学生的学习过程中的兴趣、投入、能力、方法等作为目标的重点，而不应过多地关注掌握了多少技巧，或是有没有提炼出规律并能否按规律快速操作。例如，“魔方”是一种非常好的益智玩具，并且大量融合了空间想象、观察比较、逻辑推理等高阶数学思维元素于一体，作为数学拓展性课程内容是非常好的。因此在教学目标的制定上，应关注学习的兴趣，应立足于学生在玩的过程中领悟、发现规律和方法，立足于学生相互交流和启发，立足于学生在玩的过程中感受快乐。应允许有的孩子只是喜欢玩，有的孩子不仅喜欢玩，还能边玩边研究，而有的孩子在玩的过程中还能收获丰硕的成果。总之，目标要立足于数学学习的情感和高阶思维的发展，要给学生提供广大而自由的发展空间，教师要真正转变为一个组织者和指导者，而不是教给学生多少魔方的规律，让学生掌握多少玩魔方的“套路”。我们认为，在数学拓展性课程的教学中，兴趣和积极的数学情感体验高于一切。应该让学生在这样的课堂上“玩数学，疯狂地玩数学”。

（三）学习方式

要体现以实践活动和过程经历为主的学习方式，而不是教师把控课堂教学，学生只是坐而听讲。拓展性课程的教学效益在于领悟和默会知识的积累，在于数学活动经验的积累，以及自己的发现和分享。而这一切，都不应该也不可能仅仅通过讲解、提问和讨论来实现，其前提是基于实践，基于过程，基于发现。例如，《棋盘中的奥秘》：小明和小红在棋盘上玩游戏，小明走黑棋，小红走白棋，只可以往上、往左或沿对角线走，但一次只能走一格，从A点出发，谁先到B点获胜。问怎样走才能获胜？

这无疑是一个富含数学策略和逻辑推理的好问题。教师在教学中提供给学生操作的棋盘和材料，要求W生同桌两人对弈，边玩边思考：怎样才能获胜？一定时间尝试以后，要求学生：你认为只要走到哪几个位置就一定能获胜了？把那几个位置在透明棋盘上圈出来。交流时，教师把学生的透明棋盘重叠起来呈现，结果大家的发现是相同的（如图4）。在这个过程中，学生经历了“盲目实践―试误调整―相互启发―领悟要点”的过程，这是一个学生摸索的过程，而不是教师暗示引导的过程。接下来的问题是：要到达这几个点，关键点又在哪里呢？在问题的驱动下，学生再次探索，遂找到所有的获胜关键点（如图5）。我们认为，如果教学中教师过多地引导学生观察讨论，概括出这些制胜关键点，从表面上看，似乎大家都掌握了，但从本质上来说，牺牲了学生的自主探究和反思顿悟，违背了拓展性课程的基本教法和学法，变成了形式化的“找规律”教学，这是得不偿失的。

数学拓展知识范文第5篇

一、口算教学中进行拓展

三年级要学习三位数除以一位数和两位数乘两位数的口算。在学生学习理解了口算的算理，明确了算法以后，教师将被除数的位数从三位改到多位，让学生想一想可以怎样算，为什么能这样算？例如：学习了300÷3以后，拓展到“如何口算3000÷3、30000÷3？”使学生明确“不管被除数是几位数，只要末尾有零”的一类口算题的算法。学习了整十数乘整十数的口算以后，拓展到整十数乘整百数、整百数乘整百数等口算。这样学生学到的口算方法就从一道题类化为一类题的计算。在进行以上拓展的时候并没有加重学生过多的负担，学生只要运用知识的正迁移就能很顺利地掌握一类题目的计算方法，在解决问题的时候遇到单位转化的问题，出现整百或整千数的计算，学生也能灵活解决了。学生学会三位数除以一位数的口算和两位数乘两位数的口算是很容易的，但只掌握这一种题目的算法，如果题目稍有变化，有些学生是很难迁移运用的。因而拓展口算教学，是提高学习效率，养成良好思维方式的好方法。

二、笔算教学中进行拓展

三年级学习两位数乘两位数的笔算，四年级学习三位数除以两位数的笔算，关于整数部分的笔算学习就全部结束。其实学生到了五年级进行小数乘除法计算的时候常常会碰到多位数乘多位数的计算内容。比如计算圆周长面积的时候常常需要用到3.14这个数去乘，乘数的数位会变多，除法中被除数与除数的数位也会变多。如果在整数计算阶段进行乘数及被除数、除数位数的拓展，到了五年级，多位数乘除法的笔算方法就可以直接迁移到小数的计算中。如果在整数计算阶段不拓展，那么学生在解决问题中碰到了多位数的乘除法计算题就不能正确计算了。乘法从两位数乘两位数拓展到多位数乘多位数分两步走：先在三年级上学期学习三位数乘一位数的时候进行一次拓展，从三位数扩展到多位数乘一位数，让学生通过三位数乘一位数的算法迁移，明确多位数乘一位数，就要用一位数去乘多位数的每一位数；然后到三年级下学期，学习两位数乘两位数以后拓展到多位数乘两位数，多位数数乘三位数。以上乘法笔算的拓展都不需要另外增加课时，只需在新授课时加入一两道题，进行算法迁移即可。而除法的笔算拓展内容需要一个课时，原因是对除法的笔算法则进行全面梳理，并且重点突出跟商0有关的笔算书写格式。除法笔算的拓展也分两步走：首先是三年级下学期学习了三位数除以一位数的笔算之后进行拓展，将被除数拓展到多位数除以一位数，本次拓展不需要增加课时，只要直接在三位数除以一位数的新授课上增加一道四位数除以一位数的题目，学生就能将算法进行迁移了；到四年级上学期学习三位数除以两位数的笔算，这次拓展需要一个课时，帮助学生对笔算除法的计算方法进行整体构建。实际上乘除法笔算的拓展不仅仅帮助学习五年级小数乘除法打基础，也促进学生在四年级阶段遇到比较复杂的问题时能顺利计算。

三、简便运算中进行拓展

四年级学习了混合运算以后，学生开始学习整数计算中的简便运算，到了高年级这些简便运算就从整数拓展到小数与分数中。教材编写时，考虑到学生认知水平的局限性，四年级上学期课本上只要求学习加法交换律结合律和乘法交换律结合律，下学期学习乘法分配率，整数阶段的简便运算就结束了。书上虽然没有涉及减法与除法的性质，但是学生学习了加法与乘法的运算律，是否能避免将这些简便方法进行负迁移呢？学生遇到有些复杂的简便运算题涉及减法与除法的性质时，教师是否就题论题讲完题目就算了呢？到了高年级小数的简便运算的学习是否只限于加法与乘法的简便计算呢？基于这三点，我觉得讲授完整数的简便运算后需要拓展，而且拓展的内容较多，需要增加一些课时来帮助学生对比消化，以达到灵活运用。在四年级上学期学习加法与乘法的交换律和结合律后，需要增加减法的性质与除法的性质，既可以帮助学生深刻理解加法与乘法运算律，又可以避免学生将这些运算律进行负迁移。