1.理解概念的必要条件

提高数学课的教学质量，要体现在使学生扎实地掌握数学的基础知识和基本技能、技巧，并且要使学生的能力得到提高、智力得到发展。数学概念是基础知识的起点，理查德斯根谱指出：“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的schema之中。”这里的schema是图式、结构的意思。具体地说，理解是在感知的基础上，通过思维加工，把新学习的内容同化于已有的认识结构中，或者改组扩大原有的认知结构，把新学习的内容包括进去，逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动。而使学生理解概念必须做到以下几点：（一）、提供在各种情形下的概念模型或实例。（二）、列举与概念有关但实质不同的例子，以帮助辨别。（三）、给出与概念无关的例子，以加深认识。避免出现具备概念特性但对概念理解可能会起副作用的例子，以防备干扰。（四）、词与感性材料的正确结合。（五）、正确下定义。

2.关于概念的概述

概念是反映所研究对象的本质属性的一种思维形式，概念也是客观事物的本质属性在人们头脑中抽象、概括的反映。而概念的形成过程是从简单的形式椄芯蹩迹龉淌前凑眨焊芯鯒知觉棻硐髼概念的模式进行的，通过对事物的感性认识，借助于分析、综合、抽象和概括，才能形成概念。内涵和外延是构成概念的两个重要的方面。数学概念的内涵是指反映数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和。有人统计过,现行的中学教材里出现了657个(其中初中有313个,高中有344个)概念，数学的全部内容的展开,都基于这些概念之上,我们完全可以把数学概念称为数学肌体的”细胞”,如果这些“细胞”不健全,肌体又怎么能够强壮?所以,加深学生对数学概念的理解,是使学生融会贯通地掌握数学知识,增强能力的前提和关键。

3.理解概念和命题的过程和方法导引

中学数学教材，是由许多有关的概念和原理构成的知识体系。概念是它的“知识单元”，原理则是由“知识单元”构成的必然联系。学生对数学教材的理解，就是要理解教材中的概念、原理及其体系，把新学习的知识与已有的知识联系起来，充实或扩大原有的数学认知结构，形成新的数学认知结构，从而达到对数学教材的真正理解。

（一）、提供与概念和命题相适应的感性材料

根据学生认知规律，要学生形成准确的概念，其首要的条件，是使学生获得十分丰富和切合实际的感性材料。当日常概念与科学概念的内涵一致时，起积极影响，不一致时起消极作用。如日常的“邻居”概念有助于“邻角”的理解；日常经验的“垂”则干扰对数学上“垂直”的理解。在教学中，要密切联系数学概念的现实模型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上引入概念，为上升到理性的高度准备条件，促使具体到抽象的飞跃，同时，也使抽象的事物变得生动可感，实现抽象到具体的转化。

（二）、正确揭示数学概念的内涵和外延

概念在人们头脑的形成，仅是人们对概念认识的开始，对概念认识的深化必须从概念的内涵和外延上作深入的分析。分析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。而概念和外延之间有着密切的关系，概念的内涵严格地确定了概念的外延，反过来，概念的外延也确定了概念的内涵，因此，概念的内涵有所改变的话，一定导致概念的外延的改变，反过来也一样。例如扩大“平行四边形”这个概念的内涵，增加“对角线互相垂直”这一属性，那么它的外延就缩小了，只剩下菱形和正方形了；如果缩小“平行四边形”的内涵，只要求有一组对边平行，它的外延就扩大了，除了平行四边形外，还有梯形。所以，在教学过程中，应注意在概念的形成过程中，对概念的内涵和外延作透切的分析，对概念进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化等过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示不同概念的本质属性。

（三）利用变式和对比

比较可在同类事物中进行，这是对一类事物的概括中，区别对象的一般和特殊，本质与非本质的重要条件。比较是在人脑中把各种事物或现象加以对比，来确定它们之间异同点和关系的思维过程。没有比较就没有鉴别。本质要素必然是一类事物所共有的，正是从这一点出发，把对象的各要素进行比较，进行区分，从中找出一类事物所共有的本质要素。这种比较在概念的引入、领会阶段是很有必要的，有利于明确概念的内涵。只有通过比较，才能真正识别概念，才能把它归到一定的类别中去。比较还可以在不同类的，但相似、相近或相关的事物中进行，这种比较能使相比客体的本质更加明确，了解彼此之间的联系与区别，防止知识间的混淆和割裂。另一方面，利用“变式”教学，对帮助学生对概念的理解起到很大的作用。所谓变式是指在直观中，从不同的角度、方向和方式变换事物非本质的属性，以便揭示其本质属性的过程。变式不充分或不正确，往往会产生内涵混淆，外延扩大或缩小的概念错误。例如在讲解奇函数和偶涵数的概念时，进行下列练习：判断下列函数的奇偶性，比较其异同。

1.f(x)=+

2.f(x)=+.

3.f(x)=lg(ax+

)

学生一般将（1）、（2）误判为偶函数，但（1）的定义域为x≠1,且f(x)=0,∵f(－x)=f(x),f(－x)=-f(x)，所以，既是奇函数，又是偶函数。而（2）中x=1，虽然f(x)=0，但不具有关于原点对称，故为非奇非偶函数。（3）中一般学生误判为非奇非偶函数，是受思维定势的影响，不会用分子有理化。为了突破这一难点，可采用下列方法判断

F(-x)=－f(x)f(-x)＋f(x)=0

奇函数

F(-x)=f(x)f(-x)－f(x)=0

偶函数

解：f(-x)=lg(-ax+

∴f(x)+f(-x)=lg[(ax+)(-ax+)=lg1=0

∴f(-x)=-f(x),而x∈R

∴函数为奇函数。

通过上述问题的对比和变式，一方面，加深了学生对奇函数和偶函数的概念的理解；另一方面可以使学生从“陷阱”中跳出来，增强了刺激和情趣，使学生逐步养成用批判的态度来对待每一个问题的习惯，突破思维定势负迁移的影响，从而使学生思维的批判性得到发展。

（四）抓住关键性的词、句和符号的分析

在数学中，有的概念叙述简练，寓意深刻。对这些概念，必须充分揭示概念中的关键词的真实涵义。例如，“或”在我们日常语言中可能有两种涵义，一种是“可兼的”，一种是“不可兼”的，如符号“≥”，它表示大于或等于，是可兼的，而日常中我们所说的“我去打拳或跳舞，”却是不可兼的。又如对六个基本三角函数的定义，应抓住其中一个，如正弦函数，可这样进行分析：正弦函数的值本质上是一个“比值”，它是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这点到原点的距离r的比值，因此，它是一个数值；指出由于≤1，所以这个比值不超过1，这个比值与点在角α的终边的位置无关，这可用相似三角形的原理

来说明，这个比值的大小随角α的大小而变化，当α取某个确定值，比值也有唯一的确定值与它对应。如此以函数的概念为线索，从中找出自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数概念的理解就比较深刻了。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意一点p(x,y)一经确定，就涉及x，y，r这三个量，任取其中两个量组成比值，有且仅有六个。因此，基本三角函数只有六个，从而对三角函数的外延，就揭示得十分清楚了。

（五）正确处理数学概念、数学命题抽象化和具体化的关系

用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。由于数学概念本身比较抽象，加上用符号表示，从而使数学概念更抽象化，而概念所反映的客观主体却被人们所熟悉，通过对数学概念、数学命题具体化，人们可以进一步认识事物的基本结构、属性和特征；可以分出事物的表面特征和本质特征，使认识深化，可以分出概念的情景、条件、任务，便于利用概念去解决思维问题。因此，在教学过程中，要正确处理好数学概念、数学命题的抽象化和具体化的关系，首先要注意不要把概念与实际对象脱节，其次要注意不要把概念和符号脱节。例如学生往往把正弦函数的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误等式：sin(α+β)=sinα+sinβ。又如，不考虑反三角函数成立的条件，错误地认为：arcsin+arccos=也成立。

（六）、数学知识系统化、从系统中加深理解知识间的联系

数学的系统性很强，任何一个概念都处在一定的在知识系统中，要掌握概念，必须弄清概念的地位和作用，以及概念之间的内在联系，要在整体上、全局上把握概念的全貌，通过对所学的概念进行归纳，把新学的概念归纳到原有的知识体系。一方面，有利于对新概念的理解，也有利于旧知识的巩固和充实，并牢牢地记住，另一方面，有助于对原有的概念的修正，从而形成正确的概念体系。概括是使知识系统化的一个重要方面，在分析的基础上，人可以对事物进行再分析，这就是事物进行归纳与分类，使其系统化的过程。所谓系统化，就是人脑把一般特征和本质特征相同的事物，分类并归纳到一定类别系统中去的过程。由于有些种属关系的概念在教材中常常是分散出现的,故应适时地把它们联系起来,归纳、概括于一个系统中。如学生掌握整数、分数、小数的知识后，可以概括归纳成有理数；当数的概念扩大、学习了无理数（，π等）之后，又可把有理数和无理数概括为实数；掌握了虚数，如（）之后，又可把实数与虚数概括为数，从而掌握系统的数学知识，这就是系统化的过程。只有通过把概念系统化的过程，才能使学生真正掌握概念的使用，加深对概念的理解。