集合的含义与表示范文第1篇

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

【提出问题】（投影打出）

已知，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

【找学生回答】

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．，，，，，，，（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授知识

1．子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

①A②A③④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；

（2）如果，，则．

例1写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合的所有的子集是其中是的真子集．

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例2见教材P8（解略）

例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，A＝B＝C．

【练习】教材P9

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．

提问：见教材P9例子

（二）全集与补集

1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

．

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示．

性质：S（SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则SA={2，4，6}；

（2）若A={0}，则NA=N*；

（3）RQ是无理数集。

2．全集：

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集。ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）如果，，则．

（5）S（SA）=A

集合的含义与表示范文第2篇

1融合关系和内涵属性的概念图表示

根据汉语概念内涵逻辑理论[10]，将整个语义语境分为心理世界和物质世界,其中在人脑中的概念属于心理世界，而词语和实体属于物质世界。整个过程细分为：从实体到词语的一个分类过程；从概念到词语是一个命名过程；从词语到概念再到实体，以及反过来实体到概念再到词语是一个词语的理解、表达的过程。也就是理解一个词语需要经历上面四个过程。计算机理解自然语言的语义，同样需要经历上面四个过程。本文主要根据汉语概念的内涵逻辑模型理论，在传统的概念图知识表示方法中加入概念内涵属性，提出一种新的知识表示方法。

1.1构建本体传统的概念图能够直观地表达自然语言的语义，在构建概念图的过程中需要领域专家的参与，从而导致概念关系的引入存在随意性，概念图的完整性难以得到保证。整个过程中，领域专家根据概念的内涵和外延特征判断两个概念之间的关系，在结果图中概念只是包含外延，而应用于语义计算的内涵需要观察者判断。概念的内涵可以通过属性名-值（AttributeValueStructure）AVS的列表结构来表示[11]。基于概念内涵属性的E-A-V结构图将两个概念的关联属性作为关系，假设概念的属性名之间相互独立[12]，如图2。E-A-V结构图更多的是注重于概念的内涵属性值，而忽略了概念内涵属性的整体表达性，也即概念的内涵属性并不是简单的赋值组合彰显概念，而是具有内在联系性。在这里，AT就是领域概念所有AVS列表结构的集合。TR是根据美国国家标准研究院评测定义的七种类型的有限集：制造关系（ART）、类属关系（GEN-AFF）、转喻关系（METONYMY）、组织结构从属关系（ORG-AFF）、局部整体关系（PART-WHOLE）、人物关系（PER-SOC）以及地理位置关系（PHYS）。虽然关系的类型是有限集合，但是两个概念间的属性列表结构的组合有很多种，从而使得概念图的表现形式多种多样。

1.2A&R概念图的形式描述定义2在领域本体构建完成的基础上，同样为了便于进行语义计算,包括概念节点和概念关系节点；为概念节点集合，每个概念节点都包含一个AVS列表结构；为概念关系节点结合；为AVS列表节点集合，节点和概念节点一一对应；为映射函数，对于每个概念节点,都可以通过映射：。同样,对于概念关系节点),存在映射：。为边的集合。

1.3A&R概念图的构建整个C-A&R概念图的构图过程分为以下步骤：首先，从给定语料库中抽取出构建领域本体Ontology的概念词典以及属性词典；其次，根据中文上下文语义环境选择合适的概念；然后，根据选择的概念，从本体的属性词典中抽取出对应的属性名，结合上下文语义环境赋予对应的值，构建AVS列表结构；再次，依据概念的AVS列表结构，从有限关系集合中选择适当的关系；最后，根据已经选择好的概念，关系和AVS列表构建概念图，人工进行筛选。如图3所示：

1.4例说明对中文句子“小明是计算机科学与技术专业的学生，选修了操作系统，小华也选修了！”构建C-A&R概念图，如图4。提取概念：[Major:计算机科学与技术]、[Student:{小明、小华}]、[选修]和[Course：操作系统]。通过查《现代汉语词典2010》,构建每个概念对应的AVS列表，如表1所示。本文总结画图的具体过程如下：对中文句子进行分析,采用ICTCLAS2014分词系统进行分词，抽取出其中的N名词、NP名词短语、V动词、VN动名词以及表示时间、地点的副词和表示数量的量词作为初步概念节点。a）将当前抽取出的词进行筛选，去冗余和噪声，也即找出语义上明显相似的词。b）确定同类概念间的层次关系，按语义的包含性进行排序。c）确定概念图中的起始概念节点、中心概念节点和结束概念节点。d）由起始概念节点开始，从左至右依次排列句子中所包含的概念。e）将排列的概念节点中的属性-值列表标出，从属性-值列表中得出概念间的关系。f）确定概念间的关系，并依次填入到关系节点中。在画图过程中，关键是抽取中文句子中的概念节点，判断起始概念节点，确定中心概念节点以及结束节点。对概念的属性，采用《现代汉语词典2010》中对词的表述，人工抽取以及确定属性值。从概念集中筛选冗余的概念和根据两个概念的属性-值列表确定关系节点，需要领域专家的经验。

2实验与结果分析

本文设计了一个自动问答系统来考查C-A&R概念图表征汉语语义的有效性和可靠性。事先对语料库进行了甄选，从实验室开发的科技评审系统所涉的一些用户常见问题和答案中挑选文本作为实验文本。实验的方式采用传统的手工构建，人工抽取，在此基础上用计算机进行匹配。问句构建C-A&R概念图时，首先将其转换成陈述句，并且保证关系是二元关系。把起始概念作为中心概念。答案文本的内容较多，包含的概念有多有少，并且叙述的层次性、并列性以及分点性等特点给构图增加了难度。同时答案中包含大量的复合概念，需要大量的概念图连接、投影、限制和合并等操作。本次实验构建了103个中文句子(包含嵌套子句)的C-A&R概念图，包含556个概念节点和35个不同关系节点。实验从三个方面即准确率、召回率和F值(β=1)来对系统进行评价。

2.1数据存储本文考虑概念图的层次结构以及复杂程度的不同，拟采用XML文档的形式进行存储。在设计节点时，采用三级节点的形式：概念图节点<Graph>、概念节点<Concept>和概念关系节点<Relation>。如图5所示：

2.2的结果与分析本次实验文本中，总共包含21个问句，21个答案文本以及35个评审相关的中文句子的概念图和26个子句概念图。实验采取两种方式进行：一、根据用户输入的问句直接在问句文本中查找出问句，而实验问句事先已经和答案文本一一对应；二、根据用户输入的问句，提取关键字作为概念，直接在答案文本的概念图库和评审句子概念图库中查找。两种实验方法的原理是一样，第一种通过查找问句间接找到答案，第二种是直接和答案匹配。具体实验结果如表2、3所示。从实验结果可以看出，使用C-A&R概念图来表示中文句子，比传统的概念图的效果更好。目前本文的实验主通过机器抽取，人工判断抽取结果，假设抽取的结果的正确率都是1，根据实验结果可以得出，在给概念图中的概念节点添加内涵属性后，显然能够提高精确值。

3结束语

集合的含义与表示范文第3篇

关键词：高中数学；问题教学；课堂模式；策略；构建

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）23-212-02

新课改下，互动课堂模式的构建成为大家不懈的探究话题。互动课堂的核心是问题教学。以问题为载体的课堂模式是互动课堂模式的主要表现形式。本文以人教版高中数学《集合》为例，谈谈问题教学模式的基本框架、问题教学的基本目标以及问题教学课堂模式构建的主要策略，以期使问题教学有效、高效。

一、问题教学模式的基本框架

1、教师构建问题情境，提出问题。

2、学生在特定的问题背景下，借助于相关的资料或者是同伴的帮助下，亦或是在教师的引导下而进行意义构建的学习。

如《集合的含义与表示》的学习，问题教学的模式教学，一般是教师创设问题情境，巧妙引导学生初步感知集合的含义；在问题的引领下，让学生了解集合中的元素的含义；再通过具体问题，理解集合元素的性质；通过具体的实际问题，掌握列举法的意义和列举法应注意事项等。

总之，问题贯穿课堂的始终，问题是一条明线，引发学生步步思考，思维能力、思维品质得到提升为暗线，最后，两条线相互交织，促成有效课堂的构建与打造，学生的主体意识得到强化，主体地位得到提升。

二、问题教学课堂模式的教学目标

1、能对问题情境进行分析。

2、能把实际问题构建数学模型。

3、能对数学问题进行转换和归类。

4、能对问题解决过程进行多元评价。

5、能把数学知识和社会生活实际中的数学现象和数学问题联系起来。

三、问题教学模式的构建策略

1、创设问题情境，激发探究兴趣

创设情境的方法，一般有语言描述、多媒体呈现、照片以及实物模型等。如高中数学人教版数学《集合的含义与表示》的学习时，对于“集合的含义”，教师可以用多媒体展示一些情境：正在观看电影的一群大象、飞过15m高塔的一群鸟、正在操场上踢足球的一群学生、正在开展辩论赛的正反方的代表的精彩辩论、一家三口坐在沙发上看电视等的情境，这些情境的给出，除了为课堂创设了浓厚的生活化气息的氛围、浓厚学生学习兴趣外，更重要的是情境创设意义在于让学生初步感知这些情境中的人或者动物和飞鸟等都是一个个的“群体”，初步感知“集合”的意义。

再提出问题：

（1）1-20以内所有的素数；

（2）长春汽车制造厂2013-2014年制造的汽车；

（3）所有的直角三角形；

（4）我们班数学中考成绩分数在80-95分数段的所有学生；

（5）喜欢数学的学生；

（6）2008年背景奥运会金牌获得总数前三名的国家。

……

这些问题的提出，把学生引导到“集合”的中。

2、注重问题的引导，引发数学思维

教师针对提出的几个生活化的问题后，教师可以直接提出：以上的几个例子的共同特征是什么？

教师提出问题后，应由学生自主分析、合作讨论而总结并得出结论。每一个问题中都包涵不同的个体，如1-20之间的素数，包含了2、3、5等8个自然数。教师由此而给出“集合”的概念，以及简明扼要介绍“集合”中的“元素”的定义。

那么，接下来，提出与集合的含义与元素的概念相关的问题，可以引发学生的进一步思考和运用。如：分析这几个实例中的“元素”有哪些。

如提出问题：1-20之间的素数有哪些？让学生先找出或者说出1-20之间的所有素数。在学生分析1-20之间的素数之前，教师的温故知新的问题引导也至关重要：如什么是素数的问题，利于学生找出1-20之间的素数。

在学生找到了1-20之间的素数之后，教师巧妙地引出集合的表示法：我们用{ }表示集合，将不同的元素一一写在{ }内，如这个集合我们用A表示为A={2，3，5，7，11，13，17，19 }。

教师再提出这个集合能不能写成A={17，13，19，3，5，7，11，2 }，一个元素能不能写两次，如x?-4x-4=0的解，是A={2}还是A={2， 2}等，这样的问题，使学生的思维，对知识的理解更加深刻。

3、自主解决问题，培养问题解决的能力

在学生初步了解了集合的意义、元素的概念后，教师的进一步提出问题，让学生思考和自主解决，更是教学的关键。

如（1）A= {3，5}，那么，5和7哪一个是这个集合的元素？

（2）A={6，6，12 }的表示是否正确？

（3）A={亚洲，欧洲 }与B={欧洲，亚洲 }是否表示同一个集合？

（4）A={3，4，5，7，10 }与B={4，5，10 }有什么异同？

对这些问题的探讨，为“集合中元素的性质”的学习埋下伏笔。

4、再设问题，培养创新思维能力

集合的表达法一般有列举法和描述法等。对于列举法，教师可以引导学生从字面思考：什么是列举法？让学生经过思考和讨论，体会到列举法就是一一列举出来各个要素的方法。如1-20中能被5整除的数，可以表示为A={5，10，15，20}，将1-20中能5整除的数有5、10、15和20一一列举在{ }中。再如，世界四大洋，可以表示为A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，之后，再要求学生自主用列举法表示以下集合：

（1）小于10的偶数；（2）方程x?+2x-3=0的解；

（3）小于5的正奇数；

集合的含义与表示范文第4篇

一、注意符号的识别与记忆

例1 用适当的方法表示下列集合：（1）方程x2=1的解组成的集合；（2）不等式3x≥4-2x的解集。

错解：（1）｛x|-1，1｝，｛x=-1或x=1｝；（2）｛x≥■｝。

集合语言主要有三种形态，即自然语言、符号语言和图形语言。平时的数学表达更多的是使用符号语言。表示集合的方法，课本上介绍了列举法和描述法。例1两小题的错因是学生把两种表示方法混淆了，同时用描述法和列举法来表示集合。笔者建议在教学中多强调两种表示法的特点和适用条件，多让学生练习体会它们的区别。

例2 用适当的方法表示下列集合：（1）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合；（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合。

错解：（1）｛1，4｝；（2）｛（x，y）|y=x2-4｝。

高中数学主要涉及的集合有两类：数集和平面点集。例2两小题的错因是学生没有弄清楚集合的元素是什么：（1）表示两个数1和4组成的集合；（2）表示二次函数y=x2-4图象上的点组成的集合，与题目要求不符。列举法表示数集和平面点集的区别在于集合元素是数还是点，或者看看每个元素之间有没有用括号隔开；描述法表示数集和平面点集的区别是竖线前面的元素符号是数还是点。

符号语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此它常常成为数学教学的难点。正确理解集合符号语言的前提是对集合符号能正确地识别和记忆。笔者建议广大教师重视数学符号语言的教学，组织学生对一些符号进行辨析、识别和记忆，同时加强训练，加深学生对符号的理解和记忆。

二、注意空集?芰的概念和性质

例3 用正确的符号填空：（1）?芰_________｛0｝；（2）0________?芰；（3）?芰_________｛?芰｝。

错解：（1）=；（2）∈；（3）=。

空集是不含任何元素的集合，记为?芰。例3中（1）（2）两题的错因是学生把空集概念中“没有”元素中的没有和0表示“没有”的意思混淆了；（3）的错因是学生前面接触的集合都要加｛｝，所以误以为所有的集合都要加｛｝。实际上｛?芰｝可以理解为有一个元素是?芰的集合。笔者建议在教学中可以把不用加｛｝就表示集合的符号罗列一下（如：?芰，N，Z，Q，R），方便学生记忆。

例4 已知集合A=｛x|a+1＜x＜2a｝，B=｛x|x＜4｝，若A?哿B，求a取值范围。

错解：A?哿B，2a≤4，a≤2。

空集是一个特殊且重要的集合，所以它有一些独特的性质：1.对任意的集合A，有A∩?芰=?芰；2.对任意的集合A，有A∪?芰=A；3.空集是任何集合A的子集，即?芰?哿A。例4的错因是忽视了空集的第三个性质。所以这题要分A=?芰和A≠?芰两种情况讨论。

三、注意临界点的取舍

例5 已知集合A=｛x|-2＜x≤4｝，B=｛x|x＜a｝，若A?哿B，求实数a取值范围。

■

错解：a≤4。

临界点的讨论一直是含参问题的难点。例5的错因是学生误以为字母a取到等号集合B就含有4这个元素。实际上集合B是否含有4这个元素主要是看x＜a中不等号是否有等号。笔者建议引导学生单独考虑临界点的等号，把取等号时两个集合的情况写出来，对照条件是否满足，再进行最后的取舍。

例6 若全集U=｛x|x≥-3｝，A=｛x|x＞1|｝，则?奁UA=__________。

■

错解：?奁UA=｛x|-3＜x＜1｝。

集合运算中临界点的取舍是考试考查的重点。例6的错因是学生没有理解补集的概念。笔者建议在讲解补集概念时，重点突出补集中元素的两个特点：1.在全集U中；2.不在集合A中。在解题过程中可以运用补集的两个性质：（?奁UA）∩A=?芰和（?奁UA）∪A=U对结果进行检验，这样就知道临界点是否可以取到。

四、注意新定义集合的理解和运算

例7 设集合S=｛0，1，2，3，4，5｝，A是S的子集，当x∈A时，若有x-1?埸A且x+1?埸A，则称x是A的一个“孤立元素”；如果A中含有4个元素，且没有“孤立元素”，则这样的集合有_________。

错解：｛0，1，2，3｝；｛1，2，3，4｝；｛2，3，4，5｝。

例7 的错因是学生没有正确理解“孤立元素”的含义。本题转化为学生容易理解的内容是：不含“孤立元素”是指集合A中每个元素的前一个或后一个数也在A中。而不是指集合A中元素必须全部相邻。

集合的含义与表示范文第5篇

关键词：

系统行为表达方法；嵌套式系统结构；端口自动机；范畴论

中图分类号： TP301.2 文献标志码：A

0引言

模块间相互嵌套的结构是信息系统中最常见的结构之一。在应用系统中，为了实现复杂的功能，具有一定功能的模块可嵌入并组合到其他模块中；同样，组合后的模块还可被嵌入到更大的外部模块中。近期，美国麻省理工学院Spivak等[1-3]使用“对称多范畴”（symmetric multicategory）来讨论自相似对象的嵌套结构以及相关计算特征。该系列研究的核心思想是：范畴对象间存在“多对一”态射，当使用集合概念替代范畴对象时，可实现表示内部结构的多个集合与一个表示外部结构的集合之间的嵌套组合关系；而且使用“函子”（functor）可基于结构特征分析出结构上的计算特征。2015年，该方法还被应用于“模块化网络”的静态结构描述与动态特性表达上[4]。在该系列研究基础上，本文基于“端口自动机”建立面向嵌套式结构的行为表达方法PAM，并就该方法相关理论基础和应用方法等内容进行分析和讨论。区别于文献[4]所阐述方法，本文所提出的PAM方法是一个伴随域为Sets（对象为集合的对称多范畴）的函子，本文所提出的PAM方法是一个函子，该函子的伴随域为：在状态集上进行运算的动态系统，这也说明PAM运算具有结构保持特征，可将结构与集合上的运算相互联系起来。

1相关技术基础

“范畴”概念来源于范畴论（Category Theory）[5-6]。自20世纪80年代开始，范畴论被广泛应用于开发逻辑系统、构建编程语言的数学语义[7]、分析自动机[8]和并发模型[9]等计算机科学领域。在国内，早在1989年，文献[10]就范畴论应用于计算机科学的相关问题进行了讨论。另外，文献[11]利用范畴定义构件之间的关系；文献[12]基于范畴定义构件行为组合，并将该方法应用于实现复杂的业务功能等。

范畴在定义上包含4个基本组成[5-6]：对象集、态射集、恒等态射和组合；范畴运算必须满足两个规则：恒等律和结合律。其中，对象是范畴的组成单元，对象由元素构成；态射（morphism，用箭头表示）是对象间的对应关系；恒等态射（identity morphism， id）是对象与其自身的对应关系；组合（composition，运算符为“”）支持将多个态射连接形成新态射。另外，范畴论使用函子来揭示两个范畴之间的对应关系，其定义涉及到两个部分：对象和态射，函子所涉及运算必须满足两个规则：恒等保持和组合保持[5-6]。

范畴可被实例化，例如集合范畴Set就是一个实例化范畴。Set中的对象为集合，态射为集合上的函数[1]。当Set中的对象被限定为有限集合时，所形成的范畴为有限集合范畴，使用Fin表示；Fin是Set的全子范畴[1]。

1.1对称多范畴

定义1对称多范畴[1]。设对称多范畴为M，其定义包含4个基本组成：a）对象，b）态射，c）恒等态射，d）态射组合。范畴中的运算必须满足两个规则：a）结合率，b）恒等率。

1）4个基本组成。

a）对称多范畴中的对象集合为Ob（M）。集合中的元素是范畴中的对象。

b）态射集合使用Mn（xx-；y）表示，其中：y∈Ob（M），n∈Ob（Fin）是一个有限集合，x：n Ob（M）是n索引对象集合。Mn（x；y）中的元素为态射。当态射φ∈Mn（x；y），则φ：x y或φ：（x1，x2，…，xn） y，其中：xi被称为域对象，y被称为伴随域对象。

c）若x∈Ob（M），恒等态射idx∈M1（x；x）。

d）若s：m n是Fin中的态射，对象z∈Ob（M），有限集合m，n∈Ob（Fin），x：m Ob（M）是m索引对象集合，y：n Ob（M）是n索引对象集合。若元素i∈n，mi是态射s对于i的原像，使用xi：=x|mi：mi Ob（M）表示mi对应的x对象集合，则态射组合为：

：Mn（y；z）×∏i∈nMmi（xi：yi） Mm（x；z）

2）两个规则。

a）运算必须满足结合率，相关形式化定义可参考文献[1]。

b）对于态射φ：（x1，x2，…，xn） y，恒等率表示为：

当对称多范畴中的对象实例化为集合时，形成范畴Sets[1]。Sets中的对象是集合，态射是集合间的“多对一”函数（函数定义域为多集合，伴随域为单集合；区别于Sets，Set中的函数没有“多对一”的限制）。

定义2对称多范畴上的函子[1]。设M和M′为对称多范畴，从M到M′的函子F：M M′定义包含两种运算：a）对象上的运算，b）态射上的运算。所有运算必须满足：a）恒等保持规则，b）组合保持规则。

基于对称多范畴上的函子可定义对称多范畴上的代数运算[1]，例如：C是对称多范畴M上的运算，则C：M Sets。

1.2系统的嵌套式结构

当以外部观察为依据，一个系统模块可被视为一个黑盒。黑盒与外部通过“端口”来进行交互，端口是交互发生的位置，交互的内容是信息。基于“类型集合”[4]，一个模块黑盒可表示成为：

X=（（Xin，τin），（Xout，τout））

其中：Xin为输入端口集，Xout输出端口集，端口集满足Xin，Xout∈Ob（Fin）；τ为端口类型函数，该函数用于获得端口上交互信息的类型。对任意端口集P，类型函数的定义是τ：P Ob（Set）。端口集P上可交互信息[4]表示为：

其中：p为P中的端口，τ（p）为p上的信息类型，（P，τ）为整个端口集上可交互的信息类型。

性质1[4]设f：（P，τ） （P′，τ′）为两个类型端口集上的态射，则 f-：（P′，τ′） （P，τ）。

对嵌套结构，若X表示内层结构，Y表示外层结构，则d：X Y表示X与Y之间的嵌套关系。结构d中内外层次上端口间的对应关系必修满足：

规则1[4]若使用φ=（φin，φout）表示单层嵌套结构端口映射规则，其中，φin：Xin Yin∪Xout，φout：Yout Xout。

这里，φout规定外层结构的输出端口必须与内层结构上的部分输出接口相对应；φin规定内层结构的输入端口必须与部分外层结构的输入端口，以及部分内层结构的部分输出端口相对应。

基于上述说明，设范畴NS是描述系统嵌套结构的对称多范畴[3-4]，则该范畴包含以下技术特征。

1）范畴中的对象集合为Ob（NS），设X为端口集合，则：X=（（Xin，τin），（Xout，τout））∈Ob（NS）；

2）范畴中的态射集合为NSn（x；y）；其中，n为自然数，若d∈NSn（x；y），则d：（X1，X2，…，Xn） y为单层嵌套结构，而且端口映射满足规则1，态射d中（X1，X2，…，Xn）为n索引对象集x，且X1，X2，…，Xn，Y∈Ob（NS）。

3）恒等态射为NS1（x；x），即idX：（X） X。

4）当X，Y，Z∈Ob（NS），若存在结构d：X Y，以及d′：Y Z，则两层嵌套结构为：d′d：X Z。

5）组合运算必须满足结合率，当存在多层嵌套结构：d″d′d，则（d″d′）d=d″（d′d），即：整体嵌套结构与系统组成时的嵌套顺序无关。

6）态射运算满足恒等率。

图1中使用矩形表示了三个对象：P、Q和C。P对象和Q对象构成内层结构X：=P∪Q；外层结构为对象C，定义Y：=C。使用d：X Y表示图中嵌套关系，结构中各层次所包含端口间的连线表示了不同对象上端口之间的对应关系。具体而言，Y结构的o端口对应X结构的q3端口（形成φout规则）；X结构的q1端口对应于p2端口，且p1和q2端口对应Y结构的i1和i2端口（形成φin规则）。通过性质1可知：q3端口上的输出决定o端口上的输出；端口i1和i2上的输入，以及p2端口的输出决定p1、q2和q1端口的输入。

1.3端口自动机

在NS范畴所描述的结构上，使用函子可定义相关代数运算。这样的运算本质上是系统结构上动态特征的表现。为了揭示这样的特征，本文使用“端口自动机”来定义系统行为。

端口自动机[13]是一种Moore机模型，可用于表达抽象系统的行为。该模型以外部观察为基础，把系统与外界交互端口作为行为考察的对象。定义上，端口自动机是一个七元组[13]：（P，Q，q0，X，Y，T，O）；其中，P为端口集合，Q为状态集合，q0为初始状态，X为端口上的输入值集合，Y为端口上的输出值集合，T为输入变迁函数，O为输出状态函数。

2嵌套式结构上的行为

基于端口自动机[13]和文献[4]所阐述方法，本文定义NS范畴对象上的行为为：

定义3NS中对象上的行为。对于对象X∈Ob（NS），其行为表示为：

PAM（X）：={（S，（fin， fout））|S∈Ob（Set）， fin：Xin×S S， fout：S Xout}

其中：S为对象状态集； fin为输入函数；Xin是输入数据集； fout为输出函数；Xout是输出数据集。 fin说明对象根据输入信息更新系统状态； fout说明对象根据当前状态进行输出。若f=（fin， fout），则PAM（X）可表示为：（S， f）。

当系统结构中包含两个并行对象X和Y，表示为X∪Y，运算为PAM（X∪Y）：=（SX×SY， fX×fY）。另外，根据定义3可知：PAM运算中的输入和输出操作为“确定的”，即任何操作的结果唯一。

定义4NS中态射上的行为。当X，Y∈Ob（NS），对于态射d：X Y，φ=（φin，φout）是对象之间端口映射规则φin：Xin Yin∪Xout，φout：Yout Xout。若内层对象行为PAM（X） ：=（S， f），则d上的行为定义为：

PAM（d）：=（S，g）

其中S为嵌套结构上的状态集，该集合由内层系统的状态集决定，运行时S不允许被改变。另外，g=（gin，gout），其中，gin为d上的输入函数，gout为d上的输出函数。

对于结构d上映射规则φ，基于性质1可获得：

φout：Xout Yout，φin：Yin∪Xout Xin

其中：Yin∪Xout使用Yin×Xout进行计算。

性质2定义4中，若s∈S，y∈Yin，则gin和gout为：

gout（s）=φout（fout（s））

gin（y，s）=fin（φin（y， fout（s）），s）

证明对于gout，从图2（a）可获得相关结论。根据映射规则φ，外层输出端口Yout与内层输出端口Xout相连，φout说明信息从X流向Y，为了实现φout，需要经过fout计算产生X的输出。

对于gin：式子gin（y，s）=fin（φin（y， fout（s）），s）可从图2（b）部分获得。由于嵌套结构的状态集合与内层系统状态集合相同，根据φ，内层输入端口Xin对应于：Xout和Yin。为了获得Xout首先需要进行fout运算，而Yin为外部直接输入。通过Xout与Yin可获得内层系统的输入Xin（由φin说明）。经过计算fin，系统状态根据输入被更新。

因此，性质2成立。

NS范畴中对象和态射可进行PAM运算：若X是一个对象，则运算为PAM（X）；若态射d：X Y，则运算为PAM（d）。由于范畴中的态射可组合，基于定义3和定义4，若PAM运算满足组合运算，则PAM是一个函子。

作者修改了性质3

性质3PAM是对称多范畴NS上的一个函子，该函子的计算结果是在指定状态集上进行运算的动态系统。

性质3PAM是从对称多范畴NS到Sets的一个函子，即PAM：NS Sets。

证明

1）对象上的运算如本文定义3所述。

2）态射上的运算如本文定义4所述。

3）恒等保持方面，若idX：（X） X，则：

PAM（idX）：PAM（X） PAM（X）=id（PAM（X））

4）组合保持方面，设：

5）最后，PAM运算的结果是集合，且运算f和g是“多对一”函数。所以，PAM的伴随域是Sets。

综上所述，PAM：NS Sets是一个函子。

性质3说明：1）本文所构建的PAM运算是一个伴随域为Sets的函子，运算具有结构保持特征。

综上所述，PAM可在NS范畴的对象和态射上进行运算，而且运算具有结构保持特征，因此，PAM是一个函子，其伴随域为指定状态集上进行运算的动态系统。

性质3说明：1）本文所构建的PAM一个函子，可揭示结嵌套式系统结构上的输入和输出行为，以及相关的系统状态变化情况。

2）区别于文献[4]所阐述方法，PAM可直接以端口自动机方式来表达嵌套结构上的行为。

3行为的组合

使用NS范畴所建立的结构模型可从局部和整体两个方面来进行理解。局部上，同一层次结构上可存在多个模块，这些模块相互交互、彼此组合形成一个工作单元，共同实现所在层次的行为。整体上，嵌套结构可涉及多个层次；外部结构的行为通过其内部结构的行为来实现，内部结构的行为再通过其更内部的结构行为来实现，以此类推，因此，层次结构上的局部行为是系统整体行为的组成部分。

同层次上模块间的行为组合可归纳为4种类型[14-15]：重命名、并行组合、串行组合、反馈。4个类型中，当模块的端口直接与其他端口进行连接时，即可实现所谓“重命名”。举例来说，设某模块具有端口p，该端口与外部端口q连接，则p上传输的信息实际上也是q上传输的信息；p和q之间的连接结构就是一种“重命名”实现。本部分后续内容将对其他3种行为的组合情况进行讨论。

3.1并行组合

同一层次中，多个并行工作模块间如果不存在信息交互时，它们的行为相互独立。以图4所表示的结构为例，该图中包含3个对象：A、B和E，配置为：

内层结构由行为相互独立的A和B组成，外层结构为E。设X：=A∪B，Y：=E，则：

Xin={q1，p1}，Xout={q2，p2}，Yin={i1，i2}，Yout={o1，o2}

使用p：X Y表示结构嵌套，根据定义4指定端口映射规则：

φinp：Xin Yin，φoutp：Yout Xout

图4中X和Y之间的端口映射情况已通过连线进行表示，例如：E的输入端口i1与A中的输入端口q1相连，E的输出端口o2与B中的输出端口p2相连等。端口间交互情况为：

3.2串行组合

当同一层次中的模块间存在信息交互时，它们的行为之间会产生依赖。以图5所表示的结构为例，该图中包含3个对象：C、D和E此处是否应该是E'？请明确。回复： 关于注释中的问题处是E，不是E‘。谢谢您。

，配置为：

3.3反馈

对于反馈，以图6表示的结构为例，使用F表示可反馈的模块，使用E″作为外部环境，配置为：

4应用示例

实际应用中，首先根据需求设计模块结构，基于NS范畴描述结构；然后基于PAM来分析模块的工作情况。

示例1设两个传感器：测距模块、电机编码器，其中电机编码器用于检测电机的转速。两个模块的基本状态及状态转移情况总结在表1中。对于测距模块，存在两个状态（s0为预备态，s1为测距态），输出为测试结果d（d为实数，使用-1.0表示无读数），输入包含两个命令（measure和reset）。对于电机编码器，存在两个状态（s′0为预备态，s′1为读数态），输出为测试结果v（v为整数，使用0表示无读数），输入包含两个命令（read和reset′）。

示例2当需要利用伺服电机来控制测距模块的朝向时，可设计一个驱动模块实现两个功能：1）驱动伺服电机旋转；2）启动测距模块进行测距。驱动模块基本状态及状态转移情况总结在表2中。该模块有两个基本状态（b为预备态，t为转向态），输出包含两个命令（measure和reset），输入为转向角度a（a∈{0，1，…，180}，使用0表示预备）。

基于3.2节的讨论，驱动模块首先需要驱动伺服电机调整测距模块的朝向，再启动获得距离，因此，输入命令指定为：{a，0}，其中，a为转动角度。假设现在需要获得伺服电机在90°角时测距模块检测的距离，输入命令为{90，0}；若系统当前状态为（b，s0），执行命令中的第一个值（角度为90°），系统首先获得D和U状态输出：（reset，-1.0）； fin更新系统状态，D模块驱动伺服电机旋转90°；同时，由于U模块执行命令（reset），状态为s0。再执行命令的第2个值（角度为0°），系统获得当前D和U状态输出：（measure，-1.0）， fin更新系统状态，D模块驱动伺服电机转角0°；同时，U模块执行命令（measure），系统当前可获得输出为实测距离d，因此可见：串联的D和U基本可以工作。

5结语

使用“对称多范畴”可建立系统多层嵌套式结构的模型。针对这样的结构模型，本文基于端口自动机提出一种结构上的行为表达方法PAM，该方法在理论上是一个伴随域为Sets的函子。在PAM支撑下，本文还对并行、串行和反馈等常见组合行为进行了分析和讨论。本文首先提出一种基于端口自动机的行为表达方法：PAM，然后总结了与方法相关的理论性质，最后讨论分析了PAM的应用方法。

通过本文工作可以看出：PAM方法支持以端口自动机方式揭示嵌套式结构上的动态行为，因此，该方法可被应用于描述或分析嵌套式系统结构上的行为。

未来的工作还可构建、讨论和分析NS范畴上的其他行为表达方法。

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