函数最值的应用范文第1篇

一、三角函数最值

1.构造复数法

根据所给函数表达式的特点，把它与复数联系起来，再通过复数的性质来确定最值。如复数a+bi的模为■，若函数表达式中一些项形如■时可考虑构造相关复数。某些三角函数式实质上可以看成几个复数的模的和或差，因此，求这样的式子的最值可以转化为求复数的模的最值问题。根据三角问题的条件、结构，找出与复数知识的沟通点，明确解题方向，然后利用复数的模，将题设对照复数模的形式，结合模的性质构造复数。

例1：求函数f（x）=■+■的最值。

解：原函数可改写为：

f（x）=■+■，

显然当sinx=-1时，f（x）max=■+■，

下面求其最小值，可构造两个复数：z1=（1-2sinx）+2i，z2=2sinx+i，

则f（x）=|z1|+|z2|；|z1+z2|=|1+3i|=■，

由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■当且仅当■=■时取等号，即当sinx=■时，f（x）min=■。

2.利用立体几何图形法

根据约束条件和所求量的几何意义构造几何模型，再通过图象来确定最值。

有些三角函数问题蕴含着丰富的几何直观性，若能“以数思形”，进行“数形联想”，就可以通过构造图形并研究图形的几何性质来达到求最值的目的。给出函数表达式求最值时，应该考查表达式和约束条件有什么几何意义，把代数条件及函数表达式分别做出几何解释，为题中所给定的代数值选取适当的几何量，根据题意来设计图形的大小和位置关系，通过几何学构造图形，使题目图形化，借助于图形的直观性来揭示函数的最值。此外，这种化抽象为具体、数形渗透的做法，往往还可以减少复杂的推导。

例2：若α、β、γ均为锐角，满足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求y=cotαcotβcotγ的最小值。

分析：sin2α+sin2β+sin2γ=1可构成一条对角线为1的长方体，将已知函数转化为立体几何图形上。

解：如右图，设长方体AC1的对角线B1D=1，∠BB1D=α，∠A1B1D=β，∠C1B1D=γ。

则有sin2α+sin2β+sin2γ=1。

设长方体的三边长为a、b、c，则

y=cotαcotβcotγ

=■■■

≥■=2■，

即ymin=2■。

二、总结

在新课程标准下更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。因此，数学教学应该将课堂与生活紧密联系起来，体现数学来源于生活、寓于生活、用于生活，引导学生把数学知识运用到学生的生活实际中去体验感受，使学生充分认识到数学既来源于生活，又是解决生活问题的基本工具，达到数学课堂教学生活化的目的。

参考文献：

1.赵裕民.用数学思想方法探求三角函数的最值例谈.数学通讯，1996.9：11-13.

2.刘艳玲.求函数最值的初等方法.菏泽师专学院，1999（21）：98-100.

函数最值的应用范文第2篇

关键词：二次函数；教学；应用

中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）24-046-02

深刻理解二次函数解析式的不同表现形式，及其彼此的关系，掌握灵活运用这些关系式的技能，增强解答二次函数相关问题的能力，就必需从系统认识和掌握二次函数的解析式和图象入手，通过适量和高效率的解题训练，掌握各种数学变换和问题转化的技能，从而达到使所学知识快速有效解题的目标。

一、从集合角度对二次函数概念的理解

二次函数是从一个集合A（定义域）到另一集合B（值域）上的对应f： AB，使得集合A中的任意一个元素x与集合B中唯一的元素y=ax2+bx+c（a≠0）对应，记为f （x）= ax2+ b x +c （a≠0）这里ax2+bx+c表示对应关系.

例1. 已知f（x）= 2x2+3x+2，求f （2），f （a）， f （x+1）

解析：f （2）是当x=2时的函数值，f （a） 是当x=a时的函数值，f （x+1）是把x+1当作自变量，施加f的对应法则.

二、二次函数基本性质的应用

1、二次函数的图像，对称轴及其单调性的应用

例2 已知二次函数f （x）=x2+b x+c，当x∈[-1，1]时，试证：

（1）当b

（2）当b

分析：对于（1）只需考查对称轴，利用数形结合可证.但对于（2）的证明需要从结论中寻求证法，所以联想到反证法，这是方法选择的关键所在.

证明：（1）f （x）=x2+bx+c

=（x+b/2 ）2+c-b2/4，

抛物线的对称轴x=-b/2，当b

-b/2 >1（如右图）当b

（2）假设在x∈[-1，1]内不存在|f （x）|≥1/2，则有

-1/2

f （-1）=1-b+c-1/2

联立解得b>-1/2 与已知b

2、二次函数的最值与对称轴关系的应用

（1）讨论对称轴定，区间变的最值情况.

例3 已知函数 f （x）=x2-2x-3，试求：在[a，a+2] 上函数的最小值.

解析：所给函数是已知的，但区间是可变动的，随着a 值的不同，区间位置发生变化，而对于二次函数这种非单调的函数来说，其最值不能简单带入端点求解，故需画图帮助分析，如右图：对称轴方程x=1：

（1）当区间在对称轴左侧时，函数的最小值

（2）是区间的右端点，即a+2对应的函数值，也就是，当a+2

f（a+2）=（a+2）2-2（a+2）-3=a2+2a-3

（3）当对称轴处于区间内部时，函数的最小值就是函数的最低点，也就是，a≤1≤a+2

-1≤a≤1时，函数的最小值是：f（1）=-4

（4）当区间在对称轴右侧时，函数的最小值是区间的左端点，即时，函数的最小值

也就是当a=1时函数的最小值

F（a）=a2-2a-3

（2）讨论对称轴变，区间定的最值情况。

例4试求函数f（x）=-x2+2ax_-3在[1，3]上的最大值g（a）.

解析：此类问题是所给区间已知，但所给函数位置不定，随着a 值的不同，函数在变.仍需画图分析：

函数可变为：f（x）=-（x-a）2+a2-3 ，对称轴方程：x=a.

（1）当对称轴在区间左侧时，函数的最大值是区间的左端点，即1对应的函数值，也就是，当a

（2）当对称轴处于区间内部时，函数的最大值就是函数的最高点，也就是，当1≤a≤3时，函数的最大值是：f（a）=2a-3

（3）当对称轴在区间右侧时，函数的最大值是区间的右端点，即3对应的函数值，也就是，当a>3 时，

函数的最大值是：f（3）=-32+6a-3=6a-12

函数最值的应用范文第3篇

题型1 利用导数研究函数的单调区间

点评：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）在该区间上是增函数，如果f′（x）<0，那么f（x）在该区间上是减函数.求函数y=f（x）单调区间的步骤：①确定函数定义域；②求导函数f′（x）；③分别求f′（x）>0、f′（x）<0对应的x的范围；④确定y=f（x）的单调区间.时刻要记着一点，求函数单调区间必然在求出函数定义域的前提下解决.

题型2 利用导数研究函数的极值、最值

点评：1.设函数f（x）在点x0及其附近可导，且f′（x0）=0.如果f′（x）的符号在点x0的左右由正变负，则f（x0）为函数f（x）的极大值；如果f′（x）的符号在点x0的左右由负变正，则f（x0）为函数f（x）的极小值；特别地，如果f′（x）的符号在点x0的左右不变号，则f（x0）不为函数f（x）的极值.求可导函数极值的基本步骤：①确定函数定义域；②求导函数f′（x）；③求出f′（x）=0全部实根；④检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左、右两侧的符号，完成表格，写出极值.特别注意，极值点是函数f（x）的定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点.

2.求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数f（x）在（a，b）的极值；②将函数f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

题型3 利用导数研究函数的零点

结合f（x）的单调性可知：

当f（x）的极大值-ln2-9+a=0时，f（x）有1个零点；

当f（x）的极大值-ln2-9+a>0时，f（x）有2个零点；

当f（x）的极大值-ln2-9+a<0时，f（x）有0个零点.

即：当aln2+9时，f（x）=lnx-2x-8+a有2个零点.

点评：函数y=f（x）的零点是指函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，也是方程f（x）=0的实根.借助导数，通过对函数单调区间、极值的研究，画出函数y=f（x）的草图，再通过数形结合，便可解决有关函数零点（或方程的根）的问题.

题型4 导数在实际问题中的应用

例4 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=x米，用y表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

故当薄板长为2米，宽为2-2米时，节能效果最好.

（3）记凹多边形ACB′PD的面积为S2，

关于x的函数S2在（1，32）上递增，在（32，2）上递减.所以当x=32时，S2取得最大值.

故当薄板长为32米，宽为2-32米时，制冷效果最好.

点评：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题时一般先设自变量，因变量，建立函数关系式，并确定函数的定义域，利用求函数最值的方法求解，结果应与实际情况相结合.注意：用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.

题型5 已知函数性质研究含有参数的问题 1.已知函数单调性求参数的范围

（2）已知f（x）=x3-3x2在区间（2a-4，3a）上单调递增，则a的取值范围 .

解析：令f′（x）=3x2-6x>0，得x>2或x<0，

则y=f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），

所以由题可知（2a-4，3a）（-∞，0）或者（2a-4，3a）（2，+∞），

所以2a-4<3a≤0或2≤2a-4<3a，即-4

点评：以上两个问题都是函数在已知单调性的条件下求参数范围问题，可是方法却不一样，一类是转化为恒成立问题解决，关于不等式恒成立问题，可以转化为求函数的最值来研究，如a≥f（x）（x∈D），得a≥f（x）max；如a≤f（x）（x∈D），得a≤f（x）min.另一类是转化为区间之间的关系来解决，前提是函数的单调区间是可以求，还要注意端点处等号问题.

2.已知函数的极值或最值求参数的值

点评：可导函数f（x）在点x0处有极值，必有f′（x0）=0，而f′（x0）=0只是可导函数f（x）在x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件，所以根据f′（x0）=0求出参数值，需要进行验证.

函数在开区间上存在最值，必然是相应的极值点在该区间内，但是要注意与极值点处取得相同函数值的点是否在该区间内.

3.求含有参数的单调区间

点评：分类讨论是数学上一类重要思想，对含有参数的函数求单调区间时，求导后仍有参数，可转化为解含有参数的不等式问题，解含有参数的不等式常通过分类讨论来完成.

点评：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y=f（x）上点x=x0处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.审题的关键字是“在点”和“过点”，这两个是不一样的，这类问题只要抓住两个关键即可：切点和斜率.

通过上述热点题型的分析，我们发现导数这部分自 身的知识难度并不大，但是其应用能力及与其它知识的综合能力要求较高，正是由于导数的引入，对函数的考查已不再拘泥于低次多项式函数、简单的指数函数、对数函数等形态.研究函数的目标也不再局限于定义域，值域，单调性，奇偶性，对称轴，周期性等内容，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型函数，对数型函数以及基本初等函数的和差积商更多地作为考查对象，试题的命制往往融函数、导数、不等式、方程、甚至数列、解析几何等知识于一体，通过演绎、证明、运算、推理等理性思维，来解决单调性、极值、最值、切线、方程的根的分布、不等式的解证、参数的范围等问题.试题往往难度大，综合性强，内容、背景、方法上颇为新颖，倍受命题者青睐.

笔者认为，涉及到函数与导数的问题，要养成做题就画图的习惯，复杂问题一画图眉目就清，灵感顿生，即“复杂问题，一画就灵”；要求学会总结，善于总结，熟练掌握基本套路，尤其是“通性通法”：

1.切线问题抓住“切点”不放.

2.方程根（零点）个数问题离开“图象”不说话.

3.导数问题，函数“单调性”是主旋律，就抓住了这个根本，所有问题随之就迎刃而解.

函数最值的应用范文第4篇

[关键词] 导数 函数 单调性

导函数即导数,作为研究函数的重要工具,函数思想在其定义阐述与应用过程中贯穿始终。随着课程改革的全面深化,导数知识进入新教材后为函数解题思路开辟了新的途径,《导数在研究函数中的应用》也逐步成为数学知识考查的重点。随着导数知识考查要求的增强,如何利用其有效地联系函数知识点及相关数学思想来进一步提升学生的探究、穿行能力,成为当前高中数学教学的重点课题。

一、导数在研究函数中的应用类型

《导数在研究函数中的应用》一节的学习目标主要包括以下三点:一是从几何角度直观认识导数与函数单调性间的联系,可利用导数分析其单调性并求取单调区间;二是掌握函数在某点X0取极值的充分、必要条件,并以此为工具求取函数极大值与极小值;三是能求取三次以下多项式函数的闭区间最值。本文即结合课程教学目标及相关试题对此问题进行分析。

二、利用导数研究函数问题的类型

1.利用导数解决函数图像切线问题

在解析几何问题中引入导数几何意义,有助于拓宽解题思路。导数f′(x)的几何意义在函数图像上表示为曲线y=f(x)上某点P(x0,f(x0))处的切线斜率f′(x0)。究其具体应用而言,如已知曲线y=f(x)、点P(x0,y0),就可获取y′=f′(x0)即切线斜率,进而得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0)。

此外,在“已知一点、求与已知曲线相切的方程”之类例题的分析讲解中,教师应注意帮助学生在解题思路上区分两种情况,一是“曲线在点P处的切线”,即以P为切点的唯一切线;二是“曲线过点P处的切线”,此处点P不一定为切点且切线为2条。譬如,求与曲线y=x+9x+5相切且经过原点O的方程。该题我们可以初步判断应存在两切点,在求取导数方程后,可获取切线斜率y0=3或y0=3/5,进而求出切点,联系题中经过原点的条件,就可求得切线方程为y=-x,y=-x/25。

2.导数在函数单调性研究中的应用

单调性判断是函数研究的重点内容,其步骤在引入导数概念后能得到一定程度的简化,可分为如下步骤:确定函数y=f(x)的定义域;求取导函数y=f′(x);并求出方程f′(x)=0在定义区间内的一切实根;将函数y=f(x)的间断点与各实根有序排列,并按函数定义域划分为若干区间;最后按f′(x)在各开区间内的正负符号分别判断函数f(x)的单调性特征。

此外,在该点的教学中,学生不能对解题思路生搬硬套,应了解其缘由。一是f′(x)在开区间(a,b)内大于或小于0是函数y=f(x)在区间内单调递增或单调递减的充分不必要条件。二是(a,b)内恒有f′(x)=0才可以判定函数y=f(x)在区间内为常函数,不能因个别导数为0就武断地跑那段函数单调性。

3.利用导数取函数最值或极值

利用导数判断函数单调性、求取函数单调区间以及最值、极值,往往与不等式、参数范围等问题相综合,单调性问题需要转化为一元二次或高次不等式进行求解,且多数需要进行参数讨论,因此,这一部分内容应注意培养学生分类整合、化归转化的解题思路及数学思想。

此外应注意的是,函数极值与最值的求取存在一定差异。以函数f(x)=(1/3)x3-4x+4为例,其极值求取首先应确定函数定义域;求取导函数为f′(x)=x2-4,并求得f′(x)=0的实数根为x=2或x=-2;最后对实数根x0进行检验,判断实数根的左右两侧导数f′(x)的符号是否存在变化,由负转正则f(x0)为极小值,反之为极大值,从上式可知f(2)=-(4/3)为极小值;f(-2)=-(28/3)为极大值。应注意的是,若f′(x0)左右两侧符号相同,则排除f(x0)为极值。函数最值就是在函数极值求取的基础上更进一步,依据题目所给定的区间[a,b]得出函数在区间端点的值即f(a)、f(b),并根据函数单调性的判断,将f(a)、f(b)与极值f(x0)相比较即可获得函数在区间内的最值。该知识点应着重强调函数与不等式的综合应用,尤其是参数不等式恒成立的证明往往需要借助于导数、函数单调性以及极值(最值)等知识点的应用。

4.用导数研究函数的零点

利用导函数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型,其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查。譬如,已知函数f(x)=aIn(1+x)+x2-10x,x=3为该函数一极值点,且直线y=b与函数图像存在3个交点,试求b的取值范围。很明显,该题仍需要借助于导数判断函数f(x)的极值、最值,通过数形结合的形式判断出直线y=b与曲线y=f(x)的交点,进而得出b的取值范围。

三、导数与函数单调性研究中的常见误区

从上述利用导数研究函数问题的类型分析中可得出出一个结论,即函数单调性是导数在研究函数中的应用中心所在。因此,教师在讲解过程中也应更加注重导数与函数单调性研究中的常见误区分析。一是对导数与函数单调性间的联系认识不明确。部分学生常在解题过程中误将函数f′(x)>0(或

四、结语

综上所述,导数在研究函数中的应用作为新课程教材的重点内容,同样也是近年来高考试题的热门考点,教师应注意把握这一命题,由浅入深,并将该知识点有效地与其他知识进行有效综合,着重培养并发展学生的探究思维与逻辑推理能力。

参考文献:

[1]蔡永强.透过现象看本质――利用导数研究函数单调性之我见[J].数理化学习,2009.5.

函数最值的应用范文第5篇

关键词 值域（最值）方法 函数 求解策略

中图分类号：G683.6 文献标识码：A

1函数的值域（最值）的知识点

（1）函数的值域：函数，（集合A是函数的定义域）。与x的值相对应的y的值称为函数值，函数值的集合（函数的值域。

（2）最大值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最大值。

（3）最小值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最小值。

（4）一般地，如果在区间[a，b]上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且值域为。

2函数的值域（最值）求解策略

函数的值域（最值）没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面见方法。

2.1分析观察法

对于结构简单的函数，可以通过基本初等函数的性质及不等式的性质观察出函数的值域（最值）

例1：求下列函数的值域。

2.2分离常数法

对于形如的函数，可采用分离常数法求值域（最值）。

例2：求函数的值域。

2.3反解x法

对于形如（或能够转化为）的函数，可以采用反解x法求值域（最值）。

例3：求下列函数的值域。

2.4配方法

对于二次函数或能够转化为的函数，可以通过配方法求函数的值域（最值）。

例4：求下列函数的值域。

函数图像是对称轴为的开口向下的抛物线，

2.5换元法

用新变量代替原来函数中的某部分对象，实现化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理超越式为代数式等，将比较复杂的函数转化成易于求值域（最值）的函数进行求解。

例5：求下列函数的值域。

当即也即时，有最小值；

当即也即时，有最大值。

值域为。

点评：换元法要注意考虑新元“t”的取值范围。

2.6单调性法

对于能快速判断单调性的函数，可采用单调性法求值域（最值）。

例6：函数的值域为__________。

解：函数的定义域为，显然在其定义域上单调递增，

当x=1时，函数有最小值，故值域为。

2.7判别式法

对于形如、、的函数，我们可以将其转化为的形式，再通过求得的范围。但当函数为指定的函数时，用判别式法求出y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误。

2.8数形结合法

通过联想，构造几何模型，探求问题的简捷解法。对于形如的最值问题，我们一般可以转化为的斜率问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。

2.9构造辅助角法

由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，通过构造辅助角，利用函数的有界性，可求得（最值）。