平面图形的周长和面积
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇平面图形的周长和面积范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
平面图形的周长和面积范文第1篇
关键词：教学过程 思想方法 数学“味”
李大潜老师曾经说过：“如果仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了数学课程最本质的特点和要求，失去了开设数学课程的意义。”我非常赞成这种观点，数学是思维的体操，数学思想是数学的精髓，缺乏思维含量，激不起思考的热情，感悟不到数学的思想与方法，体会不了思考的乐趣，要使数学课堂有数学“味”，就要教给学生思想方法。
一、通过相近性类比凸显数学“味”
数学发现通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题结论的猜想，然后再设法证明、否定或修正猜想，进而达到解决问题的目的。
所谓相近性类比，就是由两个对象的某些相近（似）的特征，推断它们在某些性质上也可能相近（似）的一种推理形式。这种相近性类比就是一种解决问题的想法，运用相近性类比解决问题，其基本思维过程可用框图表示如下：
■
在学习圆周长之前学习了三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形的周长，这些直线型平面图形的周长可以通过周长的定义直接求得，无需去推导与记忆周长公式，但曲线型平面图形圆的周长计算公式的推导是非常有教育价值的。学生要弄懂什么是圆的周长不难，经过用细铁丝围成一个圆的操作活动，理解圆的周长并想到用绳测法测量圆周长，受绳测法的影响也可能会出现用滚动法测量圆周长，这种化曲为直的思想得以自然生成。问题是如何推导出圆的周长计算公式呢？根据以前积累的数学活动经验，思考能否把圆的周长问题化归为已经学习过的三角形、平行四边形、长方形或正方形、梯形的周长问题来解决。而这几种图形中，只有正方形与圆有着图形特征上的相近性，正方形“方方正正”，圆却是“圆圆滚滚”“一中同长”，而正方形的周长等于边长的4倍，又因为圆的周长与直径的大小有关（直径越大，圆也越大），所以作出类比猜想：圆的周长等于直径的4倍。这种类比猜想的结果具有或然性，其是否正确需要进一步验证。根据“倍”的意义不难想到用测量得到的圆周长除以圆的直径进行验证――解决为何想到周长除直径，使学生知其所以然。虽然学生手中圆的大小是不同的，但每一个人计算的结果大约都是3倍左右，教师把同学们的数据整理成下面的表格，就能归纳概括出圆的周长计算公式。
■
已知圆的直径能够求出圆周长，给出圆的半径求圆周长就变得很简单了。这种教学设计，不但让学生经历了化曲为直、类比猜想、抽象概括的数学思想风暴，还让学生知道用周长除直径是怎么想到的，这种让学生知其所以然的教学使数学学习变得更有意义，不但激发了学习兴趣而且打通了知识间的联系，发展了学生思维。
二、通过不断化归凸显数学“味”
化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。化归思想方法是指在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化为已知的问题，进而达到解决问题的一种方法。
一般来说，化归的方法有：化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观等。其基本思维过程可用框图表示如下：
■
在学习圆的面积计算公式之前，学习的都是直线型平面图形的面积，圆属于曲线型平面图形，虽然在学习圆的周长时有化曲为直的初步经验，但如何把圆转化成直线型图形却是一个难点。在解决这个问题时，一般来说会有两种思路：一种是把圆割成直线型图形，比如三角形或四边形，但这些图形的面积都比圆的面积小，至此好像无路可走，容易半途而废，实际上沿着这条思路发展下去，学生就会发现割成边数更多的平面图形时，其面积虽然还是比圆的面积小，但更加接近圆的面积，周长也更加接近圆的周长，再引导学生思考和想象，边数为10、100、1000或边数更多的时候，会发现这个平面图形的面积就越来越接近圆的面积了。如何计算这个边数很多的平面图形即多边形的面积呢？把每条边的两个端点与圆心连接，多边形的面积就等于这些等腰三角形面积的和，当边数很多很多的时候，等腰三角形的底就很短，底边上的高就接近圆的半径R，多边形的周长就接近圆的周长2πR，所以圆的面积等于■・2πR・R=πR2。另一种就是把圆分割后拼成平面图形，把圆任意分割拼出的图形是无规则的，把圆有规则地分割比如等分后拼出的图形却不同，分成二等份难以拼出学过的直线型平面图形，分成四等份可以拼出一个类似于平行四边形的图形，分成8、16、32等份后拼出的图形就越来越像平行四边形了，当等分的份数很多的时候，借助电脑媒体演示或通过想象，学生会发现接近于平行四边形或长方形，平行四边形的底或长方形的长就是圆周长的一半，平行四边形的高或长方形的宽就是圆的半径R，从而圆的面积就等于这个拼成的平面图形的面积：πR・R=πR2。
上述两种处理方法，不但行得通，而且使数学学习因不断深入地思考而变得更有“味”，而且在获取知识的过程中自然地学习了化归的思想和无限逼近即极限的思想，虽然没有给出数学思想的名字，但并不影响学生对它的感悟和内化，数学学习经验和思想方法的获得是靠一点一滴积累起来的，分析问题和解决问题的能力需要逐步形成，这种润物细无声的渗透更能深入人心。
三、通过数学结构凸显数学“味”
20世纪法国布尔巴基学派领袖丢尔涅奠定了现代数学的结构思想。在教育和学习活动中，关注结构、研究结构和运用结构，有利于炼就一双见微知世界的“火眼金睛”，有利于优化思维品质，学会像科学家、发明家、艺术家一样去观察、思维、表达和行动，是发现科学规律及发明与创新的捷径。一般来说，从数学结构进行思维的过程可用框图表示如下：
■
教学是一门艺术，只要我们不断地学习与思索，站在教育者的角度思考可不可以这么做，同时站在受教育者的角度多问几个为什么要这么做，并在教学实践中不断探索和积累，就能把握数学本质，把我们的课上出数学“味”。
参考文献
平面图形的周长和面积范文第2篇
【关键词】创设情境 测量 教学效果
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0146-01
“测量”一直是小学几何课程的重要内容，它不仅仅在现实生活中有着广泛的应用，并且能够帮助学生更好地把握图形的特征，同时，测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识（包括数与运算、图形、统计等）的机会。因此，测量的教学长期得到广大教师的重视。特别是随着新课程的实施，教师们对这部分教学又有了新的理解，开始重视建立测量单位的必要性，注重单位的实际意义，重视估测及其在现实生活中的作用，同时鼓励学生在测量过程中，根据实际问题选择合适的测量方法和工具。而对创设具体情境，可以加强学生对所没量的量的实际意义进行深刻理解。
教学中应重视结合具体的情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义加以体会。为了说明这一点，不妨来看一个实际的课堂教学片段：学生对面积的“困惑”。
学生已经学习了面积的意义和长、正方形面积的计算方法，本节课是探索平行四边形的面积。教学伊始，教师提供了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后教师提供给学生一系列的平行四边形，它们相邻的两条边的长度还是10和6，只是两条邻边的夹角越来越小，也就是平行四边形越来越“歪”了。
教师鼓励学生得到这些平行四边形的面积，开始时学生绝大部分认为面积还是60。接着，教师鼓励学生仔细观察这些平行四边表，有的学生开始觉得这些平行四边形的面积不相等。但是还是有很多的孩子认为面积就应该是60。并且提出自己的理由，如有一个孩子提道：这些平行四边形都可以看成长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。
针对这个想法，老师试图通过课件演示，使学生“强烈”感受到：在拉动过程中，平行四边形的“大小”变化很大了。如图，教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发出它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的。”有意思的是，这些学生中绝大部分在教师开始复习什么是面积时，他们都能正确地描述了面积是“物体的表面或者封闭图形的大小”。
有的老师可能会说，这是不是一个“偶然”现象呢？前些年，教育部成立了“建立国家中小学生学业质量分析与指导系统”项目组。其中小学数学组开始了小学生数学学业质量评价体系的研究和构建，并且在此基础上对三年级学生的数学学业质量进行了大样本的测试。下题是这次测试中的一道题目：
小明用同样长的两根铁丝围成了A、B两个图形，比较它们的面积，那么（ ）。
A.甲比乙大 B.乙比甲大
C.一样大 D.无法比较
题目中两个图形的面积差异是明显的，但在所做的全国常模抽样测试中随机抽取了1700份样本，有38%的学生选择了“一样大”的选项，
学生将面积与周长混淆了。
以上片段和题目反映了学生对于周长、面积理解的困难，尽管他们能用自己的语言描述出什么是周长和面积，但遇到具体情况，往往更加“依赖”于计算公式，自然地把10和6相乘，或者受到“同样长”等的干扰。因此，教学中，教师应设计丰富多彩的活动，使学生对周长、面积、体积等所测量的量有比较丰富的体验，而不是很快进入到公式的学习。比如，教师在教学周长、面积的时候，设计了描一描图形的边线、摸摸图形的面的活动，这些都是非常好的尝试。
平面图形的周长和面积范文第3篇
（一）语言表述欠准确。
1.仅注意概念中较明显的特征。例如，“正方形是四边相等的四边形”，“长方形是对边相等的四边形”，而把“四个角都是直角”这个特征遗漏了。因为在几何图形中，边的长短比较直观，而角的大小则比较隐蔽。
2.把图形的某些表面形象作为概念的本质特征。例如“长和宽不一样的是长方形”，“长方形是两条宽和两条长”，“有高、长、斜边的是平行四边形”，等。
3.受直观材料的影响。例如，“一张纸摸上去光溜溜的是面积”，等。
4.不能准确使用数学术语。例如，在回答什么是“平行线”时，不会用“相交”这个术语表达，而说成“两条线永远不会碰头”，把射线说成“把一条线永远射下去”，等等。
（二）概念不清。
1.如在解答“一种烟囱，长1米，横截面为直径0.1米的圆，做一节这样的烟囱需铁皮多少平方米”时，有些学生列式为：3.14×0.1×1+(3.14×0.05[2])×2，把圆柱的侧面积算成了圆柱的表面积。
2.“要在直径为8分米的半圆形缸盖边围一条薄铁皮，求这条薄铁皮要多长？”许多学生列式为：3.14×8÷2，把半圆的周长和圆周长的一半混淆了。
3.有的学生在解答“一辆小汽车的轮胎直径长0.6米，每分钟滚动100圈，这辆车每小时前进多少米”这道题时，列式为：3.14×(0.6÷2)[2]×100×60，错把周长算成了面积。
（三）解题思路不灵活。
许多学生在解答几何题时，思路单一，缺少变通能力，不能灵活、快捷地解答问题。例如，笔者曾做过一次小测验，让全班学生解答以下两题：
1.如图(1)，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
2.如图(2)，阴影部分甲的面积比乙的面积多多少平方厘米？
附图{图}
结果，做第1题时，大部分学生列式为：3.14×2[2]×1/4＋2×2－3.14×2[2]×1/4，只有12%的学生采用平移的方法使图(1)变成图(3)，列式为"2×2"。第2题中，甲和乙两块阴影均为不规则图形，有94%的学生不能借用“丙”块空白部分，使甲和乙扩展为规则图形后进行计算。
二、防治措施
（一）教学中教师应注意语言表述的准确性和规范性。
教师在教学中一定要注意语言的准确、完整和规范性。比如，在表述“平行线”概念时，必须强调“在同一平面内”和“不相交”这两个条件；在教学梯形定义时，必须强调“只有”这一特征；垂线和平行线都是指两条直线的相互位置关系，不能孤立地说某一条线是垂线或平行线。
其次，要多给学生语言表述的机会，培养学生语言表达的准确性。如教学“三角形认识”这一内容时，在学生对三角形的表象有充分的感知后，我提问：“什么叫三角形？”引导学生一步步摒除非本质特征，逐步总结出三角形的概念。如针对学生的回答：“由三条直线组成的图形叫三角形。”我用投影打出图(1)，问“这是三角形吗？”针对学生“由三个角组成的图形叫三角形”的回答，我打出图(2)问学生：“这是三角形吗？”同样，对“由三条线段和三个角组成的图形叫三角形”，“由三条线段组成的图形叫三角形”这些回答，我又打出图(3)、图(4)，让学生观察、辨析、回答。这样，在教师的指导下，逐步抽象出三角形的定义，使学生较准确地理解了三角形的内涵和外延，在不断比较、辨析中掌握概念的本质特征。
附图{图}
（二）联系实际，加强操作，帮助学生建立清晰的几何形体表象。
心理学研究表明，表象是由具体感知向抽象思维过渡的桥梁。对几何形体的形象感知越丰富，就越易形成正确的概念。因此，在教学时，要充分发挥教具、学具等实物的作用，引导学生摸一摸、看一看、摆一摆，进行实际操作，充分感知几何形体的表象，培养学生的空间观念。比如，在教学“圆柱体的表面积”时，课前，我让每个学生用硬纸制作一个圆柱形模型。上课时，我让学生仔细观察实物，摸一摸学具表面，弄清圆柱的表面包括哪些部分，再把圆柱体的侧面剪开看一看，圆柱的侧面展开后变成了什么图形。在学生明白了圆柱的侧表面、表面积概念后，再让学生结合学具回答以下问题：“求做一个带盖的油桶、一只水桶、一节烟囱各需多少铁皮，求的是圆柱体哪些面的面积，它们之间有何不同？该怎样列式计算？”这样，由具体到抽象，再由抽象到具体，逐步培养学生的空间观念，建立起圆柱表面积、侧面积的概念。
（三）化抽象为直观，加强对比，突出有关概念之间的区别与联系。
随着几何知识由点到线、由线到面、由面到体的不断发展，学生的空间观念也随之要实现一次次飞跃。教学中，要遵循儿童的认知规律，尽量把抽象的数学概念转变为学生看得见、摸得着的具体实物，引导学生用已有的经验去理解数学知识，降低教学难度。
例如，在教学“正方形是一种特殊的长方形”这一概念时，可用活动教具进行演示比较，先让学生比较长方形和正方形的相同点和不同点，然后逐渐缩短长方形的长，当长方形的长缩短到与宽相等时，长方形即转变成了正方形。这样，通过动态演示，使学生清楚地理解了“正方形是一种特殊的长方形”这一概念。
另外，还可设计一些对比性练习，帮助学生辨明易混淆概念。如学习了周长和面积两个概念之后，我设计了以下习题让学生练习：
1.填空。一个长方形的镜子，长5分米，宽3分米，这个镜子的面积是（）。要在这个玻璃四周做一个镜框，至少需要（）分米的木条。
2.判断。边长为4分米的正方形，周长和面积相等。
3.选择。如图，阴影部分的周长（）空白部分的周长，阴影部分的面积（）空白部分的面积。
附图{图}
A.大于B.小于C.等于
4.操作。摆出如下两组图形，并分别算出它们的周长和面积。想一想它们每组之间有何联系。
附图{图}
第一组：周长相等，面积不等；第二组：面积相等，周长不等。
（四）着眼素质教育，有机渗透一些常见的数学思想方法。
当前科学技术迅猛发展，电子计算机应用日益广泛，许多工农业生产问题和科学研究课题都要以数学模型的形式输入到计算机中予以解决。因此，在教学中根据教学内容，有机渗透一些数学的基本思想方法，对提高小学生数学素质是一个很重要的方面。
教中渗透。如在推导三角形面积计算公式时，原通用教材是将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，再利用平行四边形面积的计算公式推导出三角形面积的计算公式，但教材中并没有说明这两个三角形是怎样拼成一个平行四边形的。教学时，我用硬纸剪成两个完全一样的三角形（其中一张涂色），先重叠〔如图(1)〕，再平移〔如图(2)〕，进而旋转〔如图(3)〕，使之变成一个平行四边形〔如图(4)〕。这样，既体现了拼的过程，又渗透了平移、旋转等数学方法。
平面图形的周长和面积范文第4篇
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、圆的认识
(共5题；共16分)
1.
（2分）下列说法正确的是（
）。
A
.
优质小麦的发芽率达到了106%
B
.
所有的半径都相等
C
.
两个分数相除，商一定大于被除数
D
.
圆周率与圆的大小无关
2.
（2分）圆的周长是直径（
）
A
.
3.14倍
B
.
π倍
C
.
3.1416倍
3.
（2分）在下面物体中，表面是圆形的物体是（
）
A
.
硬币
B
.
数学课本
C
.
方木条
4.
（8分）半径是2厘米的圆，周长和面积相等。
5.
（2分）下图（
）中的两个圆组成的图形有无数条对称轴。
A
.
B
.
C
.
D
.
二、圆周长、面积公式推导
(共4题；共6分)
6.
（3分）看图填空。
（1）大圆的半径是_______ cm，直径是_______ cm；小圆的半径是_______ cm，直径是_______ cm；
（2）整个图形的周长是_______；面积是_______。
7.
（1分）在一个直径为8厘米的圆中画一个最大的正方形，这个正方形的面积是_______平方厘米。
8.
（1分）在一个圆内画一个最大的正方形，圆的面积是正方形的_______倍．
9.
（1分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为8厘米。π=3.14。
（1）圆O的面积是_______平方厘米。
（2）正方形AEHO的面积是_______平方厘米。
（3）三角形区域①HGO的面积是_______平方厘米。
（4）根据对称性可知，半圆区域⑤的面积是_______平方厘米。
（5）根据对称性可知，扇形区域④的面积是_______平方厘米。
（6）区域②的面积是_______平方厘米。
（7）区域③的面积是_______平方厘米。
（8）圆O与正方形ABCD的面积比是_______。
三、圆有关的操作题
(共4题；共26分)
10.
（1分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为_______．
11.
（10分）如图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图形．
（I）把图①按2：1的比放大．
（II）把图①绕B点逆时针旋转90度．
（III）在A点南偏东45°方向画一个直径4厘米的圆．
12.
（10分）根据对称轴画出给定图形的轴对称图形．
13.
（5分）以O为圆心，画出周长是6.28厘米的圆：（标明圆心、半径）．
四、圆有关的计算题
(共12题；共36分)
14.
（1分）20千克黄豆可以磨80千克豆腐，黄豆与豆腐的比是_______，比值是_______。
15.
（1分）一个圆的直径是10厘米，半径是_______厘米，周长是_______厘米，面积是_______平方厘米。
16.
（1分）一个等腰梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，一条腰是5厘米，围成这个等腰梯形需要_______ 厘米长的铁丝．
17.
（1分）下图中，大正方形的面积是16平方厘米，阴影部分的面积是整个大正方形面积的
_______，空白部分的面积是_______平方厘米。
18.
（1分）一个半圆的周长是128.5厘米，它的面积是_______平方厘米。
19.
（6分）在一个长8分米、宽4分米的长方形纸片上，剪下一个最大的半圆，剩余纸片的面积是多少？
20.
（2分）一个圆形花圃，半径4.2米，周长是（
）
A
.
8.4米
B
.
26.376米
C
.
31米
D
.
48.67米
21.
（2分）一个半圆，半径是r，它的周长是（
）
A
.
π÷4
B
.
πr
C
.
πr
+
2r
D
.
2πr
+
2r
22.
（2分）如图，圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是（
）厘米。
A
.
3.14
B
.
6.28
C
.
11.28
D
.
14.28
23.
（2分）有大、小两个圆，大圆半径是5厘米，小圆半径是4厘米，小圆面积是大圆面积的（
）。
A
.
B
.
C
.
24.
（15分）求下图阴影部分的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
25.
（2分）从一张半径为3dm的圆形纸上减去一个圆心角为60°的扇形，剩余部分的面积是（
）dm2。
A
.
B
.
9π
C
.
D
.
π
五、圆有关的应用
(共6题；共33分)
26.
（1分）环宽的面积一定_______外圆的面积。
27.
（5分）如图，用两个完全相同的正方形拼成一个长方形，图1是在长方形内所作的最大半圆，图2是长方形外的最小半圆。
我们知道：
①图1中，长方形的面积与半圆的面积比为
。
②图2中，半圆的面积与长方形的面积比为
。
请从上面两个结论中选择一个，写出你的证明过程。
28.
（10分）先算出下面各题中圆的面积，再把它们按从大到小的顺序排列起来。
①一个半径是3厘米的圆。
②一个直径是0.5分米的圆。
③一个周长是25.12厘米的圆。
29.
（10分）求阴影部分面积（单位：厘米）
30.
（2分）在200米赛跑中，由于有弯道（如图所示），为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。每条跑道宽1.25米，外道选手的起点应比内道选手前移（
）。
A
.
1.25米
B
.
1.25π米
C
.
2.5π米
D
.
2.5米
31.
（5分）下边的挂坠设计图是在边长分别为12厘米和6厘米的两个正方形中画半圆形成的，请问至少需要用一根多长的铁丝才能做出这个挂件？
六、精选好题
(共2题；共6分)
32.
（1分）如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米．BC=_______．
33.
（5分）下图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量。计算图中阴影部分的总面积。
参考答案
一、圆的认识
(共5题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
二、圆周长、面积公式推导
(共4题；共6分)
6-1、
6-2、
7-1、
8-1、
9-1、
9-2、
9-3、
9-4、
9-5、
9-6、
9-7、
9-8、
三、圆有关的操作题
(共4题；共26分)
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
四、圆有关的计算题
(共12题；共36分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
23-1、
24-1、
24-2、
24-3、
24-4、
25-1、
五、圆有关的应用
(共6题；共33分)
26-1、
27-1、
28-1、
29-1、
30-1、
31-1、
六、精选好题
(共2题；共6分)
平面图形的周长和面积范文第5篇
[关键词]周长和面积 碰撞 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-014
周长和面积是平面几何中的两个基本概念，如果线指的是图形的周长，面指的是图形的面积，那线与面之间不但有和谐的音符，也有无数多的激情碰撞，而线和面的碰撞则是学生几何作业错误中永恒的主题。
一、碰撞追溯
在三年级长方形和正方形的面积的知识点出现后，线和面发生第一次碰撞：一是面积单位和周长单位之间的碰撞，究其原因，是学生思维的惰性和思维的单线性造成的，随着年龄的增长，这种错误将慢慢消失；二是正方形的面积计算公式和周长计算公式之间的碰撞，学生会经常用正方形的计算周长公式来计算正方形的面积，究其原因，就是正方形的周长公式比面积公式更简单，信息量少，更容易在记忆里保持和提取。在四年级平行四边形、三角形、梯形这些规则图形的面积的知识点出现后，周长和面积的计算公式、单位又发生了更激烈的碰撞。
二、碰撞延续
在六年级上学期，学生学习了圆的周长和圆的面积后，在计算阴影部分的面积和周长时，线和面的碰撞又让错误率居高不下。于是我把学生在练习中的错误进行了整理。
学生练习（求阴影部分周长）错误示例整理表
以上是求阴影部分周长的学生错误摘录（全班45名学生）。在统计以上这些错误时发现，求阴影部分的面积除了计算上的错误，没出现方法上的错误，而计算阴影部分的周长，错误一直在延续，而且错误率居高不下。曾经认为是“误”不是“错”，这时才认清学生是“错”不是“误”。
三、碰撞分析
既然是“错”不是“误”，于是我决定仔细地询问学生，研究学生的错因。通过询问、调查和归类，发现学生的“错”有下列三种“因”。
1.思维的定式
思维定式是人们按照一种固定的思路和习惯性方法来考虑、分析和解决问题的一种心理现象。思维定式既有积极的一面，也有消极的一面。积极的一面是它可以帮助学生消化所学的知识和积累的经验，从而正确有效地解决同一类问题。消极的一面是学生往往受其影响，过分依赖过去的经验，只注意知识的记忆，而忽视对问题中各种量之间相互关系的分析和研究，在解决问题时，思路单一，极大地妨碍了发散思维的发展。
在求解图4的周长时，有学生列出了算式：
师：请说说什么是周长？
生：封闭图形一周的长度。
师：请摸出这个阴影部分的周长。
（学生正确地摸出这个阴影部分的周长）
师：这里周长应该怎么求？
生：3.14×8×+3.14×4×+3.14×4×+16。
师：为什么这么求，你不是摸过了吗？
生：我是用“两个小的半圆的周长+一个大的半圆的周长=阴影部分的周长”来求的。
因为重视这次的“错”，我听懂了这个学生的解释。在求图1的周长时，曾经列出算式“50×4+3.14×50”，因此我一直认为学生是因为看错题目才解答错误的，以教师的思维代替学生的思维，才会造成一错再错。
我们曾经强调过如图5的图形的周长：一个半圆的周长=圆周长的一半+一条直径。
于是，学生就把阴影部分的周长看成是三个半圆的周长，而每个半圆的周长都是用圆周长的一半加上一条直径，那么三个半圆的周长就是。这种先入为主的思维，使学生在分析问题时只相信自己的感觉和经验，把量与量之间的关系看成是一成不变的，致使解题时思维僵化。
2.思维的单线性
思维的单线性是指直线的、单向的、单维的和缺乏变化的思维方式。
在求解图4的周长时，有6个学生说大脑一片空白，经过谈话发现，学生出现这种情况有两种可能：
（1）场依存性
当代美国心理学家赫尔曼.威金特（HermanWitkin）曾对空军飞行员靠什么线索来确定自己是否坐直的问题设计了一个实验，结果得出：有些人知觉时较多地受他所看到的环境信息的影响；有些人则较多地受来自身体内部的线索的影响。他把受环境因素影响大者称之为场依存性，把不受或很少受环境因素影响者称之为场独立性。图6左边是个简单的几何图形，要被试者从右边这个复杂图形中辨认出左边这一简单图形。有些人几乎立即就能指出这个图形，不会被周围的线条分散精力，而有些人则需要花费较长的时间才能分辨出来。这说明，人们在知觉过程中确实具有场依存性和场独立性的差异。
（2）数学语言互相转化的能力弱
数学语言是一种有别于自然语言的学科专业化语言，是人类数学思维长期发展过程中形成的特殊表达形式。它是以文字（包括数字与字母）、符号及图形为词汇，数学法则、定理、公式为语法法则的一种语言，一般有三种形式：表述（文字）语言、符号语言、图形语言。所以学习数学语言必须具备一种语言形式转化到另一种语言形式的能力：文字语言符号化和图示化，图形语言文字化。
求阴影部分的周长和面积是用图形语言来表述问题，形象、直观、一目了然，但一部分学生不善于将图形语言描述的问题用符号和文字表达出来，不能从复杂的图形中抽象出阴影部分的周长，既然找不到阴影部分的周长，完成题目也就无从下手，只能是空白。
3.思维的相似性
求阴影部分的面积和周长计算方法之间的碰撞，其实就是思维的相似性碰撞。数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映，表现为几何相似、关系相似、结构相似与实质相似，还有静态相似与动态相似等。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。
下面是对解答图2发生错误（1）的学生的访谈。
师：阴影部分的周长在哪，能摸一摸吗？
（学生演示正确）
师：阴影部分的周长由几段组成，其中一段怎么求？
生：3.14×6×。
师：那么这样的4段怎样求？
生：噢，我明白了。
师：能说说你为什么会犯这样的错误吗？
生：我用求阴影部分面积的方法来求周长了。
（1）概念模糊
我在询问这部分学生错因的时候，他们的目光总是躲躲闪闪，回答问题也是犹犹豫豫，因为他们需要同学的提醒。原因是教师教学时的某些习惯做法，比如，有意无意地突出封闭图形的面（经常贴出彩色纸剪的图形），忽略封闭图形的边（很少有教师勾勒彩色图形的边），也会对学生头脑中的图形概念产生影响。以图7这个典型的题目为例。
学生在摸这个阴影部分的周长时非常紧张，无从下手，需要老师和同学们的提醒，至于怎么求解更是摸不着头脑。
（2）概念“同化”
在做题时，学生总是会用一个概念去“同化”另一个概念，而不是自觉地去“分化”。这类学生的解题都有一个共同的特点，都是先计算阴影部分的面积，再计算阴影部分的周长，在计算阴影部分的周长时习惯性用求面积的方法。阴影部分的面积和周长放在一起求时，相似因素造成的强刺激，也给相关概念的“分化”带来困难。
这类学生只要再让他读两遍题目，他就知道错在哪里了。
四、碰撞感悟
对学生的错因进行了访谈、分析、归类，得出这些错不是“误”造成的，而是“错”造成的。“误”是指失误而造成的错，而“错”是指学习者构造了自己特有的概念与程式造成的错。是因为“错”造成的，所以一直错绝非偶然，而是必然。针对此现象，我和其他老师一起制定了以下教学策略。
1.回到教学起点，掌握知识本质
这些经常发生周长和面积“碰撞”的学生都有着共同的特点：周长和面积的意义不能区分清楚，至少是没能转化为图式表征来加以区分周长和面积的意义。
（1）激活辨析
首先，激活原有概念的内涵，让错误的学生通过回忆说出周长和面积的概念：周长是封闭图形一周的长度，拉开是一条线段；面积是物体的表面和平面图形的大小，是一个面。其次，感受概念的外延，让学生在纸上画出一个正方形，并用红笔描出这个正方形的周长，把这个用红笔涂的线拉开也就是一条线段，同样也画在纸上，并标出四段；用黑笔涂出这个正方形的面积。激活是对概念知识的重新感知，是让学生把周长和面积的文字概念转化为图式表征来加以区分。最后通过比较和辨析的练习让学生对信息进行加工和内化，这样就顺应了儿童认知发展由外部动作到内部思维的规律。
曹培英老师用以下的操作对图形的周长和面积进行比较和辨析：
（1）周长相等面积不等的图形
（2）周长不等面积相等的图形
如此，不妨指导学生在计算组合图形的周长与面积时，采取画图与列式相结合的方式，“画一条，算一条”（周长），“涂一块，算一块”（面积），以此正确区分周长与面积。
（2）记号化
图形语言虽然形象，但识图和画图是学生的难点。为此，有必要将图形语言转化为文字语言和符号语言，以加强学生对平面几何问题的理解。日本福井大学柳本成一教授在中学几何演绎推理证明教学方面有一些新的尝试，他主要研究在课堂教学中，培养学生运用图形记号、数学符号语言和逻辑推理方法表达几何中的演绎推理过程。他的基本思想是改变学生纯粹模仿教科书上解题方法的情况，带学生进入几何思维的世界。他的做法是在原几何图形中标出线段相等、角度相等等记号，这些带有记号的几何图形就是“信息图形”，即“记号化”的几何图形，然后将信息图形转化为“符号语言”，即“符号化”的数学表达。柳本教授的这一数学思想同样也适合于小学阶段的解决几何图形问题的教学。例如：
让学生先从原来复杂的图形中抽象出简单的周长图形，用红笔描出阴影部分的周长，即把图形的周长“记号化”。如果还是觉得模糊，再用“文字语言”来表达，最后列出正确的算式。这样就完成了把图形语言正确地转化成符号语言的过程，自然不会受面积的干扰。
2.回到思维原点，激活主体思维
解题错误的学生都有一个共同点，那就是思维停滞或思维受阻，学过的东西不能灵活运用，需要旁人的提醒。即使暂时会了，那也是思维的模仿，或者是暂时的记忆。
（1））反宾为主
对一个问题能根据情况的变化而变化，也就是说，能根据所发现的事实，及时修正原来的想法，这就是思维的灵活性。求阴影部分的周长，学生只要看到半圆的周长就想到用“圆周长的一半+一条直径”，这样的思维定式阻碍了学生解题的思路，这时，教师应鼓励学生把阴影部分的周长抽象为图11，并画下来。这样就让学生注意了量的相对性，打破了量的绝对性界限。这种反宾为主的思想，既消除了“先入为主”带来的负迁移，又可以化繁为简，降低解题的难度。
（2）横向联系
具有场依存性的学生受环境因素影响较大，不能将一个模式（或图式）分解成许多部分，思想单一。经常给具有场依存性的学生进行辨认镶嵌图形的游戏，也有一定的教学效果。例如：从图12中找出图中右上角这个简单图形。
“他山之石，可以攻玉”。利用思维的发散，教师可以经常给学生玩这样的游戏，借助知识间的横向联系，培养学生的发散性思维。学数学知识，解数学题目，不仅要用到数学的专业知识，有时还要借助于语文、音乐、美术等方面的知识、方法、技巧，这就是知识的“横向联系”。
（3）触摸分解
“摸”，字典中的解释：用手接触或轻轻抚摸。在知觉学习中，应提倡发挥多种知觉功能的作用。有实验表明，智力落后的儿童难以辨别较复杂的物品，但是把这些物品的某些部分切割下来，让他触摸以后，该儿童便能掌握较复杂的辨别方法。
触摸也是读懂图形的一种有效手段，在完成图形的练习中，“摸一摸”可以让学生对图形有一定的感知，对所要解决的问题有一定的认识，同时能促进思维的联动。教师可以提醒学生“能用手摸出这个阴影部分的周长吗？”当学生用手摸出这个阴影部分的周长之后，可提示“这个阴影部分的周长由几部分组成，将一个复杂图形进行分解，例如图4可以分解成一个大圆周长的一半和两个小圆周长的一半。每一段分别怎么求……”
