立体几何
立体几何范文第1篇
关键词:立体几何;作图;语言互译
中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)07-0196-01
一、立体几何入门从作图开始
空间图形是立体几何特有的一种语言形式,因为很多时候,看题目里的文字,感到模模糊糊,画个图一看,就清清楚楚了。
在初中学习平面几何时,已经形成了强大的“思维定势”,结果对于立体几何图形也往往不加分析地从平面几何的角度来理解空间图形问题,常把空间图形看成平面图形,以至于妨碍三维空间的建立。必须下大力气,尽快打破平面图形的思维习惯,逐渐熟悉根据纸上画的图形而想象出物体在空间的真实形状。反过来,又能逐步学会将空间的三维物体用线条直观地在一张纸上表现出来。
为此,可采用实物,多角度地“写生”,多画图,才能从中悟出空间图形和平面图形的差异和联系,更合理地画出空间图形。例如,可以对长方体进行观察,摆出不同的位置,从各种角度画出图形,看从哪些角度画出的图形更有立体感;又如,三个面在空间中相交的各种情况,是立体几何图形的基础,可以用硬纸片做模型,摆出各种不同情况的空间位置,逐一画图联系,打好绘制基本图形的功底。
二、分清平面几何与立体几何的联系与区别
立体几何与平面几何有着紧密的联系。因为立体几何中的许多定理、公式和法则都是平面几何定理、公式和法则的推广,处理某些问题的方法也有许多相似之处。但必须注意的是,这两者又有着明显的区别,有时平面几何知识的局限性会对立体几何学习产生一些干扰阻碍作用,如果仅凭平面几何中的经验,把平面几何中的结论套用到空间中,就会产生错误。因此,在解题时需要特别注意的是,并非所有的平面几何结论都可以推广到空间,必须在证明所研究的图形是平面图形之后,才能引用平面几何的结论。
三、三种语言互译十分必要
立体几何范文第2篇
关键词：向量法 特点 思维模式 应用
随着全国新课改普遍推开，新教材大面积的推广使用，高考指向在知识网络交汇点处命题的思路，越来越凸现向量这一知识点重要性，特别是近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，直接或间接考察向量的份量逐渐加大，已成为了高考命题的必考点、热点，成为联系三角、立体几何、解析几何的纽带，其工具性作用也在日益更加凸显。本文仅就立体几何中使用的向量法浅谈它的作用。
一、向量解题的特点
向量具有几何式（有向线段）和代数式（坐标表示）两种表示形式，几何上的垂直与平行均可以转化为向量的垂直与平行，即转化到向量运算上，实现几何空间的几何结构数量化，以算代证。向量的坐标运算正体现了数形结合的思想。
利用向量法处理几何问题具有很强的模式性，以向量为工具，可以“机械有效”地解决立体几何问题；在立体几何的解答过程中，利用空间向量的观念和运算求解立体几何问题可以将严密抽象的逻辑分析和论证转换成普通的代数运算，具有突出的简化作用。
解题分析：第一问主要考查立体几何中线线垂直的证明，运用转化思想，作辅助线将线线垂直转化为线面垂直的证明；第二问主要是立体几何中的一类探究性问题。如果考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，纯用几何知识求解，将会显得繁琐复杂，也不容易得到正确的结果。因此本题的命题的意图就是考查学生对立体几何的图形的解读能力和灵活选用恰当方法、高效解题的思维能力。（在实际教学中，运用多媒体展现这一解法，分析这一解法的优缺点）
二、向量法解题的思维模式
用向量只是证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：
1.建立立体图形与空间向量的联系，利用空间向量或坐标表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题。特别需要指出：首先要正确合理地空间直角坐标系，（在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景的问题中，常常建系解决问题，应注意总结恰当建系的方法）向量的坐标形式常用于证明平行、垂直问题，向量的数量积常用于求角和距离等。
2.通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系。
3.根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
例如（2007湖北高考・理・18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，
（Ⅰ）求证：平面VAB平面VCD；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。
分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力。通过对本题的阅读，学生很容易找到建立空间直角坐标系的方法，确定各点的坐标，从而将本题的问题转化为直线的方向向量与平面的法向量的计算上来，突破了传统立体几何的“作、证、求”思想方法，避免较为复杂的辅助线做法。
反思：1．本题建系的方法并不唯一，还有很多方法，应注意总结恰当建系的方法，问题成功解决，是和坐标系的选择无关的，所以向量法证几何题明显优越于其他方法；
=0。以上三个公式，是利用向量解决立体几何问题的主要理论依据。
3．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。
通过本文两个例题的研究，我们可以发现：用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
纵观2007年全国各地高考立几综合题，证明空间平行垂直关系以及求夹角、距离是高考立体几何题的重点，而向量法在众多方法中显得尤为突出，因而在高三立体几何复习教学中不仅要立足高考，夯实基础，加强训练，不断提高学生的解题能力，更应该在解题的方法上多探索，尤其是向量法一定要训练到位，提高立体几何综合题的解题效率，为2008年高考打下坚实的基础。
立体几何范文第3篇
一、看
看一：要想学好立体几何，在刚刚接触时，一定要先多看。首先要看一些正确的图形，对立体几何图形有一个大概的印象，理解正确图形的作法、某些地方如何衔接、哪些线在实际中能看到、哪不能看到等等，我们更要多看一些错误的图形，要能从中找出错误的地方，例如，我发现今年苏教版必修2课本第7页中就有一处图形有误，我灵机一动让学生来找这个错误，结果是能很快从中找出错误的学生比较少，但通过十分钟的时间大约有一半的学生能找出
来了，后来我发现，正是这些能很快发现课本图形错误的学生立体几何基本上都能学得很轻松，那些用较长时间才能看出的学生需要通过一定努力才能把立体几何学好，而那些用十分钟还没有看出的学生学习立体几何比较辛苦，而且不能领会，不能达到融会贯通的程度，当然，这与我后来没有在这个方面花更多的时间来巩固有关。其实，这个过程就是入门的诀窍，我想以后如果在这个方面多花点工夫，应该会使绝大多数学生能把立体几何学好的。
看二：学好立体几何还需要能运用有关公理、定理和一些结论来证明一些问题。由于学生以前没有接触过，所以，要先看一些正确的证明步骤，可以看课本的证明过程，也可以看参考资料的例题证明，然后模仿，直至能独立证明，最好是学生之间能相互交流，互相看作业，找到错误的地方，互相订正，特别要注意证明过程的严密性，这样，才能把握证明的要点。其实这一点就是模仿。
二、作
学好立体几何的第二步要会作图、多作图，在一些简单的图形中能注意到线面特点，尤其是对某些线中实际隐藏的问题，多作图形可以不断巩固从“形”上对线面关系的理解，为后续学习打下一个良好的基础，同时还能培养学生的空间感觉，想学好立体几何，没有吃苦的精神肯定不行，画图这个基本功一定要在入门时打好，否则后面一定会出问题的。同样是这批学生，有一两个“看”的基础不错，但由于有点懒惰，布置作图，或者有练习作图的机会他们都错过了，怕动笔，因此，还是没有能够把立体几何学好，碰到有点难度的问题就束手无策。在作图这个环节上，一定要发扬互帮互助的同学感情，大家对各自的作业进行相互交流，尤其对一些做得比较好的，要进行展示，这样才能相互促进，共同提高。
三、理
学习数学中任何一个章节，都需要在弄懂、理解的基础上，对所学内容进行思考，立体几何毕竟是以空间想象为主线，你如果仅仅对所学知识能听懂、会做题还远远不够，如果不能认真梳理，某个问题换个角度对你来说可能就是难题，所以，想把立体几何学到能应付考试，你必须对所学的东西，运用你的思考进行整理，理出一个头绪来。如，对于线面关系，要证明线面平行，方法大致有：
（1）通过线面平行的判定定理，a？埭α，b？奂α，a∥b？圯a∥α；（2）运用面面平行的性质，α∥β，a？奂α？圯a∥β；再如，要证明线线垂直时，有以下方法：（1）运用等腰三角形的三线合一；（2）运用勾股定理；（3）运用线面垂直的性质aα，b？奂α？圯ab（这是主要方法）；（4）运用平行转移法，即ab，a∥c？圯bc等等，有了这样的梳理，你在以后的解题中就可以有依据，方法一个一个去运用、去检验，一定可以应付各类考试的。当然，做到这一点需要花费很大的精力去验证、去思考，还要通过一些训练进行巩固，才会熟能生巧。
四、悟
学习立体几何的目的并不仅仅是为了应付各类考试，最主要的还是掌握一门基础知识，为以后的学习、生活打下坚实的基础，所以，我们还需要将所学知识进行升华，在充分理解所学知识的前提下，把有关知识之间的联系找出来，把数学思想运用进去，把数学方法总结出来，这就是数学学习中的一个境界，叫做“悟”，你能达到这种层次，立体几何对你而言就没有难题。达到这个境界的关键是要想了之后还要想，会联系地想，能综合地想，这样，使你有一种身临其境的感受，你可以把自己“变”成一个点、一条直线、一个平面，然后参与到问题中，这时，你的立体几何学习就算完满了。例如，我们教师在教学中经常讲“我这条直线”“我这个平面”，其实已经蕴含这个思想了，因为教师基本上能达到“悟”这个境界，相信学生通过自己的努力也应该可以达到这个境界。
立体几何范文第4篇
热点考向1：考查三视图与简单组合体
三视图与简单组合体是新课标实验教材的新增内容，对空间想象能力要求较高，从这一点看，新教材与老教材对学习立体几何的主要目标是不变的.不过新教材的编排顺序与老教材正好相反，它是先安排柱体、锥体、台体、球体等内容，然后再学习空间中的线面位置关系.
例1. 如下图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm），求得该饭盒的表面积为（ ）
A. 1100 πcm2 B. 900 πcm2
C. 800 πcm2 D. 600 πcm2
思路：由三视图想象出简单组合体的直观图，再用相关公式求饭盒的表面积.
解析：由三视图可知，该饭盒是一个圆柱和半球的组合体，圆柱的底面半径为10cm，高为30cm，半球的半径为10cm，则S圆柱=2πrh+πr2=700π.
S半 球=2πr2=200π，所以这个饭盒的表面积为900π cm2，故选B.
点评：从本题的解法中我们可以深刻地感受到：一旦将一个复杂的、抽象的问题落实到具体的、熟悉的图形中，将会变得非常简单.由三视图想象出简单组合体的直观图，是学习三视图的基本要求.对于根据三视图计算几何体的表面积问题，审题要严密. 本题在解答时易出现的错误是把饭盒的表面积误认为是圆柱的表面积与半球的表面积之和，从而导致错误答案.
牛刀小试1：如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A. 2 B. 4
C. 4 D. 8
提示：正方形的边长为a，则a2=，a=1.几何体是表面为全等三角形的八面体，其表面积是8××1×1=4，故选B.
热点考向2：考查球体与特殊多面体的切接
特殊多面体中既包含了空间中许多平行关系、垂直关系，又与球体有紧密的联系，因此往往受到高考命题者的青睐.近几年的高考中常常出现球体与特殊多面体的切接问题. 解答此类问题的关键是找到球心，以及球的直径、半径与多面体棱长之间的关系.
例2. 如图，ABC中，∠ABC=90°，PA平面ABC，且PC=a.求三棱锥P—ABC外接球的表面积.
思路：寻找三棱锥P-ABC外接球的球心.
解析：因为PA平面ABC，所以PABC，PAAC.
而∠ABC=90°，ABBC，所以BC平面PAB，所以BCPB.
取PC的中点O，则OA=PC=OB=OP=OC，故外接球的球心是O，半径是OA=PC=.于是三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4π·OA2=πa2.
点评：本题考查直角三角形的性质、线面垂直和多面体的外接球等知识，由于是非特殊的多面体，所以关键要寻找球心，有一定的难度. 注意正方体、正四面体、长方体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、正八面体的外接球的半径与这些特殊多面体的棱的联系，大家可以探讨一下.
牛刀小试2：甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间图形为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等. 若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a，则碳原子到各个氢原子的距离是 .
提示：四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上. 如下图，将此四面体ABCD补成正方体BD′，其中A′、B′、D′也在球面上.设碳原子到每个氢原子的距离为x，则2x=BD′，BD′、AB（a）、AA′之间的关系是a=AB=AA′，2x=BD′=AA′，因此，2x=·，得x=a.
即碳原子到各个氢原子的距离为a.
热点考向3：考查线线、线面、面面关系
空间中线线、线面、面面关系是立体几何的核心内容，其中又以线面的平行与面面的垂直问题为重点.熟练掌握线面平行、面面垂直的判定和性质是迅速解决问题的关键.
例3. 如下图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，平面ADEF垂直于平面ABCD，且FAAD，EF∥AD，EF=AF=a.
（1）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；
（2）求多面体ABCDEF的体积；
（3）求二面角A-BD-E的余弦值.
思路：寻求关系，体积转化，建系用向量法求解.
解析：（1）取AB的中点S，连结PS.作EMAD于M，取MD的中点T，连结QT.于是PS∥AF，PS=AF，QT∥EM，QT=EM.因为FAAD，EF∥AD，EF=AF=a，所以AMEF是正方形，AF[∥]EM，故PS[∥]QT，四边形PSTQ是平行四边形，PQ∥ST.
而ST?平面ABCD，PQ?ABCD，PQ∥平面ABCD.
（2）因为平面ADEF垂直于平面ABCD，且FAAD，所以FA平面ABCD.
又CDAD，所以CD平面DEF.
于是V多面体ABCDEF =V四棱锥F-ABCD+V三棱锥C-DEF =·（2a）2·a+·a2·2a=a3.
（3）以点A为原点，射线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
设a=1，则F（0，0，1），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，1），=（-2，1，1），=（-2，2，0）.
设=（x，y，z）是面EBD的法向量，则·=·=0，即-2x+2y=0，
-2x+y+z=0，所以取x=y=z=1，=（1，1，1）.而面ABD的一个法向量是=（0，0，1），所以cos==.显然二面角A-BD-E是锐角，所以它的余弦值为.
点评：证线面平行的常见方法是在面内寻找直线与平面外直线平行，遇到中点往往又取中点，通过中位线和平行四边形来实现线线平行的目标.非常规多面体的体积常常转化为常规图形求体积，关键是找高.求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单. 利用空间直角坐标系，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，思路自然顺畅，是一种有效方法. 一般地，若设，分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β所成的二面角θ满足：cosθ=（当二面角为锐角、直角时）或cosθ=-（当二面角为钝角时），其中锐角、钝角根据图形确定.不难看出，作为一道解答题考查的仍然是立体几何最基本的知识与方法.
牛刀小试3：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.
（1）当点M在何位置时，MB∥平面AEF？
（2）当MB∥平面AEF时，求直线MB到平面AEF的距离.
提示：根据正三棱柱中的垂直关系建立空间直角坐标系（要注意∠ACB=60°，慎求B，F的坐标），再将向量关系代数化，通过向量的坐标运算和点面距离公式就能很快确定点M的位置和直线MB到平面AEF的距离. 问题（1）也很容易通过取中点法证出.M是线段 AC的中点时，MB∥平面AEF；MB到平面AEF的距离是==.
热点考向4：考查平面向空间的类比
将“平面图形的性质类比到空间，探求相应的空间图形是否也有此类似的性质”，称之为“类比推广”型立几开放题. 这种开放题往往以平面图形的性质及其证法为基础，融探索、猜想、证明于一体，能有效考查学生的空间想象能力、类比联想能力、合情推理能力以及创新能力，在近几年的高考中是高频考点， 必须引起重视.
例4. 已知O是ABC中内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则++=1.这是平面几何中的一个结论，其证明常采用“面积法”：++=++==1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V-BCD，你能得到什么结论？请加以证明.
思路：将三角形的边类比到空间四面体的面，面积之比类比到空间上的体积之比， “面积法” 类比到“体积法”.
解析：对于空间中的四面体V-BCD，猜想类似的结论：+++=1.
事实上，如图，设O为四面体ABCD内任意一点，连结AO，BO，CO，DO并延长， 分别交对面于A′，B′，C′，D′四点，则+++=+++==1.
点评：一般地，平面上的“点、线、面”类比到空间上的“线、面、体” （元素类比）， 平面上的数量结构形式类比到空间上的数量结构形式（结构类比），平面上“面积法” 类比到空间上的“体积法”（方法类比）.
牛刀小试4：我们知道：在平面几何中，ABC的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心.重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心.类比上述命题，写出四面体重心的性质，并证明.
提示：事实上，如图， 连结PE. 因为AP∶PF=2∶1，BE∶EF=2∶1，
所以AP ∶PF =BE∶EF， PE//AB，
因此AG∶GE=BG：GP=PE∶AB=3∶1.
即“空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.”
热点考向5：考查平面图形折成立体图形
“平面折叠型”问题是近几年高考考查立体几何的热点，即将平面图形通过折叠变成立体图形，让静止问题动态化，使得对立体几何的考查显得更加丰富多彩.解决此类问题的关键是，要对折叠前后两个图形进行观察，弄清折叠前后，哪些位置关系与度量关系没有变化，哪些位置关系与度量关系有变化.复习中要注重从多角度、多层次、多侧面思考与探究，沟通相关知识与方法之间的内在联系，训练发散思维，更好把握这类问题.
例5. 正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起（其中P在AB边上，Q在AC边上），使平面APQ平面BPQC.若折叠后，A、B两点间的距离为d，求d的最小值.
思路：画出折叠前后的平面图形和空间图形，观察折叠前后位置关系与度量关系的变化情况.
解析：作ADPQ于D，则D为PQ的中点.因为平面APQ平面BPQC，所以AD平面PBQC.连结BD，则d2=AD2+BD2.
设AD=x，DE=a-x（E为BC的中点），于是BD2=DE2+BE2=（a-x）2+a2，因此d2=x2+BD2=DE2+BE2=（a-x）2+a2=2（x-a）2+a2，
当x=a时，dmin=a.
点评：本题将正三角形折成了一个直二面角，折叠后的APQ、梯形BPQC与折叠前的不变，只是位置发生了改变（垂直）.A、B两点间的距离发生了变化，且随平行线PQ位置的变化而变化.因此要建立d关于x的目标函数，利用函数求d的最小值.
牛刀小试5：平行四边形 ABCD中，ABBD，4AB2+2BD2=1，沿BD将四边形折成直二面角，求三棱锥A-BCD外接球的体积.
提示：如图，因为AB平面BDC，CD平面ABD，所以ABBC，CDAD.取AC的中点O，则OA=OB=OC=OD.
于是外接球的球心是O，OA=AC，OA2=AC2.而AC2=AB2+BC2=2AB2+BD2=（4AB2+2BD2）=.
立体几何范文第5篇
我们已经学过平面几何，将要学习立体几何.立体几何是什么呢？通过下面的一系列折纸探索，可以充分地展示平面这一我们熟悉的概念与立体这一陌生的概念是如何联系起来的.
探索一
取一个信封，用过的也没关系，实在没有就临时制作一个.显然信封是一种平面的物品.现在照下面的步骤就可以使它变成一个立体的正四面体.
第一步：将信封竖起来，将底部的一角折向中缝，同时保证折痕通过另一底角，但折痕不需要做出来.如图1所示.
第二步：将中缝上的这点标记为P.过P点向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.如图2.
第三步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.
第四步：从开口端撑开，瞧，一个正四面体就做出来了.
探索二
请你证明：这样得到的果真是个正四面体.也就是说，这个四面体的每个面都是正三角形.
探索三
现在数一数，四面体有几条棱（E），几个顶点（V），几个面（F）.大数学家欧拉研究过对于其它简单多面体也适用的公式：V+F-E=2.对于四面体，你能验证这个公式成立吗？
请跟我继续一个新的折纸实验.这次得到的将是更神奇的“一家子”四面体.
探索四
再取一个信封，如果你上次剪掉的上半个信封是完整的，请将它上面的口封好待用.
怎么做呢？如图5所示，
第一步：折一个底角的角平分线，即折出45°角.
第二步：折出与底边构成45°角的平分线，即22.5°角.
第三步：标注翻折后的底角位置P.
第四步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.
第五步：通过对折开口边，找到中点M.
第六步：过点M向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.
第七步：从开口端撑开，至此一个新的四面体就做成了.这是一个阶段性的结果，或可称作是半成品.
探索五
这样得到的四面体是怎样的四面体？它的四个面是否全等？每个面的三角形是等腰三角形吗？每个侧面三角形具有怎样的三边长？
探索六
这个四面体有几种二面角？分别是多少度？
继续拿刚才未最终完成的四面体折纸.
第八步：把它打开压扁还原成半截信封的样子.
第九步：照图6所示再作正反折痕3道：一横两斜.
第十步：撑开信封开口端，把半截信封的左上角及右上角先后朝里折到底部的中点N.注意让虚线标注痕折凹陷进去.
你将得到一个奇怪的多面体形状.如图7(此图由梁海声提供).
这是一个包裹着4个四面体的复合体.脱胎于原来大四面体的新结构，这四个小四面体与原来四面体形状一致.
探索七
这个复杂多面体有多少个面，顶点，棱，它们符合欧拉定理么？
探索八
请再制作一个这样的四面体，看看两个这样的四面体可以组合出什么形状的联合体？
以上都是用信封在做实验材料，如果没有信封呢？下面再介绍给大家一种名片折纸.
探索九
取一张名片，请你用它来折出一个四面体，你行吗？
超简单！请看：
图8所示的折痕一律是凹下去的，作出这些折痕，将四个直角顶点统一向上收拢回来就可以形成一个四面体，当然还需要一些胶带来固定接缝.
探索十
还是刚才那张名片，你能用它折出两个四面体吗？
也很容易！如同一加一等于二一般，我们只要把第一种方法重复一次，一个连体双胞胎四面体就做出来了，如图9所示.
当然要注意实线是拱起来的折痕，虚线是凹下去的折痕.
探索十一
你发现了吗？通常这样做成的四面体有一条棱在长方形的内部，它一定是长方形
长边中点的联线！为什么？
探索十二
如果名片长宽比适当，照上面的办法制作出来的连体四面体从外观上来看，可以认为是由这两个四面体拼成的一个四棱锥.这是怎样的长宽比？问题的本质是，如何通过选择纸的形状得到具有直角二面角的四面体？
答案是：2∶1.这就是通常被人称作是白银长方形的一种长方形.我们用的书、读的报纸、包括这本杂志的形状都是这个比.当然最精确符合这一标准的是A4纸.
以上通过折纸得到的两种四面体是立体几何中的两个基本对象.但是已经足以让我们了解到立体几何的独特魅力.维数的增加意味着更多的可能性.是折纸让我们从二维空间进入了三维空间.让我们时刻拿起一张纸来折叠吧，说不定你会发现一个定理并以你的名字命名呢！
(注：相关的折纸视频可参见网站：xiandai.pte.省略/v/default.html)
《剖析直线方程的易错点》巩固练习参考答案
1 提示：当m=2时，直线l的方程为x=2；
当m≠2时，直线l的斜率k=2m－2，由点斜式得直线方程为y－1=2m－2（x－2），即方程为2x－（m－2）y+m－6=0，又当m=2时也满足此方程，故所述所求直线l的方程为2x－（m－2）y+m－6=0.
2 提示：若截距不为0，可设直线的方程为xa+ya=1，把点P（3, 2）代入得：3a+2a=1，即a=5，此时直线的方程为x+y－5=0；若截距为0，可设直线的方程为y=kx，把点P（3, 2）代入得k=23，此时直线方程为y=23x，故所求直线的方程为2x－3y=0和x+y－5=0.
3 提示：若a=0时两条直线显然不平行；
若a≠0，则a2=8a≠2－1，解得a=4，故所求a的值为4.
4 提示：当斜率不存在时，直线x=1与直线l:2x+y－6=0的交点为B（1, 4），符合要求；
当斜率存在时，可设直线的方程为y+1=k（x－1），即kx－y－k－1=0，由题意得
kx－y－k－1=0，2x+y－6=0，解得x=k+7k+2，y=4k－2k+2.则
Bk+7k+2, 4k－2k+2
，又AB=5，
即k+7k+2－1
