参数方程范文第1篇

一、探求几何最值问题

有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。

例1（1984年考题）在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。

解由，运用正弦定理，可得：

∵sinA·cosA=sinB·cosB

∴sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

∴A+B=，则△ABC为直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为

所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2过抛物线（t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。

解抛物线（t为参数）

的普通方程为=2px，其焦点为。

设直线l的参数方程为：

（θ为参数）

代入抛物线方程＝2px得：

又∵0＜θ＜π

∴当θ=时，｜AB｜取最小值2p。

二、解析几何中证明型问题

运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。

例3在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e为离心率）。

证明设F点坐标为(c,0)，

A点坐标为(,0)。

又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：

将①、②代入双曲线方程，化简得：

同理，将③、④代入双曲线方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

证明由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB

的参数方程为

（t为参数）

代入，可得：

据题设得直线CD方程为（t为参数）

代入，得：，从而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析几何定值型问题

在解析几何中点的坐标为(x,y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。

例5从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。

解化方程为参数方程：

（θ为参数）

设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直线BP的方程为：

直线的方程为：

令y=0代入BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。

故截距之积为：（）·（）=9。

四、探求参数的互相制约条件型问题

例6如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足

的条件。

分析如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路”，直达解题终点。

解设椭圆的参数方程为

抛物线的参数方程为

（t为参数）

因它们相交，从而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

参数方程范文第2篇

一、选好内容，使学生“可以动”

数学活动课作为一门特殊的课程类型，有着特殊的教学目的和要求，也就是必须着眼于获取直接经验。以即时信息为内容，以实践为主要手段，引导学生从书本走向实际生活，从课堂走向亲身体验，全面提高学生的数学素质。活动课比起学科课程有较好的灵活性，在内容的选择上我们可以很好地体现“可动性”。

1.实践性内容。

实践性是数学活动课的主要特性，它改变了应试教学中“填鸭式”的教学方式，让学生在参与观察、动脑、动口、动手的实践活动中拓展知识，发展能力。在一次数学活动课上，我组织部分学生到市场进行实地调查，收集材料，然后制成统计表。如冬瓜1千克2元、草鱼1千克12元、五花肉1千克12元等。这次活动课，同学们表现活跃，不但学会了调查，学会了整理和分析数据，还明白了“生活中处处有数学”。

2.趣味性内容。

根据学生当前的需要或学生有兴趣的题目来做数学游戏，可以激发学生的学习热情，让学生在轻松、愉快、和谐的活动中，领悟一些数学思想和方法。如在班会课上让学生做“摸图形、说图形”的游戏。先对学生进行分组，再让学生蒙着眼睛分别从学具袋中随意摸出一张图形，并说出它的名称，看哪组说得又对又快。这样可以加深学生对长方形、正方形、三角形、圆、梯形、平行四边形等等这几种图形的认识，感悟这些图形的一些基本特征，同时又活跃了课堂气氛。

3.竞争性内容。

有位学者说：“即使对毫无直接兴趣的智力活动，学生因渴望竞赛取胜而产生的间接兴趣，也会使他们忘记事情本身的乏味而兴致勃勃地投入到竞赛中。”的确是这样的，在竞赛中，个别同学对本来不甚热情的活动也可能变得主动参与，枯燥的题目也变得有趣。如“十分钟口算赛”，学生都想争当前十名而使整个过程紧张、愉快，学生们个个都投入，效果很好。

二、放手指导，让学生“真正动”

要使学生的主观能动性在活动中得到充分体现，从活动的设计、准备到实施、总结都要放手让学生参与，使学生感到这是自己的“活动”，从而真正地“动”起来。

1.放手让学生参与活动的设计。

开始时，教师可就活动的设计和内容征求学生的意见。随着活动的深入开展，可将一部分内容交给学生搜集准备，这一过程其实也是学生的活动过程。如让学生自主设计了一节“过一个有意义的六一”的活动课，他们设计了口算赛、画图赛、数字接龙、巧拼七巧板等内容，学生兴致高涨，反映良好。

2.放手让学生参与活动准备。

学生参与出题、设计的活动，会“动”得很投入。从学具、教具制作，到活动场景的布置，均可让学生全程参与。教师主要是做好“小主持”的指导。如在“过一个有意义的六一”这节活动课中，学生不但把教室布置得五彩缤纷、喜气洋洋，还自行准备了许多水果、糖、卡片等奖品，奖励活动优胜者。

3.放手让学生在活动中一展身手。

活动课重在过程，只要学生在活动中充分动脑、动手、动口，那么即使学生在活动过程中某项内容没有充分完成，这节课也是成功的。如活动课“房屋设计赛”，开始很多教师认为大部分学生将难以完成。后来放手让学生用学过的几何图形设计自己喜欢的房屋，结果连最差的学生也能完成，一些楼房的精美还令人赞叹不已。当学生看到满教室展评的作品时，都深感自豪。

三、巧选形式，让学生“全体动”

数学活动课一定要避免那种“尖子生表演”的场面。在每一次活动中，应让每个学生都动起来。数学活动课的形式是多样的，如口算赛、应用题训练、拼图训练、调查观察、数学技能竞赛等。要从为学生提供人人都有“动”的机会的角度出发，巧选活动形式。如“巧拼七巧板”活动，表演的只能是部分人，就让其余同学做评委，对表演作出书面及口头评论和打分，活跃了竞赛气氛。

参数方程范文第3篇

关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法

1引言

连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。

众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的公共的位移插值函数，文[9]把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线函数”的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。

目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。

2分片检验的要求

因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：

(1)

其中,a：单元域，为位移的不协调部分,有：

(2)

为位移，为位移的协调部分。

方程(1)可以理解为：在常内力情况下，不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方程(1)

(3)

对(3)式中的项应用格林公式，并应用坐标变换公式：

(4)

其中、分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数，即为文中的网线函数，、为单元边界外法线的方向余弦。对含的项再分步积分得：

（>r时）(5)

r表示单元的边数，表示结点的位移参数。对(3)中的含项也进行分步积分并整理有：

(6)

同样，对项再分步积分得：

(7)

ai、bi、ci为由各边的nx与ny组成的参数，表示位移函数在结点处的值。

(4)、(5)、(6)、(7)便是通过分片检验所需满足的方程。

(4)、(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为应变约束条件；(6)、(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为位移约束条件。成熟的有限元法都自觉或不自觉地应用了这些条件。

传统的位移法构造的协调元自动满足了上述各式，下面对其它有限元分析方法进行分类分析。

3使用应变约束的有限元法

方程(4)、(5)是对应变的要求，没有涉及刚体位移，同时应力和应变之间只有一个线性关系，所以，假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。

方程(4)、(5)表达的是应变与位移之间的关系，它们必然与弹性力学的几何方程：

(8)

有着密切的关系。把几何方程(3.1)写成弱形式：

(9)

、、为权函数，应用两次格林公式变换上述方程：

(10)

在上式中，单元边界上的、、分别以它们对应的网线函数、、代替：

(11)

如果方程(11)中、、是应力的变分，即满足了齐次的平衡方程：

(12)

则方程(12)变为：

(13)

此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。

方程(11)与(13)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程(11)与(13)中当、、分别取常数，另两个为零时，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片试验的要求。

拟协调元与杂交混合元便是采用方程(11)对应变或应力进行离散，而应力杂交元采用的是(13)式。不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发，而拟协调元是由假设应变入手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换，如果应力与应变设在同一空间，仅是设应力与设应变的不同是不会影响最终结果的。

从方程(11)与(13)的来源(9)式可以看出，几类单元中的应变（或应力）只在较弱的意义上满足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组，有限元法中已经使用了平衡方程的弱形式—最小势能原理，这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证，单元应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大。

由以上讨论可见，在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时，常取面积坐标作为检验函数基，因三个面积坐标之和为1，固在离散每个应变时，检验函数应取遍三个面积坐标，这样便保证了检验函数为常数时式(5)或(6)成立。

精化直接刚度法虽然从设位移出发，但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用。

在方程(4)的两边同时除以单元的面积，变为：

(14)

上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式：

(15)

其中与文[7]中相一致，为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式：

(16)

其单元的平均应变：

(17)

不一定满足式(14)，因此把平均应变进行修正，即换成式(18)中表达的所需形式，修正后的应变阵为：

(18)

这样便保证了单元能够通过分片检验。此外，得到时还可使用(6)式，从而得到与式(14)不尽相同的形式。

因此，可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变，使其通过分片试验的有限元分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。

4使用位移约束的有限元法

使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。

4.1广义协调元和双参数法

方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求，与其相应的有限元法是广义协调元和双参数法。从(6)、(7)可以看出，若使单元通过分片检验，则应包含条件：

或（i=1,…,r）(19)

广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文[8]中的算例看出。

对于某些特殊形状的单元来说，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件，非必要条件，这一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知，矩形薄板单元不满足连续，可以验证它同样不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高，其原因是它满足方程(6)和(7)。

4.2增加位移中的广义参数

可以增加位移函数中的广义参数，通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数，这样得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函数的空间，但它的应用还非常少，其主要原因是计算中涉及求逆运算。目前计算机技术及软件的高速发展，尤其是代数运算软件的出现，这种做法也许会有一些生命力。下面举一个通过这种方法改善单元性能的例子。

在构造三角形单元时，人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折，面积坐标的应用解决了对称性的问题，但zienkiewicz元（bciz元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函数的基取完全的三次式，含十个基函数，采用面积坐标可写成如下形式：

(20)

其中为zienkiewicz元的单元位移函数，(i=1,2,3)为三个面积坐标，c为待定参数。以下通过c的确定来改善单元的性质。因只有一个待定参数，方程(6)不可能完全得到满足，考虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程：

(21)

应用方程(21)可以确定出参数c，其中由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性插值函数来表达。定出c后便可用常规方法得到单元刚度阵。

对边长为0.5的方板做图示两种网格划分，坐标原点在1点，其中图二中5点坐标为(0.2，0.15)，边界结点的位移参数按任意的二次挠度场给定，计算5点的挠度及转角，表1列出了zienkiewicz元和改进的zienkiewicz元结果。

可以看出改进zienkiewicz元的性能有很大的改善，以下做一算例。

算例：方板中心受集中力，根据对称性，取板的四分之一，采用交叉网格的计算结果如表2。

表2bciz元改进前后板中心挠度计算

单元网格

2×2

4×4

8×8

16×16

32×32

精确值

四边

简支

改进前

0.01231

0.01205

0.01199

0.01198

0.01198

0.01160

改进后

0.012566

0.01190

0.01170

0.01163

0.01161

四边

固支

改进前

0.005837

0.005825

0.005799

0.005792

0.005791

0.005612

改进后

0.006397

0.005873

0.005699

0.005639

0.005620

由算例可以看出改进zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善，而且单元采用的位移函数不仅具有几何对称性，各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中，这种单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。

5总结

通过前面的讨论可以看出，各有限元法与分片试验是密不可分的，它们自觉或不自觉得满足了分片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验。

满足了应变约束条件的有限元法，一般是以损失连续性方程的严格性为代价的，这一点对计算结果一般影响不大，而且往往会改善计算精度，这些有限元法对分片试验的满足十分自然，但有些时候会涉及秩的问题；

使用了位移约束条件的有限元法，以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价，换取了单元总体性能的改进，或者改善了位移试函数的插值空间，这类有限元法对在保持位移函数的几何对称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特色的单元。

本文得出的是常应变分片试验的要求，同样可以得出应变或位移在什么情况下，能够通过线性应变的分片试验。如果单元的位移参数较多，位移插值函数已含完全三次多项式，单元片在线性应变情况下也应计算准确，这样才更值得我们增加参数。

参考文献

[1]o.c.zienkiewiczandr.l.taylor,thefiniteelementmethod,(fourthedition),mcgraw-hillbookcompany,1988.

[2]唐立民，有限元分析的若干基本问题，大连工学院学报，1979，18(2),1-15

[3]唐立民，陈万吉，刘迎曦，有限元分析中的拟协调元，大连工学院学报，1980,.19(2),19-35

[4]t.h.h.pian,derivationofelementstiffnessmatricesbyassumedstressdistributions,a.i.a.a.j.,1964,2(7),1333-1336

[5]t.h.h.pian,anddapengchen,alternativewaysforformulationofhybridstresselements,int.j.num.meth.eng.,1982,18,1679-1684

[6]龙驭球，辛克贵，广义协调元，土木工程学报，1987，1，1-14

[7]陈绍春，石钟慈，构造单元刚度矩阵的双参数法，计算数学，1991，3，286-296

[8]陈万吉，单变量有限元的新思考：精化直接刚度法，计算结构力学及其应用，1993，10(4)：263-268

[9]tanglimin,chenwanjiandliuyingxi,stringnetfunctionapproximationandquasi-conformingtechnique,hybridandmixedfiniteelementmethods,s.n.atluri,r.h.gallagherando.c.zienkiewicz,johnwiley&sons,1983.

[10]石钟慈，陈绍春，九参数广义协调元的收敛性，计算数学，1991，2，193-203

patchtestandfiniteelementmethod

参数方程范文第4篇

关键词：自然沉积淤泥扰动淤泥流变特性波浪传播

在河口海岸粘性泥沙运动研究中，淤泥的流变特性和许多物理过程密切相关，如波浪在淤泥质海床上的衰减特性和波浪作用下的泥床质量输移、淤泥液化等[1～3]，是影响波浪与底泥床相互作用的主要因素.淤泥流变特性的变化和水动力作用下床面稳定性、底部泥沙的悬扬规律等也有着直接和间接联系.实验和计算结果表明，淤泥处于不同的沉积状态时，由于流变参数的变化，波浪在泥床上传播时波高衰减率可以相差1～2个量级[4].因此，了解淤泥的流变特性是深入研究淤泥质海岸泥沙运动规律的关键问题之一.关于淤泥的流变关系，目前已建立了相当多的模型[4]，然而由于模型参数特别是现场条件下的模型参数难以确定，使得各种模型在应用于描述现场条件下波浪和淤泥质海床的相互作用规律时受到限制.由于现有的测量仪器，如旋转同心圆筒流变仪等实际上只能测量扰动淤泥的流变特性，对于自然沉积的底部泥床，目前还没有很好的方法来测定其流变参数，对其流变特性的变化规律有待深入研究.基于以上原因，本文假定淤泥作为线性粘弹性体，在文献[5]的基础上，采用根据实验结果反求模型参数的方法，比较了实验室内人工搅匀和自然沉积淤泥的流变特性，讨论了淤泥流变特性变化对波浪衰减规律的影响.

1理论分析

1.1关于淤泥特性的假设近年来一系列的研究表明，淤泥在波浪作用下表现出复杂的非线性粘弹性体特征，其流变参数是应变或应变率历史的函数.但为了简化问题，通过反分析方法确定淤泥的流变参数，并比较人工搅匀淤泥与沉积淤泥流变特性，这里仍然假定淤泥作为线性粘弹性体.在应变较小的情况下，上述假设精确地描述了淤泥的运动规律；在应变较大的情况下，这种假设相当于对淤泥的本构方程进行等价线性化.根据线性粘弹性体假设，在频率为σ的循环(振荡)荷载作用下，淤泥的本构关系可表示为[6]：

对于天然或实验室内形成的自然沉积泥床，沿泥床表面向下的泥密度分布及其流变特性都是变化的，为了简化问题而方便估计沉积淤泥的流变特性，我们假定泥床具有均匀密度和流变参数，水波与搅匀或沉积泥床的相互作用就都可以用密度均匀的两层介质线性系统模型来描述.

1.2泥—水系统运动控制方程根据maa和mehta[7]，波浪在泥床上传播时，上层水体和下层淤泥运动的连续性方程和线性化运动方程可表示为：

假定水面和泥水交界面位移表达式为：

ηj(x,t)=ajexp[i(kx-σt)](5)

式中：k=kr+iki为待求的复波数，实部与波长l的关系为kr=2π/l，虚部ki表示波浪衰减率，aj为第j层位移振幅.方程(2)～(4)中uj,wj,pj的解可表示为：

在波浪周期t、波高h(h=2a1)、水深d1、泥厚d2、泥密度ρ2以及淤泥流变参数已知的条件下，上述表达式中包括k,a2和aj,bj,cj,dj(j=1,2)总共10个未知量，这些未知量可通过自由表面的运动学和动力学边界条件，泥水交界面的速度和应力连续条件以及底部非滑移边界条件来确定[7，8].将式(5)～(8)代入上述边界条件并经过化简，可得到变量为=[a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a2]的线性齐次方程组

[c]=0(9)

式中：[c]为9×9矩阵，矩阵中各元素为复波数k的函数.式(9)有非零解的条件为[c]的行列式必须为零，即：

det[c]=0(10)

式(10)是关于复波数k的隐式非线性方程.由于水的密度与粘性系数可作为常数，式(10)相当于复波数k可以表示为：

k=f(μ,g,d1,d2,t,ρ2)(11)

在波浪-泥床系统的基本参数和淤泥流变参数已知时，式(11)可以通过muller方法求解.

1.3淤泥流变参数的反求法在淤泥流变参数确定的情况下，根据方程(11)可以求出波浪在泥床上传播时的复波数，然后可进一步得到速度和压力分布，这是分析波浪和泥床相互作用问题的一般过程.同样，如果已知波浪在泥床上传播的复波数而淤泥流变参数未知，由方程(11)也可以反求出淤泥的表观复粘度，从而得到淤泥的弹性系数和粘性系数.

按照把淤泥作为线性粘弹性体的假设，对于同一种淤泥，泥密度保持不变时，由不同波浪条件的实验结果反求出的淤泥粘弹性系数值应该相同.但实际上，由于淤泥的非线性性质，其粘弹性特征随受力状态而变化[8，9]，再加上实验测量误差的限制，根据不同实验条件反求出的淤泥粘弹性系数是不会相同的.为了求得假定淤泥为线性粘弹性体时代表性的粘弹性参数值，我们根据每组淤泥的多组实验结果构造优化问题来反求参数.

设对于某一密度的淤泥共进行了m组规则波浪在淤泥床上传播的实验.对于第m(m=1,…，m)组实验，已知波浪周期t、波高h、水深d1、水密度ρ1、水的粘性系数μ1、泥厚d2、泥密度ρ2,根据实验测量结果可求得复波数kem.假定粘弹性参数已知，则根据式(11)可以求得第m组实验条件下的复波数kcm.由于不存在统一的μe满足所有实验条件下(m=1,…，m)的式(11)，我们构造一个极值问题来确定最具代表性的淤泥流变参数值.令：

式中：kcm为μe的函数，则φ最小时的μe值即可认为淤泥作为线性粘弹性体时的代表值.文献[5]采用有约束的外部惩罚函数方法来反求μe值，存在对初值的依赖性高，最后收敛解难以确定等问题.这里我们采用遗传算法[10]来求解式(12)，最终得到的μe值与初值无关.

1.4遗传算法简介遗传算法是通过模拟生物进化来求解问题空间解的一种方法，在处理极值优化问题时，特别是目标函数具有局部极值或导数不连续时，非常有效.遗传算法的主要思路如下：在求解问题时，遗传算法首先从一定数量的随机解(染色体)即种群出发，开始进行进化计算，种群中第一代的每一个染色体经过一定的遗传操作，如变异、杂交和选择等，形成第二代种群，上述过程重复进行直至得到预定代数的种群，在最后的种群中，可能有一个染色体占有绝对优势，它就代表了所求问题的优化解.近年来遗传算法在各个学科得到了广泛应用[10]，我们采用了houck等建立的matlab遗传算法工具箱求解了式(12).

2实验测量

在天津大学海岸工程实验室内的波浪水槽内进行了波浪在搅匀和沉积泥床上的波浪传播实验.实验中的搅匀泥床指的是根据实验所需的淤泥密度，向初始密度比较大的淤泥中配置不同的自来水，进行充分搅拌形成的从泥床表面到泥床底部密度均匀的淤泥床；沉积泥床是把淤泥和水进行充分搅拌，形成密度在1120kg/m2左右的均匀泥水混合液，经过自然沉积不同天数而形成的泥床，本次试验中沉积泥床最少沉积天数为4天，最大沉积天数达53天.实验用泥取自天津新港，关于实验用泥的处理、实验布置及测量方法详见文献[8].根据水槽内波高传感器的实验结果可以得到波浪在泥床上传播时的波长和波高指数衰减率，由此便可以求得实测复波数ke，从而反求淤泥粘弹性参数.表1列出了搅匀与沉积泥床上的实验条件.

3搅匀和沉积淤泥流变特性的比较

无论搅匀泥床还是自然沉积泥床，当淤泥密度较大时，波浪在床面上的衰减都很小，通过反分析方法难以合理确定淤泥粘弹性参数，所以对于搅匀和自然沉积淤泥，我们分别采用泥密度在1401kg/m3和1336kg/m3以下的数据来反求淤泥粘弹性参数.图1和图2分别显示了把淤泥作为线性粘弹性体时，根据波浪在泥床上传播的实验结果反求出的搅匀泥床和自然沉积泥床的弹性模量和粘性系数，由此可以近似拟合出搅匀淤泥、自然沉积淤泥的粘弹性参数与密度的关系如下

式中：下标m、d表示搅匀淤泥和自然沉积淤泥，拟合曲线分别见图1、2中的实线和虚线.

根据反求出的不同密度时的粘弹性参数和拟合公式可知，相同平均密度条件下，自然沉积泥床的弹性系数一般比搅匀泥床的弹性系数大4倍以上.由于弹性系数增大，在波浪条件相近时，与搅匀泥床密度接近的自然沉积泥床的运动强度一般比较小，这与水槽实验观测到的现象是吻合的.沉积淤泥与搅匀淤泥相比弹性系数的增大，表明淤泥内在结构的增强，搅匀淤泥结构受到破坏而弹性模量降低，沉积淤泥经过较长时间的压缩变形，淤泥内部结构紧密，因此弹性较大.由图2可知，对于搅匀泥床，其粘性系数随泥密度增大而增大；而对于自然沉积泥床，其粘性系数随泥密度的增大而减小.搅匀淤泥由于结构受到破坏，波浪作用下呈现出较强的运动，密度愈大其内部摩擦愈大，因此呈现粘性系数随密度增大而增大的现象.沉积淤泥粘性系数随淤泥密度增大而减小，表明在波浪作用下泥床内部结构随淤泥密度的增大而愈来愈不易受到破坏，因此愈来愈趋近于完全弹性体.

根据大量水槽实验结果，搅匀泥床与自然沉积泥床上的波浪传播特性有明显区别，如对于新港淤泥，搅匀泥床在泥密度为1.34g/cm3左右时波浪衰减率最高；而对于自然沉积泥床，平均泥密度为1.24g/cm3左右时波浪衰减率最高.本文的计算结果说明，上述现象可以通过淤泥流变参数的差异来解释.

根据我们以往利用rms-605流变仪对天津新港搅匀淤泥的测量结果和已建立的淤泥非线性流变模型[8]，选取线性粘弹性模型描述淤泥时，淤泥弹性模量应在1.69×10-12exp(0.0227ρm)与6×10-14exp(0.0242ρm)之间，本次利用反分析方法得到的弹性模量与之是一致的.另外，本次利用反分析方法得到的搅匀淤泥的粘性系数与实际测量时剪切率在o(1)左右的粘性系数也是一致的.这说明线性模型及其由反分析方法得到的流变参数总体上反映了淤泥的流变特性.但需要指出的是，由于淤泥实际具有的非线性特性，反求出的淤泥粘弹性参数只能代表实验条件下的平均淤泥特性，反映在对波浪传播特性的描述上，也只具有平均性质，图3和图4显示的搅匀淤泥和自然沉积淤泥床上波浪衰减率实测值与计算值的比较情况说明了这一点.图3、图4的计算是根据反分析方法得到的流变参数进行的，图中实验数据显示同一周期不同波高具有不同的波浪衰减率，这是由于淤泥流变关系的非线性所引起的.线性粘弹性体模型虽然整体上描述了波浪衰减的趋势，但并不能反映波高不同引起衰减率不同的非线性特性.如何利用反分析方法进一步确定淤泥的非线性流变特征还有待进一步研究.

参数方程范文第5篇

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．

教法建议

（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点．

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

（2）用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线．

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程．

即称形如的方程为圆的一般方程．

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．

（1）和的系数相同，都不为0．

（2）没有形如的二次项．

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形．

（1）；

（2）；

（3）．

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆．

例2：求过三点，，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．

解：设圆的方程为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求圆的方程为

可化为

圆心为，半径为5．

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹．

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2．设是轨迹上任意一点．

∵

∴

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧．

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆．求、、的值．（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的圆的方程．

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为．

（3）课本第79页练习1，2．

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．