微格教学的概念范文第1篇

数学内容的比较

Stewart版《微积分》主要内容包括：函数与模型、极限与导数、求导法则、微积分的应用、积分、积分的应用、积分方法、积分的进一步应用、微分方程、参数方程和极坐标、无穷序列与级数、向量与解析几何、向量函数、偏导数、多重积分、向量微积分、二阶微分方程等17个部分。而人大版《微积分》主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、多元函数、微分方程与差分方程简介等9个部分。

从纯数学理论的角度来看，这两本教材比较接近，内容基本相同，这是非常自然的。因为这些内容本就是微积分数学理论体系和方法的核心内容，无论对哪个国家的学习微积分课程的学生来说都是必须具备的经典知识。然而从附加内容上来看，两本教材就存在着明显的差异了。Stewart版《微积分》在介绍数学内容的同时还把数学史、数学文化教育贯穿进来；将重要的概念和定理从产生的实际背景，到抽象定义，再到实际应用的过程中所经历的智慧、方法和趣事展现给学习者。如在介绍极限时，会在书页左侧的空白处插入“牛顿与极限”“柯西与极限”的小知识。这种如讲故事般轻松愉快的方式，既增加了学习的趣味性，也使学习者在学习的过程中容易看到微积分的时代背景、本质，对微积分“从何而来，是什么，能做什么”有更多的理解和认识，可以拥有更开阔的视野，为创造性思维打下基础。这个在国内教材中几乎很难看到。

编写理念的比较

Stewart版《微积分》和其它美国大多微积分教材一样强调对概念的理解，并通过四原则来实现――即阐述主题的“几何化、数值化、代数化和文字化”。如讲极限概念时，通过数值计算、图形演示的方式直观而自然地引出了极限的文字化定义，或者说直观定义，再以同样的方式给出大量的例子，甚至极限的运算法则。让学生首先对极限本质有了一个强烈的认识之后，再在后面的内容中进一步介绍极限的严格的代数化定义――ε-δ定义。强化了对极限这一概念本身的理解。

人大版《微积分》与我国其它大多数微积分教材一样更注重严格的逻辑证明和公式的推导，主要以代数化，辅以少量几何化的方式阐述数学内容，对于内容的数值化和文字化的表示则略去不提或一笔带过。仍以极限为例，人大版《微积分》通过两个数值的例子引出极限的直观定义后就直接进入到ε-δ定义，并将重点放在了用此定义证明极限上面。学生的注意力很快就从极限本身转向了公式的推导和证明。这导致不少学生在学完微积分后能证明和计算极限，却不能清晰地说出极限究竟是什么。

日本数学家米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”在通识教育、素质教育的大背景下，转变和革新教学理念并将其体现在教材建设上来，是每一个数学教育工作者都应该深入思考的问题。

数学应用的比较

与国内教材相比，国外教材的一个突出的特点是把数学理论应用于解决实际问题。教材中的应用题习题量大、时效性强，选择的几乎都是最新的实际问题，内容涉及物理学、几何学、生物学、化学、医学、经济学、金融学、社会学、建筑学、地质学等，几乎包含了各个学科领域。而且时效性较强，不同的学科领域面广、量大，紧密结合了最新的实际问题。如Stewart《微积分》（第5版），第17页在讲到函数的表示方法时给出了Northridge地震的记录图；第210页在讲到导数刻画变化率的问题时，所引的例子为物理学上金属杆或金属片的线密度，化学中化学反应的反应速度，生物学中血液流动速度相对于血流到血管中心轴线距离的变化率，以及经济学中生产的边际成本；在讲到导数的应用问题时又介绍了对彩虹的形状、位置和颜色的数学解释。尽管这些问题从数学角度来看都只不过是关于某个指标的变化率，然而一旦和实际问题相联系，既增加了题目的趣味性，又拓宽了读者的知识面，价值大大增加了。

国内教材在应用方面多局限于微积分在物理、几何中的传统应用，而且所涉及到的数据也多是纯为解题而编造出来的，并非如国外教材一般多用的是现实生活中的真实数据。由于缺少时代气息和真实感，国内教材容易使学生感觉到自己与微积分距离十分遥远，从而影响了其学习积极性。实际上，微积分的一个显著特征是数学核心内容十分成熟稳定，但应用却越来越广泛。Stewart版《微积分》通过精选只涉及较为初等的数学知识而又能体现微积分思想和数学建模精神，能引起学生兴趣，又是学生在生活中可能会真实接触到的案例，训练了学生用数学解决实际问题的能力。近年来，国内教材在这方面有所改进，但做得仍然是很不够的。

学习方式的多样性比较

Stewart版《微积分》在引入数学主题的时候，经常先给出数值计算的近似结果，再尽量给出几何直观图，最后再给出严格的叙述。把数学理论和计算机技术有机结合，这是很多美国微积分教材的又一突出特点。这样做，既符合科学发现的规律，又给学生提供了利用近似计算解决工程等实际问题的范例。随着现代技术的发展尤其是计算机代数系统（CAS）的出现使计算机具有了多重联系表示系统，为教学提供了契机。在Stewart版《微积分》中穿插了大量的利用数学软件进行计算作图的问题，所做的图形精确漂亮，能使学生真实地感受到数学的美，增加了学习的兴趣。如第142页讲到无穷远的极限时，先给出数值计算的近似结果，然后给出了CAS画出的精确度比较高的直观图形，再给出严格的论证。学生也可以利用CAS强大的功能去解决很多计算问题，从而有更多时间去深入思考概念、基本理论和更复杂的例子，并应用到实际问题上。此外，网络技术的发展使微积分教材变得更加立体，Stewart版《微积分》随书附赠了两张CD-ROM，一张称为“TEC”（感受微积分），提供了一个实验环境，如同一个无声的老师，用探索、启发式的方法逐步引导学生分析并解决问题，还能链接到网络教学资源网站。另一张称为“Interacive Video Skillbulder”（交互学习微积分），包含有与微积分教学有关的视频与音频等。教学可以不再局限于课堂，教学时空得到了延伸。

人大版《微积分》在计算机技术的应用上体现得很少，只是把部分较简单的近似计算内容穿插在相应章节中，由于没有把这些计算和计算机结合，手工计算又很繁琐，因此在教学中要么不讲，要么一带而过，完全体现不出近似计算在实际应用中的重要价值。这一点对于工科和经管类专业的学生来说应该是个不小的遗憾。

例题和练习题设置的比较

Stewart版《微积分》习题的量很大，而且题目的类型也多，从概念复习题、判断题，到难度各别的计算题、证明题和应用题，一直到综合性较强的探索研究题，此外还有用CAS解决的各种练习，习题按节和章安排，每节的习题分为一般练习题（包含难度各异的计算题、证明题和应用题）和应用研究题，每章的总习题则分为概念题、基于概念的判断题、练习题和附加题（主要是一些难度或灵活性较大的题，或者是对某些教材内容进行推广的习题或探索性习题），层次分明，便于使用。在习题的选配上，Stewart版《微积分》具有以下几个特点：其一，每章都专门设计和集中编排了一些非常基本的概念题，以帮助学生学习和复习基本概念；其二，与基本概念和定理相结合的图形题不仅多而且设计精妙；其三，编排了一些不同数学学科之间的交叉题，有利于开阔学生的眼界，激发学习其它数学课程的兴趣；其四，应用题数量多、覆盖面广，所用数据都来自生产与生活实际，有很强的真实感，不少应用题及时反映了当代科技发展的新成果，贴近时代步伐；其五，有相当数量的使用计算机技术的习题；其六，注意习题的趣味性，增加习题对学生的吸引力。

人大版《微积分》习题按章安排，每章习题分为（A）、（B）两部分，（A）部分基本是难度各异的计算题，以及少量的证明题，某些章还有少量概念题和应用题；（B）部分均为选择题，以计算为主，有少量考查概念理解。

对比发现，中美微积分教材在习题的风格和设计的立意上有着明显差异。就风格而言，我国的教材习题类型比较单一，从数学上“加工”的比较正规，多为机械式的重复训练，相对比较枯燥；而美国教材的习题形式比较多样，有些题目是比较开放性的。就设计立意而言，我国教材的习题多以知识立意为主，立足于对所学知识进行复习、巩固和推广，比较严谨；而美国教材的不少习题立足于能力立意，更注重数学应用能力的培养，比较活泼。应该说两种风格和立意的习题各有优缺点，具有互补性。

结束语

总体来说，两种教材在基本的内容体系和知识点上差别不大，比较明显的差异在同样内容的不同呈现方式上。我国的教材大多比较注重符号的抽象表达、符号转换和公式推导，过于强调理论的严谨和数学语言的表述，通常忽视了浅显易懂的自然语言的运用。所以针对概念的数值、图像、符号、自然语言的不同表达，我国学生呈现出符号较强、图像稍弱、数值与语言最弱的趋势。这使得学生对抽象概念能暂时记住，会用于计算或证明，但对其中所包含的数学思想缺乏真正的理解，无法用来解决实际问题，时间一长自然就都忘却了。如果能借鉴美国微积分教材编写的“四原则”，以多种表征方式呈现知识，学生也许更容易接受抽象概念。适度使用计算机技术，使教材能够变得“立体”起来。加强对数学理论进行实际应用的内容，使学生真正明白微积分能做什么、怎样做，从而激发学生的学习兴趣。当然，我国的微积分教材也有自身的优势，如前后内容衔接紧密，条理清晰，重复少，在课时有限的情况下教师容易教学等。但是，在我国微积分教材总体趋同的现状之下，美国微积分教材为我们提供了一个新的思路和参照，有重要的借鉴作用。“他山之石，可以攻玉”，理科数学、工科数学、经济管理类数学、文科数学、职业教育的数学，不同层次的微积分教材大同小异，无非是经典内容的增删取舍，体现不出应有的差异性。

参考文献

[1]郭镜明，应明，朱小平.美国微积分教材中的习题配置特色[J].大学数学，2005（2）

[2]James Stewart著，白峰杉译.微积分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004

微格教学的概念范文第2篇

关键词：概念意象 心理干扰 整体教学

一、高等数学概念形成的心理过程

数学概念是构筑数学理论的基石，是数学思想方法的载体。高等数学是由概念―性质（公式）―范例组成的数学系统，概念是源头，性质（公式）都是由它衍生出来的，因而高等数学概念的教学在整个高等数学的教学体系中显得极其重要。高等数学概念与初等数学概念相比更加抽象，往往都以运动的面貌出现，是动态的产物，因而高等数学概念的学习者往往需要做出思维模式上的调整。这就要求我们在高等数学概念教学过程中不仅要重视概念的实际背景与学生已有的知识经验，更要注重学生在概念形成中的心理过程，解决抽象的高等数学概念给他们带来的心理困惑。

在教师指导下数学概念获得的过程一般分为以下六个步骤［1］：

（1）观察一组实例，从中抽取共性；

（2）下定义，分析含义，了解概念的本质属性；

（3）举正、反例，弄清该概念的内涵和外延；

（4）将该概念与其他有关概念进行联系和分化；

（5）重新描述概念的意义；

（6）运用概念，使之变成思维中的具体。

通过对上六个步骤心理过程的分析，我们可以把学生数学概念的形成概括为两个心理阶段：一是从正确完整的概念意象抽象出概念的规定（这里的概念意象也就是在学生的头脑中和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质）；二是使概念抽象的规定在思维过程中导致具体的再现。因而教师在概念教学中主要把握就是这两个阶段的基本要求：如何让学生产生正确完整的高等数学的概念意象，并从中抽象出高等数学概念的内涵，以及如何使这一概念成为学生思维中的具体，即将概念的形象化。

1.从正确完整的概念意象到抽象的数学概念

一般常识性的概念的形成都需要一定数量的经验，从对具有某种共同性质的实例中概括、抽象，然后再分类过程中获得。数学概念更加抽象，但仍然是一种处理实际思维的方法。没有实际思维材料，就没有思维运算的对象，运算没有对象，抽象就没有基础。从心理本质上讲，数学概念学习中，仍应以实例为出发点，这是运算思维的要求。所以数学概念应通过恰当的实例进行组织整理、分析归纳、分类抽象来教学。实际上，这些引例在概念学习之前不仅介绍了基本概念产生的客观背景及其在解决实际问题中的意义，也有利于教师后面对所学概念给出几何意义、物理解释以及其他联系实际的解释，还让学生感受到数学概念不是凭空设想出来的，而是来源于实际，根据实际需要建立的。更重要的是从这些引例中得到的概念意象――这些在学生的头脑中具有的和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质，是抽象得出所要学习的概念的基础前提。

这里我们要强调注意在学生头脑中所形成的概念意象的正确性和完整性。不正确和不全面的概念意象可以影响学生头脑中形成的数学概念的准确性和全面性。

在微分学中学习函数图形的切线这一概念时，我们给出了函数的图像，结果发现：80%的学生正确地认为可以在原点画出一条切线，但是能正确画出切线的学生数竟低于20%。调查表明，90%以上学生反思在他们形成切线概念的概念意象中，函数图像除了极大值点和极小值点外，其他的点不存在水平的切线。

另外不恰当的概念意象还会严重影响学生头脑中形式化理论的发展。以极限这一概念为例，Robert（1982）分析过一系列学生用于处理极限问题的思维模型［2］，这些模型被看作是概念意象的很好的例证。Cornu（1981）和Sierpinska（1985）曾把学生学习极限概念的演变作为一个克服障碍的过程，并提出了五类障碍，其中最重要的就是恐惧无限，其结果就是不少学生不把无限作为一个专门的数学运算，或干脆使用不完全归纳法求得极限。Wheeler和Martin（1988）也曾研究得出，学生关于无限概念和他们头脑中所蕴含的概念意象明显不一致［2］。

2.从抽象的规定到思维中的具体

从正确完整的概念意象抽象得到的数学概念是学生掌握数学概念的第一个重要的心理过程，概念是否得到正确掌握还要检验概念的抽象规定是否能变成学生思维中的具体，也就是将概念的形象化能力。

比如在学习导数和微积分的概念时，学生往往有一种强烈的心理倾向，就是将这些内容化为代数运算，而避免图像和几何意象，求函数的导数和微积分的“大运动量”的强化运算也使得学生头脑中形成的关于导数和微积分的概念缺乏形象化，影响对数学概念的真正理解和运用。

例如讨论f(x，y)=2x+4y+y ( +x )的可微性时，90%以上的学生立刻计算f的偏导数，而不是观察表达式的结构。其原因就是学生在一个纯粹算法的水平上理解了微分的概念，并没有把微分理解为逼近，也没有把它作为函数。

又如学生在学习积分时，往往是把积分计算作为求原函数，背诵记忆积分公式。他们能很熟练地写出某个函数的原函数，但让他们解决下列一个问题时，几乎没有学生认识到这是个典型的积分问题。所举例的问题是这样的：求放在一条直线上的一根均匀的给定长度的细棍与位于该直线上的一个质点之间的引力。

产生这些结果的原因有两个：由于对函数概念理解不全面，学生不能把微分和积分看作是函数；以及微分和积分与他们头脑中的函数的意象不一致。归根到底就是学生对函数、微分、积分等这些概念的形象化的缺乏，使得这些概念抽象的规定不能转化为思维中的具体。

二、高等数学概念教学方法的心理学建议

1.注意心理干扰的作用。

在以上分析的概念形成的两个心理阶段里，无论是为了揭示概念的内涵还是弄清概念的外延，在所出现的实际例子中的一些与概念本质无关的性质，会对概念的建立起到心理干扰的作用。要注意的是，并不是所有的心理干扰都是有用或都是无用的。在概念形成的第一个阶段，为了揭示概念的内涵，教学上应当注意降低无关性质的心理干扰，使概念的本质内涵清楚地体现出来，让学生不致被无关细节迷惑。而当概念的定义抽象提取出以后，在第二阶段为了让学生搞清概念的外延，这时增大干扰能训练学生从较难的实例中分离出概念性质，以减少他们对教师的依赖。

2.建立概念体系，注意概念的整体教学。

“格式塔”心理学认为，人的知觉、行为和经验具有整体性，并且总体大于部分和。皮亚杰提出了整体心理结构的“构建”，认为人的认识活动总是要形成整体的心理结构，这种心理的整体结构使人的思想更加完善，并且是获得更高知识的有效工具。数学概念也有类似的整体结构的性质。每一个概念总是概念结构层次中的一个成分，与其它概念存在着包含、从属或并列关系。因此对数学概念的理解，从心理学上可解释为要求将它同化到一个适当的概念体系中去，从它与其它概念的关系中理解。

数学概念学习中的整体性要求我们不能按照概念获得的先后次序单纯积累知识，也不应该根据数学本身的逻辑演绎体系编排概念的整体。数学概念之间往往是“相辅相成”的关系，而非“一脉相承”的关系。不能只靠前面的概念来理解后面的概念，后面的概念同样能帮助理解前面的概念。比如，微积分中拉格朗日定理可以推得柯西定理，柯西定理又可推得泰勒公式。当我们跨越式地回头看，又可发现拉格朗日定理是泰勒公式的特例。这样关系的揭示，使得学习者对已有的概念不断更新、改造、组织、整理，形成有序整体，从整体内部进行正逆向、交叉、跳跃式的联系，从总体中认识局部的、孤立的概念之间的内部联系，以抓住本质属性。

概念的这一整体式教学方式，要求教师在教学中应当采用适当的、能包括较长期教学任务的整体性手段来加强教学。在知识复习中改变知识综合的过程，调处“重述知识、强化联系”的老模式，使学生能有一个自己组织和更新理解已有概念的过程。这样的整体式的教学方法比题海式训练的效益高，学生的记忆负担也轻。

3.合理借助概念的直观性。

高等数学是在代数法与几何法两者密切结合的基础上发展起来的［3］，具有几何直观的优势，我们在概念的引入、形成、理解和应用时中应当合理地借助它的直观性。这符合我们在上面分析概念形成的两个心理阶段中所提出的要求，无论是选择和运用的概念意象，还是思维中的具体，都要求将概念直观化。如流速场中的散度这个概念刻画的是一个点是否为源，以及源的正负与大小。在电场中，电位移向量的散度表示在一个点是否存在电荷，电荷的正负以及电量的大小，与通量相比较，同量反映的是全局性态，而散度表示的是一个点处的性态。好比在一个公司里，通亮相当于整个公司的经营结果，而散度相当于每个员工的工作结果。这样的直观性的类比使学生对散度的概念变得很清晰，也为学生更好地理解高斯公式的物理涵义铺平了道路。

参考文献：

[1]张奠宇，唐瑞芬，刘鸿坤.数学教育学[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[2]唐瑞芬，李士.数学教育评价研究[M].上海：上海教育出版社，1995.

[3]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003，(2)：83-86.

微格教学的概念范文第3篇

关键词：高等数学 教学法 创新

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果标志着一个国家的科技水平，培养具有创新意识和科研能力的人才是高等院校所面临和必须解决的实际问题，然而科研能力的培养并非要从研究生阶段才开始着重培养，在本科阶段的教学中给学生尽早接触科研的机会，让学生从本科阶段开始培养一种标新立异提问题的习惯至关重要。而对本科生科研能力的培养最主要的途径就是在对其传授知识的过程中完成的。高等数学作为高等院校各院系一门重要的公共基础课之一对学生在四年大学生活中扮演着重要的角色，高等数学中微积分的创立、一元微积分到多元微积分的发展以及各个重要概念的产生无不透露出数学家发现问题和解决问题的思路，如果能够从中进行引导，找到适合的切入点，逐步在学习过程中让学生积累素材并培养一种问“好”问题的习惯，本科学生一样可以接触科研。

培养学生的科研能力，最重要的是培养学生发觉问题的能力，而这首先要求学生改变以往的学习模式，即由被动的接受到主动的思考创造的学习模式的转变，这种学习模式的转变进而要求教师授课模式的转变。本文就讲透基本概念，引导学生发现学科的不足及类比教学等几方面来谈谈如何引导学生转变学习模式，进而培养学生的科研能力。

1 讲透基本概念

数学中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到头来学生可能只会做部分简单的习题。事实上，高等数学授课的主要目的并非让学生学会如何计算导数和微分，更多的是该让学生把握数学思想，深刻理解数学概念。深刻理解概念即要把握概念的本质。以极限概念为例，怎么理解数列，如果只是按照书上的定义把语言写出来还远远不够，应该告诉学生极限最本质的东西就是用距离去刻画，即数列和某个定点的距离当时无限接近。知道了这一点，平面上一个点列的概念自然就有了，同样我们用点列和点的距离当时无限接近去刻画。只是需要注意的一点的是，平面上两点间的距离不能再用绝对值了，而是用

进而到维空间中乃至无穷维空间中如何定义点列收敛我们都可以知道，关键是距离起着重要作用。再以函数可微概念为例，很多学生只知道，至于为什么求微分，以及什么是可微函数不知道。这些就需要老师在讲授这个基本概念的时候介绍清楚，让学生搞透这个概念。事实上，一个函数是不是可微就是看这个函数的增量与其自变量的增量是否可成一个线性比例关系，即是否成立，知道了这一点，可以立即让学生去思考如果是一个二元函数是否可微该如何定义？按照上面的说法，二元函数的增量和其自变量的增量是否成线性比例关系，二元函数的变量是两个，即看是否成立？同样多元函数的可微性乃至一个泛函的可微性理解起来都很简单了。搞透数学中的基本概念这是让学生能够不断思考并发现问题的前提。

2 引导学生发现学科的不足

无论哪门学科之所以产生、发展，往往源于人们对已有相关学科的不满以及该学科创立时的不完善。作为教师，应当更多地呈现给学生所讲学科的不足及存在的问题，这样学生才有思考的余地，把学科的不足及问题隐藏起来而只把学科完美的漂亮的结果展现给学生，那么他们就只会做练习而永远也不会去创作东西。要知道，正是当年微积分的不完善才有了极限的产生。数学就是在不断地发现学科的不足并改进的过程中逐步完善起来的。众所周知，数学史上曾发生过三次数学危机，可每一次危机都没有前人的理论而只是在数学这座漂亮的高楼大厦上添砖加瓦而已，危机使数学更加完善了，危机的产生正是由于学科本身的问题和不足导致的。

当讲完定积分时不能让学生认为定积分是完美无暇的，应该让学生寻找这个概念的不足之处，比如狄利克雷函数，这样简单的函数为何不可积？可能有人认为这是实变函数的内容超出了高等数学的范围，事实上不是这样的。通过让学生寻找定积分的不足可以锻炼学生的一种思维方式，培养学生的创新意识。人人都认为所创造出来的学科是神圣不可侵犯的话就不会有所发展了，这给了学生一种提出质疑的态度，培养了学生问问题的一种习惯，久而久之，学生的科研能力也能加强。另一方面，我们可以告诉学生黎曼积分不是那么完美的，因为还有一种更广泛的积分就是勒贝格积分，告诉学生在微积分之后还有一门后续课程是实变函数，感兴趣的同学会自己去查阅。同时我们可以用形象地数钱地方式告诉学生什么是黎曼积分，什么是勒贝格积分。有一搭钱，我想知道数目是多少，从头开始累加而不管其面值是多少可以得出最后的数目这就是黎曼积分，如果会打理一些，把面值相同的钱先放在一起，5元，10元，100元，再数各面值的有多少张，最后算和这就是勒贝格积分。这样不仅提高了学生的兴趣，加深了他们对概念的理解，也开阔了学生的思维。

3 类比教学

数学中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相关概念的归纳比较，展示概念之间的内在联系和本质区别，让学生在比较中学习，从比较中加深理解，从整体上把握所学到的诸多概念，这样既可以学习新知识又可巩固旧知识。以无穷积分与无穷级数为例，从定义来讲，无穷级数与无穷积分的基本概念之间存在离散与连续的对应关系：

，

（前提是极限都存在）。这样很容易得出p级数与有相同的敛散性（这是教材的一个定理），这样学生能自己去给出这个定理，不仅很快掌握了，而且有着自己发现定理的成就感。

4 结语

高等数学的教学要使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法，而且领会到数学的精神实质和思想，从而在自己所学的领域中不断发现问题并运用其相同或相近的思想解决问题。只有转变了学生从被动接受到主动思考创造的学习模式，才能培养其科研能力。

参考文献

微格教学的概念范文第4篇

相对概念的比较就是将相对概念成对地出现在学生面前，使学生用统一的观点认识他们的相同点、不同点。例如，在介绍六个基本初等函数时，可对比介绍指数函数和对数函数、三角函数和反三角函数，通过比较，有利于学生较快的掌握知识，形成良好的认识结构、完整的科学体系。又如，在经济数学中，导数与不定积分互为逆运算。所以，在不定积分概念的教学中，可以以导数为基础学习不定积分，这时导数概念的学习为不定积分概念的学习准备了认知条件。相对概念的比较还有助于学生逆向思维能力的发展。可逆思维能力是学生智力发展中起重作用的一种思维能力。导数的进行是单向的，与导数相对应的积分本身也是单向的，将导数与积分联系起来，比较着进行，就揭示了它们之间的互逆关系，给学生认识可逆性提供了机会，有利于他们可逆性思维能力的发展。

2.新旧知识比较，由故引新

新旧知识是按教学中知识出现的先后顺序而定的，旧知识是指学生已学过的知识，新知识是指学生即将学习或正在学习的知识。经济数学教学中常将新旧知识联系在一起，结合着旧知识学习新知识，并确定新旧知识的联系和区别，这就是新旧知识的比较。比如微分几何意义的学习，教师应该对照导数几何意义进行教学，可先引导学生复习导数的几何意义，引入微分的几何意义，联系前后知识，比较出两者的区别与联系，可让学生更好的理解微分几何意义这一新知识。又如，不定积分概念的学习，教师可对照导数概念进行教学，通过联系前后知识，可让学生了解定义概念的来龙去脉，可化难为易。实践证明，新旧知识的比较对于学生巩固旧知识、突出新知识，使新旧知识在头脑中清晰地联系起来，能起到积极的作用。

3.易混概念比较，排除干扰

在经济数学概念体系中，由于某些概念有某种相似性或有些概念有几种不同的表示方法，致使学生在学习中容易发生错误，产生概念之间的混淆，把不同的概念认为一致，看不出不同形式下概念实质的一致性。比如，函数在某一点的可导性和可微性是互为充要条件的，微分运算也是由导数运算而来（dy=y′dx），学生便会对这两个概念混淆，教师可通过从研究问题、定义和几何意义几方面比较归纳出它们的相同或类似点后，再找出区别概念间本质的不同点，学生便可明确易混概念间的联系与区别。

4.数与形比较，促进知识理解

微格教学的概念范文第5篇

关键词： 极限思想 产生 发展 完善 思维功能

1.极限思想的产生

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法――归谬法来完成有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

2.极限思想的发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，对求极限得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础。他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”但牛顿的极限观念是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，无限地接近于常数A，那么就说以A为极限。”人们容易接受这种描述性语言。现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

3.极限思想的完善

极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，许多人尝试解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚，对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解，对有限和无限的对立统一关系还不明确。人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。

到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”它接近于极限的正确定义。然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy／Δx的极限f′（x），并强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。

到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别的，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”

柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。即在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。

柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。

为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓f(x)＝A，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式｜f(x)－A｜＜ε恒成立。”

这个定义借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。

4.极限思想的思维功能

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从直线形认识曲线形，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确。

极限思想反映了近似与精确的对立统一关系，他们在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要方法。数学分析中的“部分和”、“圆内接正多边形面积”、“矩形的面积”、“平均速度”，分别是相应的“无穷级数和”、“圆面积”、“曲边梯形的面积”、“瞬时速度”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来得到精确的。

5.用极限思想所建立的概念

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。利用极限的思想方法可得出连续函数、导数、定积分、广义积分的敛散性、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

参考文献：