函数概念范文第1篇

函数是现代数学的主要研究对象，贯穿于初等教育、中等教育和高等教育各个阶段，在各种类型的教育教学过程中，函数都是最基础的数学概念之一，但大多数学生却不甚理解函数这个概念的内涵，常常是知其然，不知其所以然．请看下述三例: 例1设{fn(x)}是定义在R上的函数列，则建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)∣→n，即n=g(fn(x))，该映射是函数吗?为什么? 例2设2003数本班全体学生构成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)}，则建立如下映射，h:A→B，学生∣→(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)，该映射是函数吗?为什么? 例3f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，试问:f是函数吗?为什么? 下面，本人对函数概念进行整理和注解，希望对学生有所帮助，同时，权作同行交流探讨． 一、函数概念的介绍 1．产生阶段 16世纪，随着自然科学对物体运动研究的深入开展，尤其是对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，促使数学学科产生了变量和函数的概念．从这个意义上来讲，函数概念来源于现实生活，产生在人们对自然现象的不断探索过程之中，所以对函数概念的理解和把握，要充分尊重它的现实意义和实际应用． 2．发展阶段 (1)原始概念．“函数”这个数学术语首先是由德国数学家莱布尼兹提出来的，他定义的函数的含义是指关于曲线上的点的横坐标与纵坐标以及一些线段(如弦、切线、法线等)的长度．根据此函数定义，坐标、弦长和切线都是函数!显然非常模糊，且不具体，与我们现行的函数定义相差甚远． (2)第一次扩张．1748年，数学家欧拉将函数定义为:“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的．”1775年，欧拉又给出了函数的另一种定义:“如果某些变量，以这样一种方式依赖另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面变量称为后面变量的函数．”上述欧拉给出的函数的两个定义称之为解析的函数概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，这与现行的函数定义相差不多了，只要稍作修改为f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．见上述例1、例2、例3． (3)第二次扩张．欧拉在提出解析的函数概念的同时，给出了图像的函数概念:“在xOy平面上任意画出的曲线所确定了的x，y之间的关系．” (4)第三次扩张．1837年，德国数学家狄里赫莱进一步给出了函数的定义:“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数．”黎曼也给出了类似的定义:“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称作是x的函数．”上述函数的两个定义称之为对应关系的函数概念． (5)近、现代函数的定义．在近、现代数学中，函数的概念又有了进一步的发展，建立在“集合”和“对应”这两个基本概念的基础之上，其定义为:集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．记作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域． 二、函数概念的注解 现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，对函数概念的定义不外乎两种，其一是变量的函数观点，其定义为:“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”这在中学数学课本中，非常普遍，也比较流行．其二是对应的观点，其定义为:“非空数集间的映射叫做函数．”但无论是哪一种定义，都比较狭隘，非常局限，会误导学生，特别是对学生今后的数学学习造成隐患，有必要对其进行探究和解释说明． 1．修订 对于定义“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”把函数定义为变量，显然与高等数学中映射的观点不相符，给大学阶段的数学教学埋下了隐患．而定义“集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．”当然也是有问题的．一是何谓单值?集合中的元素一定是“值”吗?二是何谓单值对应?把现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函数概念定义为:“非空集合间的映射叫做函数．”记作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域．强调函数是集合间的一种关系，一种特殊的关系!这样，既便于学生理解，又与今后数学的学习不矛盾． 2．注释说明 (1)当A，B都是数集时，f就是现行各种教材中函数的定义．其中A，B可以是无限集，也可以是有限集． 例4y=f(x)=2x+3，x∈R． (2)当A，B不都是数集，或都不是数集时，f仍然是集合A到集合B的函数．请看下面的例子: 例5集合点名．叫“张三”，就有一个名字叫张三的人答应(假设集合中名字叫张三的人唯一)，这就是名字集到人集的映射，当然是函数，而且是非数集到非数集的函数!根据概率的定义，“随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为A发生的概率，记作P(A)．”其实质是事件域T到无限集［0，1］的映射，是函数!因而才有概率的公理化定义:“概率是定义在事件域T上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数．”#p#分页标题#e# 例6抛掷两枚完全一样的硬币，观察其正面(国徽)朝上的情况，结果有且只有四种情况:正正，反反，正反，反正，分别用A，B，C，D表示，由概率论的知识可知，P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=14．这样就建立基本事件集合F到数集B=1{}4的一个函数关系． (3)对应关系的函数的定义．在上述“修订”中，函数的概念比较容易理解，但其中涉及“对应”这个基本概念，何为“对应”?不明确，不具体，为了避免之，下面给出关系的函数概念:“设f是集合X与集合Y的关系，即f?X×Y={(x，y)∣x∈X，y∈Y}，若(x1，y1)∈f，(x1，y2)∈f，则y1=y2，那么称f是集合X到集合Y的函数．”比较难理解!由此定义可知，函数是直积X×Y的一个子集合，是一个集合!你想象得到吗?请看下例: 例7f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，即是我们常见的余弦函数y=cosx，x∈R． 3．函数亚悖论 由上述(3)中关系的函数的定义可知，第一，函数其实是一个集合!而函数是集合间的一种特殊关系，这显然是矛盾的．第二，既然函数是一个集合f，那么就可以定义所有函数构成的集合———函数集A，也可以定义一个在A上的函数，即定义在函数上的函数!这显然也是矛盾的，不符合逻辑．雷同于集合的罗素悖论，这是一个函数悖论，我们就把它称之为函数亚悖论．请看下面两例: 例8g:f→D，其中f同上，D={满射，单射}．h:f→D，其中f是所有函数构成的集合，D={满射，单射}．显然，g，h也是函数，当然有h∈D，而这是罗素悖论的一个翻版!我们姑且说是函数概念的亚悖论． 例9已知集合A={1，2，3}，则集合A的子集集合为F={?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}，我们可以建立F到集合A的子集的基数集合{0，1，2，3}的一个关系，且也是函数关系． 显然，这是集合集到非空数集间的函数关系!超出了函数定义的范畴，所以，类似于罗素悖论的处理办法，我们不讨论定义在所有函数构成的集合上的函数.

函数概念范文第2篇

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展

1．1 早期函数概念──几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4 现代函数概念──集合论下的函数

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

2、函数概念的横向比较

函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：

函数概念引入──学习──深化的过程比较

中国

初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。

高一时用“映射”来刻画函数概念。

法国

四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。

七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。

八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。

九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。

高中时，大量增加函数内容。

日本

小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。

中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。

美国

九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。

德国

初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

英国

由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。

2．1 函数概念引入方式上的差异

我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。

西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。

2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异

我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。

3、函数概念教学的几点思考

3．1 注重函数概念的早期渗透

函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。

3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。

3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合

由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。

3．4 注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]。北京：北京师范大学出版社，2001，7；

[2]M克莱因。古今数学思想(1－4册)[M]。上海：上海科学技术出版社，1979－1981;

[3]吴泽菲等。中国与英国初中数学课程比较[J]。外国教育研究，1998，1：11－16;

[4]章以昕。中美两国中学数学教材中函数概念的比较[J]。数学通讯，1996，2：16－19;

函数概念范文第3篇

笔者主要从以下几点作好函数概念的教学：

一、深刻认识函数在中学数学教学中经历的三个阶段

第一阶段：在初中初步讨论函数概念、函数的表示方法以及函数图像的绘制等等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。研究这些函数的概念、性质，用描点法作相应图像。

第二阶段：新教材第二章“函数”和第四章“三角函数”的内容的教学。也就是函数概念的再认识阶段即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并进一步研究函数的性质。在此基础上研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图像、性质，从而使学生获得较系统的函数知识，同时进一步加强培养学生对函数的应用意识。

第三阶段：高中三年级数学选修Ⅰ中的极限、导数或选修Ⅱ中的极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，为大学学习做好预备。

二、采用适当的方法激发学生的学习兴趣

教学中，笔者首先从学生熟悉的函数入手，引出函数传统定义，然后引导学生利用映射给出函数现代定义。尽量不让学生由于陌生而产生对新概念的恐惧。接着在进行两个概念的比较的时候又依托具体例子，化抽象为具体，较好地解决了这一问题。

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，笔者采用如下的教学方法：

（1）比较法：通过初中的函数的概念和高中阶段的函数的概念进行比较，初中的概念是强调了两个变量之间的对应关系，而高中的概念强调了函数的三要素构成了函数这个整体，深入地理解函数概念的本质；其次是比较映射的概念和函数的概念，其中的区别：函数强调“变量的值”。映射中的A与B在集合中被强调是数集，其中的联系：“对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应”与“对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应”具有类似的结构。比较f(x)与f(a)之间的区别，f(x)是变量，而f(a)是常量。

（2）列举法：对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性。故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，如给出： 是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要。

三、把握好函数的教学要求避免难偏怪

学习是一个不断深化的过程，作为高一上期学习的内容，函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事，要充分考虑到学生从初中进入高中不久的事实，设计函数课的教学过程必须由浅入深，学生在不断地学习中加深对函数概念的理解，跨度不能太大，应着力于打好基础，并进行逐步的综合训练，在后继学习中，通过对函数的应用来获得巩固和提高，逐步提高数学能力。知识可以一步到位，能力是逐步到位。

例如：在引进集合和映射等概念后，我们就可明确给学生定义什么是函数了。并由此定义函数的定义域、值域等概念，其中定义域、对应关系、值域是函数三大要素。如何求函数定义域（重点）？如何求函数值域（难点、非重点）？如何判定两个函数是相同函数（重点）？等大量问题对学生是一新的问题。如果这里多讲、重讲如何求函数值域，就是偏难。这就需要我们在实际教学中把握一个“度”。

函数通常用符号y=f(x)表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：

y=f(x)是表示y是x的函数，不是表示y等于f与x的乘积；

f(x)不一定是一个解析式；

f(x)与f(a)是不同的。

函数概念范文第4篇

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f ，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G .Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。

函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

2 加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。转贴于 如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x =1 x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

3 将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

函数概念范文第5篇

关键词： 映射 函数

每当教到映射与函数概念时，在“一对一”、“多对一”、“一对多”的众多对应中，哪些才是映射？这个问题总是有学生会混淆、弄错。那么到底哪些才是映射呢？在教学中，我把这些问题形象化以后，发现学生在判断是否是映射与函数时做得既快又对（只针对直观的对应图）。下面就是我采取的方法，仅供大家参考。

例1. 在下面的4个图中，写出哪些对应是集合A到集合B的映射（ ）。

分析：我们先把问题做一种假设：把A中的元素当作古代女子，B中的元素当作古代男子，根据在古代女子只嫁一个丈夫，而男子可以娶多个女子的这种思路，就可以解决映射的问题了！

那么什么样的对应是映射呢？满足“A中的女子（元素）都有对象且只有一个对象，B中的元素不做要求”的对应就是映射。①中元素b没有对象，③中元素a有两个对象，所以①③不满足条件，所以此题选②④。

例2.下列图中AB的对应为函数的是（ ）。

分析：在做此题前，先要搞清楚映射与函数的区别：映射中A、B是非空集合，而函数中A、B是非空数集，也就是说如果AB的对应为函数，那么首先集合A、B中的元素为数字，根据这一条就可以把选项④排除了！

接下去的判断思路就和映射相同了，只要满足A中的女子（元素）都有对象且只有一个对象，B中的元素不做要求，由此我们就可以排除①②，故选③。

例3.下列是函数图象的是（）。

分析：在x轴上做平行与y轴的直线，如果与图象只交于一点，那么就是函数图象，如果与图象交与两点或者多于两点的，都不是函数图象。由此就可以选出①满足条件。

在这里我们还可以让学生认识到集合A是定义域，但是值域并不是集合B，而是B中的“已婚男子”，即在A中能找到对象（对象的个数不做要求）的元素的集合才是值域，也就是说值域是B的一个子集。当B就是值域时，也就是说B中的元素都是“已婚男子”的时候，我们就说这样的映射是满射，如例1中的④，例2中的③和④。当A中的女子都只有一个对象的时候，我们就说这样的映射是单射，如例1中的②，例2中的③。既是单射又是满射的映射叫做双射，如例2中的③。

例4.映射f: AB是定义域A到值域B上的函数，则下列结论正确的是（ ）。

A.B中元素必有原像

B.A中每个元素必有像，但B中的元素不一定有原像

C.B中元素只能有一个原像

D.A或B可以是空集

分析：此题很容易误选B。我们看到题目中写明映射f：AB是从定义域A到值域B上的函数，特别要注意“值域B”这几个字，说明映射f： AB是满射，即B中的所有元素都是“已婚男子”，所以A是正确的，B不正确；至于C的话题目中没有说明是单射，所以B中元素可以有一个或者多个原像，所以C不正确；对于D的话我们一开始就要求A，B是非空集合，所以D不正确，故选A。

以上是自己的一些想法，仅供参考。

参考文献：