概率公式范文第1篇

【关键词】蒙提霍尔问题；全概率公式；教学设计

【基金支持】（1）2015.6.1―2016.5.31，西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”，（目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02―2016.07四川省教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.1―2017.08.10，高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）

全概率公式是概率论中的一个重要的公式，也是教学中的一个重点内容.在许多的概率统计的教材中，通常都是直接给出样本空间的划分（分割）的定义，然后以定理的形式给出全概率公式[1，2].但是笔者在给工科学生讲授这部分内容时发现，如果按照教材上的方式来讲解，学生会感到非常的枯燥，而且接受起来也存在一定的困难.尤其是面对一些贴近生活的实际问题，学生不能很好地应用该公式.从而使得部分学生逐渐丧失信心，产生畏难情绪，失去学习的兴趣.因此有必要对全概率公式的教学进行比较深入细致的设计.

在教学中，对于一个新知识的讲解，“引入”是十分关键的.著名的数学家拉普拉斯说过：“生活中最主要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题.”由此可见，在现实生活中随处可见概率问题.因此，在概率统计课程的教学中，可以通过分析现实生活中的一些有趣的案例导入新课.一方面，可以激发学生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于学生理解抽象复杂的公式.鉴于此，本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例――蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.整个教学设计体现“以教师为主导、以学生为主体”的教学理念，引导学生主动学习、思考，并教会学生怎样应用所学知识来解决实际问题，体现“授人以渔”.

一、回顾前面学习的知识

教师在讲授新内容之前可以花几分钟的时间复习与新内容密切相关的一个或者几个知识点，自然地过渡到新课.这是一种“以旧入境，推旧引新”的“复习式”切入法[3].这样便于将新旧知识逻辑性地联系起来，利于教师循序渐进地引导学生学习新知识.同时有利于巩固已有知识，并引发学生积极思考，利用所学新知识解决问题.

教师首先和学生一起回顾在前一节中学习的知识：条件概率公式和乘法公式[1].

条件概率：设A，B为随机试验E的两个事件，且P（A）>0，则称P（B|A）=P（AB）P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.而在实际应用中，我们很少直接利用这个公式来计算条件概率，而是事先根据实际情况算出条件概率，再利用它来计算积事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.这两个公式在概率统计中非常有用，而关于这两个公式的应用有很多.先来看一个例子.

二、由有趣的生活实例引入全概率公式

引例（蒙提霍尔问题）在一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆宝马汽车作为奖品，门后的奖品的种类主持人是知道的，当然参赛选手不知道.参赛选手答对题目后，可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品.现在假设该参赛选手选中了1号门，主持人将未选的两扇门中打开一扇（例如3号门），后面是一只山羊.如果你是参赛选手，现在主持人再给你一次改变选择的机会，你是否改变选择，将选中的1号门换为2号门？

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem，也称为三门问题）是一个著名的概率趣题，实质上是一个源自博弈论的数学游戏问题[4].该问题出自美国的一个电视游戏节目Lets Make a Deal，由于该节目是由蒙提霍尔主持的，因此通常称这个问题为蒙提霍尔问题.

给出引例之后，教师通过设问的方式进一步引导学生思考.提问：假设你是参赛选手，你会怎样选择？改选还是坚持原来的选择呢？留一些时间让学生参与讨论，充分调动学生的学习积极性.对于该问题，学生们众说纷纭，各执一词，有从心理学分析原因的，有从逻辑分析原因的.此时教师要引导学生从数学的角度来分析问题，指出“改选”或“不改选”最关键的问题在于何种选择会对参赛者更有利，也就是获得宝马汽车的可能性更大一些.用数学语言来描述就是：哪种选择下获得宝马汽车的概率更大一些.因此，我们需要计算“改”与“不改”两种策略下，选中宝马汽车的概率.

为了后面计算的方便，需要先将事件描述清楚，并用字母表示出来.当参赛选手的选择从1号门变到2号门时，他能否中奖，完全取决于1号门后面到底是宝马还是山羊.于是设B1=“1号门后面为宝马汽车”，B2=“1号门后面为山羊”.易知，B1和B2是互斥的事件，且有P（B1）=13，P（B2）=23.参赛者中宝马汽车这个事件被1号门后面是山羊和1号门后面是宝马分割成了两部分.另设A=“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”.则显然有P（A|B1）=0，P（A|B2）=1.“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”这个事件的概率的计算如下：

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=13×0+23×1=23.

于是我们得到了，改变选择获得宝马车的概率是P（A）=23.

接下来让学生自己考虑，不改变选择时获得宝马汽车的概率是多少呢？设事件C=“参赛者不改变选择，并最终中宝马汽车”.与前面类似的方法可以得到，

P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）=13×1+23×0=13.

对该问题进行分析，启发学生从结果中总结规律.

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=∑2i=1P（Bi）P（A|Bi）.

强调：表达式P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）虽然形式上比较复杂，但实际计算起来却很简单，并且能够体现事件发生的先后次序.

分析时要指出此类问题的本质特点：多个事件对所求事件的概率都有概率“贡献”.进而，通过提问引导学生将其推广到一般情况的思考，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式.所设问题如下.

（。┑倍A事件发生的概率有影响的事件为n个（B1，B2，…，Bn）时，是否有类似的表达式？

（）上式成立需要满足什么条件？

利用对问题（。┖停á）的回答，引出划分的概念和全概率公式.

三、全概率公式及证明

1.回顾划分（完备事件组）的概念，指出这是全概率公式成立的条件之一.

关于划分，由两个事件相互对立，推广到n个事件时，要注意通过两者之间的共性，实现教学内容之间的衔接：

（。BiBj=（i，j=1，2，…，n，i≠j）；

（）∪ni=1Bi=Ω.

2.全概率公式的定理及其证明.

定理（全概率公式）设事件B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则对任意事件AΩ，有

P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

给出定理之后，与引例的分析做对比.事实上，引例中的表达式即为全概率公式在n=2时的特例，引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明.

证明由BiBj=（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得

A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn，

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

证明完毕后再来说明全概率公式的数学思想.全概率公式是对加法原理和乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件的概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和.

四、全概率公式的应用

通过具体例子（产品抽样检查问题）来说明全概率公式的应用方法，这里体现的是从一般到特殊的思想.

例（产品抽样检查）设仓库中共有10箱产品，其中甲、乙、丙三厂各有5，3，2箱，且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%，15%，20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取到次品的概率.

1.问题分析：分析这类问题的特点，说明为什么这类问题可以用全概率公式求解.取到的产品可能由甲、乙、丙三个厂中任何一个厂生产，因此，该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响，每个工厂都有概率“贡献”，因此应考虑运用n=3的全概率公式.

2.求解步骤：对事件进行描述，计算公式中各项的概率.

解设A=“任取一件产品，该产品为次品”，B1，B2，B3分别表示“所取得的产品由甲、乙、丙三厂生产”，

P（A）=∑3i=1P（Bi）P（A|Bi）

=0.5×0.1+0.3×0.15+0.2×0.20

=0.135.

注意：在求解过程中，要引导学生思考全概率公式中各项概率（特别是条件概率）该怎么计算，加深对全概率公式应用的认识.

3.问题总结：应用全概率公式的关键在于，对所求事件A有概率贡献的全部原因都要分析清楚，将所有的可能性都要考虑进来.另外强调，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的.

五、由设问引出贝叶斯公式

在解决了上面问题之后，通过设问的方式引导学生做更加深入的思考.

在产品抽样检查例题中，若取得的产品榇纹罚问该产品是最可能由哪个厂生产？

引导学生主动思考并分析出这类问题的特点.全概率公式可以说是解决“知因求果”的问题，而上面提出的这个问题则是相反的，这类问题是已知结果，推断原因，遇到这种“执果探因”的情况又该如何解决呢？

进一步引导学生解决问题.在已知该产品是次品的条件下，分别考虑该次品是来自各个厂的概率，即分别求：该次品来自甲厂的概率P（B1|A），该次品来自乙厂的概率P（B2|A），该次品来自丙厂的概率P（B3|A），这是三个条件概率，利用前面学习的条件概率的知识可以分别求得：

通过比较上面的概率可知，次品来自甲厂的概率最大，因此，可以认为该次品最有可能是由甲厂生产的.上面三个概率的计算主要是利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式得到的，将上面的三个公式推广到一般情形，就可以得到贝叶斯公式.由设问引出贝叶斯公式，又很自然地导入了下一个知识点，做到了教学内容之间的相互衔接.

【参考文献】

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]李贤平.概率论基础[M].第2版.北京：高等教育出版社，2000.

概率公式范文第2篇

在“概率论与数理统计”课程中，贝叶斯公式是重要的公式之一.在医学、信息传递、生产、侦破案件、个人信用、诉讼与网络安全等方面贝叶斯公式有着非常广泛的应用，具有广泛的研究前景.公式涉及条件概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，复杂难记、与全概率公式难于区分，是概率论课程教学中的一个重点，同时也是一个难点.学生短时间内难以理解，为使学生掌握公式并能很好的运用公式解决问题，不少教师对其进行了教学方法上探讨.案例式教学是一种有效的教学方法，它以案例为基础，在特定的情境中，引导学生积极分析问题与解决问题，并促使学生充分理解问题的复杂性与多样性.本文从基于史实的案例出发，逐步深入，由案例导入贝叶斯公式，并利用贝叶斯公式对相关模型和应用进行分析求解.

2.案例导入与分析

1968年5月22日，美国 “天蝎号”核潜艇失事沉没.为了寻找天蝎号的位置，美海军基于“贝叶斯公式”制定了搜索方案，最终找到了“天蝎号”核潜艇.

基于这一史实，简化问题，考虑如下案例

案例 设“天蝎号”核潜艇沉没在甲、乙、丙3个区域之一，潜艇技术部门判断其概率分别为12，13，16；搜救专家搜索这些地域，若有核潜艇，发现的概率分别为12，23，14.

如果现搜索甲区域后未找到核潜艇，“天蝎号”沉没于甲区域的概率是多少？

设事件A表示搜索甲未找到核潜艇，事件B1，B2，B3分别表示核潜艇沉没在甲、乙、丙三个区域.因此由案例中的两组数据可知：

将数据代入即可得P（B1|A）=13.类似可求搜索甲区域后未找到核潜艇时，“天蝎号”沉没于乙、丙区域的概率分别是P（B2|A）=49，P（B3|A）=29.

由讨论可知，当一个事件已经发生时，可以利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，去求导致这一事件发生的各种诱因的可能性大小.一般化（1）式便得到贝叶斯公式.

3.贝叶斯公式引入与应用

（2）式称为贝叶斯公式或逆概公式.

由案例的讨论可知，Bi（i=1，2，…，n）是导致事件A发生所有的各种不同诱因，P（Bi）（i=1，2，…，n）是在没有进一步信息（事件A没有发生）的情况下各事件Bi（i=1，2，…，n）发生的概率，即在试验以前（事件A发生前）就已经知道的概率，所以称它们为先验（先于试验）概率.P（Bi|A）（i=1，2，…，n）反映的是在试验以后，即从事件A的发生获得新的信息或者经验后，人们对各事件Bi（i=1，2，…，n）发生概率的再认识，通常称为后验概率.人们可以利用后验概率的大小，作出新的判断，推测在新的信息条件下最有可能是哪一个诱因导致事件A发生的，此即为贝叶斯推断.

在案例中，如果搜索甲区域后未找到核潜艇的条件下，核潜艇沉没于甲、乙、丙三个区域的概率分别为13，49，29，下一次搜索应该在乙区域进行.如果搜索乙区域后仍未找到核潜艇，利用贝叶斯公式，类似于案例的讨论，可求得核潜艇沉没于甲、乙、丙三个区域的概率分别为919，419，619.下一次应是返回甲区域进行搜索，而不是在丙区域.利用贝叶斯公式讨论如下的可靠性问题.

概率公式范文第3篇

关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

在多年的概率论教学过程中，笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念，特别是在求解有关问题时，往往无处着手，出现思维障碍，从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视，一笔带过，而把重点放在全概率公式上，学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

首先，有必要弄清楚P（A/B），P（AB），P（A）这三者之间的区别与联系。

一是条件概率P（A/B）与概率P（A）的区别。

每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设A是随机试验的一个事件，则P（A）是在一定条件下事件A发生的可能性的大小。而条件概率P（A/B）是指在原条件下又添加“事件B发生”这个条件时，事件A发生的可能性大小，即P（A/B）仍是概率，P（A）与P（A/B）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件B发生”特指读者已经知道事件B发生，而实际上事件B往往在事件A发生之前发生，但也可以在事件A发生之后发生，如例1中求P（A1/A2A3），只是读者还不知道事件A已发生，用P（A/B）来估计事件A发生可能性的大小。

例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用Ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则P（A2）===，P（A2/A1）=。

二是条件概率P（A/B）与概率P（A）的数量关系。

条件概率P（A/B）是在原随机试验条件下又添加“事件B发生”这个条件时事件A发生的可能性大小，是否一定有P（A/B）≥P（A）呢？

1.当A、B互不相容时，A发生时B不发生，则P（A/B）=0≤P（A）；

2.当A?奂B时，P（AB）=P（A），P（A/B）==≥P（A）；

3.当A、B既不是互不相容，又不是包含关系时，因P（A/B）=，大于、等于、小于P（A）三种可能都有，如P（A）=0.5，P（B）=0.4，当P（AB）=0.30时，P（A/B）=0.75>P（A）；当P（AB）=0.20时，P（A/B）=0.5=P（A）;当P（AB）=0.10时，P（A/B）=0.25

三是条件概率P（A/B）与积事件的概率P（AB）的区别。

这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率P（A/B）是指事件B发生这个条件下事件A发生的概率，而P（AB）是指A、B同时发生的概率。因而“事件B发生”在P（A/B）中是作为条件，而P（AB）中是作为结果，所以两者不相同。

例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：

1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；

2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。

解：设A=｛所取的学生已通过英语六级｝，B=｛女学生｝，则（1）为求事件A、B的积事件的概率P（AB）==；（2）为求在事件B发生条件下事件A发生的条件概率P（A/B）==。

其次，要深刻理解当P（B）>0时，条件概率公式P（A/B）=的意义。

一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件A、B的文氏图可直观地解释一下该公式，把P（A）看成为A的面积与必然事件Ω的面积的比值，那么，P（A/B）为在B发生条件下A发生的概率，可理解为AB的面积与B的面积的比值，分别除以Ω面积，即得条件概率公式P（A/B）=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。

例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9，而使用寿命15年的概率为0.5，试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。

解:设B=｛电视机使用寿命10年｝，A=｛电视机使用寿命15年｝，则P（A）=0.5，P（B）=0.9因为A发生必然导致B发生，即B?劢A，P（AB）=P（A）=0.5，P（A/B）===。

二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件AB的概率，P（AB）=P（B）P（A/B）这就是我们所说的乘法公式。

例4：在例1中，计算P（A1A2）=P（A1）P（A2/A1）=×=，P（A2）=P（A1A2+A1A2）=P（A1）P（A2/A1）+P（A1）P（A2/A1）=×+×=，同理可得P（A3）=P（A4）=P（A5）=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不高兴，关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。

如果没有这个乘法公式，计算P（A1A2）难度就大得多了，得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：P（A1A2）===。

再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。

一般教材都给出条件概率P（A/B）中P（B）必须大于0，那么当P（B）=0时，P（A/B）是否有意义呢？

显然条件概率公式是不能用了，当A、B所在的事件空间 Ω中的基本事件个数为有限个时，由P（B）=0，可得B所包含的有利事件个数为0个，由P（A/B）的含义得A的有利事件个数也为0个，所以，这时规定P（A/B）=0较妥当。而当Ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：

当A、B所代表的事件互不影响时（具体情况时容易判断的），规定P（A/B）=P（A）；当B?奂A时，B发生可推出A发生，这时P（A/B）=1；当A、B是互斥事件时，B发生时，推出A不发生，得P（A/B）=0；当B为不可能事件时，讨论P（A/B）实际上是无意义的，在不可能事件B发生条件下A发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义P（A/B）=0；当A、B是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。

例5：质点M随机地均等抛掷到﹝-1，+1﹞区间上，记A=｛质点落在﹝0，1﹞区间上｝，B=｛质点恰好落在点处｝，B1=｛质点落在-1，0，，1这四点处｝，B2=｛质点落在﹝0，1﹞区间上的有理数点处｝，则P（A/B）=1，P（B/B1）=，P（B1/B2）=0。

参考文献：

[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[J].教学与研究（中学数学），1984，（4）:3.

[2]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社， 2002.

概率公式范文第4篇

1.当题中没有已知的概率时，一般用等可能事件概率公式：

首先分清一次试验在本题中指的是什么？然后再求试验结果总数n，其中事件A包括的结果数为m，最后用公式：

2.当题中有已知的概率时，可由已知的概率先设出相应的事件，用设出的事件表示所求事件：

①当所求事件中有“或”的含意时，提示用互斥事件概率公式：

②当所求事件中有“且、都”的含意时，提示用独立事件概率公式：

③当所求事件中有“至少，至多”的含意或直接求概率复杂时，提示转化成对立事件，用对立事件概率公式：

④属于独立重复试验时，用独立重复试验概率公式：

3.关于用已知事件表示所求事件常见如下形式：

①“A，B，C中有一个事件发生”可表示为。

②“A，B，C中至少有一个发生事件”其对立事件为都不发生，可表示为。

③至少有个事件发生，其对立事件为至多有个发生，如“A，B，C至少有2个事件发生”即2个发生或3个都发生，其对立事件为：至多1个发生，即都不发生或只有1个发生。

④至多个个发生，其对立事件为至少个发生，如“A，B，C至多2个发生”即0个发生或1个发生或2个发生，其对立事件为：至少3个发生。

⑤另外类似“线路畅通”在串联中指“各支路都通”，在并联中指“至少一个支路畅通”，又如10个大炮打敌机，“敌机被击中”，可能是1炮中，2炮中…或10炮中，其对立事件是“都未击中”。

4.属于独立重复试验的，如10个大炮打飞机（每门大炮击中概率相同），相当于1个大炮打飞机的10次独立重复试验；10堆产品各抽一个（每堆中抽一个合格品的概率相同），相当于1堆产品抽一个的10次独立重复试验；走6个十字路口（每个路口走同一方向的概率相同），相当于走1个十字路口的6次独立重复试验等等。

例一：把10本书任意地放到书架的同一层上，其中指定3本书放在一起的概率是――。

分析：题中没有已知的概率，用等可能事件概率公式，一次试验指的是把10本书任意放到书架的同一层上。

解：把10本书任意放到书架的同一层上共有种结果，指

定3本书放在一起事件A共有种结果，所以：

例二：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.3，响第三声被接的概率为0.4，响第四声被接的概率为0.1，那么电话在响前四声被接的概率是多少？

分析：题中有已知事件的概率，可先设出相应事件，电话在响前四声被接，可能是第一声，第二声，第三声或第四声被接，所以用互斥事件概率公式。

解：设电话响第声（）被接事件为，（它们是互斥事件）。

，，，

电话在响前四声被接事件记为：

。

例三：有甲乙丙三台机床，在一小时内，甲机床不需要工人看管的概率为0.9，乙机床不需要工人看管的概率为0.8，丙机床不需要工人看管的概率为0.85，试求

①在一小时内三台机床中至少有一台不需要工人看管的概率。

②在一小时内三台机床中至少有两台不需要工人看管的概率。

分析：有已知事件的概率，可先设出相应事件表示所求事件。

解：①设在一小时内，甲，乙，丙机床不需要工人看管的事件分别记为A，B，C。

它们是彼此独立事件，，，。

在一小时内“三台机床中至少有一台不需要工人看管”（记为事件D）的对立事件为“三台都需要工人看管”（记为事件）。

又

②在一小时内“三台机床中至多有两台不需要工人看管”（记为事件E）其对立事件为“至少有三台不需要工人看管”。

。

例四：在人寿保险事业中，很重视某一年龄的投保人死亡率，例如一个投保人能活到75岁的概率为0.6，试求3个投保人中有2人活到75岁的概率。

概率公式范文第5篇

关键词：差分方程；概率；递推关系；全概率公式

■差分方程概述

1． 差分的概念

设函数y=f（t）中的自变量t取所有的整数，并记其函数值为y■．当t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt称为函数y■的差分，也称为一阶差分，记为Δyt，则函数y=f（t）在时间t的一阶差分为Δyt=yt+1－yt．

一阶差分的性质

（1）若y=C（C为常数），则Δyt=0；

（2）对于任意常数k，Δkyt=kΔyt；

（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．

函数y=f（t）在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即

Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．

同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分．

一般地，k阶差分（k为正整数）定义为

Δkyt=Δ（Δk-1yt）

=Δk-1yt+1－Δk-1yt

=■（－1）iC■yt+k-1，

这里C■=■．

2. 差分方程的概念

含有自变量、自变量的函数及其差分的方程，称为差分方程． 出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为

F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．

3. 差分方程的解

如果将已知函数y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称y=f（t）为方程的解． 含有n个任意独立常数c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）称为n阶差分方程的通解．在通解中给任意常数c1，c2，…，cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解．

4. 线性差分方程及其解

形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0，f（t）≠0．

而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0．

如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均为常数（an（t）≠0），

则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?摇?摇

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程．

5. 一阶、二阶常系数线性差分方程的解

引理1 对于一阶常系数非齐次线性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b为常数且a≠1，若已知y1=c（c为常数），则yn+1=anc+■b．

证：（递推法）

若a≠1，

yn+1=ayn+b

=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b

=any1+（an-1+an-2+…+1）b

=any1+■b

=anc+■b．

引理2 对于二阶常系数齐次线性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b为常数，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2为常数），则yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的两根．

证：（特征根法）

λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．

已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的两根，则差分方程的解为

yn+1=c1λ■+c2λ■．

已知y1=m1，y2=m2，代入上式得

m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，

解得

c1=■，c2=■，

yn+1=■+■．

■将概率问题转化为差分方程问题

1. 概率问题与差分方程二者间的关系

由差分方程的定义可知，差分方程是研究函数在一给定点x=k上的函数值f（k）与在x=k附近的N个点上的函数值之间的关系的方程，因而其适用于解决概率中一些涉及离散型随机变量的问题．

2． 将概率问题转化为差分方程问题的途径

利用差分方程巧解概率问题的关键是如何将概率问题转化为差分方程问题．常见的有两条途径：一、借助递推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．

（1）借助递推公式建立差分方程

递推公式：是指可以通过给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式． 递推公式实质即为差分方程，建立递推公式就是先设所需求的函数值，再确定该函数值与其前面项间的关系．

例1 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对手接着掷，第一次由A开始掷． 求第N次由A掷的概率为pn，求pn．

解：A、B两人掷出的点数和为3的倍数的情况有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12种情况，A、B两人掷骰子所有可能出现的结果数是6×6=36种，则事件“A、B两人掷出的点数和为3的倍数”的概率为■=■；事件“A、B两人掷出的点数和不为3的倍数”的概率为1－■=■．

第N次由A掷有两种可能：（1）第N-1次由A掷且掷出的点数之和为3的倍数，则第N次仍由A掷；（2）第N-1次由B掷且掷出的点数之和不为3的倍数，则第N次由A掷．

第1种情况的概率为■pn-1；第2种情况的概率为■（1-pn-1）． 由分类计数原理得

pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．

由引理1知

pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1， 则pn=－■n-1+■・■=■+■－■n-1．

例2 求N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数．

解：设N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数为f（n）． 对于二进制数而言，其第一位上的数只有0或1两种可能性．若第一位上的数为0，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为1，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）；同理，若第一位上的数为1，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为0，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）． 由分类计数法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．

λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，则

f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．

又因为f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，

解得

c1=■，c2=■，

f（n）=■（■）n+■・（-■）n．

例3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏．已知硬币1出现正反面的概率都是■，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正而，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束． 求棋子跳到第N站的概率．

解：设棋子跳到第N站的概率为Pn． 由题意知，P0=1，P1=■．

棋子跳到第N站有两种可能：（1）先跳到第N-1站，掷出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，掷出反面，再跳到第N站．

第1种情况的概率为■Pn-1；第2种情况的概率为■Pn-2． 由分类计数原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．

λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，则

Pn=c1+c2－■n

又因为P0=1，P1=■；代入上式得

c1+c2=1，c1-■c2=■，

解得c1=■，c2=■，

则Pn=■+■－■n．

（2）借助全概率公式建立差分方程

设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，两两互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），则

P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）

上式称为全概率公式．

全概率公式在概率论中占有极其重要的作用，通过应用全概率公式可把概率论中一些极其复杂的事件的求解分解成若干个互不相容的简单事件的求解． 同时借助全概率公式可以构造等式，建立起差分方程，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．

例4 一布袋中装有黑、白色的乒乓球各一只，每次从布袋中任取一球，取出的球不放回，同时放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．

解：记An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 设第N次取到黑球的概率为Pn．

显然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，则An，■是空间Ω的一个划分，且P（An）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）・P（An■）

其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，

则Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．

λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■・Pn－1的特征方程，解得λ=－■，则

Pn=c1－■n+■是差分方程的齐次解．

又因为自由项为1，所以设特解为D．

代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，

则差分方程的通解为Pn=c1－■n+■．

将P1=■代入Pn=c1－■n+■，

解得

c1=■，

则

Pn=■－■n+■．

例5 设电子在整数点集｛0，1，2，…，n｝上作随机游动． 已知质点在t时刻的位置是a，由于受外力的作用，电子的位置会发生变动． 假设电子以概率p移动到a+1，以概率1-p移动到a-1． 求质点从a出发在0被吸收的概率．

解：记B=质点从k点移动到k+1点，P（B）=p；■=质点从k点移动到k-1点，P（■）=1－p． 设Ak=质点从k出发在0处被吸收，P（Ak）=Pk．

显然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，则B，■是空间Ω的一个划分，且P（B）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）

=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），

即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．

pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，则

Pn=c11+■n+c21-■n．

例6 在N重贝努利实验中，设事件A出现的概率为p，求在N次试验中事件A出现偶次的概率．

解：记Bk=第K次实验时事件A出现偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次实验时事件A出现奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次实验时，事件A出现，P（C）=p；■=第K次实验时，事件A不出现，P（■）=1－p．

显然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，则Bk－1，■是空间Ω的一个划分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）

=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），

即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．

由引理1知

Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，

则

Pn=■．

3． 总结