高中数学证明方法范文第1篇

【关键词】不等式，证明方法

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a ）。

例1.证明：x>0时，有x>ln（x+1）

证明：设f（x）=ln（x+1） ，显然函数f（x） 在区间[0，x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，

根据定理的条件有：

f（x）-f（0）=f’（ξ）（x-0 ），

其中0

由于f（0）=0，f’（x）=，

则上式即为f（x）=，

又因为0

所以就有

注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是根据所给不等式，选取或构造适当的辅助函数f（x）和区间（a，b），通过ξ的范围，根据导函数f’（x）确定f’（ξ）和分式的范围，从而得证。

二、利用函数的单调性证明不等式

函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x）>0，则f（x）在区间[a，b]上单调增加；（2）f?（x）

例2.证明：x>0时，1+>

证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+∞）上连续，在（0，+∞）内f?（x）>0，因此f（x）在[0，+∞）上单调增加。从而当x>0时，f（x）>f（0）。由于f（0）=0，故f（x）>f（0）=0。即>0，亦即1+>。

注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f?（x）的符号判定函数f（x）在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。

三、利用函数的凹凸性证明不等式

函数凹凸性的定义：设f（x）在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两点x1，x2，恒有f（（x1+x2）/2）≥f（x1）+f（x2）/2，则称f（x）在[a，b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2）/2）≤f（x1）+f（x2）/2，则称f（x）在[a，b]上是凹函数。

函数凹凸性的判定定理：设f（x）在[a，b]上连续，在区间（a，b）内有二阶导数，（1）如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）

例3.证明：a>0，b>0且a≠b，n>1时，

证明：令f（x）=xn，x?（0，+∞），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+∞），都有>0。根据函数凹凸性判定定理，f（x）在（0，+∞）内是凹的；由函数凹凸性定义，对任意的x，y?（0，+∞），且x≠y，有

注： 利用函数的凹凸性证明不等式，首要问题是找到辅助函数f（x），然后判定函数f（x）在指定区间上的凹凸性，最后根据凹凸性定义，导出所要证明的不等式。

四、小 结

用高等数学的相关知识来证明不等式的方法比较多，除上述为大家介绍的几种方法之外，还有用积分中值定理、函数的极值等有关知识，以及积分不等式、柯西施瓦茨不等式等已经知道的重要不等式来证明不等式的方法。总而言之，因为不等式的题型特殊，证明方法灵活多变，想要真正掌握不等式的证明，不但要有广泛的数学知识和一定的方法技巧，而且要在学习实践过程中多练习，多思考，多归纳。

参考文献：

[1]《数学分析》.第二版.华东师范大学数学系编.高等教育出版社，1997.4.

高中数学证明方法范文第2篇

现行的中学数学教材,要求学生不论是几何学习还是代数知识的掌握,都要积极培养证明的思考习惯,发挥证明能力,可以说,从初中到高中每个年级都需要重点进行证明教学。教授和学习证明大多以逻辑证明为主,从概念到定理,再从彼定理到此定理,注重形式化,过分要求逻辑的严谨性,代数证明中关键点――非形式化证明中所具有的数学创造性却被忽视了。概括地说,对于高中数学教学目标来说,现今的高中代数证明的教学是不合格的。

课题:不等式证明

课型:新授课

教学目标

1.知识方法目标:会用多种方法进行代数证明。

2.能力目标:代数证明能力的提高。

教学重点难点

1.重点:不等式证明分析法的运用

2.难点:分析法实质的理解

教法与学法

通过具体问题演练,掌握不等式证明的方法。

教学过程

一、课题引入(创设情景)

1.复习引入

提出问题一:我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?

问题二:能否用比较法或综合法证明不等式:■+■

2.教师点评

在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法。复习已学证明不等式的方法,指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,激发学生学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式。

二、新课讲授

1.尝试探索、建立新知

教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评。帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系,投影分析法证明不等式的概念。综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式。

(学生与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知)

[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?

[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

[问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

(学生积极思考问题)

[点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立,就是分析法的逻辑关系。

(学生自学课本上分析法证明不等式的概念)

设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证明不等式,培养学习创新意识。

2.例题分析

已知:0

(学生分析哪种证法正确而哪种错误)

教师点评:证法一错误。错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误。

三、课后思考

高中数学证明方法范文第3篇

以下谈谈我在初中数学教学中进行分层教学的一些做法和效果。

一、根据学生的数学知识和思维能力水平对学生分层。并根据不同层次的学生制订不同层次的教学目标和教学策略。

A层：数学基础较好，思维能力也较好。

B层：数学基础一般，思维能力一般或较好。

C层：数学基础中下，思维能力一般，或思维能力较好但数学基础较差，学习品质不够好。

D层：数学基础较差，思维能力一般或中下。

对学生分层后，针对不同层次的学生制订不同层次的教学目标和教学策略：

A层：尖子生培养对象。有针对性地对他们提出较高要求和开小灶。要求他们除完成课本习题外，尽量多看些有关解题和数学竞赛的数学课外书，鼓励他们提数学问题，多鼓励他们自学和进行一题多解。

B层：使他们一部分能向A层转化。提高他们学习数学的兴趣，鼓励他们在课堂上多问，多提问题，多鼓励他们自学，多鼓励他们一题多解，要求他们在测验时争取优分并追上成绩最好的同学。

C层：提高他们学习数学的积极性，提高他们的数学基础和数学思维能力，使他们其中一部分向B层转化。多鼓励多提问多辅导，提高他们学习数学的兴趣和解数学题的兴趣。要求他们在测验中取得合格以上成绩。

D层：尽量提高他们的数学基础和数学思维能力，提高他们学习数学的积极性。使部分向C层甚至B层转化。多耐心辅导教育多鼓励，尽量多提问，提高他们听数学课的兴趣，要求他们完成作业和在测验中争取合格以上成绩。

二、课堂教学中进行分层教学的实践与体会。

2009年至 2012学年，我担任我校091、096两个数学基础相差很大的班的数学教学工作，在096班我用传统教学法，在091班我试用分层教学法。以下是我的做法：

1. 在课堂教学中我针对不同层次的学生采取不同的导学方法，使各层次的学生都能理解掌握数学知识和发展能力。

课堂上多让A和B层学生探求问题（例题，习题或老师和同学提出的数学问题），讨论问题，最后独立地或在老师的引导下找出答案，并多鼓励他们质疑已有答案（或解法，证法）和对数学题进行一题多解，以培养他们的创新意识和创造性思维能力。而对C和D层次的学生则在讲解教学内容之后还加强个别辅导。

上课前的复习提问，课堂的练习，课外的作业都针对不同层次的学生分开层次，一般课堂练习和课外作业分基础题（必做）和提高题（选做），提高题鼓励A层次和B层次的学生做，C和D层次的学生可以不做，但仍鼓励他们尽量去做，能做几题就做几题。

2.采取多举学生感兴趣的实例或采用多媒体教学的方法，提高学生（尤其是C，D层次学生）对数学概念，定理，性质的感性认识，提高他们学习数学的兴趣。

091班C，D层次的学生基础较差，有一次，我发现他们老是把解方程当作式题计算来做，知道他们对解方程的同解原理不理解，我就这样引导他们认识解方程的同解原理： 我要知道你们这一列同学中最后一位同学有多少只手指，现在我要倒数第二位同学跟最后一位同学比较手指数，如果相同，则要倒数第三位同学跟倒数第二位同学比较手指数，如果相同，再进行下去，直到我面前这位同学。因为你们这一列同学前后两个同学的手指数都相同，所以，我只要看我面前这位同学的手指数就可以知道最后那位同学的手指数。然后，我类比此例讲解用同解原理解方程的原理：

通过这样举例讲解，提高了学生学习的兴趣，使C，D层次的学生理解了用同解原理解方程的原理，以后他们都会用同解原理按解方程的步骤来解方程了。

3.对学生的引导由少到多，使各层次的学生都能得到所需的启发。

在初二几何中的梯形中位线定理的教学中，我采取了以下方法进行分层教学：

要求学生先回忆三角形中位线定理和梯形中位线的概念。（鼓励C，D层次学生回答）

学生回答出来以后，我提出问题： 梯形中位线有没有三角形中位线定理类似的性质呢？ （要求学生画图探讨和讨论，然后讲出答案或猜想答案）

学生讲出答案（梯形的中位线平行于两底且等于梯形两底之和的一半）后，我把学生讲出的答案作为命题板书在黑板上，再要求学生就这命题画图写已知求证。

然后抽一个B层次的学生板书他自己所写的关于这命题的已知求证。该学生板书后，通过让C，D层次学生提问，该学生作答，老师再引导的办法纠正学生所写的已知求证。

已知：梯形ABCD的中位线为MN

求证：MN∥BC，MN=1/2（AD+BC）

接着，我要求学生写证明过程或思考证明过程 （要求： A层次学生用两种以上方法来证，B层次学生写出一种证明方法的全过程，C，D层次的学生思考并尽量写出一种证法的部分或全部证明过程）

我作引导1： 能不能用三角形中位线定理来证明？引导后检查A，B层次学生有多少能写出证明过程（发现还有很多学生没能写出证明过程）。

我再作引导2： 如何把你画的梯形转化成以梯形中位线作为它的中位线的三角形？

让学生讨论这问题后再去证明。我再检查又有多少学生能写出证明过程。（发现A层次的少 数，B层次的多数，C，D层次全部还是不能写出证明过程）

我再作引导3： 如图 在梯形ABCD中，过D，M作射线交BC的反向延长线于点E得DEC.引导后，我再检查又有多少学生能写出证明过程（发现B层次部分，C和D层次的多数学生还是没能写出证明过程） .

我再作引导4： 如图（上图），能不能证明线段MN是DEC的中位线？点N已是DC边的中点，要证MN是DEC的中位线先要证明什么？

提问B，C，D层次学生，学生答出：要证明点M是DE边的中点即DM=EM.我再问：要证明DM=EM先要证明什么？（提问B，C，D层次学生） 学生答：要证明ADM≌BEM. 够条件证明这两个三角形全等吗？（提问C，D层次学生，直到他们答对为止）

然后，抽一位B层次的学生板书他对这命题的证明过程。学生板书后，我请A，B层次的学生纠正。要求C，D层次不能写出证明过程的学生认真看黑板上正确的证明过程，鼓励他们对不理解的地方提问。并让A，B层次的学生回答。最后，为了使C和D层次的学生更好地理解，我再讲解一次这命题的证明思路和证明过程。

接着，检查A，B层次学生对这个命题的另外的证明方法，抽其中部分学生讲解他们的证明思路。我板书出学生所讲的证明思路，并作评价和纠正。

教学效果对比：（1）就教学进度来说，进行分层教学的091班要比用传统教学法的096班快。因为在096班有些数学课有较多学生掌握得不够好要经常补课和增加练习课，而在091班则较少需要这样做。

（2）两班年终考数学成绩对比：

显然，使用分层教学法比使用传统教学法教学效果要好。差生减少了，而优生增多了。因传统教学法主要照顾全面，往往没有强调个别，其实不能真正做到因材施教，而分层教学法虽然也是班级教学，但要求老师强调个别（至少是一个层面上的部分学生），也就是在某个层面上做到因材施教，体现出对学生进行个性化教育，因而能更好地提高学生的学习积极性和数学思维能力，进而提高了数学的教学效果。

参考文献：

1、张春莉 （2002年第7期）

高中数学证明方法范文第4篇

关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用

数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应

用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？

当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此

我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。

一、应用数学归纳法证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。

例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）

证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。

（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2

那么，当n=k+1时有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k

=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=［2（k+1）-1］2

即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。

二、应用数学归纳法证明整除问题

应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用

之一。这类问题涉及整除性的知识，如果a能被b整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项、去项进行“配凑”，使之能够获证。

例2.证明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。

证明：（1）当n=1时，f（1）=50+2·31+1=8，显然能被8整除，命题成立。

（2）假设当n=k时，原命题成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，当n=k+1时，f（k+1）=5k+2·3k+1+1

=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k

=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4

=5f（k）-4（3k-1+1）

这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二项4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n=k时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。

三、应用数学归纳法证明几何问题

应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。

需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定式，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。

通过以上只是想说明对于有关自然数的命题的证明。不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定式，使知识融会贯通，灵活运用。

以上我们对数学归纳法的基本形式及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进

行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很

高中数学证明方法范文第5篇

【关键词】高考 数学归纳法 结合

数学归纳法是数学中一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。

一、数学归纳法的基本原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。

这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础；第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。

二、关于归纳步骤的证明思路

用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型：

（1）能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。

（2）不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+1带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证到结论；（2）利用其它数学知识，建立P（k）（第k号命题）与P（k+1）（第k+1号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

学生学会了数学归纳法，意味着既掌握了一种证明方法，可以解决很多以前他们解决不了的问题，又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中，不仅会遇到各种技巧上的困难，而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的含义。因此，数学归纳法是一个教学难点，在中学数学教学中应给予足够的重视。