参数方程范文第1篇

知识与能力：1、理解圆的参数方程 ，能熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程；2、理解圆心不在原点的圆的参数方程 ，能根据圆的圆心坐标和半径熟练的求出圆的参数方程；3、了解参数方程的概念；4、能进行圆的普通方程与参数方程互化，并能用之解题；过程与方法：在学习中探索出圆的参数方程并能对其进行应用；

情感态度与价值观：通过本节的学习让学生感受数、形、式间的联系；

二、教学重点：圆的参数方程的推导及圆的参数方程与普通方程的互化；

三、教学难点：对圆的参数方程 的推导及应用其解题；

四、教学方法：探索发现法 问题式教学法

五、课时安排：1课时

六、教学过程设计：

Ⅰ、知识回顾（课件展示，教师引导学生回顾知识点，学生完成以下横线空格的填写）

1、圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，它表示的是以C(a,b)为圆心，以r为半径的圆；

2、圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），它表示的是以 为圆心，以 为半径的圆；

Ⅱ、新课

1、圆的参数方程的推导

（1）如图,设O的圆心在原点,半径是r,与x轴正半轴的交点为P0,在圆上任取一点P,若将OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标：

点P的横坐标x和纵坐标y都是θ的函数，即 ①

显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在O上。我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程，θ是参数．

（2）圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程是怎样的？

如图O 可以看成由O按向量 平移而得到即对于O上任意一点P1(x1,y1)，在O1上必有一点P（x,y），使 ，又因为 ， ,所以(x1,y1)=(x-a,y-b)即是

从而 ②，代入②式可以得到圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程是 （θ为参数）

2、参数方程的概念

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数， ③并且对于t的每一个允许值，方程组③所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

3、参数方程和普通方程的互化

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 、 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．

4、例题解析

例1 曲线C： （θ为参数）的普通方程是： ；

例2 若直线y=x-b与曲线 有两个交点，则实数b的取值范围为 ；

解析：方法1：（代数法）由 ，由 得

方法二：（几何法）由 ，则圆心（2,0）到直线y=x-b的距离 解不等式得：

练习：若曲线 （θ为参数）与直线x++y+a=0有公共点，求a的范围；

例3 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A(12,0)是x轴上的一定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

解：设点M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为 ，设点P(4cosθ,4sinθ)，由线段中点坐标公式得 ，即点M轨迹的参数方程为 ，点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．

练习：课本P89，练习3

例4 已知实数x、y满足方程x2+y2+2y=0，（1）求x+y的最大值；（2）求 的取值范围；

解：由原方程可得：x2+(y+1)2=1，它表示圆，参数方程为

（θ为参数，0≤θ

（1）

当 时，x+y有最大值

（2） 的值可看成是过圆上任意一点(x,y)与点（2,0）的直线的斜率k，即 由圆心（0，-1）到直线kx-y-2k=0的距离d≤r得 解不等式得 即

练习：1、若x2+y2，则x+y的取值范围是 ；

2、（课本P91第11题）求函数 的最大值和最小值；

Ⅲ、小结：1．圆心为原点、半径为r的圆的参数方程 ，

（θ为参数）；2．圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程

（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性。

参数方程范文第2篇

例1 （2013年高考数学北京卷）已知A、B、C是椭圆

w:x2 4+y2=1上的三个点，O是坐标原点.

(1)当点B是w的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;

(2)当点B不是w的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

解析：（1）（略）

（2）假设四边形OABC是菱形，设OB与AC相交于点P（m，n），则B（2m，2n）.

设直线AC的参数方程为x=m+tcosα,

y=n+tsinα

（t为参数，α为倾斜角）,将之代入方程

w:x2 4+y2=1得

(4sin2α+cos2α)t2+(2mcosα+8nsinα)t+m2+4n2-4=0.因为A、C两点关于点P（m，n）对称，故上述关于t的方程两根分别为

t0,-t0.

所以

t0+(-t0)=-2mcosα+8nsinα

4sin2α+cos2α，

t0•(-t0)=

m2+4n2-4 4sin2α+cos2α.

因为B（2m，2n）在椭圆上，所以m2+4n2-4=0，因此

t0=0.这说明A、C两点重合与已知条件矛盾，故假设不成立，所以四边形OABC不可能为菱形.

评论：本题巧妙运用直线的参数方程，充分考虑A、C两点的对应参数互为相反数的特征，避免了复杂的运算，很快地解决问题.

例2 （2013年高考数学山东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为2 2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)A、B为椭圆C上满足AOB的面积为

6 4的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设

OP=tOE，求实数t的值.

解析：（1）易求椭圆C的方程为

x2 2+y2=1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设R（x，y）是直线OA上任意一点，则

OR=(x,y)

.又

OA=

(x1,y1)，因O、P、R三点共线，所以

OR∥OP，所以

y1x-x1y=0，此即为直线OA的方程.点B（x2，y2）到直线OA的距离为

d=

|x1y2-y1x2|

x21+y21，又

|OA|=x21+y21，故

SAOB=1 2|OA|d=

1 2|x1y2-y1x2|=6 4，即|x1y2-y1x2|=6 2.

又因为点A、B在椭圆上，故可设

x1=2cosα,

y1=sinα,

x2=2cosβ,

y2=sinβ,

将之代入

|x1y2-y1x2|=6 2

得

|2cosαsinβ-

2sinαcosβ|=

2|sin(α-β)|

=6 2,

所以

|sin(α-β)|=3 2

.

因为E为线段AB的中点，所以

OE=

(2(cosα+cosβ） 2，

sinα+sinβ 2),又

OP=tOE，所以

xP=2t(cosα+cosβ) 2，

yP=t(sinα+sinβ) 2.又点P在椭圆上，所以有

t2(cosα+cosβ)2+t2(sinα+sinβ)2=4即

t2［1+cos(α-β)］=2.由

|sin(α-β)|=3 2得

cos(α-β)=±1 2,代入上式得

t=2或

t=23 3.

评论：本题巧妙借助椭圆的参数方程设点，将椭圆方程化整为零，最后只要进行三角函数的化简、运算即可，从而避免了繁琐的运算.

例3 （2013年高考数学陕西卷）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B（-1,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴为∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.

解析：(1)易求得轨迹C的方程为y2=8x.

(2)不妨设P(8t21,8t1)、Q（

8t22,8t2），由x轴为∠PBQ的角平分线得

kPB+kQB=0,即

8t1

8t21+1+

8t2 8t22+1=0,即

8t1(8t22+1)+8t2(8t21+1)=0.整理得8(8t1t2+1)(t1+t2)=0.由

l不垂直于x轴可得

t1+t2≠0，所以

8t1t2=-1.而直线l的方程为

y=8t1-8t2 8t21-8t22(x-8t21

)+8t1,整理得

参数方程范文第3篇

关键词：椭圆 参数方程 几何意义 案例 应用

中图分类号：G63文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）01（B）-0000-00

一、 案例背景

依据美国学者埃德加・戴尔（Edgar Dale）1946年提出的“学习金字塔”（Learning Pyramid）理论，依照新课程标准中的要求打造以老师为主导、学生为主体的高效课堂。

1、教材分析

相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接，过渡，承前启后的作用。

2、学情分析

学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题。

3、教学目标

知识与技能：通过探究活动，了解椭圆参数方程及椭圆规的设计原理；

过程与方法：有应用参数的意识，能用椭圆参数方程解决一些简单问题；

情感态度价值观：通过观察，探索的学习过程，培养探究能力和创新意识.

4、教学重点：椭圆的参数方程的建立.

教学难点：椭圆参数方程的应用.

5、教学用具：实物展台，投影仪

6、教学流程：目标引入――自主探究――分组讨论――自主实践――反思总结

7、教学方法：自主探究式教学

8、教学课时：1课时

二、教学步骤

1、目标引入：复习回顾圆的参数方程并提出问题――能否根据课本上推导圆的参数方程的过程推导出椭圆的参数方程？引入课题并板书课题――椭圆的参数方程。

2、自主探究，发现新知

探究1： 以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作ANx轴于点N，再过点B作BMAN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。

①提问学生选取什么作为参数？②再问学生选择该参数的理由；③构建椭圆的参数方程：

如图，设∠xOA=θ，点M的坐标为（x，y）。

则x=ON=|OA|cosθ=acosθ，

y=NM=|OB|sinθ=bsinθ。

即 （θ为参数），这就是点M轨迹的参数方程。

最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。

①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；

②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；

【正确理解椭圆离心角θ的几何意义】

1.给出离心角与旋转角的概念

如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。

2.初步认识椭圆的离心角θ

①由图可知∠xOA≠∠xOM；②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？

3、分组讨论，体验应用

探究2：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块 ， ， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？（提示：可以用直尺 和横槽所成的角为参数，求出点 的轨迹的参数方程. ）

4、动手实践，深化知识

探究3：已知椭圆 .若 是椭圆 上任一点，求 的最值

5、学生小结

知识方面：

思想方面：

6、布置作业：课本 思考题

三、结语

1.注重学以致用。课堂不应该是 “一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。

2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出椭圆参数方程的生成过程，让学生直观观察参数的影响。

参考文献：

1. 普通高中课程标准实验教科书《坐标系与参数方程》人民教育出版社

参数方程范文第4篇

关键词： 极坐标 参数方程 高考题

坐标系与参数方程的内容一起出现在新课标选修4-4中，因此在高考数学的考查过程中对这一部分内容的考查也多以综合交叉题目的形式出现.本文通过这部分内容在高考中考查的形式，并结合具体的例子，为师生的教和学提供参考.

1.关于极坐标和参数方程的考点

首先，对于极坐标而言，高考对这一部分内容的要求是能用极坐标准确地表示出极坐标系中点的位置，并且区别它与平面直角坐标系中所表示的点的位置和实现两者之间的互化.在与参数方程结合在一起时，要求同学们能用方程表示出极坐标系中所给出的简单图形，通过将此类图形在平面直角坐标系和极坐标系中的方程的比较，理解当平面图形用方程表示时选择适当的坐标系的意义.

其次，关于参数方程方面，我们要理解参数方程和参数的意义，对于直线、圆和圆锥曲线的参数方程要能用适当的参数写出来，对于简单的相关问题要能够用直线的参数方程解决，能理解和运用直线的参数方程和参数的几何意义.

2.高考对这部分内容的考查

通过对近年高考试题的回顾和分析，我们不难发现，近些年高考中对于这部分内容的考要是以解答题的形式出现的，试题难度相对比较简单，得分是比较容易的.在2009年的高考试题中将极坐标、直线与圆的位置关系、不等式思想等结合在一起考查；2010年也对极坐标方面的内容进行了考查，题中设计了直线和圆的位置关系，以及圆在极坐标系中的三种方程问题，并在题中给出的图形条件下求区域的面积.

在极坐标方面从目前新课标历年高考试题中可以看出，高考对这一部分内容的考查主要集中在极坐标系与平面直角坐标系之间的互换、常见曲线在极坐标系中的方程等内容方面，对这方面的考查还是比较简单的.在参数方程这一方面，高考对于此的考查主要集中在参数方程与普通方程之间的互化方面.所以对于后两年高考在这方面的考查，笔者预测在难度和题型方面仍将保持稳定，而且往往会使极坐标和参数方程结合在一起考查的形式，这对于老师授课和学生学习方面都要引起重视.

3.例题剖析

4.极坐标与参数方程的考点中应该注意的问题

在这部分内容中，近些年的高考试题主要考查的是极坐标方程在圆和直线中的应用，以及极坐标与平面直角坐标的互换；在参数方程方面主要考查的是参数方程与普通方程之间的互化，用极坐标方程、参数方程研究有关距离、交点和位置的问题等.

首先，在参数方程方面，我们一定要了解参数方程及其意义，其与普通方程之间的互化是一个重点，在参数方程转化为普通方程的时候，我们常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加减消元法等方法，在使用过程中一定要注意同解变形.在写直线、圆和圆锥曲线参数方程时，学生一定要注意参数方程中参数的几何意义，因为几何意义在参数方程的解题中能为我们带来方便.同学们一定要重视直线参数方程的几何意义.

其次，在极坐标内容方面，我们要注意平面图形在平面直角坐标系伸缩变换的作用下的变化状况，同时还要注意将其与平面直角坐标系中点的位置相区别，并要能实现互化.在使用极坐标与平面直角坐标系互化公式的时候，我们要对它的使用条件予以注意，要符合以下要求：极轴与轴正向重合、极点与原点重合、取相同的单位长度.在解题过程中化繁为简，化难为易是一个原则，在这个原则指导下，当我们面临极坐标的有关试题时就要把他们转化为平面直角坐标系去解题，因为学生对后者相对更熟悉，应用起来更得心应手.如果在做题过程中直接将问题在极坐标系中解决，这时我们就要将其与三角形联系起来，合理利用有关三角形方面的原理和公式.

5.复习与应试建议

第一，由新课标对于极坐标和参数方程的要求来看，这部分的要求内容整体难度不大，学生在复习时一定要遵循适度原则，紧扣大纲要求，不要深挖，打好基础才是关键.复习时对相关基础知识和定理定式一定要认真理解，熟悉掌握.第二，在变量换算上多放精力，减少低级错误的出现.因为变量换算是很多学生普遍反应的难点和弱点，所以教师在教学过程中要注意在这方面给予学生更多的指导，引导学生复习.第三，该种题目类型在解题时往往有多种方法，学生要理清思路，弄清问题的本质要点，梳理清楚解题程序，然后注意参数方程和普通方程之间的互换、直线与圆等要点问题的思考.第四，学生在答题过程中要注意规范，对于很多学生来讲不是不会，而是不注意答题规范，因为高考改卷是流水化的过程，所以每一题老师在阅卷过程中花的时间很多，写得规范清晰有利于老师迅速找出关键要点，这对于老师评分是一个不可忽视的要素.

综上所述，在极坐标和参数方程的学习和教学过程中，学生首先要打好基础，要能准确和熟练地应用基本的原理和公式，只要这样才能保证在公式的运用过程中不犯低级错误.其次，把握解题思想，我们要树立化繁为简、化难为易、相互转化的思想，只有在将题目转化为所熟知的问题，我们解决起来才能得心应手.

参考文献：

[1]师增群.极坐标与参数方程试题研究和应试策略――以2013年高考数学新课标全国卷第23题为例[J].当代教育实践与教学研究，2014（6）：69-71.

参数方程范文第5篇

二星题：立足重点，查漏补缺

三星题：立足难点，提升能力

一星题

1． 极坐标方程（ρ-1）（θ-π）＝0（ρ≥0）表示的图形是

（A） 两个圆 （B） 两条直线

（C） 一个圆和一条射线 （D） 一条直线和一条射线

2． 若0＜x＜，求函数y=x2（1-3x）的最大值．

二星题

3． 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为θ=（ρ∈R），它与曲线x＝1+2cosα，y＝2+2sinα（α为参数）交于点A和点B，则AB＝．

4． （1） 已知x，y∈R且a，b>0，求证：ax2+2by2≥；

（2） 已知a，b，c∈R+且abc＝1，求证： ++≥．

三星题

5． 已知x，y∈R+ 且+=1，求+的最小值．

6． 当a，b∈R且a≠0时，不等式a-b+a+b≥a•（x-1+x-2）恒成立，求实数x的取值范围．

7． 在极坐标系中，已知点A（，0）到直线l：ρsinθ-＝m（m＞0）的距离为3．

（1） 求实数m的值；

（2） 设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足OP•OQ=1，求点Q的轨迹．

8． 已知圆O的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ（θ为参数），直线l1的参数方程为x＝1+tcosθ，y＝1+tsinθ（t为参数，≤θ≤），直线l2的参数方程为x＝1-tsinθ，y＝1+tcosθ（t为参数，≤θ≤）．

（1） 已知直角坐标系中，点P的坐标为（-，1），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线，求该切线的极坐标方程；

（2） 若直线l1与圆O交于A，B两点，直线l2与圆O交于C，D两点，求AB•CD的最值．

【参考答案】

1． C

2． 解： 0＜x＜， 1-3x>0． y=x2（1-3x）＝x•x•（1-3x）＝•••（1-3x）≤3=． 当且仅当=1-3x即x＝时等号成立，此时函数有最大值．

3．（提示：由题意可得，直线的普通方程为x-y=0，曲线的普通方程为（x-1）2+（y-2）2＝4． 圆心到直线的距离为=， AB=2=）

4． 证明： （1） a，b>0， 要证原不等式，即证≥（x+2y）2． 根据柯西不等式可得＝+（ax2+2by2）≥（x+2y）2， 原不等式得证．

（2） a，b，c∈R+且abc＝1， ++=+••（b+c）=+•（b+c）≥2＝ ． 同理可得，++≥；++≥． ++≥-++-++-+=++≥•＝．

5． 解：令a=，b=，则x=，y=． +=a+b=1， +=•+•＝+. +［（a+1）+（4+b）］≥（a+b）2， +≥＝. 当且仅当•=•即x＝5，y＝时，+ 有最小值．

6． 解： a≠0， x-1+x-2≤恒成立． x-1+x-2≤min． a-b+a+b≥a-b+a+b=2a，当且仅当（a-b）（a+b）≥0时，等号成立， ≥=2． x-1+x-2≤2． 解得x的取值范围是，．

7． 解： （1） 以极点为原点、极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（，0）. ρsinθ-=ρsinθ-ρcosθ=m， 直线l的普通方程为x-y+m＝0. 点A到直线l的距离d==1+m=3，又m＞0， m=2．

（2） 由（1）得直线l的方程为ρsinθ-=2． 设P（ρ0，θ0），Q（ρ，θ）， 点P（ρ0，θ0）在直线l上， ρ0 sinθ0-＝2（①）． 由OP•OQ＝1，Q在线段OP上可得ρρ0＝1，θ＝θ0（②）． 将②代入①，得sinθ-=2，即ρ=sinθ-． 这就是点Q的轨迹方程．

把ρ=sinθ-两边同乘以ρ，得ρ2=ρsinθcos-sincosθ=（ρsinθ-ρcosθ），化为普通方程得x+2+y-2=， 点Q的轨迹是以-，为圆心、为半径的圆． 在极坐标系中，ρ==，tanθ==-1． 又在直角坐标系中，直线l过第一、二、三象限， θ为第二象限角. 在极坐标系中点Q的轨迹是以，为圆心、为半径的圆．

8． 解： （1） 由题意可得，圆O的普通方程为x2+y2=4． 圆O是以（0，0）为圆心、以2为半径的圆． OP＝＝2， 点P在圆O上． 如图1所示，以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线PM，设M（ρ，θ）． tan∠POx==-， ∠POx=，∠POM=-θ．又∠MPO=，OP=2， cos∠POM==cos-θ，该切线的极坐标方程为ρcos-θ=2．

（2） 由（1）得圆O的普通方程为x2+y2=4．

把直线l1的参数方程代入圆的普通方程，整理得t2+2（cosθ+sinθ）t-2＝0． 设该方程的两根为t1，t2，则AB=t1-t2=＝＝2．