概率计算范文第1篇

1.复数z=(1－i)i(i为虚数单位）的共轭复数为.

2.若a+i1－i（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是.

3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在［15,30］内的人数为.

4.若以连续掷两次骰子得到的点数m,n分别为点P的横、纵坐标，则点P在圆x2+y2=16内的概率为.

5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为分．

6.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为.

7.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是.

8.若m∈(0,3)，则直线(m+2)x+(3－m)y－3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98 的概率为.

9. (3x－1x)15二项展开式中，第项是常数项.

10．若(x+2)n=xn+…+ax3+bx2+cx+2n(n∈N,n≥3)且a∶b=3∶2，则n=．

11．用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是(用数字作答).

12． 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分.

13．从某高级中学高一年级的10名优秀学生（其中女生6人，男生4人）中，任选3名学生作为上海世博志愿者，问恰好选到2女1男的概率是．(用数值作答)

14. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为．

二、解答题

15.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？

（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？

（3）估计总体落在［129，150］中的概率.

16.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中, 若P(ξ=1)的值最大, 求实数a的取值范围.

17．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，

其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，

其中34是境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡.

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

18．袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：

(1)随机变量ξ的概率分布律；

(2)随机变量ξ的数学期望与方差.

19．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2.

（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；

（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为p(0

20．某校校运会期间，来自甲、乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为45.

（1）求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人?

（2）设在后勤组的甲班志愿者的人数为X,求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X).

21．如图，在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M为止.

（1）求甲经过A2到达N的方法有多少种；

（2）求甲、乙两人在A2处相遇的概率；

（3）求甲、乙两人相遇的概率.

22．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（Ⅰ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

品种甲403397390404388400412406

品种乙419403412418408423400413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x1,x2,…,xn的样本方差s2=1n［(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2］，其中为样本平均数．

参考答案

1. 1－i

2. -1

3. 100

4. 29

5. 2

6. 50

7. 16

8.23

9. 7

10． 11

11． 72

12． 757

13. 12

14. 1316

15. 解：设抽取的样本为x名学生的成绩，则由第四行中可知0.3=12x，所以x＝40.④40，③处填0.1，②0.025，①1.

(2)利用组中值估计平均数为

=90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5，

(3)在［129，150］上的概率为610×0.275+0.1+611×0.05≈0.292.

16.（1）P(ξ)是“ξ个人命中,3－ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.

P(ξ=0)=C01(1－12)C02(1－a)2=12(1－a)2,

P(ξ=1)=C11・12C02(1－a)2+C01(1－12)C12a(1－a)=12(1－a2),

P(ξ=2)=C11・12C12a(1－a)+C01(1－12)C22a2=12(2a－a2),

P(ξ=3)=C11・12C22a2=a22.

所以ξ的分布列为

ξ0123

P12(1－a)212(1－a2)12(2a－a2)a22

ξ的数学期望为

Eξ=0×12(1－a)2+1×12(1－a2)+2×12(2a－a2)+3×a22=4a+12.

（2）P(ξ=1)－P(ξ=0)=12［(1－a2)－(1－a)2］=a(1－a),

P(ξ=1)－P(ξ=2)=12［(1－a2)－(2a－a2)］=1－2a2,

P(ξ=1)－P(ξ=3)=12［(1－a2)－a2］=1－2a22.

由a(1－a)≥0,1－2a2≥0,1－2a22≥0

和0

17．解：（1）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡.

设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”.

P(B)=P(A1)+P(A2)

=C19C221C336+C19C16C121C336

=934+27170=3685

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685.

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3,P(ξ=0)=C33C39=184,

P(ξ=1)=C16C23C39=314,

P(ξ=2)=C26C13C39=1528,

P(ξ=3)=C36C39=1521,

所以ξ的分布列为

ξ0123

P1843141528521

所以Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.

18．解：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,P(ξ=2)=C12C13C12C15C14=35;

P(ξ=3)=A22C13+A23C12C15C14C13=310;

P(ξ=4)=A33C12C15C14C13C12=110;

得随机变量ξ的概率分布律为：

x234

P(ξ=x)35310110

(2)随机变量ξ的数学期望为：Eξ=2・35+3・310+4・110=52；

随机变量ξ的方差为：Dξ=(2－2.5)2・35+(3－2.5)2・310+(4－2.5)2・110=920

19．解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为P=12，所以正面向上的次数为奇数次的概率为

P1=P15(1)+P15(3)+…+P15(15)

=C115(12)1(12)14+C315(12)3(12)12+…+C1515(12)5

=12 ，故P2=1－P1=12

（Ⅱ）因为P1=C115p1(1－p)14+C315p3(1－p)12+…+C1515p15，

P2=C015p0(1－p)15+C215p2(1－p)13+…+C1415p14(1－p)1

则P2－P1=C015p0(1－p)15－C115p1(1－p)14+C215p2(1－p)13-…-C1515p15

=［(1－p)－p］15=(1－2p)15，

而0P1

20．解：（1）记“至少一名甲班志愿者被分到后勤组”为事件A，

则A的对立事件为“没有甲班志愿者被分到后勤组”.

设甲班志愿者有x个，1≤x

则P（A）=1-C26-xC26,

所以1-C26-xC26=45,

解得x=3，或x=8(舍).

答：来自甲班的志愿者有3人，来自乙班的志愿者3人.

（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2

P（X=0）=C23C26=15,

P(X=1)=C13C13C26=35,

P(X=2)=C23C26=15.

所以随机变量X的分布列为

x012

P153515

数学期望E（X）=0×15+1×35+2×15=1,

所以所求数学期望E（X）=1.

21．解：（1）甲经过A2，可分为两步：

第一步，甲从M经过A2的方法数为C13种；第二步，甲从A2到N的方法数为C13种；

所以甲经过A2到达N的方法数为(C13)2=9种.

（2）由（1）知，甲经过A2的方法数为(C13)2；乙经过A2的方法数也为(C13)2.

所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为(C13)4＝81；

甲、乙两人在A2处相遇的概率为P=(C13)4C36C36=81400.

（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有(Ci－13)4种方法；所以：(C03)4+(C13)4+(C23)4+(C33)4＝164

故甲、乙两人相遇的概率P=164400=41100.

22．解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

P(X=0)=1C48=170,

P(X=1)=C14C34C48=835,

P(X=2)=C24C24C48=1835,

P(X=3)=C34C14C48=835,

P(X=4)=1C48=170.

即X的分布列为

X的数学期望为

E(X)=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.

（Ⅱ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x甲=18(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

S甲=18(32+(－3)2+(－10)2+42+(－12)2+02+122+62)=57.25.

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x乙=18(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

概率计算范文第2篇

一、两对常染色体基因控制的遗传病患病情况及概率计算

患甲病：就是两种病中，只考虑患有甲病，不考虑是否患有乙病.这时，只需考虑有关甲病的基因型及概率a，不涉及乙病，则不患甲病的概率是1-a.患有甲病应包括只患有甲病和两病兼患两种情况.

患乙病：就是两种病中，只考虑患有乙病，不考虑是否患有甲病.这时，只需考虑有关乙病的基因型及概率b，不涉及甲病，则不患乙病的概率是1-b.患有乙病应包括只患有乙病和两病兼患两种情况.

只患甲病：就是两种病中，只能患有甲病，同时不能患有乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，只患甲病的概率应等于患有甲病的概率和不患乙病的概率之积，即等于a（1-b）.

只患乙病：就是两种病中，只能患有乙病，同时不能患有甲病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，只患乙病的概率应等于患有乙病的概率和不患甲病的概率之积，即等于b（1-a）.

两病兼患：就是两种病中，既患有甲病，同时又患有乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，两病兼患的概率应等于患有甲病的概率和患有乙病的概率之积，即ab.

完全正常：就是两种病中，既不患甲病，同时又不患乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，两病兼患的概率应等于不患甲病的概率和不患乙病的概率之积，即（1-a）（1-b）.

患病：就是两种病中，无论哪种病，只要患有一种病或两病兼患的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，患病的概率应等于患有甲病的概率与患由于乙病的概率之和再减去两病兼患的概率，即a+b-ab；也等于只患有甲病的概率、只患有乙病的概率与两病兼患的概率之和，即a（1-b）+b（1-a）+a b；还等于1减去完全正常的概率之差，即1-（1-a）（1-b）.

例1 在一个家庭中，父亲是多指症患者（由显性致病基因P控制），母亲的表现型正常，他们婚后生了一个手指正常但先天聋哑的孩子（由隐性致病基因d控制），试推断他们后代可能的表现型及其概率.

解析 根据基因的自由组合定律及亲子代的表现型可推知，父亲的基因型为PpDd，母亲的基因型是ppDd.根据父亲和母亲的基因型可以推断可能的表现型及概率：

患多指症：只考虑多指症的情况，即Pp×pp，所以患有多指症的概率为1/2，不患多指症的概率为1/2；

患先天聋哑：只考虑先天聋哑的情况，即Dd×Dd，故患有先天聋哑的概率是1/4，不患先天聋哑的概率是3/4；

只患多指症：考虑多指症的情况，患有多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，不患先天聋哑的概率是3/4，所以只患有多指症的概率是1/2×3/4=3/8；

只患先天聋哑：考虑多指的情况，不患多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，所以只患有先天聋哑的概率是1/2×1/4=1/8；

两病兼患：考虑多指症的情况，患有多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，所以两病兼患的概率是1/2×1/4=1/8；

完全正常：考虑多指症的情况，不患多指病的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，不患先天聋哑的概率是3/4，所以完全正常的概率是1/2×3/4=3/8；

患病：考虑多指的情况，患有多指病的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，两病兼患的概率是1/8，故患病的概率为1/2+1/4-1/8=5/8；也可用1减去完全正常的概率计算，即1-3/8=5/8.

二、遗传病与性别相关联时的患病情况及概率计算

当遗传病与性别相关联时，往往会出现“男（女）孩患病”与“患病男（女）孩”的概率问题，二者的差别主要在于求解概率的范围不同，男孩患病是指在已知是男（女）孩的条件下，出现患病情况的概率问题，其概率的计算就是在子代所有男（女）性个体中求解患病的概率，即子代男（女）性患病个体数除以子代男（女）性个体数；而患病男（女）孩是指在未知所生孩子是男（女）孩的条件下，将出现患病情况的概率问题，其概率的计算就是在所有子代个体中求解男（女）性患病的概率，即子代男（女）性患病个体数除以子代个体数.

（1）一对或多对常染色体上的基因（不连锁）控制的遗传病，由于常染色体上基因的遗传与性别无关，所以男孩患病概率=女孩患病概率=患病孩子概率，而患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×1/2，其中“1/2”的生物学意义（实质）是什么呢？常染色体与人的性别无关，在减数分裂过程中，由于性染色体与常染色体自由组合，因此后代无论男女，其发病率相同，患病孩子实际包含了男孩患病和女孩患病两种情况，其患病概率相同，因此，患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×1/2.由此可见，这里的“1/2”是指自然状况下男女的概率均为1/2.

（2）性染色体上的基因控制的遗传病与人类的性别这一“性状”是“连锁”的，计算其概率问题时有以下规律：若病名在前、性别在后，推测双亲基因型后可直接作图解，从全部后代中找出患病男（女）孩，即可求得患病男（女）孩的概率，而不需再乘以1/2；若性别在前、病名在后，求概率问题时只考虑相应性别中的发病情况，根据图解可直接求得，亦不需再乘以1/2.当多种遗传病并存时，只要有伴性遗传病，求“患病男（女）孩”概率时一律不用乘以1/2.

例2 在一个家庭中，父母双亲均表现正常，他们婚后生了一个白化病且色盲的孩子（分别由隐性致病基因a和b控制），试推断：

①他们生一个男孩且是白化病的概率；

②他们生一个白化病女孩的概率；

③他们生一个男孩且是色盲的概率；

④他们生一个色盲男孩的概率；

⑤他们生一个两病兼患男孩的概率.

解析 根据染色体的传递规率和亲子代的表现型可推知，母亲的基因型是AaXBXb，父亲的基因型为AaXBY.根据父亲和母亲的基因型可以推断可能的表现及概率：

①他们生一个男孩且是白化病的概率，就是在男孩中只计算患有白化病的概率，不考虑色盲的有无，即Aa×Aa，所以其概率为1/4；

②他们生一个白化病女孩的概率， 就是在所有孩子中只计算患有白化病女孩的概率，不考虑色盲的有无，即Aa×Aa，故其概率是1/4×1/2=1/8；

③他们生一个男孩且是色盲的概率，就是在男孩中只计算患有色盲的概率，不考虑白化病的有无，即XBXb×XBY，所以其概率为1/2；

④他们生一个色盲男孩的概率，就是在所有孩子中只计算患有色盲男孩的概率，不考虑白化病的有无，即XBXb×XBY，所以其概率为1/4；

⑤他们生一个两病兼患男孩的概率，就是在所有孩子中计算同时患有白化病和色盲的男孩的概率，即AaXBXb×AaXBY，所以其概率为1/4×1/2=1/8.

答案：①1/4；②1/8；③1/2；④1/4；⑤1/8

综上所述，要解决好有关的患病及概率计算问题，就要很好地把握常染色体遗传和伴性遗传的差别，充分理解遗传的基本规律，分析各对等位基因控制的疾病的发病情况，根据概率计算的法则，进行认真全面地计算，才能做到准确快速的目的.

三、经典习题

一对表现正常的夫妇生了一个患有甲病的女孩和一个患有乙病的男孩，经检测父方不含乙病致病基因，甲病基因用A或a表示，乙病基因用B或b表示，请回答：

（1）甲病致病基因是位于

染色体上的

性基因；乙病致病基因是位于

染色体上的

性基因.

（2）这对夫妇的基因型分别为

和

.

（3）这对夫妇再生一个患有乙病的孩子，其性别一定不是

，原因是

.

（4）这对夫妇所生孩子的基因型有

种，表现型有

种.

（5）如果只考虑甲病，则所生后代中患甲病的概率是

；如果只考虑乙病，则所生后代中患乙病的概率是 ；由此可见，一对性状的遗传符合

定律.

（6）如果只考虑这两种性状不考虑性别，则子代中完全正常的概率是

，只患甲病的概率是

，只患乙病的概率是

，两病兼患的概率是

，由此可见，这两对性状的遗传符合

定律.

参考答案：

（1）常 隐 X 隐 （2）AaXBY AaXBXb

（3）女孩 父亲的X染色体及其正常显性基因一定传给女儿，使女儿表现正常.

（4）12 6

（5）1/4 1/4 基因的分离

概率计算范文第3篇

关键词：声源定位 概率

中图分类号：TN953 文献标识码：A 文章编号：1007-9416(2012)07-0063-01

声音处理系统的一般由计算机、数据采集部分和信号处理部分组成。一个可靠的声源定位,采用各种各样的有特色的跟踪算法和传感器装置。卡尔曼过滤器根据高斯模型和线性动力学通常用于定位一个单独的对象。这种方法已被应用到音频和视频对象的跟踪问题。然而,当在一个嘈杂的环境中使用卡尔曼滤波器测量时不能够获得准确的跟踪性能。

1、麦克风阵列的安排

我们采用麦克风阵列进行声音信号的采集，将麦克风分别安放在相应的位置，同时使用放大器进行信号的放大，然后传输到系统的信号处理部分。

有很多可能的原因可能导致信号的错误，如本地的声音来源,诸如噪音、混响信号对麦克风的影响。

对目标信号的处理过滤是非常重要的,其中之一就是本文提出的，对目标信号到达不同麦克风的时间延迟进行过滤处理。

2、概率过程

尽管麦克风阵列被安排为成三角形排列,但是系统周围的环境噪声和声学条件仍然可能会导致计算时间差的错误。麦克风之间的时间延迟的获得错误是导致定位错误的主要原因。使用马尔可夫过程用于计算一个时间延迟。两个麦克风之前的时间延迟被选中作为状态变量。

是麦克风i和j之间的时间延迟，根据观察到的声音信号，我们想计算出当前计算时间延迟是否是可靠的。根据目前的麦克风阵列获得的可能的时间延迟可以写成下面公式（2）的形式：

总的来说，对一个声源定位我们需要逐步的进行概率递归，这个过程需要两个部分—预测和更新部分。

2.1 预测部分

在预测部分,运动模型预测当前状态的概率，在时间框架和当前状态取决于前面状态的情况下，声音来源不能移动在一个特定的角度。因此,运动模型,我们使用用高斯模型方程来描述，如公式根据这个运动的模型,我们可以估计每个时间延迟的状态概率，如公式(4)。

当前的状态是求和预测的，因为两个麦克风之间的时间延迟是离散的和依赖于采样频率的。

2.2 更新部分

当获得后验分布后，测量系统就可以从麦克风的话筒获得一个健全的声音信号，我们提出了一个可能的测量系统模型，使用某一对麦克风之间的时间延迟计算互相关值。

这里是麦克风i在时间t的声音信号，关于的后验分布是根据贝叶斯公式等到的：

当这个概率是最高值得时候，就是我们期望的麦克风对之间的时间延迟。相对于每个麦克风对，这个过程是独立的。

2.3 后置处理

根据我们配置的麦克风阵列之间获得声音信号的时间延迟的值，我们可以确定声源的位置。根据我们采用的后验分布模型，取决于测量值，似然模型，时间延迟，选择上述的概率过程，过滤掉那些不需要的时间延迟设置,当时间延迟符合特征值的时候，采用这些时间延迟计算声源的位置。

2.4 声源定位

当获得合适的时间延迟之后，假定传感器坐标为，，。声源目标坐标为。

式中：为目标到达一号传感器与二号传感器的距离差；为目标到达一号传感器与三号传感器的距离差。为声速；，为时间差。

根据获得的时间差就可以计算出声源目标的位置。由此可以看出时间延迟的获得对声源定位的精度起决定作用。

3、结语

声音是人们控制智能设备的一种重要的基本形式，提供了大量的人类与智能设备的空间和时间的信息。根据麦克风阵列之间获得声音信号的时间差，通过计算确定了声源目标的位置。在本文，我们采用了概率的方法来提取时间延迟，是定位结果更加可靠。使用这种方法我们可以设计一个声源目标的跟踪装置，在一些特定的场合取代人类，进行目标的监测。这种方法比传统的TDOA方法更加准确，定位效果更加理想。

参考文献

[1]Seung Seob Yeom, Yoon Seob Lim, Hong Sick Kim, Jae Moon Lee, “An Application System of Probabilistic Sound Source” ,International Conference on Control, Automation and Systems 2008,Oct,14-17, 2008.

[2]林岳松,杜巍,郭云飞.被动声传感器网时延概率定位算法.传感器技术学报,2009.9.

概率计算范文第4篇

关键词：概率；计算；方法

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0198-02

概率的公理化定义方面的公式是概率论古典概型问题中的重要公式，它本身公式繁多，许多问题更夹杂了排列、组合、函数、不等式等数学问题，使得概率问题更加复杂多变，只有掌握好正确的方法才能使问题快捷求解。

一、概率的公理化定义公式

（一）基本公式

概率的公理化定义中所涉及的概率计算的基本公式：设Ω为样本空间，A为事件，

以上公式再结合事件与集合的关系、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式或贝叶斯公式后，概率运算的问题就变得更加麻烦了，不掌握好处理概率的好的方法，就步履维艰了。

二、求解概率问题的方法和技巧

（一）文氏图法，利用文氏图解决两个事件概率的运算问题

数形结合是数学中最好用的方法之一，用文氏图来记忆有关概率的一些公式会非常容易，若掌握了文氏图与概率公式的对应，对于这么多的公式也没必要全都装进脑袋，遇到概率的运算问题画画文氏图就能轻松解决了，特别是两个事件的概率运算问题。

例1.对于任意两个事件A和B，则P（A-B）是（ ）。

（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）

（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）

本题是两个事件的差的概率，按照集合的文氏图画法可知，左椭圆区域表示事件A，右椭圆区域表示事件B，左椭圆中白色区域为事件A-B，把事件的概率用对应区域的面积来理解，很容易得出C选项是正确的。

（二）转化法，正确理解所求事件的概率，尽量把事件划分成简单易求概率的事件，再利用对应公式求解

在处理概率的问题时，有些同学就是找不到问题的突破口，也不知道用哪个公式来求解问题，特别是对于复杂的事件，若是不能把它分解成相互独立、不重复也不遗落的简单事件，就很难实现问题的求解，因为很多概率问题就是通过事件的关系所对应的公式运算来进行的。

例2.进行一系列独立试验的成功率都是p，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率是多少？

本题的难点是如何理解“试验成功2次之前已经失败3次”，这说明进行了5次试验，第5次试验成功，前4次试验中有一次是试验成功，其他3次都失败了，那么“试验成功2次之前已经失败3次”等同于“前四次试验只有1次成功且第5次试验成功”，因此记A={第5次试验成功}，B={前4次试验只有1次成功}，A、B为相互独立的事件，P（A）=p，B事件的概率为伯努利概型本题中的关键问题就是对于复杂事件的分解，这直接决定着问题是否能顺利得到结果，复杂事件的理解要经过认真咀嚼，理顺它意思中包含怎样的基本事件以及他们之间是怎样的关系。一些明显的字眼“且”、“或”、“同时发生”、“至少有一个发生”、“不发生”等所表达的事件的关系一定要明白，在不含有这些字眼的复杂事件中再认真思考如何分解成简单事件。

（三）推演法，根据题中的条件推演出相应的结论

很多问题中的条件实际上就是一种概率的运算关系，再通过表达出的数学关系和表现形式结合公式进行推导就能得到结论。

例3.若事件A、B、C同时发生必导致事件D发生，试证：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2

本题中，由条件可知ABC？奂D，则有P（D）≥P（ABC），这和本题中要证明的不等式不谋而合，再从公式中寻找有事件乘法公式的，即P（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），则P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），则有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.

三、小结

概率的计算不仅仅是用排列组合的知识就能解决的了，它加入了概率公理化定义的公式后，变成了比较复杂的数学问题，需要理解事件、结合公式的应用或是推导，以及应用数学的思想方法和解题方法。概率问题的求解，也需要我们不断地去探索和实践，我们要勇于面对困难，勤思考、多总结，这样才能成功的解决概率方面的问题。

参考文献：

概率计算范文第5篇

一、游戏类问题

例1 图1是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形.装置A上的数字分别为1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7，这两个装置除表面数字不同外，其他结构相同.现在你和另一个人分别同时用力转动A，B两个转盘上的箭头.规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头停在界线上，再重转一次，直到不停在界线上为止），那么你会选择哪个装置？为什么？

解析： 这是两次操作问题，所以用列表法.把所有可能得到的数字组合列成下表：

由表知P（A>B）= ，P（B>A）= ，所以选择A装置.

例2 （济宁市）如图2，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.指针的位置固定，自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是（指针指向两个扇形的交线时，当做指向右边的扇形）______，请你利用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针所指区域的概率为 .

解：指针指向偶数区域的概率是P＝ ＝ .

游戏设计：① 将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成黄色，5和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率都为 .② 分别将1和4所在的扇形涂成红色，2和5所在的扇形涂成黄色，3和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率为 .

例3 （辽宁省）四张质地相同的卡片如图3所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求随机抽取1张卡片，恰好得到数字2的概率.

（2） 小贝和小晶用以上4张卡片做游戏，规则见图4，你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图法说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.

解析： （1） 是一次操作问题，可直接用公式.（2） 是两次操作问题，要用列表法或画树状图法.

（1） P（恰好得到数字2）= = .

（2） 根据题意画树状图如图5.

从树状图中可以看出所有可能的结果共16种，不超过32的两位数有10个，超过32的两位数有6个.

P（不超过32）＝ = ；

P（超过32）＝ = .

因为二者不相等，所以游戏不公平.

修改规则：① 组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜.这样能使游戏公平.

② 抽到的两位数不超过32的得3分；抽到的两位数超过32的得5分.这样能使游戏公平.（有多种修改方法，仅举两种）

二、综合计算题

例4 （沈阳市）如图6，A，B，C是三个几何体，设正对我们的方向为它们的正面.设A，B，C三个几何体的主视图分别是A1，B1，C1，左视图分别是A2，B2，C2，俯视图分别是A3，B3，C3.

（1） 请你分别写出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3图形的名称.

（2） 小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1，A2，A3的3张卡片放在甲口袋中，画有B1，B2，B3的3张卡片放在乙口袋中，画有C1，C2，C3的3张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别取出1张卡片.

① 通过补全图7的树状图，求出小亮随机抽取3张卡片上的图形名称都相同的概率；

② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的3张卡片中，只有2张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；3张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？

解析： 这是三次操作问题，用树状图是解决问题的最有效办法.

（1） 由已知可得A1，A2是矩形，A3是圆；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形.

（2） ① 补全树状图如图8.

由树状图可知，共有27种等可能的结果，其中3张卡片上的图形名称都相同的有12种.所以3张卡片上的图形名称都相同的概率是 = .