函数值域范文第1篇

关键词： 函数 值域 方法 技巧

函数的值域是函数的三要素之一，函数的值域取决于函数的定义域和它的对应法则，因此不论在何种情况下求函数的值域，都要先求函数的定义域。

1.课本知识再现

教科书（以人教版为例）对函数值域问题的相关描述是：（1）在定义函数后给出了函数值域的定义和表示方法；（2）罗列出了基本初等函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数）的值域，并没有具体说明如何去求这些函数的值域，这无形中给学生的学习带来了很大的困难（学生感觉对函数求值域问题无例可参，无法可依），同时又给教师的教学提供了更广阔的空间，于是求解函数值域问题的各种方法和技巧应运而生。

2.函数值域的求法

函数的表示方法有列表法、图像法、解析法，下面分别介绍在这三种情况下如何求函数的值域。

2.1列表法给出的函数，其值域就是表格中相应y取值的集合。

2.2图像法给出的函数，其值域就是函数图像在y轴上的正投影覆盖y轴的部分。

2.3解析法给出的函数，就要根据函数解析式的不同结构，灵活地选择方法求其值域，值得注意的是这往往是多种方法的综合，并不是某一种方法就能解决的问题。

2.3.1对于简单的一次整式型函数，可以结合其定义域进行观察、分析，直接得出函数的值域。如果求这类函数在某区间内的值域，有时可以采用单调性法（若该函数在此区间内单调），如函数f（x）=2x+3在（-1，3）的值域就可由f（-1）＜f（x）＜f（3）求得，即为（1，9）。

2.3.2二次函数求值域，一般采用配方法，其关键在于将函数的解析式正确地化成完全平方式，但要特别注意二次函数在R上的值域和它在某区间内的值域是不同的。如二次函数f（x）=x-2x+3=（x-1）+2≥2，其值域为［2，+∞）（这里隐含x∈R），而函数f（x）=x-2x+3（-1＜x＜2）的值域，配方得：f（x）=（x-1）+2。此时就要画出图像，观察图像可知f（1）≤f（x）＜f（-1），此函数的值域是［2，6）。

2.3.3分式型函数求值域大致可分为以下几类。

2.3.3.1函数解析式的分子和分母都是x的一次式（如函数y=（a≠0）），若原函数的值域不易直接求解，可以考虑求其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

2.3.3.2函数解析式的分子和分母都是关于x的二次式（如函数y=（ac≠0）），可以考虑：①判别式法。函数为分式结构，且分母中含有未知数x，函数的定义域为R时，则常用此法。通常去掉分母转化为x的一元二次方程，再由判别式≥0，确定y的范围，即为原函数的值域。②不等式法。借助于重要不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函数的值域，但要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等、四内”。③单调性法。若解析式可以转化为形如y=φ（x）+（p＞0），则可依此函数的增区间为（-∞，-］和［，+∞），减区间为［-，0）和（0，］求值域。

2.3.4无理函数求值域，可以考虑：①单调性法。如果易判断函数在其定义域内的单调性，常采用此法。例如函数y=x-，其定义域为{x|x≤}，函数y=x，y=x-均在（-∞，］上递增，故y≤-=，所以函数的值域为（-∞，］。②代数换元法，将整个无理式用一个字母代替，解出后转化成的函数求值域问题（注意函数的定义域）。③三角换元法，当无理函数的定义域为［-1，1］或其子集时，可考虑此法。例如y=x-，因其定义域为［-1，1］，故可以设x=sinα，α∈［-，］，则y=sinα-cosα，α∈［-，］。将此问题转化成三角函数在闭区间上的值域，这是通过开方消除无理式的方法。

2.3.5函数解析式中若含有e、sinx等，并且能转化成e=f（y）或sinx=f（y）的结构，注意到e＞0，|sinx|≤1，解关于y的不等式，可求得y的取值范围，即函数的值域。例如在求函数y=的值域时，解方程得：e=。因e＞0，故＞0，解得-1＜y＜1。从而函数的值域是{y|-1＜y＜1}。这就是利用函数的有界性法求值域。

2.3.6数形结合法。如果函数的解析式有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如，可以联想两点（x，y）与（x，y）的连线的斜率;由可联想两点（x，y）与（x，y）的距离。

2.3.7导数法。通过导数可求函数在一个闭区间上的最大值和最小值，即得出函数的值域。此法主要用于高次函数或不同的基本初等函数构成的较复杂函数的值域。课本中有较详尽的介绍，这里不再赘述。

参考文献：

［1］人民教育出版社数学室编著.全日制普通高级中学教科书・数学必修.北京：人民教育出版社，2006，11.

函数值域范文第2篇

在高中阶段，函数可谓是数学中的重头戏，是高考中的压轴部分，更是许多考生最棘手的问题。函数是高中数学中的重点，更是高中数学中的难点。关于函数，我们无非就是抓住函数的三要素：定义域，对应法则，还有就是值域。事实上，给出了函数的对应法则与定义域，函数的值域也就唯一确定了，可是，难点也就在此，给了我们函数的解析表达式，给了我们函数的定义域，我们应该如何求函数的值域呢，求函数的值域有哪些方法呢，函数的值域问题在数学中又有怎样的应用呢？

1.我们谈论一下求函数值域的方法

高中阶段学完函数后，我们会发现，求函数值域的方法还是比较多的，方法有：单调性法，配方法（主要针对二次函数），判别式法，基本不等式法，换元法，导数法，几何意义法等。

下面就请大家看一下求函数值域的一些简单问题。

例1：求函数的值域。

分析：当我们看到这个题目时，会觉得这个题目并不难，因为它是一个典型的二次函数求值域问题，只要考察二次函数的对称轴，开口方向就可以了。可是我们再仔细地看一下这个问题，这里的x不能取到所有的实数，只能取中的实数，这就给问题又增添了一个台阶，最后就转化为求二次函数在指定区间上的值域问题。

解：由条件：函数是二次函数，它的对称轴为x=1，开口向上，

因此在上单调递减，在上单调递增。

由此得，当x=1时函数达到最小值2，而函数的最大值可能在x=0的时候取到，也有可能是在x=3的时候取到，而我们知道，开口向上的抛物线，离开对称轴距离越远，函数值越大。

因此当x=3时，函数达到最大值6，

因此函数的值域为[2，6]。

点评：从上述问题中，我们发现，这是求二次函数在指定区间上的值域问题，要注意二次函数的对称轴，开口方向，以及函数在指定区间上的单调性。

例2：求函数的值域。

分析：此题是两个二次函数的比值，求值域问题。好多考生看到这边，不禁懵了，怎么做呢？下面我们给出解答。

解：由题意：可化为也就是

而，所以，所以，

所以，

点评：上述解题过程是先将函数拆凑，然后利用不等式的放缩，里面要注意代数式的范围，最后求出了函数的值域。

看完上述题目，我们不禁会思考，这道题目还有其它解法吗？回答是肯定的。既然里面看到了x的二次项，我们就可以考虑一元二次方程了。下面我们给出这道题目的另外一种解法。

另解：由题意：可化为，整理得：

由此知，这个方程是形式上的关于x的一元二次方程。当y=2时，它就不是一元二次方程了，此时方程变为1=0，而这是不可能的，所以y≠2，所以这个方程一定是一个一元二次方程，并且这个方程一定要有根，所以Δ≥0，而所以，所以，又因为y≠2，所以。

点评：上述这种解法完成后，大家都知道这种方法是判别式法，但用判别式法也有它的注意点，要注意得到的是一个形式上的一元二次方程，要对它进行讨论，这是好多同学容易遗漏的地方，他们一上来就会用Δ≥0来做，而Δ只有一元二次方程才具有的。

例3：已知x2+y2=1，求xy的取值范围。

分析：当家看到这个题目时，第一会想到的就是，而 所以一下子就得到了xy的取值范围。

解：因为，又因为，所以，因此

思考：看到这里，我们不禁会问，这种解法对吗？这里的xy是否会取遍中的所有数呢？答案是否定的。因为上述解法采用了基本不等式法，而基本不等式法的应用有三个条件，那就是：一正，二定，三相等。而这X2里面 未必就是x，Y2未必就是y。那这道题目应该怎么做呢？

解：因为，又因为，所以即。

点评：当我们充分了解基本不等式的适用范围之后，上述解出来的xy的取值范围就正确了。

思考：事实上，当我们看到时候，我们就会联想到一个类似的表达式因此这样我们就转化为了求三角函数的值域问题。

另解：由于是可令因此

又因为所以

点评：上述解法也是求值域问题的一种比较好的方法，我们称之为换元法，即"三角换元法"。

其中求值域利用了三角函数的有界性。

下面再请大家看一下延伸的题目。如下：

例4：已知x2+y2=1，求x+y+xy的取值范围。

分析：其实x+y+xy我们可以看成是x+y与xy的和。在这个过程中，我们只要用x+y来表示xy，或者用xy来表示x+y就可以了。

解：由条件：可设x+y=t，所以，于是因此

所以，由例3的结论得：，所以解之得：令

当t=-1时，f（t）达到最小值-1，当时，f（t）达到最大值

所以x+y+xy的取值范围为

点评：上述这道题目的解题思想就是将x+y与xy都化成同一个变量的函数，最后x+y+xy就变为了一个二次函数，但要注意里面参量的范围。事实上，这种类型的式子我们也是见过的，例如：sinx+cosx+sinx.cosx，求这个式子的范围，我们也是根据sinx与cosx的平方和为1来操作的。因为三个式子sinx+cosx，sinx-cosx，sinx.cosx是知一就可以求二的，知道其中一个就可以求出另外两个来。

看了上面的求x+y+xy的范围，大家也可以尝试一下以下的例题。

例1：已知求x-y+xy的取值范围。

例2：已知求x+y+4xy的取值范围。

以上我们大致介绍了求函数值域的方法，当然了，求函数值域也远不止上述我介绍的方法。那么，关于函数的值域问题，它在数学中有什么具体的应用吗？

2.我们来谈一下函数值域的应用

数学中包含的分支有很多，有代数，有几何，有三角，还有其它的方面。在上面介绍求函数值域的方法中，已经介绍了用三角换元法求函数的值域。同样的，函数的值域问题在代数与几何中应用也是很多的。

函数的值域问题还有一个重要应用，就是在含有参数问题的习题中，主要是分离参数求最值，分离参数求值域问题。

函数值域范文第3篇

1.观察法

从函数解析式观察，利用如等，直接得出它的值域.

例1.求函数的值域.

解：由得，所以函数的值域为.

2.分离常数法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.

例2.求函数的值域.

解：分离常数，得，，，函数的值域为.

3.配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

例3.求函数的值域.

解：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是.

4.判别式法

对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域.

例4.求函数的值域.

解：原函数可化为关于的一元二次方程.

（1）当时，，，解得；

（2）当时，，而.故函数的值域为.

5.换元法

有时候为了建立已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：令，则，，

，当时，函数取得最大值，所以函数的值域为.

6.反解法

就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域.

例6.求函数的值域.

解：函数可化为，可得，所以原函数的值域为.

7.单调性法

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.

例7.求函数的值域.

解：此题可以看作和，的复合函数，

显然函数为单调递增函数， 易验证亦是单调递增函数，

故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.

当时， 取得最小值.当时， 取得最大值.故而原函数的值域为.

8.数形结合法

对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.

例8.求函数的值域.

解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得，

作出图象（如右图），显然.

所以函数的值域是.

9.基本不等式法

利用基本不等式和求函数的值域， 要合理地添项和拆项， 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量， 同时， 利用此法时应注意取等号成立的条件.

例9.求函数的值域.

解： ，当且仅当时等号成立.

故函数的值域为.

10.导数法

若函数在内可导， 可以利用导数求得在内的极值， 然后再计算在，点的极限值. 从而求得的值域.

例10.求函数的值域.

解：显然在可导，且. 由得的极值点为.

易得在上单调递减，在上单调递增，

函数值域范文第4篇

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

函数值域范文第5篇

关键词：函数；值域；方法

一、分式型求值域

分式分子、分母最高次是一致的通常用分离常量法.

评注：分离常数的方法是保证分母不动，分母是谁，分子还写谁.然后把分子看成一个整体用括号括起来，括号前乘一常数使它还原后与原分式分子最高次系数一致，常数多加了多少就减去多少，反之亦然.原题分子的常数正常落下.

评注：注意本例题与上例的区别，除了取不到0外，可取任意实数.而中的x2+1限制了的取值范围.这两题尽管做法一样，但其结果是不一样的.

评注：当分子、分母最高次不一致时，第一种解决方案为考虑分子、分母的每一项同时除以某个变量或某个式子，达到分子或分母中的某一个为常数，另一部分可用均值定理或对号函数的单调性来求其范围.

评注：当分子、分母最高次不一致时，第二种解决方案为，先通过拼凑构造出分子或分母的形式，以次数低的为标准，然后分离，如上例，再用均值定理或对号函数的单调性来求其范围.

二、二次函数给定区间求值域

通过以上各例，我们归纳了第一类分式型求值域的几种可能情况.学生需要根据不同的题型结构，选择相应的处理方案.第二类二次函数给定区间求值域，本类型，因为学生对初中的二次函数相关知识有了一定的掌握，显得相对简单.希望本文对教师和学生解决此类问题有一定的帮助.

参考文献：

[1]纯刚.求函数值域的方法与技巧[J].安顺师专学报：自然科学版，1996（04）.

[2]董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法[J].昆明冶金高等专科学校学报，1999（02）.

[3]林如恺，江杰.求函数值域的几种方法[J].乐山师范高等专科学校学报，1999（03）.

[4]谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析[J].中学数学教学，1995（03）.

[5]王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法[J].白城师范高等专科学校学报，2001（04）.