一次函数知识点范文第1篇

[关键词] 考点梳理 方程函数思想 数形结合 实际应用

九年级的第一轮复习对整个初中各章各块知识点来个整体梳理和概括，对于中考的成绩至关重要。我在教学一线有将近20年的教学经验，特别在九年级第一轮复习方面对如何处理知识点有更明确的认识。现在我结合一次函数的复习谈谈自己的一些看法。

一、第一轮复习注意考点的归纳梳理

复习中，要注意每个考点前后知识的联系，以便达到巩固与提高的目的。例如一次函数在中考中共有5个考点：1、一次函数定义；2、一次函数图像和性质；3、一次函数解析式的求法；4、一次函数和方程（组）不等式的关系；5、一次函数的应用。而这5个考点就综合了一次函数和其他知识的联系，也体现了函数之间的区别和关联，更提高了书本知识和实际问题的应用。如复习一次函数，可按正比例函数、一次函数的定义逐级归纳知识，通过对比指出其区别与联系。再如复习一次函数时，还可把一次函数y=ax+b(a≠0)与一元一次方程ax+b=0(a≠0)以及一元一次不等式之间的联系进行归纳。

所以在讲第一考点“一次函数的定义”时，我就开门见山提问：什么是一次函数？然后让学生思考，由学生做出回答。在学生回答出后，指导给出规范的定义：“如果y=kx+b（k、b为常数，k不为0），那么y就叫做x的一次函数。当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k为常数，k≠0），这时y就叫做x的正比例函数。”

为了使学生回答问题有针对性，然后又分层次提出3个问题。

问题1：一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征。指导回答：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数。

问题2：正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征。指导回答：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0。

问题3：正比例函数是一次函数吗？指导回答：正比例函数是一次函数，但一次函数y=kx+b(k≠0)不一定是正比例函数，只有当b=0时，它才是正比例函数。

这样复习可以把一次函数和正比例函数之间的区别和联系更好地体现出来，加深新旧知识的认识，使学生对原有的定义有了更深入的理解和巩固。

然后我就相应地配一道有关练习：函数y=(k-1)x+(k-4)(k-1)，当k= 时，函数是正比例函数。在学生做好的基础上变化题目条件训练：函数y=(k-1)x2+(k-4)(k-3)x当k= 时，函数是一次函数。这样双管齐下，对函数的概念之间的异同点有了很大的提升归纳。

接下来讲考点二“一次函数的图象和性质”，我以多媒体图片出示以下问题。

问题：一次函数的图像取决于什么，性质又决定于什么？指导学生按以下思路回答：1、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是经过两点（0，b)和（-b/k，0）的一条直线；2、正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过两点（0，0)、(1,k)的一条直线；3、正比例函数y=kx（k≠0)的性质：⑴当k>0时，图象过____象限；y随x的增大而____。⑵当k0时，y随x的增大而_____。⑵当k

为了更好地梳理函数图像和性质之间的关系，让学生再做几道练习：

1.已知直线y=kx+b平行与直线y=-2x且与y轴交于点（0，2），则k=___，b=___。此时，直线y=kx+b可以由直线y=-2x经过怎样平移得到？

2.已知一次函数y＝x＋b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以为 。

我出这些练习的顺序也是有目的的，让学生从易到难、从旧到新、从单个知识到综合知识有一个系统的思考梳理。最后在练习基础上给学生归纳：解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意三点：（1）一次函数图象分布特征与k、b的符号之间的关系；（2）一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；（3）一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等。

其实不止一次函数和其他知识点之间有关联，初中数学各章内容丰富、综合性强，都或多或少有一定的系统联系，所以复习过程中要对知识深入理解，及时进行横向、纵向归纳梳理。

二、第一轮复习注意解题思路方法。

一次函数知识点范文第2篇

关键词：二次函数循序渐进数形结合实际问题

二次函数是九年级数学教学的重点内容之一，经常出现在中考的压轴题，其重要程度可见一般。但就目前有一些学生很难解决与二次函数有关的题型，甚至遇到这样的题目时直接就放弃，不予理睬。这样不但直接影响中考成绩，而且影响高中阶段函数的学习。如何帮助学生有效的掌握二次函数的知识，本人经过几年的探索，取得了点滴收获。

一、培养学生优秀的意志品质

1.用自身魅力去影响学生

教师不仅要有充足的知识储备，严谨的逻辑思考，也要适当的增加自身魅力，比如干净整齐的服装、幽默的语言、清晰的板书、亲切的鼓励、信任的目光、耐心的辅导，这些都会有助于建立良好的师生关系，只有学生愿意亲近你了，才能更好的接受你传授的知识。

2.培养学生勇于探索的精神

教学中向学生介绍著名数学家的事迹，他们之所以有如此的功绩，是因为他们具有不怕困难、坚持不懈的意志，提倡学生学习数学家的优秀品质，从现在做起，不怕吃苦，踏踏实实地学习知识，积极思考，勇于创新。要给时间让学生独立的去面对困难，敢于去解决困难，在遇到难题时，教师要去启发引导学生，通过学生自己的努力，独立探索解决难题的方法和途径。

二、循序渐进组织教学

1.从实际生活出发，引出二次函数概念

数学与生活是紧密联系在一起的。教师在教学中，应从教材引言中的“抛出小球”、“喷头喷出的水珠”这样的实际问题入手，引导学生独立的列出函数关系式。紧接着提出问题：所列的函数关系式有什么共同点？与我们之前学过的一次函数有什么相同点和不同点？经过学生的思考提出二次函数的概念，同时让学生认识二次函数的各部分名称并熟记。

2.数形结合认识二次函数的性质

通过数形结合来研究二次函数的性质是教学的重点。首先，学生要学会用描点法画出二次函数的图象，与此同时复习列表，描点，连线三个步骤，提示列表时选点注意事项，然后让学生独立完成，画好图像并观察图像。其次，从图象上归纳二次函数的性质，指引学生从二次函数的五大要点去理解二次函数的性质，通过图象说性质，更直观，也容易理解记忆。

3.利用二次函数的性质，解决实际问题

先结合实际问题中的已知条件及函数图象列出二次函数的关系式，然后通过二次函数的性质来解决实际问题，这是学生学次函数难点所在。从图象到关系式认识二次函数的性质，是一个进步;从实际问题中抽象出二次函数，通过分析研究，再应用到实际问题中去，这是学次函数的本质。为使学生更好地理解和掌握二次函数的顶点、开口方向、对称轴等内容，可以从二次函数的图象着手，将二次函数的解析式与其图象对应着进行教学。

4.求一元二次方程的近似解的方法

这是运用二次函数的图象解决一元二次方程近似解的问题。需要结合函数图象和解析式，进行多次试验确定方程的近似解，进而归纳出用二次函数求一元二次方程近似解的方法。

三、培养学生综合运用二次函数知识解决实际问题

历年中考都有考察学生综合运用二次函数知识来解决实际问题能力的题目，其难点则是运动、变化的情形。

1.全面的掌握二次函数的图象和性质

学生已掌握了二次函数的一般形式以及六种变换形式。这里要求学生根据不同的解析式能画出示意图并说出对应的性质，在每一节的教学中，应逐层递进，通过图象说性质。同时，在学习每一种形式的二次函数的解析式、图象和性质时，每节课都复习上节课学习的解析式、图象和性质。这样，当学到后面一种二次函数的解析式、图象和性质时，学生已在头脑中形成了完整的二次函数知识网络。

2.掌握二次函数应用的方法

在初中阶段求最优解时经常运用二次函数来解决，教学时从数量关系着手，把实际问题转化为数学问题，利用二次函数求出最优解，研究了面积最大、利润最大等问题。紧接着，研究了与抛物线形有关的拱桥、隧道、投掷、跳远等问题。像这样把图象、解析式、求解相结合的去解决问题，对现阶段抽象思维形成不完善的初中生而言难度不小，学生的思维容易产生误区。因此，在进行二次函数的应用教学时，根据学生的自身特点，按题型进行分类，有助于学生正确解决问题。

（1）已知二次函数的关系式来解决问题。例如，教材中的“火箭升空”、“喷泉”等问题，把二次函数的关系式进行配方求顶点坐标，或求其与x轴、y轴的交点坐标，就能解决问题。

（2）结合二次函数的图象列二次函数的关系式解决问题。例如，“喷泉”问题，只要从图象上找到一个或两个点的坐标，代入二次函数的关系式的一般形式，进而求出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式，就能解决问题。

（3）结合题意建立直角坐标系，求出二次函数的关系式解决问题。例如，教材中的“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题，要建立适当的直角坐标系，再由图象求出二次函数关系式，然后由二次函数关系式，就能解决问题。

一次函数知识点范文第3篇

【关键词】 数学 侧重方向 知识点

1 高中新生数学成绩普遍不理想的原因

许多刚刚升入高中的学生（新高中生），在初中数学学习成绩优秀，到高中之后，数学学习成绩一落千丈，有的甚至失去了学习数学的信心。常听到学生这样说：“初中时，这些知识老师都讲过，有些没有作为重点来讲，只是了解。老师说高中老师会细讲的，但是现在老师也不讲初中的知识而是拿来直接运用。”这种现象的产生源于初中数学学习侧重点与高中的要求不吻合。

2 高中新生数学成绩普遍不理想的问题分析

举个例子，初中学习解一元二次方程有三种方法：一是直接开方法，二是配方法，三是求根公式法。在初中时重点掌握的是前两种方法，在高中，由于计算量和计算速度的要求，解一元二次方程时最常使用的是十字相乘法和求根公式法。十字相乘法初中教材中没有，初中数学课上不作重点讲授或根本就不讲。像这样的问题很多，导致新高中生不能满足上高中数学课的基本要求。高中数学的学习是螺旋上升的过程，高一的学习以初中为基础，哪一个环节出现问题，都会影响数学的学习。假如知识侧重点衔接出现了问题，久而久之，学不会、跟不上数学学习也就是正常现象了。

随着高中教材改革和初中减负大刀阔斧的进行，初高中数学知识点侧重衔接问题越来越明显，已经成为高中数学学习的第一瓶颈。那么，主要是在哪些知识侧重点衔接上存在问题呢？列举如下：①解一元二次方程问题。②函数和函数图象的关系理解问题。③画一次函数和二次函数的草图的问题。④二次函数的配方问题。

以上问题，为什么是高中数学学习的第一瓶颈呢？分析如下：

2.1 函数图象是认识函数的一个很好的途径。函数图象是函数的具体，使函数具有形的可触性，降低函数的抽象性。函数与函数图象的关系就像是人的身份证号与本人关系一样，一个人对应着一个身份证号，一个身份证号对应一个人。仅仅看到一个人的身份证号是不会了解这个人的，要了解这个人就要了解这个人的生活、工作、学习情况，也就是看这个人的行为。什么样的人有什么样的行为，每个人都有其特有的行为。类似的，什么样的函数有什么样的图象。函数图象的走势、形状、最值、自变量取值范围都直观地反应特定函数的性质。特定函数具有其本身特有的图象。

2.2 画好一次函数图象和二次函数图象是掌握函数的基础。新高中生只知道这两种函数的图象是什么，具体到画图时总是画不准确，不能掌握基本要点。对于一次函数图象，新高中生知道一次函数图象是直线，画直线时总是列出很多的点，将这些点都描在直角坐标系中，再利用这些点画出直线，但不知道由两点确定一条直线，不会快速选出确定直线的两个点。在画二次函数图象时，先利用顶点坐标公式求出顶点坐标，然后根据开口方向在直角坐标系中描出定点，之后随意勾画出抛物线，不注意抛物线的开口的大小、函数图象是否关于对称轴对称。这样画出的图象速度慢、质量难以保证，不仅影响对函数的认识，更将影响以后的学习。在学习基本初等函数时，首先要通过一次函数、二次函数图象学习函数的值域、单调性、奇偶性等。利用二次函数图象学习一元二次不等式的解法，如果对二次函数图象没有深刻的认识，学习一元二次不等式就会有困难，在许多含有参数一元二次不等式的求解过程中，要借助二次函数图象来解答。在学习线性规划问题时要求快速画出约束条件对应的可行域，准确快速画出直线是基础。对于这两种函数图象，初中要求不高，但却是高中继续深入学习的基础。而在高中数学学习内容中不包含如何快速准确画出一次、二次函数的图象。

一次函数知识点范文第4篇

一、二次函数问题的考虑思路

确定二次函数的图形主要需要二次函数的对称轴、顶点坐标、图形和坐标轴的交点。其次二次函数问题的研究还需判断=b2-4ac的大小，以及区间端点所对的函数值和零的大小比较。所以遇到所有的二次函数问题先由前三点确定函数的图形，再由后两点研究函数的性质，讨论函数的单调性、对称性、奇偶性、最值、值域等。在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞，-及-，+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，为将来利用函数求导讨论单调性构建基础。与此同时，进一步利用函数图象的直观性，给学生加以适当的练习，使学生对二次函数的研究方法形成一种习惯并由此推广到其他函数的研究方法。

例如，画出下列函数的图象，并通过图象研究函数的单调性、最值。

（1）y=x2+2|x-2|-1

（2）y=|x2-2|

（3）=x2+|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

小结：首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习，如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤

-1），求该函数的值域。

二、从函数定义的角度理解二次函数

高中在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新定义函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时用学生已经学过的函数为例，特别是以二次函数为例来认识函数的定义。说二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为（x）=ax2+bx+c（a≠0），这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念从实例中又加以认识。以二次函数为例又让学生掌握函数的三个要素：定义域、值域、法则。可以让学生进一步处理如下问题：

1.函数的法则

例题1，已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）

在二次函数中体会函数的法则，这里f（x+1）中的x+1应理解为法则f的作用对象，它和x在本质上一样。

例题2，设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则，需要构造作用对象。

此类题一般有两种方法：

解法1，把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6

解法2，变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而f（x）=x2-6x+6

2.函数的定义域

例题3，如已知二次函数f（x）=x2+2x-3的值域为〔-1，5〕，求函数的定义域。

此类题既考查函数的定义域，同时又考查二次函数的顶点式，函数的图形以及由图形反映出的函数性质中的最值、单调性。

三、函数思想和二次函数在解题中的应用

例题：已知二次函数f（x）有两个零点分别为0和-2，且f（x）的最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称。

（1）求f（x）和g（x）的解析式;

（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

该题把二次函数和函数的零点相联系，以零点的方式给出函数方程，又利用函数的思想构造函数。既练习了二次函数，又让学生对难点知识形成了初步认识。

一次函数知识点范文第5篇

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）15-0041-01

一、问题的提出

新课程理论指出：学生学习知识不单是从教师授课的课程中获取，还需要学生结合教师的指导以及同学的合作，将自身的学习经验运用于一定的情境中，主动构建以获取课堂知识。理论主要阐述学生是学习的主体，课堂知识的获取应以学生主动学习为重心，而教师的作用只是辅导或促进学生获取知识。几年来，笔者通过对新课程理论的学习和实践，发现在中学数学教学中若能贯彻这一原则，数学课堂将是一种高效的活动。

二、教材中的地位

众所周知，初中教纲中已经涉及初步探讨正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数的图象与性质。高中数学《指数函数的图象与性质》这节内容是在指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的，而指数函数是高中研究的第一种具体函数。由此可知，指数函数的图象与性质是课程知识学习的重点，而正确理解和掌握底数a对函数变化的影响是学习的难点。本节课主要是要求学生利用描点法画出函数的图象，并描述出函数的图象特征，从而指出函数的性质。通过这样的授课活动，从而使学生强化从形到数的熟悉，体验研究函数的过程与思路，实现意识的深化。

三、教学背景设计

新课改给予了我们全新的教学理念，在新教材的教学中，笔者慢慢体会到新教材渗透的、螺旋式上升的基本理念，知识点的形成过程经历从具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题的过程，它的应用性、实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，经过多年的数学学习，学生还是害怕学数学，尤其高中的数学，对于学生来说显得很抽象。所以，如果再让学生感到数学离我们的生活太远，那么将很难激发他们的学习爱好。在教学中要尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，就本章来说，指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，让学生学会研究一个新的具体函数的方法比学会本身的知识更重要。在这个过程中，所有的知识都是生疏的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，因而授课中注重让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识是非常重要的。

四、教学目标确立

1．知识目标：准确理解指数函数定义，初步掌握指数函数图象与性质，并能简单应用。

2．过程与方法：由实例引入指数函数的概念，利用描点作图的方法做出指数函数的图象，（有条件的话借助计算机演示、验证指数函数图象）由图象研究指数函数的性质，利用性质解决实际问题。

3．能力目标：一是探讨指数函数的图像与性质，培养学生观察、分析和归纳能力，并使学生进一步了解数形结合的数学思想方法；二是分析指数函数变化规律，使学生能掌握函数变化的基本分析方法。

【教学过程】

由实际问题引入：

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推，1个细胞经过x次分裂后，细胞个数y与x的函数关系表达式是什么？

分裂次数与细胞个数：1，2；2，2×2＝22；3，2×2×2＝23；……；x，2×2×……×2＝2x，归纳：y＝2x。

问题2：某种放射性物质经过不断放射会转为其它物质，该物质每经过1年放射后占原先物质总量的84％，x年后该物质的剩留量y与x的函数表达式是什么？

经过1年，剩留量y＝1×84％＝0．841；经过2年，剩留量y＝0．84×0．84＝0．842…… 经过x年，剩留量y＝0．84x。

寻找异同：由以上两个实例中，能归纳总结出函数表达式的异同点吗？

共同点：以上两个实例中，变量x与y函数表达式都为指数函数形式，底数都为常数，自变量为指数；不同点：底数的取值不同。

下面，我们来学习一个新的基本函数：指数函数。指数函数的定义：函数表达式为y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数。我们在以前所学的函数中，函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）的函数是一次函数，函数表达式为y＝k／x（k≠0）的函数是反比例函数，函数表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数是二次函数。对于其一般形式上的系数都有相应的限制。问：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

若a＝0，当x＞0时，恒等于0，没有研究价值；当x≤0时，无意义。

若a＜0，当x＝0，……时是无意义的，没有研究价值。

若a＝1，则x＝1，y是一个常量，也没有研究的必要。

所以有规定a＞0且a≠1。

由定义，我们可以对指数函数有一初步熟悉。

进一步理解函数的定义：

指数函数的定义域：在我们学过的指数运算中，指数可以是有理数，当指数是无理数时，也是一个确定的实数，对于无理数，学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，所以指数函数的定义域为R。

研究函数的途径：

由函数的图象的性质，从形与数两方面研究。函数的应用是函数学习的重要课堂目标，通过探讨分析函数图象与性质，从而使用函数的图象与性质解决实际问题以及数学问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？（图象的分布范围，图象的变化趋势，……）函数图象分布与函数的定义域和值域有关，函数的变化规律表现出函数的单调性。引导学生从定义域，值域，单调性，奇偶性，与坐标轴的交点情况着手开始。

首先做出指数函数的图象，以具体函数入手，让学生以小组形式取不同底数的指数函数画它们的图象，将学生画的函数图象展示，（画函数图象的步骤是：列表、描点、连线）。 最后，老师在黑板（电脑）上演示列表，描点，连线的过程，并且画出取不同的值时函数的图象。要求学生描述出指数函数图象的特征，并试着描述出性质。

数学演变过程表明，任何重要的数学概念从提出到发展都有着丰富的经历，新课程教学理论中已经较好地阐述出这点。在新课程理论指导下，学生要了解数学知识的学习是一种数学化的过程，也就是说，学生通过仔细观察和思考常识材料并经过分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行归纳总结。文章案例正是从数学实验过程研究以及数学知识研究的角度进行设计，学生的思维过程可能没有重演人类对数学知识探索的全过程，然而学生通过数学实验的观察和思考，并经历分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，能真切地感受将数学知识数学化的探索过程，从而激发学生学习数学知识的兴趣，并能了解数学知识的一些研究方法。

学生学习的数学知识虽是前人已经提出并发展好的，然而课堂要求掌握的数学知识对于学生来说是全新的，需要学生经历自身的思维活动再现数学知识形成的过程。教师应该把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力。

教师活动的展开应以学生活动为主体，教师地位应从主导者转为引导者，通过教师的引导，学生能够积极学习数学知识，能够独立探索数学知识的研究过程。使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力，在自己原有的基础上都有所获，都有提高。