初中数学动点与最值问题
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇初中数学动点与最值问题范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
初中数学动点与最值问题范文第1篇
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、例题解析与归纳经验
例1.要在河边修一个小泵站，分别向张村和李庄送水，问水泵站应建在河边的什么地方，可便所用的水管最短？
分析：如何证明两线段和最短？考虑到初一学的线段公理“两点之间，线段最短”，那么，如何把这两条线段转化成一条线段呢？此时，轴对称的性质，对称轴是轴对称连线的中垂线。作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B直线l于P点，此时，两线段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。
例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x轴上找一点P，使AP+BP最短。此时AP+BP的长为_______
分析：（与例1方法相同）过点P作水平线，过点P作垂直于x轴直线，两直线交于点C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的长为5。
例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点。求PM+PB的最小值是________________.
分析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于对角线AC的对称点就是点D，连结PD. 则PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是点DM的值。因为四边形ABCD是菱形， ∠BAD=60°，ABD是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以DM是ABD高线。又因为AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。
例4.正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形 ，点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上有一点P，求PD+PE的最小值____________.
分析：根据正方形的轴对称性可知，点D关于对角线AC的对称点就是点B，连结PB，则BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值为BE。因为正方形ABCD的面积为12， 则AB=2，又因为ABE是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。
归纳经验：此类问题的共同特点是将两条线段的和转化为一条线段，这条线段的长度就是最短距离，怎样找到这条线段呢？步骤如下（以最后一题为例）
1.动点P在AC直线上运动，这条直线AC即为对称轴。
2.找出（或作出）点D关于这条直线的对称点B
3.连结BE，BE即就是这条线段。BE的长度即是最短距离，（当PD+PE取最小值时，点P就是BE与对称轴的交点.。
4.利用所学的知识，求BE的长度。
初中数学动点与最值问题范文第2篇
关键词：线段和；最小值；例析
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）17-075-01
当你徜徉于初中数学浩瀚的题海之中时，方知数学知识的博大精深与广泛应用，做为教者要想让学生面对各种题型，游刃有余，以达触类旁通，举一反三的目的，必须交给学生一些最常规、最基本的解题方法，笔者认为不论题型何等复杂，但都是凭借基本的数学知识点去解决问题的，所以首先要寻找题目中所涉及的知识原型，巧妙地去解决问题。本文以求线段“a+b”型最小值问题例析如下，供同仁参考：
线段“a+b”型最小值问题大都是“两点之间线段最短”与“轴对称”两个知识点的具体运用，解决这类问题的基本方法是：套用轴对称的性质将“a+b”的值转化为一条线段的长度，再利用“两点之间线段最短”去推理论证。
例题一：如图，一头牛在A点处吃草到中午，便要去河L饮水，饮水后再回牛圈点B处休息，请问：牛到河L中哪一点去饮水，使牛走过的路程最短。
分析：用数学的眼光看，河L就如同一条直线，本题旨在在直线L上寻找一点P，使PA+PB的值最小。因为牛的始点为A，终点为B，且必经过直线L上一点。要达到牛所走的路程最短，根据“两点之间线段最短”可知，只要构建成“PA+PB=线段”的形式，便可将此问题迎刃而解。
方法是：利用轴对称知识将问题进行转化，作A点关于直线L的对称点C，连接BC交直线L于P点，则线段BC就是所求的线段。
证明如下：
A与C关于直线L对称
线段AC被直线L垂直平分
PA=PC
PA+PB=CB
根据两点之间线段最短便知牛到P点去饮水时所走的路程AP+PB最短。
例题二：如图，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60。，点E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。
分析：抛开动点P看定点B和E，因为动点P在AC上，故以AC所在的直线为对称轴，在图上寻找定点B和E两点中那一个点存在关于直线AC的对称点，根据菱形的性质不难发现B和D恰好关于直线AC对称。
方法：如下图，连接DE交AC于P点，再连接BP，则DE=PE+PB，即就是PE+PB的最小值便是线段DE的长度。
证明：连接DE交AC于P点
B与D关于直线AC对称
线段BD被直线AC垂直平分
BP=DP
PE+PB=DE
根据两点之间线段最短，可得PE+PB的最小值就是线段DE的长度
四边形ABCD是菱形
AB=AD=2
∠BAD=60。
SABD是等边三角形
点E是AB的中点
DEAB
AE=1
根据勾股定理可得
DE=√3
PE+PB最小值为√3
例题三：在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：抛开动点P看定点B和E，因为动点P在AC上，所以以AC所在的直线为对称轴，在图上寻找定点B和E两点中那一个点存在关于直线AC的对称点，根据正方形的性质不难发现B和D恰好关于直线AC对称。
方法：连接DE交AC于P点，再连接BP，则DE=PB+PE，即就是PB+PE的最小值便是线段DE的长度。
证明：连接DE交AC于P点，连接BP
B与D关于直线AC对称
线段BD被直线AC垂直平分
BP=DP
PB+PE=DE
根据两点之间线段最短，可得PB+PE的最小值就是线段DE的长度
四边形ABCD是正方形
∠BAD=90。 AB=AD
BE=2，AE=3BE
AE=6 AD=AB=8
在RtSEAD中根据勾股定理可得DE=10
PB+PE的最小值便是10
初中数学动点与最值问题范文第3篇
【关键词】初中数学 平面几何 直角建构 线段求值
《义务教育数学课程标准》在教学建议中明确提出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”①教师在日常教学中，不但应有效揭示数学知识的数学实质及其体现的数学思想，还应帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。直角（垂直）是初中几何的重要内容之一，因为以直角为载体的试题可考查学生的多种能力，所以成为各地中考试题的热点之一，又因其具有很强的综合性，所以能增强中考试题的区分度。如，以直角（垂直）为条件的线段求值问题学生往往不知所措，不知直角与线段用什么知识联系起来，从而形成解题思维中断，导致解题思维障碍②。要帮助学生有效疏通障碍，就要让学生学会意义建构。所谓意义建构就是要指导学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律及该事物与其他事物间的内在联系达到深刻的理解，获得举一反三、融会贯通的教学效果。下面结合初中数学新课程教学实践，以近几年中考中出现的相关试题为例，说明直角条件与勾股定理、相似三角形、三角形三边关系内在联系的意义建构。
一、直角条件与勾股定理内在联系的意义建构
案例1：如图1，点O为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s。当点F到达点C（即点F与点C重合）时，两个点随之停止运动。在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EB'F，设点E，F运动的时间为t（单位：s）。是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
图1
分析：假设存在实数t能使点B' 与O重合。由对称性可得EBF≌EOF，即OF=BF、OE=BE。但等线代换图上没有直接我们所需要的Rt，此时可通过对称得到相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt。即过点O作OMBC于点M，则在RtOFM中，OF=BF=3t，FM= BC-BF =6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+ FM2=OF2，即52+（6-3t）2=（3t）2，解得t= 。同理：过点O作ONAB 于点N，则在RtOEN中，OE=BE= 10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2= OE2，即62+（5-t）2=（10-t）2，解得t=3.9。 ≠3.9，实数t不存在。
反思：关于直角三角形、矩形一次折叠问题在近几年的中考中频频出现，这类问题能考查学生的数学思维、空间想象和综合解题能力。快速正确解决这类问题的关键就是根据已知条件，通过直角（垂直）来建构合适的Rt，并运用勾股定理建立只含一个字母的等式。案例1解决的关键是通过折叠得到的有公共端点相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt，其特征是一边通过等线代换后能与另一边构成一条新的线段，再利用勾股定理构建方程来解决。
二、直角条件与相似三角形内在联系的意义建构
如图2，点B、C、D在一条直线上，ABBC，EDCD，∠ACE =90°.可得ABC∽CDE（证明略）。这是常见的相似图形，因其形似大写的“K”，故称为“K型图”，当出现直角（垂直）条件且与折叠无关时，可通过构建K型图得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例这一性质就可快速求出线段的长。
图2
案例2：如图3，已知直线l：y=-x +2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2 +k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）2+2-h（h>1）的顶点为D，两抛物线相交于点C。
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m①交点C的纵坐标可以表示为：_____或_____，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；②如图4，若∠ACD =90°，求m的值。
图3 图4
分析：（1）易得B（1，1），易证点D（h，2-h）在直线l上；
（2）①易知点C的纵坐标为（m -1）2+1或（m-h）2-h+2，可得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，即m= 。
②由于∠ACD=90°，通过直角顶点和两边端点作水平线和竖直线构建K型图，即过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DFCE于点F，可得ACE∽CDF，推出AE：EC=CF：DF，又C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），AE=m2-2m，DF=m2，CE= CF=m，可求出m= 。
反思：相似三角形是初中数学的重要组成部分，是初中几何中计算线段的主要方法之一，由于它综合其他知识点的能力很强，因此在历年的中考中已越来越突显了它的重要地位。具有直角（垂直）条件但不具有折叠特征的线段求值问题常可通过构建K型图得到相似三角形，再通过对应线段成比例来构建方程求解。若K型图直接在题目中呈现给我们，通过K型图很容易求出答案，但案例2并没直接给出K型图，一般可通过直角顶点的水平线或竖直线（直角两边在同侧）与过直角两边端点的竖直线或水平线构建K型图再进一步求解。
三、直角条件与三角形三边关系内在联系的意义建构
案例3：如图5，ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是______。
分析：此类问题的难点是不知从何下手，其关键在于抓住运动中不变的量。本题中定值AC恰为Rt的斜边，则其中线也必为定值。因此，利用AC中点来构建适当的三角形，为本题提供了解题思路。故取AC中点D，连结OD、BD，计算得OD=2、BD= ，当OD+BD=OB时（即B、D、O在一条直线上），就可求得点B到原点O的最大距离是 。
图5
反思：三角形的三边关系是初中几何中主要的不等关系之一，求线段的最值问题也经常涉及到。解决该类问题的核心是构建恰当的三角形，其关键在于要抓住动点问题条件中提供的及其衍生得到的不变量。案例3这类斜边为定值的问题经常取斜边中点来建构三角形，其特征为两条边为定值，再利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求最值。
总之，解决直角载体有关的线段求值问题，关键在于根据题设特征，建构与相关知识点的内在联系，并快速找到解题思路，扫清思维障碍，节约解题时间。在解题教学中，教师应教会学生运用替代、转换、推理、演绎、建模等数学基本思想进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，获得进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，达到教是为了不教的目的。
【注释】
① 教育部. 义务教育数学课程标准[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.
初中数学动点与最值问题范文第4篇
一、创设情境,设疑激趣,把握导入契机
心理学研究表明:精彩的课堂开头,往往给学生带来新奇感,不仅能使学生的思维迅速地由抑制到兴奋,而且还会使学生把学习当成一种自我需要,自然地进入学习新知识的情境中,初中数学课引入方法很多,可通过实验开路,故事引入,悬念导入等。如教“分母有理化”一节时,教师上课后,板书一道题:“计算 1∕√2(精确到0.01)”。指定两位同学用两种不同方法板演。一个先把分子、分母同乘√2,很快算出结果。另一个直接用1被√2的近似值1.414除,列草式,算得很繁。两生做完后,教师问学生:哪种方法更简便?学生一致肯定了前一种解法,从而自然地引入了分母有理化这一课题。再如:讲“坐标的互化”,先举例比喻各国度量衡制不统一,我们不仅要掌握市制,而且要学会公制,并且能够将它们互化。接着转入主题:直角坐标系,极坐标系,在建立函数和图像的对应关系时,各有优点,但有时需要将一种坐标系下的方程转化为另一种坐标系下的方程。这就是我们要学习“直角坐标与极坐标互化”的原因。这样引入课题并不费力,目的明确,使学生产生强烈的求知欲,迫切学习新知识,其注意力马上被吸引到课堂教学中来,激发起主动参与研究的强烈欲望。
二、在数学教学中培养学生的新观念、新思想
新观念中不仅包含对事物的新认识、新思想,而且包含一个不断学习的过程。为此作为新人才就必须学会学习,只有不断地学习,获取新知识更新观念,形成新认识。在数学史上,法国大数学家笛卡儿在学生时代喜欢博览群书,认识到代数与几何割裂的弊病,他用代数方法研究几何的作图问题,指出了作图问题与求方程组的解之间的关系,通过具体问题,提出了坐标法,把几何曲线表示成代数方程,断言曲线方程的次数与坐标轴的选择无关,用方程的次数对曲线加以分类,认识到了曲线的交点与方程组的解之间的关系。主张把代数与几何相结合,把量化方法用于几何研究的新观点,从而创立解析几何学。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会,更应教学生会学。在不等式证明的教学中,我重点教学生遇到问题怎么分析,灵活运用比较、分析、综合三种基本证法,同时引导学生用三角、复数、几何等新方法研究证明不等式。
例 已知 a>=0,b>=0, 且 a+b=1, 求证 (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2
证明这个不等式方法较多,除基本证法外,可利用二次函数的求最值、三角代换、构造直角三角形等途径证明。若将 a+b=1(a>=0,b>=0) 作为平面直角坐标系内的线段,也能用解析几何知识求证。
证法如下:在平面直角坐标系内取直线段 x+y=1,(0=<x>=1), (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)看作点(-2,-2)与线段x+y=1上的点(a,b)之间的距离的平方。由于点到一直线的距离是这点与该直线上任意一点之间的距离的最小值。而 d*d=( -2-2-1|)/2=25/2, 所以(a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2。“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终生。
三、增强毅力 勤奋学习
一个人要取得成就,除了智力、能力条件外,必须有坚强的毅力,要有不怕困难,勇往直前的决心和勇气,有的后进生数学成绩差总是认为自己天生脑子笨,没有数学细胞,所以学不来,对于这部分学生我经常教育鼓励他们。实践证明,良好的学习习惯可以逐步转化上升为坚强的意志。我在培养学生的意志的时候,首先让他们在学习生活中逐渐形成良好的学习习惯,我主要从以下几点做起:(1)课前预习,课后复习。要求学生养成:在上课前先把所要学的内容逐字逐句地看一遍,在不懂或不理解的地方作个记号(或认真完成《导读提纲》);课上集中听讲,认真思考,积极参与小组讨论;课后先复习,再完成作业(或《导读提纲》)。(2)作业规范化。要求学生养成:每次着手做作业之前应该先订正上一次作业,并且要严格按照书写格式来完成,字迹要工整,并且要认真审题,独立完成作业。这样持之以恒,就会逐渐地养成良好的习惯。(3)树立榜样,增强信心。对于每一次作业全优者就记上“好”,每个单元评比一下谁的“好”的次数最多。中差生作业上有进步,也应提出表扬和鼓励,这样他们就会逐渐克服了以往的不良习惯,慢慢地跟上了。(4)耐心说服,循循善诱,后进生完成作业有时存在一定的困难,我经常利用课余时间加以帮助,对于疑难问题仔细分析,作业上的问题有条件时尽可能面批,并且一再鼓励他们只要能独立完成作业,那么成绩就一定能提高。
四、创设活动过程,培养学生动手能力
四、创设活动过程,培养学生动手能力
着名心理学家皮亚杰说:“儿童的思维是从动作开始的,切断动作与思维的联系,思维就不能得到发展”。由此可见,活动是联系主客体的桥梁,是学生认识发展的直接源泉,因此,教学中教师要多创设让学生动手操作,动眼观察,动脑思考,动口表达等活动情境,最大限度地引导学生参与,以“动”启发学生的思维,实际上,课堂就应当是学生的“活动场”,教学过程就应当是学生的“活动过程”。教师的主导作用之一就是要创设好“活动点”。例如初中数学“实习作业”一课教学设计:⑴学生自制测倾器;⑵让学生设计实验;⑶学生用测倾器、刻度尺等器材,动手做实验,探究用直角三角形知识解决实际问题的方法;⑷学生试着自行小结,教师总结讲解;⑸介绍用测倾器测底部不能到达的其它建筑如楼房、烟囱等高大建筑物的高度。在实习作业期间,教师在现场进行观察指导,并回答学生提出的问题。整个教学过程通过学生积极参与活动,让学生自主学习,自己探究,自己设计,自己分析,教师只是学生学习的指导者和活动的组织者,其教学效果甚好。
初中数学动点与最值问题范文第5篇
关键词：动点；对称点；化折为直；垂线段
中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）30-0135-04
1 概述
由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的问题使用较多。介于篇幅，本文只对该问题用几何方法加以研究。
2 类型一：两点在直线异侧
如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB上一点P，使得PC+PD的和最小。因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。此类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。
类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。作C点关于直线AB的对称点C'，连结C'D与直线AB的交点即为所求的点P。这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。类型二是类型一的简单引申，类型一才是此类问题的最基本原型。
我们将类型二做简单的引申就得到了以下几种有关动点线段和的最小值问题。
解析：此题有很大的陷阱，大多数粗心的学生容易犯以下错误：要使PE+PQ最小，只要PE最小，再使PQ最小，自然它们的和也最小，根据垂线段最短，所以先过点E作FD的垂线垂足为P，再过点P作BD的垂线垂足为Q，这样分别求出PE和PQ的长度再相加即可，如图8所示。这是大部分学生易犯的错误，这是因为忽略了PE和PQ的相关性，并不能用它们的最短长度的简单叠加，只有它们相互独立的时候才能叠加求最小和，正如高等数学里所说的无穷多个无穷小量的和并不一定是无穷小量。针对此题，因为点P所在的线段FD夹在E所在线段AD和Q所在线段BD之间，所以点E与BD上任一点（D除外）连线必与FD相交，因此很明显过点E作BD的垂线垂足即为满足要求的Q，与FD的交点即为所求的P。
解析：很明显要求四边形APQE的最小周长，因为点E为CD的中点，所以AE和PQ是确定的，所以只需使得AP+QE最小即可，很自然的方法是用代数的方法设QC或者BP为未知量，建立函数模型，然后求最小值即可，然本文介于篇幅只对几何方法作探讨，代数方法暂且不做论述。此题和例3有所不同，此题中的P，Q两点虽都是在线段BC上运动的动点，但是AP和QE是不连接的线段，且PQ为定长，这是与前面所讨论的情况所不一样的。
