对于数学建模的认识和理解范文第1篇

一、数学模型的基本概况

（一）数学模型的概念

数学模型的概念比较宽泛，它是指用准确的数学语言，包括公式，描述和表达现实问题中的等量关系、空间图形等，其特点是用数学语言的形式将生活中客观事物或现象的核心特征、关系大概地或近似地呈现出来，形成一种数学模型。从外延上说，数学知识就是数学模型，一切数学教科书中所涵盖的概念、公式、方程式、函数及相应的计算系统都可称为数学模型。[2]

简单来说，数学模型就是那些能够反映、刻画客观事物本质属性与内在规律的数学结构，如数学符号、公式、图表等。小学数学涉及的数学结构较为简单，因而小学阶段所建构的数学模型，是指用课堂上所学的数字（1～10）、字母（a、b等）及各种不同的数学符号排列组合而成的公式等，学生所学的平面几何图形等都是数学模型。

数学建模即建构数学模型解决现实情境问题的求解过程。如我们将所考察的生活中的实际问题转化为数学知识的求解，建构出相应的数学模型，通过对数学模型进行求解，使得原来生活中的实际问题得以解答，这种解题方法叫做建构数学模型的方法，也就是数学建模。[3]

（二）构建数学模型的意义

《标准》指出，小学阶段的主要任务是培养小学生的数学建模思想，锻炼数学建模能力，使学生学会把所学的数学理论知识应用于生活实践中。有效的建模活动不仅有利于发展学生的思维，还能激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究意识和学习主动性。可见，数学建模思想在日常教学的有效融入，对提升小学生的数学核心素养起着非常关键的作用。

1.有利于培养学生运用数学思维的方法观察分析生活中的问题

建构数学模型，即教师引导学生运用所学的数学知识、语言文字来描述和表达生活情境中的问题，将所学的理论知识运用到实际生活中解决真实的问题，深化“数学源于生活，又应用于生活”的理念内涵。数学建模不同于传统意义的应用题，它是对实际的复杂问题进行分析，并在发现其中的规律与数学关系的基础上运用数学知识解决问题。这个过程本身为学生提供了自我学习、独立思考、综合应用分析的机会，学生从不同的问题中探索出问题的本质，从而丰富了学生的想象力，提高了洞察力和创新思维能力。同时，“数学模型的组建依赖于建模者对实际问题的理解，并需要一定的创造性和想象力将有关的变量按照实际问题的要求组合在一起”[4]，且对于同一问题，学生能够建立出多种不同的模型，因而在开放的构建模型过程中，有助于提高学生的创新意识和创新能力。

2.有利于培养学生的合作探究能力

数学建模作为一种新型的数学学习方式，为学生相互合作、主动探究提供了平台。不管是日益成熟的中国大学生数学建模竞赛（CUMCM），还是逐步兴起的美国中学生数学建模竞赛（HIMCM），均以团队为单位参赛，3―4人为一组，在规定的时间内共同解决问题。在这个过程中，学生不仅需要具备扎实的数学基础，还要具有较强的合作精神和探究意识。因此，将数学建模融入日常数学教学时，教师引领学生通过小组合作学习的方式，在小组内彼此交流思想、集思广益，共同探究出问题的答案，同样锻炼了学生的探究与合作学习的能力。正如《标准》中所提出的：“数学教学理念必须创设有意义的教学情境，激发学生学习的兴趣，调动学生学习的欲望，引发学生学会动脑筋思考问题；尤其对低年段的小学生要注重培养学生养成良好的学习习惯、掌握有效的学习方法和技巧。”[5]学生的学习生活应当是充满创造性和欢乐的过程，除传统教学观所提倡的学生接受学习的方式外，教师应当鼓励学生动手实践、探究，让学生学会与同伴合作探讨的自主学习方式。此外，教师还应给予学生充足的时间和空间，使学生可以经历假设、判断、推理等探索过程。

3.有利于提高学生的数学素养

数学素养是指学生通过数学学习，在学习过程中逐渐内化而成的数学推断能力、思考能力及数学品质。[6]小学阶段要求学生具备的数学素养，包括数学知识及以数学思维思考问题的意识、解决问题的能力、探索数学的意愿等。数学建模是“从现实生活情境中抽象出数学问题”。发展建模能力一方面可以促进学生认识现实世界，因为数学模型思想主要是培养学生发现问题的意识以及动手实践的能力。如“用字母列方程来表示数学问题求解中的等量关系”，在这个环节，学生首先要通过分析等量关系中有哪些量是等值的，然后找出题目中等式两边的量，最后判断分析，求得结果。另一方面，丰富的日常生活经验能够帮助学生理解数学学习。如学习“数对”，学生需要“在具体情境中，能在方格纸上用数对表示位置，知道数对与方格纸上点的对应”。而在日常生活中，学生购买电影票去电影院看电影的经历以及通过教室内的座位表确定同学的位置等情境，有助于他们理解“数对”的概念以及“数对”与点之间的对应关系。在数学教学过程中，构建数学模型能够使学生各方面的能力得到开发，如理解能力、推理能力、发现问题的能力、分析能力等，而学生的数学素养也在不知不觉中获得了提高。

4.有利于学生真正体会到学习数学的乐趣

数学一直被许多小学生认为是最难的科目，原因是对数学的作用与价值认识不足，学生“不知道为什么要学习数学”“数学学了有什么用处”，这令他们感到数学与生活距离非常遥远，从而逐步丧失了学习数学的兴趣。因此，在教学中，教师需要设计与生活相关的数学活动，鼓励学生在活动体验中体会数学与生活的联系，帮助他们增加对数学应用价值的认识。《标准》指出，构建数学模型是学生理解数学知识与实际生活相联系的桥梁。因此，在数学教学中，教师可以通过利用有趣的、与生活相关的问题开展构建数学模型的教学，帮助学生在解决问题中了解数学与生活的联系，认识到数学在解决问题中的作用，激发学生学习数学的兴趣，使学生认识到数学学习与生活息息相关，利用学到的数学知识可以高效地解决问题，进而认识到学习数学的意义。[7]

二、建构数学模型的策略

数学模型的建构对于利用数学知识解决生活中的问题至关重要，但是不同学段对学生掌握建模思想的要求不一样：第一学段的学生年龄相对较小，主要以具体形象思维为思考方式，要掌握建模的方法困难比较大，因此，教师要引导他们经历现实生活情境，在情境中抽象出一般的学习规律，总结出一些数学结构，也就是数学建模；第二学段的学生处于从具体形象思维逐渐过渡到抽象逻辑思维的关键期，已初步具备抽象―概括的思维能力，但是仍以具体形象思维为主，以抽象逻辑思维为辅，故在教学中应使学生经历一些具体的生活情境，让他们自己发现问题，通过独立思考、合作交流，最终总结出一般的数学模式，如路程、速度、时间的关系式。结合学段教学要求以及小学生的心理发展特点，笔者总结了以下几种建构数学模型的策略。

（一）创设问题情境，激发学生学习数学建模的兴趣

问题作为数学建模教学的载体，其设计合理与否直接影响着学生对数学建模情感的激发与维持。在数学建模教学中，教师首先需要思考所设计的问题是否有趣，能否让学生具有亲切感，能否吸引学生。有趣的、贴近生活的问题不仅容易激发学生学习数学的好奇心，吸引其进一步思考和解决问题，还有助于学生理解问题。因此，教师要为学生创设贴近生活以及学生熟悉的问题情境，激发他们学习的兴趣和探索的热情。

例如，“利息=本金×利率×时间”这一数学结构是小学数学六年级上册的一个学习内容，结合第二学段数学建模教学对学生的要求以及学生的心理特点，教师在教学中可以这样做：首先，为学生提供“帮助妈妈选择银行存款项目”这一具体生活情境，激发学生的学习兴趣和兴奋点；其次，教师通过给出不同类型存款方式的利率，鼓励学生为妈妈选择一项适合自家理财计划的存款项目，让学生身临其境，感知不同类型存款方式利率的变化、利息的变化，以及如何满足自家生活开支与理财需求；最后，教师导出“利息”的模型，帮助学生理解利息这一模型的背景及用途。将数学课本中的知识与生活中的具体实例结合在一起，学生可以在体验中感知和体会数学与生活的关系及作用。

（二）积累表象，培育建构数学模型基础

数学建模的前提就是学生的头脑中要有与原认知相关联的知识。这需要教师为学生创设一个良好的学习情境，刺激学生的感官，使其对所接触的生活情境形成一定的感知，进行表象的积累，并不断锻炼思维敏感性，进而在熟能生巧的感知中自觉找到连接点，为建立数学模型奠定基础。当然，学生学会建构数学模型，离不开先行组织者的作用，因此，教师要善于应用先行组织者的教育真谛，帮助学生理解新学习的知识与已学知识之间的联系，使学生能够快速掌握新知识。

例如，认识平面图形“圆”，教师引导学生建构不同的模型来认识圆，能够使学生在头脑中建立不同的关于“圆”的表象，进而抽象概括出不同模型的连接点，加深对“圆”基本特征的认识。再如，学习“编号”模型，由于学生在生活中对于邮政编码、学号、饭店房间号等具有一定的了解，教师可以通过对有关编码中数字含义的解释，帮助学生构建不同的关于“编号”的表象，在对各种编号的感知过程中建立数与现实生活之间的联系，引导学生运用数来描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。

（三）抽象出生活问题的本质，初步建构数学模型

数学源于生活，在生活中抽象出数学学习的本质，是建构数学模型的有效途径。具体的生活情境为学生在头脑中建构数学模型的表象提供了可能，而真正使数学与生活相结合，通过数学模型解决生活问题，学生需要通过现象看到本质，总结出事物的共性。

例如，学习“轴对称图形”这一内容，学生已有的生活经验中常常会碰到有关轴对称的图形或图标、建筑或其他事物，如奥运五环、天安门、蝴蝶等。如果教师仅仅以具体实物告诉学生什么是轴对称图形，那么就如心理学中的“鱼牛图”定理一般，由于学生的认知不同，在头脑中呈现出来的关于“轴对称图形”的知识也就不尽相同或不够全面。因此，教师可以通过出示相关图片或组织学生分组收集日常生活中看到的图形，引导他们在对具体事物发现和寻找过程中逐渐抽象出其内涵，进而认识到轴对称图形的基本特征――图形沿着对称轴折叠能够互相重合。这样，学生不仅能够掌握对称轴的画法与简单轴对称图形的补全，还能在这些操作活动中丰富和积累数学活动经验。

（四）巧妙使用数学教材，扩展数学模型的应用范围

数学教材作为数学教学活动的核心，是连接课程与教学的桥梁，是师生之间交流互动的重要媒介。各版本数学教材依据《标准》在“教材编写建议”中提出的“体现‘知识背景―建立模型―求解验证’的过程”这一理念与要求，对教材内容进行了有效编排，以问题为导向，重视对数学建模思想的渗透以及数学模型的建构。因而在教学中，教师要结合教材内容寻找并提炼相关的数学建模问题，以一个数学模型为依托，通过设计不同的问题情境，引导学生在解决问题过程中认清事物的本质，学会灵活处理各种问题并进行有效的迁移。

例如，六年级数学教材中的“植树”模型，教师可以结合教材内容设计出各种不同的问题，帮助学生理解“植树”模型的各种情况，如对于两端都栽树的棵树的数学模型，可以以学生熟悉的“手”出发，引导学生理解手指与间隔的关系，同时结合展示“等距的灯笼”“排列整齐的杉树”的画面理解“等距”“间隔”“间距”等概念，然后组织学生在动手实践中建构出模型为“间隔数+1”。小学生的思维以具体形象思维为主、抽象逻辑思维为辅，仅仅教授一种数学模型，他们未必会拓展延伸。因此，在两头都栽树的基础上，教师可以引导学生继续探寻树与间隔的关系，将“植树”模型进一步扩展为两端都不栽树的情况，其数学模型为“间隔数-1”，仅一端栽树的情况，其数学模型为“间隔数”，并在此基础上进一步引导学生观察循环植树与仅一端植树之间的关系，启发学生探寻出其数学模型也为“间隔数”。通过参与探究一系列数学活动实践，学生对各种不同的“植树”数学模型有了真正的认识和理解。以教材为依托，教师还可以结合学生熟悉的生活情境，设计以下问题：围棋盘最外层一共可以摆多少颗棋子？在团体操表演中，四年级学生排成方阵，最外层每边站12人，最外层一共有多少名学生？进一步扩展其应用范围，学生通过对一系列层层递进的问题链的学习，做到举一反三，从而真正理解数学知识，提升运用数学知识解决实际问题的能力。

参考文献：

[1][5][7]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3-4.

[2]陈淑娟.浅谈小学数学建模[J].读与写，2011（5）：161.

[3]王亚辉.数学方法论[M].北京：北京出版社，2007：38.

[4]李明振.数学建模认知研究[M].南京：江苏教育出版社，2013：3.

[6]周燕.小学数学教学中数学建模思想的融入[D].上海师范大学，2013.

对于数学建模的认识和理解范文第2篇

[关键词] 语义图示； 知识可视化； 知识表征； 知识建模； 电子课本

[中图分类号] G434 [文献标志码] A

[作者简介] 顾小清（1969―），女，江苏苏州人。教授，博士，主要从事教育培训系统设计与开发、数字化学习环境及用户行为、信息化教育资源设计及应用等方面的研究。E-mail：。

一、研究背景

经历了几千年的文化发展之后，我们重新进入了一个读图时代。这是一个数字化阅读的时代，是一个所谓真正的读图时代。有作者宣称，“图像社会或视觉文化时代的来临，已经成为当今一种主导性的、全面覆盖性的文化景观”[1]。这一文化景观的出现，固然有生活节奏加快等多种原因，但更为重要的，乃是技术的发展特别是数据技术的突飞猛进所带来的可视化的力量。俗话说，一图胜千言。可视化的力量，有时是一种视觉的震撼，有时是一种美的欣赏。但是，对于教育而言，则更多的是更为高效的信息传达。

在教育领域，教育信息化的诸多努力，很大程度上也表现为将教育内容和过程可视化。随着知识的爆炸式增长和对知识创新需求的增加，对可视化知识表征的需求也随之增长；另一方面，知识的外在呈现方式深刻地影响着学习者对知识的认知、理解，也影响着知识本身的传播、生存和发展。在新读图时代，知识可视化研究因具有了新的意义而受到关注。

在这个“读图时代”，“浅阅读”、“碎片化阅读”以快速、及时、便利等优点为大众所习惯。但是，如张耀指出的，这种浅阅读只是“看图”，它不需要调动读者的智慧，真正的“读图”需要读者在图中挖掘更深层的意味。[2]此外，无组织、碎片化的信息难以汇集、过滤、回馈、归纳、创新，也难以形成深度的、批判性的、理性化的、系统的知识体系，难以激发思维发展。

然而，有意义的图示表达和结构化的知识体系是当前数字化阅读中所缺少的，人们仅能够获取简单、零散的信息，却无法达到深层阅读和深度思维训练。这一问题，也开始在本研究团队开发电子课本的研究实践过程中开始浮现。电子课本是一种伴随着数字阅读的普及而出现的新的数字学习资源，具有连接数字阅读与数字学习的功能[3][4]。在电子课本的设计中，如何使可视化知识表征起到突破浅层“读图”的作用，成为本研究团队新的研究焦点，而“语义图示”成为课题组试图用来进行可视化知识加工和知识建构的工具。作为一种思维建模工具，语义图示能帮助在知识碎片间建立语义关联，能帮助基于语义规则构建知识体系，从而实现有意义的“读图”学习。如与对数据的研究一样，成功的可视化技术可以让用户更易洞察知识，提高知识学习与利用的效率和效果。[5]本文对以语义图示实现可视化知识表征与建模的相关研究进行综述，对课题组的研究思路作一介绍。

二、相关概念

本研究涉及以下几个相关概念：

知识表征与建模。是指将知识及其结构予以呈现的手段，前者强调将知识结构中的知识对象及其属性、关系加以表达；后者则强调为知识的思维结构建立模型，以元素、关系、操作及规则所构成的模型帮助学生超越思维局限，将新知识吸收到已有知识结构中。

可视化。是指将知识/信息以形象化的表征方式予以呈现，以便人类更容易调动视觉潜能和脑功能对其进行识别和处理。最基本的层面是信息可视化，它将非空间的数据和信息转换为可视化表达，使得抽象的信息变得更易于被用户观察和理解；知识（经过认知加工的信息）的可视化则是运用视觉表征进行知识传播、建构、创新及复杂知识表示的图解手段。

语义图示。是承载知识/信息的新一代图示媒介，指将抽象的知识/信息（如概念、原理、关系等）通过带有语义规则的图形、图像、动画等可视化元素予以表征。语义图示能够将承载知识的信息进行基于规则的结构化组织和可视化表征，这能够便于人们对知识形成整体而又形象的认识和理解，因而有利于促进知识的获取、内化、转化、交流、应用、传播和创新。

与可视化和语义图示密切相关的概念是图式。心理学认为，人的知识是以图式形式储存于记忆中的，很多图式连接在一起构成巨大的网络化的立体的图式框架。图式作为皮亚杰认知发展理论中的核心概念，是指“动作的结构或组织，这些动作在同样的动作或环境中由于重复而引起的迁移或概括”[6]，之后被记录为“个体对世界知觉、理解的方式”，“主体的行为模式和认知结构”[7]。德国心理学家康德认为，图式是连接概念和感知对象的纽带。人工智能学家Bartlett把图式定义为人们过去的经历在大脑中的动态组织，并将其应用到记忆和知识结构的研究中[8]。Anderson等人则把其作为认知心理学的组成部分进行了更为深入的研究，认为图式是信息在长时记忆中的储存方式之一，是围绕一个主题所组成的大型信息结构。[9]简单而言，多学科领域对图式的理解倾向是：图式是一种认知或知识结构，是人脑中记忆的信息、知识、经验等的结构与组织（网络）。

图示。在可视化研究领域是指利用可视化技术对信息、知识进行可视化的表征。Anderson认为，“图示是对信息进行图片化和具体的表征”[10]；Lowe将图示定义为“对所表征的事物进行具体的图形化展示”[11]；Hall认为，“图示在某种程度上就是简单的图像、漫画，用来传达重要的意义，这些简单的图像往往是基于一套规则形成的”[12]。在认知活动中，图示方式是更容易调动人类视觉潜能和脑功能的信息呈现方式。

图式与图示分别涉及内部表征和外部表征两个方面，两者分别反应、外显了人的心智图式。可以这样理解，图式更多的是一种内部认知状态，而图示则是一种外在表征行为或结果。在实际应用中，两者可以是一种“映射”关系。

另外，这里虽然把“语义图示”作为一个整体使用，但语义与图示之间的关系直接影响到可视化的思路与做法。在亚里士多德、奥格登（C. K. Ogden） 和理查兹（R. A. Richards）及其他一些学者的认知与语义研究中，语义是指语言中语词的意义，是客观事物在人脑中的反映，在认知上涉及概念、关系、结构和规则等元素。[13][14][15]语义与图示之间是一种形义关系。图示作为认知过程或结果的外部表征属外在之形，语义图示则是用带有含义的形式进行图式表达。可以这样比拟，同样的认知或知识意义，可以用图示、数学、语言（如汉语、英语）等符号形式表达。本研究的概念界定中，“带有语义规则”意味着建立、使用一套类似数学、（一种）语言的形式规则――有明确解释规范――以表达更多更广的含义；语义图示将作为一种工具在认知、学习等领域中使用。因此，如何建立以及建立怎样的语义图示规则或“图示语言”成为重要问题。

三、相关研究

本研究关注数字阅读时代所涌现的新问题，即如何突破浅层的“读图”，试图通过“语义图示”进行可视化知识加工和知识建构。相关研究包括以下几个方面。

（一）知识的可视化表征

这一方面，涉及知识的类型及其相应的表征方式。

知识可视化是以图示的方式对抽象的内部结构予以处理，这种结构既可以是知识结构也可以是较低级的信息关联。这一方面的研究涉及两个过程：（1）知识模型的建立；（2）模型外化的实现。对可视化领域的知识进行界定是可视化知识表征与建模的基本问题。典型的知识分类有：（1）基于主体分为群体知识和个人知识；（2）基于认知心理学可分为陈述性知识和程序性知识；（3）基于符号表达可分为隐性知识和显性知识；（4）基于知识经济应用的角度，可分为事实知识、原理知识、技能知识和人际知识；（5）2001修订过的Bloom教育目标分类，将知识从具体和抽象的角度分为事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识，该分类广泛应用于教育领域。知识可视化或学习都归结于人脑认知，从认知与教育的角度理解可视领域的知识将是适当的选择。

对知识表征的现有研究，更多地集中在视觉表征所能表达的知识内容上，而没有根据知识的属性探讨视觉表征如何表达知识，[16]即缺少可视化表征知识的科学方法。另外对知识可视化表征框架的研究也并不一致。从Eppler到后期的研究中，对知识可视化的目的的定位偏向于传播与创新[17][18][19]，在其影响下形成的可视化框架主要有两种：一种是关注知识类型、可视化目的和可视化形式；[20]另一种是表征形式分析、表征内容建构、观察者解读和制作者设计。[21]Burkard后续又对知识可视化框架做过修订：关注功能类型、知识类型、接受者类型和可视化形式。[22]

国外多种学科的文献中，与知识可视化问题较为相关的来自语言学、计算机科学和心理学等领域。

在语言学中，用多符号组合方式满足科学知识的交流与表征，强调多符号在共同与特定情境中产生意义。Liu等在其科学知识的意义及其符号语义建设的研究中，提出了制造意义的过程（使符号语义倍增）主要是交互符号隐喻――符号在不同情境下的使用导致其在语法和语义连接上产生语义重绘。[23]而科学交流中必然会有科学知识的表征。

在计算机与信息科学领域，可视化方面主要通过“元数据”和“本体”来表示信息和知识，研究主要集中于（数据、信息）语义与图示之间的关系，产生的结果主要是语法和工具。在解决从数据中获取信息意义的问题时引入了元数据。Buffa等在Web语义研究中，形成概念体系的形式化标记，认为Web应用中应当有三个语义标记维度：语义、实用和社会。[24]这与“本体”或“本体论”研究异曲同工。本体是指一种“形式化的、对于共享概念体系的明确而详细的说明”[25]；Brewster在使用本体的知识描述研究中，更是将本体研究置于知识呈现的长期研究中予以讨论。[26]

在科学领域，则有基于离散对象的和连续区域的知识表征与建模。Skupin在（地理）科学知识可视化研究中写到：“科学的结构与演变的可视描述已经被认为是关键策略，用以处理庞大而复杂的且不断增长的不同学科间科学交流记录”，“地理信息科学中，空间被概念化为二元性的离散对象或连续区域”。[27]研究中证明了科学知识被概念化为离散对象或连续对象的两种选择，会导致两种不同的可视化呈现。研究认为：离散性的对象本体已经开始主导知识建模，连续性的区域本体是知识可视化中离散方式的补充。其中的知识可视化一般过程有可操作性和一定的可模仿性。不同学科领域的知识可用不同的可视化思路，而对于交叉域，可能需要一个共同的框架。

另外，在认知心理学理论研究中，知识表征以概念、命题为基础，以结构、网络为关联形式。在认知主义中，人脑是以命题网络或图式来表征陈述性知识，而以产生或产生式系统来表征程序性知识。联结主义认为，知识大部分是以结构的形式建构的，其常见的心智结构主要有概念、命题和图式等，它们一般用来组织知识、创建相关知识的意义结构，并存储于联结权重之中。[28]

（二）知识建模、模拟与模型

这一方面，涉及知识模拟、知识模型和知识建模。

动态和静态的模型与模拟是知识可视化中需要考虑的重要部分。知识可视化的内容中既包括静态的陈述，也包含动态的（包括时间特性）的变化和过程。在具体学科、领域的知识可视化中，模型往往不可少，过程与原理等模拟也常是必需的。根据面向对象的思想，动态要素的模型化，对于获得对象相互关联方式的具体洞察很重要；在一定的抽象水平下，相似的洞察可以从（基于“消息树”和“场景图”的）静态模型中得到。[29]

模拟被证明在教学中是非常有用的。通过屏幕上的模型和可视的结果，学生增强了对潜在过程的理解，并且在相似情境下会发生什么的直觉判断也得到发展。[30]比起做真实的实验，模拟方法既便宜又快速。有报告表明：各领域的科学家都需要处理各种“过程”，而模拟是一个强大的学科交叉性工具，它用来理解“过程”，受到普遍认可。

知识建模在语义层面的研究主要集中于过程语义、时间序列语义、知识处理语言开发和领域知识建模方法研究等。Escrig于2009年在过程语义的研究中，主要使用形式语言对并行系统中众多的过程性问题进行过程语义建模，落脚于方程语义。[31]Boˇzi′在针对时间序列的模拟和建模研究中，围绕“如何建模并模拟（包括语义和元数据的）时间序列数据，及如何基于数据作决策[32]”展开，这一问题与Skupin的知识域可视化研究中过程语义的多样性问题在本质上是一样的――相同的形式或数据会体现过程、时间方面的多义性，过程本质上与时间序列一致。[33]两个研究都涉及带有时间或过程维度的程序性知识。

研究者对体现时间属性的、过程特征的语义研究表明：知识可视化研究中需要关注知识产生、表征、应用的时间属性和体现时间（过程）特征的知识；有动态性质的程序性知识的建模中当充分考虑程序性知识的时间维度，重视其动态过程；而元数据标签、语义网络等可用于程序性知识语义处理，如Larrea & Castro在基于语义的可视化研究中考虑更多内容的语义，如数据语义、所有可视过程中各阶段的语义，以及影响可视化的外部元素的语义，主要方法是用元数据描述语义、形成规则。[34]

（三）建模语言

要完成知识建模则很有必要了解建模语言，适当的建模语言有利于知识建模的正确性和可用性。目前，建模语言中以UML最受关注，其他还有虚拟现实建模语言VRML和可视化过程建模语言VPML等。

UML、VRML和VPML都是形式语言。形式语言（Formal Language）是按一定逻辑关系及严格规定的符号来表达某种事物，以及进行信息交流的一种语言。如在计算机程序设计中使用的语言、工程技术中的符号、图形语言等均属于形式语言。[35]形式语言是用成套的定义、规则等描述客观世界，表达主观想法。它包括语义和语法，体现为概念体系、关键词、语法等，是在抽象层次上定义的。

UML是面向对象的技术领域内占主导地位的标准建模语言，已成为国际软件界广泛承认的标准，应用领域广泛。作为通用建模语言，它具有创建系统的静态结构和动态行为等多种结构模型的能力，具有可扩展性和通用性，适合于多种结构和多变结构的建模。[36]同时，它也是一种标准的图形化建模语言。可视化过程建模语言（VPML）是一种支持过程定义的图形化语言。它用可视化的过程图及其相应的正文规格说明，分别描述过程的结构和该过程中诸元素的属性，具有很高的可视化和形式化程度，适用于过程模型建造和过程模型模拟。[37]虚拟现实建模语言（VRML）的任务是在互联网上实现虚拟的三维环境，并且能让浏览者与虚拟环境进行交互。[38]

（四）图示技术与图示语言

这一方面，涉及可视化知识表征与建模过程中“用什么原理、思路进行图示工作”和“用怎样的图示符号（体系）和规则等表达什么含义”两个问题。图示技术主要有重图示表达（组件―规则）、重语义行为（行为―规则）、 重视觉线索（线索―连接）和从逻辑抽象到图示表达等。图示语言主要是形式语言，UML最受关注。

图示技术在研究中主要表现在图表组件―数据结构、图示语法、视觉线索等研究点上。“图示”在程序设计环境中作为一种视觉化输入工具，被转化为语义描述，它始于收集的基本图表组件，结束于表示图表语义的数据结构。描述包括基本图示组件间的空间关系规格――依据它们的位置、大小等数字参数获得，以及属性方法――用以描述具体图示语法和产生语义描述的规则。[39]这种方法的逆序过程就是实现图示的一种。Baresi用“图示语法（Graph Grammars）”描述选定行为，并且验证了两种图表语法，可以详细描述抽象语法陈述的变形，以及离散、并行系统的相应改变。[40]Stolpnik研究了语义图示中的视觉线索，将其作为揭示语义信息和辅助语义图表导航与探索的一种方法。[41]语义图表需要更强健的工具，能结合统计与拓扑分析，尽可能提供与正确信息背景的连接。视觉线索由图表和图表数据元素的详细（特定）问题定义。该研究中定义了三种视觉线索，即拓扑学的、统计学的和语境的，并展示它们如何在面向多种任务的交互式图表视觉系统中有效使用。这对如何获得对数据的理解和洞察很有帮助，对语义图示过程的研究也很有帮助。Skupin用实例展示了从地理空间到数据库的过程，中间的“概念模型―逻辑模型―实体模型”间的转换也是对知识表征与建模可视化很有启示的一种方法。[42]

图示语言可看作是图示技术的具体、规范化定义与应用。可视化经过多年的发展，各式各样的图符在不同的领域里不断地被发掘、利用。遗憾的是，可能出于其视觉与理解方面的特殊性或知识的多样性与复杂性，能系统而完整地表示知识语义的图示语言的几乎没有，大多都是有限群体中、领域范围内，或针对特定内容的图解约定。各行业应用中主要图示有：（1）统计图（Charts）：饼图、条形图、直方图、拆线图、散点图等；（2）图表：表格、矩阵；（3）结构图：树形图、网状图、流程图；（4）时间轴；（5）维恩图解；（6）存在图（Existential Graphs）；（7）概念图。这些图，都有相对确定的语义，但在实际应用中却有着不确定性――同样的图可表示多种不同的关系，对细节的处理也各有不同。要明确而清晰地可视化表达知识关系或辅助学习，尚需专门设计与开发。如David Hyerle博士开发的以帮助学习的语言，提供了带有明确含义的八种图，包括括弧图、桥接图、起泡图、圆圈图、双起泡图、流程图、复流程图、树形图。[43]

（五）讨论与分析

以语义图示实现的知识可视化，既需要顾及不同学科的需求，又需要吸取各领域的知识或语义表征的做法。多种符号的关系及应用或图示符号在不同具体情境下的使用，所引起的语义连接的变化值得注意，这表明语义不仅与符号有关，还离不开具体情境。在认知上语义处理则离不开概念、结构等要素。可视化在科学与技术上的形式体系化与对象关系性的处理，则类似于我们所认为的：知识可视化表征主要涉及语义处理方式、符号及其使用方式和知识结构与关系三个方面，概念、概念属性、概念结构与概念关系是知识语义的重要要素；图形、图像、表格等静态画面和视频、动画等动态画面，及它们的组合是知识可视化的媒体手段；反映知识结构（关系、性质等）的图示规则、基本图示模板[44]等是实现知识可视化的主要技术和工具。如此可以完成“用什么图符（符号），怎样利用图示结构，表征与建模什么知识和意义”的工作。

为达到深层阅读，一方面，学习者在阅读中需要将知识进行结构上的解构与重构和语义上的分析与综合，因为由结构关系组织起来的知识在语义上将更加清晰，知识的模型化将大大有利于学习者对知识的认知理解。另一方面，知识建模与其说是针对知识的建模，不如说是面向知识的问题解决过程和结果，它是以知识为目的的建模过程和建模应用，本质上是知识关系认知、体系化和创造的过程。知识是人们对世界的认识成果，认识是针对事物、现象、问题、需求的观察、解决或验证等得来的；知识建模的一般过程，就是先抽取知识的概念模型，再依据建模需求进行分析设计，并取得知识建模结果，或是解决问题的方案。学习者进行电子阅读，就是一个获得新知、理解其意、构建关系，或联想情境、列举实例，或连接实践应用的过程。而语义图示工具的支持可帮助学习者提高知识理解及其关系和过程梳理，为所学知识建立静态或动态模型，为所解决的问题建立模型或方案。

知识的模拟和模型可看作建模的过程或结果。无论哪种建模方式，建模的过程，就是对事物、系统、问题等的静态特性、结构和动态原理、规律等进行抽象分析和具体的形式呈现，使其具有一般性、模拟性和可测试性，以更清晰地了解事物内在的性质、结构、关系，把握事物动态过程中的原理、规律。其中的知识模拟就是用虚拟或指代的场景、事物、过程对知识的关系与系统过程进行模拟，以期学习者深入、准确理解。模拟是促进知识（语义）被理解的手段。

而以知识关系体系化及知识创造为目标的可视化实现需要有适当的语言工具。不同形式语言有着自己的思想指导、基础方法，其原理、过程与方法对可视化知识建模的研究有着重要的参考性。UML图示思想与图示定义对知识可视化研究具有参考价值。如其中不同类别的视图和不同样式的图形，可用来表征知识的不同要素（如结构、层次、过程等）。知识建模对静态关系与结构、动态过程与变化的把握与运用是重要的，在实际应用中，对于解决问题有重要的知识应用与知识再生价值。一方面，对于知识中重要的一部分：动态过程和变化的知识，VPML值得关注；另一方面，由于学习迁移、知识与情境密切相关，情境在学习中就显得较为重要，而VRML支持对知识情境或场景的可视化。

本质上，建模语言和工具都是一种抽象、概括和设计的结果，是面向实际应用和问题解决的设计结果。知识作为实际应用对象，其建模主要有两方面的内容：一是对其语义的表征和对其产生与应用过程的建模，目标是知识及知识关系的认知理解；二是对知识关系与应用的建模，目标是知识利用与生产。相比于知识的表征，知识建模更具有复杂性、系统性，它直接面向实际应用和问题解决，而这也意味着知识的生产。应对知识表征与建模，需要对不同建模语言和工具博采巧用。

可视化知识就是利用可视化元素从语义层面上对知识作视觉呈现，充分利用图符、符号、图示结构，定义语义、形成语法，以表达静态、动态事物及其关系与过程的结果。其中会包括能准确、全面地反映语义的情景图示、对象图示、结构（关系）图示和过程图示等多部分内容。而选择适当的图示思路、符号与规则等是必经之路。UML、VRML和VPML则是完成可视化知识和语义图示工具设计的很好的参考。

四、研究框架及其设计

本研究关注电子课本中的知识可视化，试图利用“语义图示”突破浅层阅读，进行可视化知识加工和知识建构，研究语义图示技术是否能提高学习者认知能力与（阅读）学习效果，并以“知识表征通则”、“基于语义图示的知识可视化”和“以语义图示工具促进学习”为具体目标。研究假设，基于语义图示的知识可视化表征可以促进学生的深层阅读；语义图示工具有利于促进学生知识体系的建构和知识创造。其研究框架概要如图1所示。

其中理论研究中的“知识语义图示方案”是研究的重点，所产生的语义图示技术将是整个研究的基石。本研究将知识可视化的关注焦点置于语义。对语义和语义工具的关注有望为知识可视化研究取得突破，如确定适当的框架要素、明确统一的图示方法等。

在所有的个体、群体的学习活动、交流行为之中，人脑对知识或信息的意义的认知及其语义关系的构建是基础。无论知识可视化的目的是认知建构还是传递互动，不管知识类型怎样划分、接受者有何不同，语义在大脑中的理解、反映是核心。创新、传递、协作、回忆等功能都离不开彼此在语义层面的理解与沟通。语义工具的建立，即语义图示，会随着应用情境和目的不同而发挥不同的功能。如对个体而言是认知理解与思维反应，对群体来讲则是知识共享与交流沟通。

图示方案的考虑是从知识语义出发。知识语义至少包括两部分：一是知识的指代对象，二是逻辑形式和结构关系。可用语词、可视图符表示知识对象，而用规则与结构化组织表示形式与关系。学习者对知识的理解也重在这两个要素。知识可视化应当充分考虑自然世界和现实社会的真实状态，学习者的认知对象就是人、自然和社会，能否理解相关知识要看语义可视化程度和结构与关系的清晰程度。

认知还可通过对知识的进一步图解得到。知识结构和知识关系中包含思维结构和认知过程。知识内部结构和知识外在关系也是由认知过程得来。即语义层面上的知识图解与认知是合一的。知识可视化就是利用可视化元素表征知识的指代对象与关系。可通过对知识可视化目的和语义、图示、图式概念等的研究，形成知识语义图示思路。

图示方案从语义的两个基本方面入手，充分考虑知识可视化的主要知识类型，从可视化目的和语义图示内在需要确定表征维度。在此基础上还要考虑到语义图示的确定性和有效性以及个性需求，置入可视化等级和可视化风格。从要素上来说，它涉及知识、图示符号与使用者三个方面。

五、总结与展望

读图时代要求数字化学习资源要注重知识的可视特征，以驱动人们的视觉认知与图形图像理解，从而提高学习效果。按照修订后的布卢姆教育目标分类学中知识和认知过程两个维度，可视化呈现知识的电子课本支持学习的主要使命就在于：促进知识理解与掌握、促进知识建模与应用。以语义图示实现的知识呈现与图示工具，有望帮助学习者解决这两个问题，使学习者在读图时代能更好地完成知识建构和思维训练，领悟知识的实际意义与价值，达到真正需要的深层阅读。

知识可视化表征主要涉及语义处理方式、符号及其使用方式和知识结构与关系三个方面，以完成“用什么图符（符号），怎样利用图示结构，表征与建模什么知识和意义”的工作。知识建模本质上是知识关系认知、体系化和创造过程。对于学习者来讲，电子阅读中，它就是一个认识新知、理解其意、构建关系，或联想情境、列举实例，或连接实践应用的过程，此过程中可激发创造的认知。知识建模与知识表征在逻辑、结构的可视化方面有同一性，突出地表现在空间结构、过程变化和时间序列的表达上。知识可视化表征与建模的设计与实现过程，需要继承与创新。

在图示技术的设计与应用中，需要考虑知识论、传播学、认知心理学等多学科研究成果。尤其是，在视觉认知理解中的多（同类或异类）符号表征与语义生成的关系问题上，交互符号隐喻的意义生成机制很重要。它往往在于符号编目和符号通信之间的某种关联，这种关联在符号理解的扩散性或收敛性中产生，而生成的导向与刺激因素也体现为内部和外部两种。在具体的阅读（内容）情境下，“情境场”越强，内外部的牵引作用越一致，认知理解效果就越好。而对于全新的电子阅读，关键就在于：图示内容内部是否有足够紧密的联系，图示与语义理解之间的沟通是否有理想的扩散与收敛发生。

对于数学建模的认识和理解范文第3篇

1.数学建模教学中目标定位偏颇。应试教育的影响使得一些教师在教学课程的教学设计上特别重视基础知识和基本技能的培养和训练，学生在学习的过程中也多是简单的接受知识，或者是一些形式上的数学探究，对于数学思想方法的理解也仅仅是接受为主。在这种情况下，数学建模的思想的渗透就很容易被一些教师所忽略，没有将数学建模的纳入到正常的教学计划之中，进而导致学生接受数学建模的学习机会较少，数学建模的学习效率不高，数学建模没有得到应有的重视。

2.数学建模教学中形式大于了实质。一些数学老师在进行教学的过程中虽然注重了数字知识和日常生活的联系，但大多是为了联系而联系，没有达到数学教学应用的效果。在教学中还有一些老师非常的注重算法多样化的操作，简单的认为多样化的程度越高越好，缺少对于多样化算法进行优化的过程，这种情况使得在小学数学教学过程中很难形成算法的一般模型，不利于数学建模思想在教学中的渗透。

3.考核和评价过于单一。在小学数学学生考试的评价过程中，很难看到教师以培养学生建模意识和检测学生建模为目的的数学题目，那些有着一定建模思维的学生很难得到应有的鼓励和启发，这在一定程度上影响了学生开展数学建模的兴趣。小学生的特点是特别注重教师对于自己的评价，教师在教学中改变传统的评价方式，对在数学建模方面表现突出的学生进行鼓励，与时俱进的对建模思维进行考察，这对于促进学生建模思想的形成有着很好的帮助。小学数学建模思想渗透的不够主要在于教师在教学中教学观念和教学方法还比较落后，对于数学建模的重要性认识不足，没有从学生今后更高阶段的数学学习和学生综合素质的提升方面进行问题的考虑。

二、小学数学渗透建模思想的主要实施策略

1.从感知积累表象。建立数学模型的前提就是要充分的感知和模型有关的对象，从很多具有共同特点的同一类的事物中，抽象出这一类事物的具体特征和内在的关联，不断地对表象的经验积累是进行数学建模最为重要的基础。小学的数学代课老师在进行建模的过程中，首先要进行情景的创设，使得学生在学习中能够积累多种多样的感性材料，通过这些材料的归类和分析，了解这一类事物的具体特征和相互之间的关系，为开展准确的建模提供必要的准备。例如，在学习分数的初步认识的时候，教师就可以让学生观察平均分割的苹果、不同水杯的水、使用一半的铅笔等，让学生从不同的角度进行分析，而不仅仅是局限于长度方面的思考，同时还可以从面积、体积、重量等角度去分析部分和整体之间的关系。对表象充分的积累有助于学生形成比较丰富的感性认识，帮助学生完成分数这一数学模型的建构，提升学生对于数学知识的理解，促进学生自身综合素质的提升。

2.对事物的本质进行抽象，完成模型构建。小学数学建模思想的渗透，并不是说建模思想和数学的学习完全割裂，相反，建模思想和数学的本质属性之间联系十分的紧密，两者之间是相互依存的有机整体，有着十分密切的关系。所以在数学教学中，教师一方面要利用学生已经掌握的一些数学知识开展教学，同时还要帮助学生对数学模型的本质进行理解，将生活中的数学提升到学科数学的层面，以便更好地帮助学生完成数学模型的建构，促进从感性认识到理性认识的升华，这是小学数学老师所应当面对的重要数学教学任务。例如，在学习“平行和相交”这一部分内容的时候，如果教师仅仅让学生感知五线谱、火车道、高速路、双杠等一些素材，而没有透过这些现象提炼出一定的数学模型，那就丧失了数学学习的意义。教师在教学中可以让学生提出问题，为什么平行的直线不能相交？然后再让学生亲自动手学习，量一量平行线之间垂线段的距离。经过这些理解和分析，学生就会构建起一定的数学模型，将本质从众多的现象中提炼出来，使得平行线能够在学生思想中完成从物理模型到数学模型的构建的过程。

3.优化建模的过程。在数学的学习过程中，不管是数学规律的发现，还是数学概念的建立，最为核心的是要建立一定的数学思维方法，这是数学建模在小学数学中进行渗透的原因所在，学生通过进行一定的数学建模的方法的学习和应用，久而久之会形成有利于自身学习的数学思维方法，提升自身数学学习的效果。例如，在学习圆柱的体积的教学过程中，在进行体积公式构建时就要突出数学思想的建模过程，首先可以利用转化的思想，将之前的知识联系起来，将未知变成已知。另外就是利用极限的思想，圆柱体积的获得方法和将一个圆形转化为一个长方形的方法类似。在小学数学的教学过程中，重视教学方法的提炼和构建，能够有效促进数学模型的建构，进而提升学生在数学模型的构建过程中的理性高度。

对于数学建模的认识和理解范文第4篇

［论文摘要］通过对数学建模的实践性和操作性的学习和运用，将抽象的数学素质教育具体化、形象化，从而达到对开展数学素质教育的重要性的再认识，为数学素质教育提供新的认识视角，为推动数学素质教育作出努力。

素质教育是指依据人的发展和社会发展的实际需要，以全面提高全体学生的基本素质为根本目的，以尊重学生主体性和主动精神，注重开发人的智慧潜能，注重形成人的健全个性为根本特征的教育。

数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。

全国大学生数学建模竞赛组委会主任李大潜院士 2002年5月18日在数学建模骨干教师培训班上的讲话中说道： “数学教育本质上是一种素质教育，数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”

李大潜院士的讲话一语道破“天机”，一下子解决了长期以来困扰数学工作者和学习数学者面临的或者无法参悟的问题，有力地指出了数学建模与实施素质教育的关系。李大潜院士提出的关于数学建模与实施素质教育的关系势必为推动素质教育的发展提供了新的动力和方向。

笔者参加工作以来，一直从事数学教学工作。从学习数学到数学教学，特别是经过多年的数学教学工作，也曾遭遇过类似的“尴尬”，多年来始终没有对数学建模与实施素质教育二者之间的关系形成系统的认识。但在学习了李大潜院士的讲话精神后，方才恍然大悟，经过认真整理与分析，结合自己的学习、工作实际，终于对此二者之间的关系有了进一步的认识。实际上，我们的工作，特别是数学教学工作，就是对学生进行严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质，而这些素质是其他课程的学习和其他方面的实践所无法代替或难以达到的。这些素质初步归纳一下，有以下几个方面：

1.通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。

2.提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。

3.数学上推导要求的每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。

4.数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最低的条件（代价）以及最简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。

5.通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。

6.通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。

7.可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的聪明才智。

8.使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。

但是，通过数学训练使学生形成的这些素质，还只是一些固定的、僵化的、概念性的东西， 仍然无助于学生对学习数学重要性及数学的重大指导意义的进一步认识，无助于素质教育的进一步实施。

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”数学建模及数学实验课程的开设，数学建模竞赛活动的开展，通过发挥其独特的作用，无疑可以为实施素质教育作出重要的贡献。正如李大潜院士所说：“数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”

第一，从学习数学建模的目的来看，学习数学建模能够使学达到以下几个方面：

1.体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；

2.增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；

3.知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。

第二，从建立数学模型来看，对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

第三，从数学建模的模型方法来看，有如下几个方面：

1.应用性——学习有了目标；

2.假设——公理定义推理立足点；

3.建立模型——分层推理过程；

4.模型求解——matlab应用 公式；

5.模型检验——matlab,数学实验。

第四，从数学建模的过程来看，有如下几个方面：

1.模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

2.模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

3.模型建立 ：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。

4.模型求解 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

5.模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。

6.模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

7.模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

从以上数学建模的重要作用来看，数学建模对于实施素质教育有着重大的指导意义和主要的推动作用。反过来说，素质教育也对数学建模有着必然的依赖性。

第一，要充分体现素质教育的要求，数学的教学还不能和其他科学以及整个外部世界隔离开来，关起门来一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子。这样做，不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉地运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养。长期以来，数学课程往往自成体系，处于自我封闭状态，而对于学数学的学生开设的物理、力学等课程，虽然十分必要，但效果并不理想，与数学远未有机地结合起来，未能起到相互促进、相得益彰的作用，更谈不上真正做到学用结合。可以说，长期以来一直没有找到一个有效的方式，将数学学习与丰富多彩、生动活泼的现实生活联系起来，以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后，却不会应用或无法应用，有些甚至还会觉得毫无用处。直到近年来强调了数学建模的重要性，开设了数学建模乃至数学实验的课程，并举办了数学建模竞赛以后，这方面的情况才开始有了好转，为数学与外部世界的联系在教学过程中打开了一个通道，提供了一种有效的方式，对提高学生的数学素质起了显著的效果。这是数学教学改革的一个成功的尝试，也是对素质教育的一个重要的贡献。

第二，数学科学在本质上是革命的，是不断创新、发展的，是与时俱进的，可是传统的数学教学过程与这种创新、发展的实际进程却不免背道而驰。从一些基本的概念或定义出发，以简练的方式合乎逻辑地推演出所要求的结论，固然可以使学生在较短的时间内按部就班地学到尽可能多的内容，并体会到一种丝丝入扣、天衣无缝的美感；但是，过分强调这一点，就可能使学生误认为数学这样完美无缺、无懈可击是与生俱来、天经地义的，反而使思想处于一种僵化状态，在生动活泼的现实世界面前手足无措、一筹莫展。其实，现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，但由于蕴涵着创造性的思想，却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋于明朗，最终出现了现在为大家公认、甚至写进教科书里的系统的理论。要培养学生的创新精神，提高学生的数学修养及素质，固然要教授他们以知识，但更要紧的是使他们了解数学的创造过程。这不仅要有机地结合数学内容的讲授，介绍数学的思想方法和发展历史，而且要创造一种环境，使同学身临其境地介入数学的发现或创造过程；否则，培养创新精神，加强素质教育，仍不免是一句空话。在数学教学过程中，要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题。这些问题没有现成的答案，没有固定的方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具，甚至也没有成型的数学问题，主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋，去形成相应的数学问题，进而分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到有关的结论，并判断结论的对错与优劣。总之，让学生亲口尝一尝“梨子”的滋味，亲身去体验一下数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验。毫无疑问，数学模型及数学实验的教学以及数学建模竞赛的开展，在这方面应该是一个有益的尝试和实践。

第三，从应用数学的发展趋势来说，应用数学正迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段。现代应用数学的一个突出的标志是应用范围的空前扩展，从传统的力学、物理等领域扩展到生物、化学、经济、金融、信息、材料、环境、能源等各个学科和种种高科技乃至社会领域。传统应用数学领域的数学模型大都是清楚的，且已经是力学、物理等学科的重要内容，而很多新领域的规律仍不清楚，数学建模面临实质性的困难。因此，数学建模不仅凸现出其重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。学生接受数学建模的训练，和他们学习数学知识一样，对于今后用数学方法解决种种实际问题，是一个必要的训练和准备，这是他们成为社会需要的优秀人才必不可少的能力和素养。

第四，数学建模竞赛所提倡的团队精神，对于培养学生的合作意识，学会尊重他人，注意学习别人的长处，培养求同存异、取长补短、同舟共济、团结互助等集体主义的优秀品质都起到了不可忽略的作用。

总之，数学建模对于实施素质教育有着不可比拟的巨大推动作用，数学建模与素质教育二者之间存在的这种紧密联系，是靠我们这些从事数学工作者们挖掘的，但是必须更加清醒地认识到，这种联系是需要我们继续去挖掘和发现，需要我们持之以恒地去努力实践，紧密地依托数学建模，大力推进素质教育的实施，为培养新的人才作出持续、不懈的努力。

［参考文献］

对于数学建模的认识和理解范文第5篇

关键词：模型；化学模型；建构；化学教学

文章编号：1005C6629（2017）5C0024C05 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

1 问题的提出

“研究发现，化学学习的困难之一在于学生无法为巨观的实验现象与符号搭起联系的桥梁。学生时常只记忆特定表征形式所建构的化学理论、实验的结果以及特定的化学反应，殊不知割裂的、片段式的学习无法统整与理解化学符号与巨观现象的关联”[1]。化学教学中学生在掌握分子、原子、离子等概念时，从宏观深入到微观有一定困难，实验教学常常是宏观的再现，没有起到引发微观理解的作用，教学中若不致力基于化学模型的建构，就会既割断了宏观现象与微观结构之间的联系，也割断了认识发展与学生发现问题、解决问题、形成知识结构之间的联系。其结果是既带来学生化学基本观念的匮乏，也造成了化学教学科学素养教育价值的贫乏。解决这一矛盾的有效方式之一，就是“利用模型建构促进学生化学学习”，在化学教学中形成物质性质及其变化的规律知识与化学模型的相互融合，促进学生化学核心素养的提高。

化学学科中许多概念都会以模型作为传输的载体，模型能帮助学生理解并掌握从化学的视角认识、解释物质结构、性质及其变化的思想方法，获得“处理与化学相关的事物的能力”，“成为具有科学思想的反思性公民”。因为“科学教育的目标不是去获得一堆由具体事实和学科理论杂乱无章地堆砌起来的知识，而应该是实现一个向核心概念逐步逼近的发展过程，这样做有助于学生理解与他们生活相联系的事件和现象”[2]。

2 模型的含义及化学模型的特征

模型是指人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的描述。这种描述可以是定性的（如对原子结构的描述），也可以是定量的（如PV=nRT）。有的借助于具体的实物来描述（如分子结构的球棍模型），有的则通过抽象的形式（如符号、文字、公式等）来描述[3]。卡蒂尔等人总结了科学模型的五个特征：（1）模型可以表明和预测自然现象；（2）模型一向以实证的、概念化的标准来评价；（3）一种模型观念反映的是某一自然过程；（4）模型由经验的或理论的以及这些事物所参与的过程构成；（5）模型可以引导未来的学习、研究[4]。我国有学者把科学模型的表征归纳为直观性、相似性、诠释性三个特征[5]。

一种现象既包含偶然性要素，同时也包含一定规律性要素，化学家的主要目的正是从被研究的现象中区分出哪些是偶然性因素，哪些是确定性因素。根据某种化学现象观察得到的东西，会产生“导致发生这样现象的本质是什么”的疑问。如，我们察看Cu-Zn原电池小灯泡发亮有关现象，可能产生这样的追问：原电池能量转换的本质是什么？金属中的电子和溶液中的离子是如何移动的？这就意味着我们并没有把Cu-Zn原电池有关现象当作是完全随机发生的，而是把所观察到的东西作为一种现象来“理解”，而这种“理解”的过程实际上就是排除其中的偶然性突出其规律性。

化学模型是认识物质、改造物质和应用物质过程中所体现出的具有化学学科特征的具体或抽象的表征。作为一种认识方法和思维方式，化学模型具有三方面的含义：第一，在从客体到模型，以及由假说描述模型的过程中，经过发生、检验和修正模型等研究过程，获取关于物质组成、结构、性质以及变化中内在微观本质等信息，为形成化学理论奠定基础；第二，建构一个能反映物质性质和变化过程中宏观、微观、符号本质联系的化学模型，可被用来表明、理解、猜测物质的性质和变化；第三，通过化学模型的建构与应用，可以促进学生的科学思维以及心智模型的改进，有利于提高学生的化学核心素养。

基于以上对模型的探讨，笔者认为，化学教学中呈现的模型主要包括形象模型、符号模型、数学模型。形象模型就是用图像、图表、模型等直观工具使微粒结构及其运动规律具体化。如分子、原子结构，核外电子运动状态、晶体结构等，化工流程图等形象模型直观地表明了化工生产的过程；用代表性的符号、用语来表示原型的元素及其各部分相互关系的化学符号模型，反映了物质的组成和结构，如化学式，化学方程式，结构式，结构简式，实验式等；数学模型通过数学表达式把微粒运动的内在属性及各微粒之间的内在联系用数学的方式表示出来。如反应速率方程、化学平衡常数方程、溶度积方程、理想气体状态方程等。

3 化学模型的教学功能价值

3.1 形象模型的建构增强了学生对物质微观结构和物质多样性的认识

形象模型能够将化学物质的结构通过最简单的方式呈现（如图1），给学生感性上的认识，这有助于学生对此知识点的体会与识记，也对学生在今后更深入地探究物质性质及其变化的微观本质有着很重要的启发意义。

从图1模型视角可将物质结构的基础知识归纳为：一个理论（物质结构理论），两个层面（原子、分子），三个视角（微粒、作用力、空间布局）。

按照皮亚杰的认知发展理论，思维发展水平“凭借演绎推理等形式解决抽象问题”阶段的学生，物质结构模型的建构过程中主要凭借对事物的具体形象和表象的联想来进行，认知活动处于具体经验支持的逻辑思维水平，因而，建构的物质结构模型是不完整的。学生常常忽略一些其认为不重要的或]有意义的部分。比如，我们在教学中发现学生描述原子时会说明其构成、大小及核外电子的运动状态等，却很少主动提及原子的形状。在我们提示之后，大部分学生会说是球形，但他们不能具体描述是怎样的球形。好多学生觉得我们的问题是“奇怪的”或“没有意义的”。

物质结构的三个核心概念的主要内容则按原子结构、分子结构、晶体结构三个部分先后呈现（表1），每一个部分都是后一个部分的认知基础，最终呈现为从原子结构到分子结构再到晶体结构这一“从里到外”、“逐渐长大”的从微观回到宏观的认识过程。

我们可将“物质结构”中的基础知识、基本概念、核心概念之间的关系用认识模型表示（见图2），从模型中可以清楚地看出，物质结构知识可拆解成由三个部分构成的知识框架，这一知识框架包含着众多的基本概念，而从这些基本概念凝炼成的三个核心概念又正是物质结构模型的主要内容。因此，物质结构概念的教学既是建立知识框架的方法，也是建构物质结构模型的途径。

运用上述模型，引导学生的认识从原子内（核与电子、核与核、电子与电子）到原子间（分子内――化学键），再到分子间（范德华力、氢键）的递进，既逐步构建起“构成物质的微粒之间存在相互作用力”这一核心认识，也逐步建立起“物质由微粒构成，微粒又由更小的微粒构成”的基本观念，以及逐步建立起认识“微粒”间的相互作用和相对位置的认识模型。

元素周期表也是化学形象模型之一，它表明了化学元素及其相关知识一个完整的自然序列规律，以深入认识原子内部结构为基础，理解物质性质及其变化，形成“位、构、性”相互依从的基本认识，也建构了学习、研究物质性质及其变化规律的基本模型。

化工流程图是化学形象模型的另一种形式，能有效解决材料、能源、环境、资源利用等问题的学习与研究，实现了化学知识由静态向动态的转化，使“死知识”与“活应用”相映生辉，强化了对化学模型的动态性、结构性和发展性的认知，也强化了学生可持续发展、科学处理人与自然等态度。

3.2 化学符号模型引导学生建立了“宏观-微观-符号”三重表征整体思维方式。

“宏观-微观-符号”三重表征形式在学生心理上的内化越丰富，越有利于学生对纷繁复杂的物质世界形成整体有序的认识，越有利于对物质性质及其变化全面和透彻地认识和理解，越有利于引导学生找到化学变化中宏观与微观之间的联系与解释模型，并将零散的物质性质及其变化的事实形成相互关联的整体，形成以符号模型统摄的有意义的知识体系。

3.3 图表、等式等数学模型促进学生学习化学知识从经验层面发展到理论模型层面。

随着人类对微粒结构和相互作用方式研究的深入，创立了化学动力学、化学热力学等数学模型，形成了解释复杂化学问题的数学表达式，逐渐建立了化学现象与模型之间的数量联系，使得描述和解释化学现象、预测物质性质及其变化的可能结果变得更为精确。在化学学习过程中引导学生逐渐学会运用数学模型，促进学生学习化学知识从经验层面发展到理论模型层面，将逻辑的思维缜密化。

4 促进学生建构化学模型的教学策略

4.1 通过“对话”促进化学模型的建构

“教学对话就是通过老师的发问、鼓励与引导，学生自由思考、自由表达而获得知识技能、发展能力的教学方法”[6]，对话的重点是教师能有效地设定化学模型的问题认识与解决序列，不断探询学生对物质性质及其变化微观本质的理解程度，引导学生迅速地寻找问题解决的策略。递进式的“对话”重视的不是知识而是思考过程或思考体验，它既促进了学生建构具有逻辑内聚力的化学模型结构，也促进了学生对模型的认识向深处发展。

例如，“从铝土矿中提取铝”的教学，在真实的情境“对话”中，应用铝及其化合物之间的关联和本质特征建构模型（见图3），引导学生理解铝的制备和应用的价值和方法，呈现出利用化学模型提升学生解决问题能力的作用。

情境1：X在地壳中含量7.73%，19世纪中期，拿破仑三世使用铝制酒杯，而大臣们用的则是金杯和银杯；1889年伦敦化学会把铝制的花瓶和杯子作为贵重的礼物送给门捷列夫，表彰他发现了元素周期律为人类做出的巨大贡献。

问题2：电解氧化铝最需要解决的问题是什么？你还知道哪些提取金属铝的方法？为什么要从铝土矿中提取铝？如何从铝土矿中提取铝？

情境3：[实验]探究氧化铝的性质。实验试剂与用品：氧化铝、6.0mol/L NaOH、盐酸、试管、胶头滴管、药匙、废液缸等。实验要求：写出实验方案、实验现象和实验结论。

问题3：如何找到一种能够使氧化铝熔融温度降低的材料？

情境4：铝的再生：“新世纪材料的亮点”再生铝又称二次铝，是目前废物界最有价值的材料。现在世界上每年从废铝回收的铝量约为400万吨，相当于每年铝产量的25%左右，与以铝土矿为起点相比，生产1吨再生铝合金能量消耗仅为新铝的2.6%，并节约10.5吨水，少用消耗固体材料11吨，比电解法制铝时少排放CO2 91%，减少1.9吨废液和废渣。

问题4：未来可以从哪些方面减小铝生产过程中的能耗和成本？调查收集金属铝在日常生活、生产、科研方面的应用，并说明这些应用体现了铝的什么性质？并将调查报告和同学交流。

基于真实情境中的对话，引发了理论假设与实证检验不断交互，引导学生将“图3铝土矿中提取铝”模型结构各种关系的理解逐级向深处发展，准确把握铝及其化合物转化中微观粒子运动的逻辑脉络，化繁为简，强化了对“认识事物要善于追根求源”观点的理解，引导学生从对具体知识的理解上升到对化学基本问题的理解。

4.2 创设情境促进化学模型的建构

科学模型是科学性和假定性的辩证统一。它不仅要接受实践的检验，而且要在实践中不断扩充、改进和修正。因此，在对化学模型的认识、建构和应用过程中：教师既要将注意力放在仔细观察学生获得观念的发展上；也要关注学生的已有知识经验，考察已有的心智模型类型及特点，同时还要关注其化学模型的发展历程。

化学平衡是中学所涉及的四大平衡理论知识的核心，其思想贯穿于整个高中化学知识体系。它不仅是基础知识，也是一种方法和观察物质变化的一种视角，这种方法与视角既影响着学生的化学和其他学科学习，也影响着学生的生活。

影响学生建构化学平衡模型“ν正=ν逆≠0”因素有许多。一是学生需在这“宏观-微观-符号”表征方式之间进行有效的转换，任何一种表征方式的缺失，都将不会产生学习的意义。如在饱和硫酸铜溶液中加入硫酸铜晶体，学生看到的只是晶体不溶解的宏观现象，不能理解现象的微观本质。二是“平衡”的思想在其他学科中也有所显示，形成负迁移。如，物理中的受力平衡以及数学中等式双边的平衡，突出了“相等”的思想，学生会将这种想法迁移在化学平衡的学习中，认为向平衡体系中添加物质，会使反应的化学方程式两边不平衡，因而平衡发生移动。三是日常生活经验以及语言的影响，产生认识误差。

仅仅通过讲授，一些学生难以体会或领悟平衡的动态性质。要想以科学概念替代学生认知结构中的错误概念，必须创造情境，使学生对自己已有的观念产生怀疑，进而反思、澄清其错误概念，形成正确的认识。

4.3 从思维的起点出发逐步构建化学模型

化学模型的大部分内容都是思维的产物，这就要求我们在化学模型的建构中要从最简单的问题开始，即从思维的起点开始，经历学习具体知识、掌握化学思想和方法、探寻答案等过程，循序渐进构建化学模型。

在构建水溶液中微粒浓度相对大小的比较，化学（离子）方程式认识模型时，学生总是先将单一的具体实物“映射”到头脑中，比较难形成电子守恒、电荷守恒、物料守恒等模型，学生看到这些知识时没有在头脑中对它形成一个具体的“形状”或“结构”，他们找不到这样一个可以想象的实体来表征化学反应微粒之间的本质联系，那么要求他们形成相应的守恒模型是很难的。

在简单问题提出和解决的基础上，再通过有层次、阶梯性的问题呈现，启发学生主动参与、互相合作、积极探索，深入理解物质变化运动的守恒模型，并运用守恒模型知识有效解决实际问题。

如，比较溶液中离子浓度大小，首先，分析强电解质的电离，弱电解质的电离平衡（包括水的电离平衡）、盐类的水解平衡等；其次，确定溶液中的微粒种类、微粒数目及微粒间的相互作用；再次，分析溶液中各种微粒的等量关系和不等量关系；最后，运用电荷守恒、电子守恒、物料守恒等模型阐明溶液中各离子浓度大小。从简单问题出发，循序渐进地建构“比较溶液中离子浓度大小”认识模型，通过以上4个教学环节来完成教学过程，在各个教学过程中让学生自主探究、互动交流，有利于促进学生获得相应的守恒模型。

参考文献：

[1]邱美虹，钟建坪.模型观点在化学教科书中的角色与对化学教学之启示[J].化学教学，2014，（1）：3～6.

[2][英]亍す伦著.韦钰译.科学教育的原则和大概念[M].北京：科学普及出版社，2011：2～18，3～7.

[3]雷范军.新课程教学中强化训练化学模型方法初探[J].化学教育，2006，27（4）：17.

[4]文祥，曹志平，易显飞.科学模型的演进及其认识论特征[J].湖南工业大学学报（社会科学版），2011，（4）：29～33.