高等代数
高等代数范文第1篇
高等代数课程是中学数学教育的继续与发展，是学习后继课程的理论基础，作为一名高校教师，笔者在教学工作中，深切感受到高等代数在训练学生的创造思维能力方面具有独特作用。教师在教学过程中，不仅需要指导学生掌握高等代数的知识系统和基本的代数方法，更重要的是通过教授本课程，逐步培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，提高学生自主学习能力和创新能力，最终达到提高学生数学综合素养的教学目的。为此，笔者结合自己的教学实践阐述高等代数教学的几点思考。
1 第一节课的重要性
高等代数的授课对象一般是大学一年级新生，任课老师上好第一节高等代数课尤为重要。教师可以通过向学生展示高等代数在解决现实实际问题中的应用，如，矩阵在密码学中的应用，特征值在人口模型中的应用等，引发学生对学好这门课程的兴趣；还可以突出高等代数和中学知识的联系，如，多项式、线性方程组及向量等内容都是学生熟悉的内容，说明高等代数并非高深莫测，帮学生树立一定能学好高等代数的信心。为此，任课老师在第一节课有必要向学生阐明大学学习和中学的学习的不同，强调自主学习的重要性和必要性，这利于学生尽快适应大学的学习生活。
2 教学方法的选用
心理学家奥加捏相说过：“数学教学的成就很大程度取决于学生对学习课的兴趣是否保持和发展，”可见兴趣对数学教学的成功起着重要的作用。在第一节课当中已经激发了学生的学习兴趣，接下来要做的就是在教学过程中保持和发展这一学习兴趣。
2.1 基础知识的教学
高等代数包含较多抽象定义和定理，这些基础知识都需要学生理解和牢固掌握。对于基础知识的教学，教师要做到细讲、讲透，尤其是对于较难理解的概念，需要结合例子来讲解，比如：子空间的概念以及直和的概念，都可以结合具体的几何例子解释，帮学生理解抽象概念。对于教材中定理的证明，往往是知识的再应用过程，教师也要重点讲解，目的是让学生掌握证明的方法和思路。
2.2 例题的教学
教育家波利亚说过：“数学教师的首要责任是尽其一切可能发展学生们解决问题的能力”，我们知道高等代数内容抽象，这就更需要老师尽一切可能去培养学生们分析问题和解决问题的能力。其中讲解例题是最直接的一个办法，一节成功的习题课不但可以帮助学生理解所学知识之间的关系，系统掌握所学内容，还可以激发学生的学习兴趣。证明题往往是让学生害怕的题型，也是培养学生分析和解决问题能力最有效的题型。老师在讲解时，要做到边分析、边讨论、边启发，引导学生一步一步得到结论。对于同一道题，如果有多种证明方法，老师应该鼓励一题多解，这有助于学生开拓解题思路、熟悉解题方法、灵活应用所学知识。高等代数的习题课是必不可少的，上好习题课有助于学生全面掌握所学内容，还有助于学生提高分析和解决问题的能力。
2.3 灵活安排教学内容，适当扩充教学内容
在高等代数的教学中，应遵循教材的内容顺序，但应不拘泥于一本教材的内容安排。灵活安排教学内容，适当扩充教学内容，以循序渐进和学生容易接受为首要原则。如，在高等教育出版社《高等代数》为例，在第二章第5节行列式的计算中，讲了矩阵的概念、矩阵的初等行变换，得到矩阵可以经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵，从而得到任何行列式（看作方阵的行列式）都可以计算出来。实际上，这种计算方法在讲过行列式的性质后已经用了，即用cr性质这3个性质就可以将行列式化为上三角形行列式，从而计算出结果。所以，第5节完全可以放到讲完第6节行列式按一行（列）展开之后再讲解。这样有利于学生掌握行列式的概念和计算，避免学生把行列式的概念和表示和矩阵混淆。并且在讲矩阵的初等变换时，还可以补充矩阵行最简形的概念和求法，从而为第三章线性方程组的求解打下基础。
3 现代化教育技术的恰当使用
现代化教育技术在教学中的应用是教学改革的一个热点，其中多媒体教学是高校老师普遍采用的一种教学方式。一个好的PPT课件不但可以节省教师的板书时间，还可以呈现给学生们以“耳目一新”的感觉，激发了学生的学习兴趣，将教学过程变得高效而丰富多彩，比单纯用传统的教学方式讲授效果要好的多。但是，老师也不能过分依赖或偏爱多媒体教学。因为在高等代数的学习中，有很多内容是需要演练的，如，定理的证明，例题及习题的讲解，无不需要老师的合理分析和严密推导，进而将整个计算或证明过程展现给大家，在这里板书会比PPT有绝对的优势，这还有助于培养学生严密的逻辑思维能力。所以，在高等代数课程教学中，教师要将传统的课堂教学与现代化的教育技术恰当结合，才能取得更好的教学效果。
随着科技的发展，网络的普及，大学生更多喜欢利用网络来完成自己的学习任务。针对这一特点，高校教师可以制作慕课课件或者微课课件，通过音视频文件向学生展示下一节课的知识点，指出重点和难点，并给学生布置可以完成的小任务。相对于单纯阅读课本，学生更喜欢阅读有音频的微课课件，这样就轻松达到让学生预习的目的。就目前来说，微课教学更为现实一些，利用微课课件，既能提高学生的学习兴趣，又能缩短教师的教学时间，提高教学效率。在教学过程中教师只需要简单复习基础概念，接着就进行重点内容的教学及难点的讲解，同时也可以以提问的方式让学生回答基础概念，从而让学生获得成就感和主人翁的感觉，这种方法有助于培养学生的自主学习能力，也有助于建立民主课堂。
4 自学能力和创新能力的培养
高等代数范文第2篇
【关键词】线性代数；高等数学；联系；重要性
线性代数是数学中的一个分支，线性代数研究的主要是向量、线性空间、线性变换以及线性方程组。空间向量对于现代数学来说是一个非常重要的课题，线性代数的理论已经被演化为算子理论。在同学们学习线性代数的时候，在学习的过程中可以发现线性代数和解析几何在许多方面都是有相同的地方的，再准确点来说，线性代数中的一些理论是在解析几何的基础上而得来的。线性代数和求解线性方程组的关系是密不可分的。在学习线性代数的过程中，我们不仅可以学到行列式还有矩阵以及向量等的一些知识。这不仅仅说明了线性代数是数学中的一个分支，同时也说明了线性代数与高等数学之间的联系是非常的密切的。
1.线性代数的简介
线性代数是数学中的一个分支，它主要是处理关于线性之间的关系的问题的。所谓线性之间的关系也就是数学中的对象与对象之间的关系用一种一次的形式来表达出来的方式。比如说在解析几何中，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程；空间直线看做是两个平面相交，是由两个三元一次方程来组成的方程组表示。那如果含有多个未知数的一次方程的称为是线性方程。从这就引出了一些简单的线性问题。由于线性方程组和变量的线性变换问题的不断地深入，行列式和矩阵也在先后的产生，并且为处理线性问题提供了非常有利的工具，使线性代数有了很大的发展。线性代数不仅在数学这门学科中有着很重要的作用，在物理学以及技术学都有着举足轻重的作用，所以，线性代数在各种代数的分支中都占有极为重要的地位。线性代数体现了几何观念和代数方法之间的密切的联系，从它的具体的概念抽象出来的公理化方法和严谨的逻辑推证以及巧妙的归纳综合等。这对于强化人们的数学训练，增强科学智能是非常的有用的。随着科学的不断地发展，我们不仅仅要研究的是变量之间的关系，而且还要进一步的研究多个变量之间的关系，各种各样的实际问题一般都是可以线性化的，同时线性化的问题也是可以计算出来的，线性代数就是解决这些问题的主要的工具。线性代数的含义也是随着数学的发展而在不断的扩大着。线性代数的理论以及它的方法都已经彻底的渗透进了数学中，已经成为了数学中的其中主要的一个分支，同时呢，也是理论物理以及理论化学所不可以缺少的代数的基础知识。线性代数的应用是非常的广泛的，无论是在工程技术上还是在国民经济上的多个领域，它是一门非常基础而且也非常重要的学科。线性代数的计算方法也是计算数学中的一个重要的内容。
2.代数中的基本要素
在我国有很多的学者都对代数学是不太理解的，有些学者只是把代数看成是只是具体计算的一种形式的表达而已，而另外还有些人呢，则把代数看成是单纯的逻辑游戏而已，这些学者的观点都是很不恰当的。代数有两大的基本要素，第一个要素是哲学，第二个要素是组合。我们先来说说这代数中的两大基本要素吧。
代数中的第一大基本要素是哲学，代数中的哲学指的不是专门意义上的哲学，而是指在数学上意义上的哲学，是指只针对数学而言的哲学，我们可以将这里的哲学理解为数学素养、数学思想等等。相对来说，单纯的数学中的各个分支都是需要哲学来作为基础的，但是呢，代数只是一个单纯的公理化的一门学科，是需要不断的创新结构的，并且还要是对未来的穿新的结构有着希望的，所以，对代数中的哲学的要求是特别的高的。可是由于在我国的数学的学者的这种的修养是处在严重缺乏的状态中，我国大多数的学者只是在不停的做一些精密的计算，这也正是在数学中最不缺乏的东西。
代数中的第二大基本要素是组合。这也正是最容易被数学学者忽视的一个基本要素，组合是经常被当做奥数题出现在试卷上的，都被大家当做了业余数学。虽然代数一直都在不断的发明新的结构，来扩张自己的领域范围，但是还是需要进行后期的建设进行不断地充实。由此可见，这个代数中的组合的思想已经完完全全的渗透到了现代数学各个分支中了。
3.数学中的公理化的方法
现代的数学的特点主要是非常的抽象，现在也已经脱离了原有的直观的意义。抽象的原因主要是它的方法公理化了，公理化不仅仅是对现在的数学的成果的总结，同时也是创造新的概念的一个动机。公理化也就是从性质到公理，先发掘问题的典型的性质，然后再把它当成公理，从而得到一个高层次的定义，同时可以包容很多的这种性质的对象。在数学中，我们对乘法进行公理化，就能够得到一个群的概念。实际上，整个的抽象代数都是属于公理化的产物的，把公理当成是数学对象来处理的话，那么也就不是的那么引人注意了。在数学的概念的公理化的过程中在不断的升华的时候，也是在不断地抛下一些旧的概念。公理化在升华的时候使数学中的思想具有更多的普适性，但是在抛下旧的概念的时候使数学的研究范围变得越来越窄小。公理化的思想在现代的数学中是时刻存在着的，不仅仅性质可以升华为公理，同时一些简单的计算结论也是可以升华为公理的。
4.高等数学的特点
在学生的教材中，初等数学研究的主要是常量和匀速变量，而在高等数学的研究中主要是不匀变量。高等数学是理工科院校中的一门重要的基础学科。高等数学有自己的特点，高度的抽象性以及严密的逻辑性是高等数学特有的特点。不过，抽象性和计算性是数学最显著的特点。学习数学的过程也就是思维训练的过程。世界各国的的进步，是与数学这门科学是有着非常密切的联系。特别是对现代来说，数学这门科学显得更为的重要，由于电子计算机的快速出现以及普及，使得数学的领域变得更加的广泛。从我们平时学习数学的过程中就可以发现线性代数与解析几何在大多数的地方都是存在着共同之处的。我们学到了行列式、矩阵、向量以及关于一些线性方程组的一些知识。在线性代数中，我们为了解决一些线性方程组的问题，还引进了行列式，用克莱姆法来求解线性方程组的问题，在以后的学习过程中又引进了关于矩阵，由矩阵的计算方法来求出线性方程组的结果。有过了一段时间我们又将向量的概念和矩阵结合了起来，使向量和矩阵可以有机的结合起来，从而构成了求解线性方程组的有利的工具。
5.线性代数在高等数学中的应用
线性代数不仅仅是经济类院校的一门重要的基础的数学课，同时也是描述以及分析经济现象的一个有利的工具。线性代数不仅具有很强的逻辑性和抽象性，而且也具有广泛的实用性。
5.1 运用数学的知识进行对线性代数的理解
每一年的第一个学期老师在给学生讲课的时候，都会有学生疑惑这门学科到底是研究什么的？所以针对学生们的问题，在教师在教学的过程中要求教师在第一节课的时候必须得给学生讲清楚线性代数的特点和内容之间的联系，使得学生对线性代数的学习有着初步的了解。这样的话，在具体的教学过程中，最好要做到直观化，并且要强调它的应用，这样不仅可以提高学生的学习兴趣，而且还可以达到很好的效果。
在刚开始给学生讲课的时候，最好就向学生讲明白线性代数是解决数学中的线性关系的问题的。对学生来说，线性关系一点都不陌生，在上中学的时候就已经知道了函数的线性关系，比如简单的线性关系y=3x，在刚开始学生就有了一个直观的了解。为了使学生能够进一步的了解线性代数不仅仅只是简单的一元变量的线性关系，它还是多元变量之间的线性关系，我们还进行了实际例子的证明。如下所示：
下图是物流平衡图，其中x1表示从站A流向站B的货物吨数，X4表示从站B流向站D的货物吨数，20表示从站D流向站C的货物吨数等。如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，求X1,X2,X3,X4,X5应该如何选择。
根据上面的信息和等式的条件，很容易就列出方程组了。
由题意可得X1,X2,X3,X4,X5满足方程组
X1+X2=X3;
X4+X5=X1;
X5+20=X3;
20=X2+X4;
整理可得X1+X2-X3=0;
X1-X4-X5=0;
X3-X5=20;
X2+X4=20
从上面的式子可以看出未知数之间的关系，这是非常的满足线性关系的。然后我们就要根据式子来对方程组进行求解，一般是在方程组中有几个的方程就是有几个的未知数，并对这个方程组进行求解。方程组中求出的解的形式都是唯一的。下面主要是一些关于线性代数公式：
导数的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量x在处有增量x (x+x也在该邻域内)时，相应的函数有增量；若y与x之比当x0时极限存在，则称这个极限值为在处的导数。
函数在点处存在导数简称函数在点处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。要特别的注意的是导数也就是差商的极限，左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。如果极限存在，我们就称它为函数在x =处的左导数。如果极限不存在，我们就称它为函数在 =处的右导数。还应该注意的是函数在处的左右导数存在且相等是函数在处的可导的充分必要条件。这些公式是线性代数在高等数学中经常性的用到的一些公式，同时它也是将线性代数和高等数学紧密联系在一起的重要的一部分。
在线性代数的应用教学中，学生不仅仅是可以通过例子和练习将所学的知识点进行融会贯通，而且还可以扩大视野。最为重要的是提高了学生解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]吴志丹.浅谈线性代数教学中的能力培养[J].?辽宁行政学院学报,2007(04).
[2]米永生.?线性代数与微积分学问题与解法的渗透[J].?大学数学,2007(02).
[3]金莹.?浅谈高等数学、线性代数知识在统计教学中的应用[J].?科技信息(科学教研),?2008(11).
[4]敖长林.线性代数课程改革与实践[J].理工高教研究,2003(04).
高等代数范文第3篇
关键词： 等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵
一个给定的集合中的元素之间的一个关系如果满足下面三个性质：（1）自反性，（2）对称性，（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation［1］）。在高等代数课程中有几个重要的等价关系，就是矩阵的等价，向量组的等价，矩阵的相似，矩阵的合同这四个等价关系。既然称之为等价关系，那么这里的“等”字是否意味着什么相等呢？本文主要探讨这些等价关系中“等”字的涵义。希望通过讨论，丰富对等价关系的感性认识，加深对代数学中这一基础概念——等价关系的理解。
一、矩阵的等价
对于矩阵A、B，如果A经过有限步初等变换成为B，则称矩阵A与B等价［2］。根据矩阵初等变换的定义，可以验证矩阵之间的这样的关系满足等价关系的三个性质，因此称之为矩阵的等价。
矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？如果矩阵A和B等价，也就是A经过有限次的初等变换可以变成B，可见A与B首先得同型，即有相同的行数和列数；否则，A无论如何都不能变换成B。其次，A和B应该有相同的秩，即r（A）=r（B）；因为初等变换不改变矩阵的秩。反之，如果矩阵A和B同型且有相同的秩，是不是A与B等价呢？答案是肯定的。一个矩阵通过初等变换总会变换成它的标准型，其标准型中左上角的单位子矩阵的阶等于该矩阵的秩。如果矩阵A和B同型且有相同的秩，则A和B有相同的标准型，即A和B与同一个标准型等价，因此矩阵A和B等价。可见矩阵等价中的“等”字，实际是指它们同型且有相同的秩。我们把上面的讨论归结为下面的定理。
定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们的行数、列数和秩都对应相等。
二、向量组的等价
设向量组A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。那么称向量组A和B等价［2］。可以证明在该定义下这是一个等价关系。这个“等”字背后意味着什么相等呢？我们不妨把目光集中在实数域R上的向量和向量空间上。
对于向量组A，其中的向量可以以实数为系数线性生成一个实数域上的线性空间，简称为A生成的空间，记作span（A）；同样也有span（B）。如果向量组A和B等价，则B中的向量都能由A中的向量线性表示，因此span（B）中的任意向量也可以由A中的向量线性表示，则有span（B）?哿span（A）；反之亦有span（A）?哿span（B）。因此span（A）=span（B）。另一方面，如果span（A）=span（B），由于B?哿span（B），故B?哿span（A）。因此B中的向量都能由A中的向量线性表示；同理，A中的向量也可以由B中的向量线性表示，则向量组A和B等价。由上面讨论可见向量组A和B等价，这个“等”字意味着它们的生成空间相等。即有下面的结论。
定理2：向量组A和B等价的充要条件是span（A）=span（B）。
三、矩阵的相似
设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，那么称矩阵A和B相似［4］。矩阵的相似关系是一个等价关系，那么这个“等”字背后意味着什么相等呢？
我们考虑一个n维线性空间上的线性变换（如果矩阵A和B是数域F上的矩阵，那么就考虑F上的一个n维线性空间）。对于一个线性变换σ，取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，如果我们描述清楚了该基中向量在σ下的像，那么就描述清楚了该线性变换σ；这是因为σ是一个线性变换。设联系基的像σ（ε■，ε■，…，ε■）与基ε■，ε■，…，ε■之间的过渡矩阵为A，σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A。即，我们用矩阵A来表述了基的像，因此用矩阵A完全刻画线性变换σ；换言之，线性变换表示成为一个方阵。
问题是：同一个线性变换σ，如果选定该n维空间的另外一个基β■，β■，…，β■，那么刻画σ的矩阵就会是另一个矩阵B。但是此时我们会发现矩阵A和B相似，即存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，其中恰有（ε■，ε■，…，ε■）=（β■，β■，…，β■）P。
另一方面，设矩阵A和B相似，A=P■BP。取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，则由（ε■，ε■，…，ε■）A决定了一个线性变换σ，即σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A；换言之，一个方阵实际在描述着一个线性变换。令（β■，β■，…，β■）=（ε■，ε■，…，ε■）P■，则β■，β■，…，β■也是一个基，那么矩阵B在基β■，β■，…，β■下也在描述着一个线性变换σ■，即σ■（β■，β■，…，β■）=（β■，β■，…，β■）B。实际上，σ■=σ，因为σ（ε■，ε■，…，εn）=σ■（ε■，ε■，…，ε■）。
在上面的讨论之下，可以笼统说，n维空间的线性变换表示为一个方阵，一个方阵实际在表达一个线性变换。矩阵A和B相似等价，这个“等”字实是指它们在表达着同一个线性变换。准确地说有如下定理。
定理3：n阶矩阵A和B相似充要条件是它们是n维线性空间的同一个线性变换在不同基下所对应的矩阵。
四、矩阵的合同
设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶非退化矩阵P，使得A=P■BP，其中P■是P的转置矩阵，那么称矩阵A和B合同■。合同关系是一个等价关系，这个“等”字指的是什么相等呢？对称矩阵只能和对称矩阵合同，我们只在对称矩阵之中讨论合同关系。
一个n阶对称方阵A对应着一个n元二次型X■AX，此时称该二次型为A的二次型，矩阵A称为二次型X■AX的矩阵。如果A和B是数域F上的两个n阶矩阵，那么它们对应着数域F上的二次型。任何一个二次型通过非退化的线性变换可以化为规范型形式的二次型。如果对称矩阵A和B合同，A=P■BP，那么X■AX通过非退化的线性变换Y=PX可以化为B的二次型Y■BY。因此A和B的二次型有相同的规范型。反之，如果A和B的二次型有相同的规范型，则A和B合同于同一个规范型的矩阵，故A和B合同。所以对称矩阵A和B合同等价，这一“等”字是指它们的二次型的规范型等同。从几何直观来看，二次型是n维空间F■的曲线，不同的规范型代表不同的曲线类型。矩阵A和B合同等价，是指它们对应的曲线类型相同。例如在R■（R为实数域）中，x■+y■代表的是椭圆类二次曲线，而x■-y■代表的是双曲线类二次曲线。
定理4：对称矩阵A和B合同充要条件是它们的二次型的规范型相同。
参考文献：
［1］J.J.Rotman.Advanced Modern Algebra（抽象代数，影印版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
高等代数范文第4篇
关键词：内容；概念；方法
高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。
一、尽量与中学数学内容相联系
高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法（克拉默法则）和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。
通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。
二、深刻理解概念
高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。
俗话说：“书读百遍，其义自见”，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。
三、课堂上注重教学方法
教师的教学方法是影响学生学习方式的重要因素，在培养学生的创新能力方面起到重要作用。为了上好每一堂课，老师一定要注意教学方法。我曾参加了全国高校教师网络培训课程，听了张贤科老师主讲的高等代数，受益很多。张老师在讲一些高等代数内容时，根本没有按课本思路去讲，有些性质的证明运用其他方法来证。大家都知道高等代数中很多章节内容是彼此相关联的。老师在讲课中，没必要完全照课本来讲，例如，讲一个定理或一条性质的证明，可以运用以前所学的知识证出来，老师可鼓励学生运用不同的方法来证明，激发学生的思维能力，这样学生也会觉得不是太枯燥。
上课时切忌照本宣科，要说课，这节课大家需要掌握什么，教学大纲的要求，考试要考的知识，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂的目的，做到有的放矢。代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。对于一些难于理解的定理的证明，则着重介绍证明思想及每个证明阶段的技巧和预备知识，并要求学生课后复习。对于一些较抽象的概念，在讲授之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。
针对高等代数这门课程的特点，应注意传统教学手段与现代化教学手段相结合。概念性知识较多的章节可以应用多媒体技术，而对那些理论证明较多，难以理解的内容，则采用传统的教学手段，一步步引导学生推理验证，更易于让学生接受、掌握。
四、培养学生数学思维的审美性
数学同其他学科一样，蕴含着美，存在着美的价值。代数学这朵奇葩，更以其高度的抽象性，理论的严谨性，应用的广泛性，在数学王国里独领，展现出其多姿多彩的迷人风貌。
高等代数的美是内在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所发现、接受。这就要求我们在教学中注意引导学生挖掘数学美，审视数学美，追求数学美，创造数学美。只有如此，我们才能将抽象的概念、空洞的定理、刻板的推导、繁琐的计算、枯燥的理论变换成一种美的享受，美的追求。这对诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率起着极大的推动作用。
高等代数中，蕴含着许多数学特有的美，数学的语言美在高等代数中表现得淋漓尽致。数学语言是一种科学的语言，它除具有一般语言文字和艺术共有的特点外，更有“符号化”的特点。例如，用AX=B，其中A=（aij）mn，X=x1x2…xn，B=b1b2…bm，表示一个有m个方程n个未知量的线性方程组，多么简洁明快。另外，高等代数的美也体现在证明过程的逻辑严密上，许多定理的证明层层递进，严丝合缝，看懂了一个证明，就能给人一种惊叹佩服、赏心悦目的感觉。
总之，高等代数中的数学美无处不在，只要我们教师在教学过程中用心去揭示，从美的角度去挖掘，并积极引导学生去欣赏、体味定能感觉美不胜收，回味无穷，教学质量必将提高。
高等代数范文第5篇
关键词: 《高等代数》学习障碍排除对策
《高等代数》是数学专业的核心课程之一,其教学目的是使学生初步掌握比较系统的代数知识与严格的代数方法,培养和发展学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,为进一步学习其它专业课程打下基础。这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和完整的系统性三大特点,因而大一学生刚接触时有较难学、不易掌握之感。
一、学习障碍的具体表现及原因
学习障碍具体表现为:在课堂听讲时基本概念理解不清,定理内容不明,性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上,不明意思,形成不了整体认识;在做习题时,对证明题找不到思路或缺乏明确思路,导致无法动笔或不能完整证明,对求解题,不会运用所学知识,或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的,除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外,很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多,抽象化、形式化程度更高,运算与推理也更繁杂,而此时学生刚走出中学大门,他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式,比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”,做题时对类型、套模式,不能迅速适应大学课程的学习。
二、排除对策
1.注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。
在学习内容上,教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用,让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头,在联系对比中辨别其异同,从而加深印象。通过这种比较,学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决,而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上,教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取,主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质,领悟其思想内涵。
2.学习《高等代数》,首先要学好概念。
《高等代数》中的概念,突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘,所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时,首先要深刻体会,反复琢磨,挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中,有时概念之中有概念,比如向量空间中不变子空间的概念,就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚,势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出,常常引入一些实例作为抽象概念的引导,这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况,进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构,一般分为基本条件、特点和结论三部分,这有助于学生加深对概念的理解与记忆。
3.学习《高等代数》,要掌握好定理。
定理是概念之间的规律性联系,是《高等代数》的核心部分,在这门课程中所获得的规律性认识,主要来源于定理。学生要学好定理,一方面要深入理解定理中所包含的内容,记住结论,搞清定理成立的前提条件,会运用定理进行论证,另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明,对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说,初学者要读懂一个定理的证明,需要反复阅读几遍,并认真思考,从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。
4.学习《高等代数》,要做一定数量的习题。
学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密,互相渗透,学生在做题时要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,使所学知识融会贯通,这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分,计算题能巩固和加深学生对概念的理解,其中有些计算量比较大,如求最大公因式,求线性方程组的通解,求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题,它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,因此学生要重视它,多花时间与精力去提高解答证明题的能力,当然,这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题,笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。
5.学习《高等代数》,要注重归纳总结,使知识系统化。
学习《高等代数》,要善于归纳总结。一方面,对每一章,在教师指导下,学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况,及时查漏补缺。另一方面,所谓“站得高可看得远”,对全书来说,学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系,理清来龙去脉,这样可从宏观整体上理解和把握教材。
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
