数值计算方法范文第1篇

关键词：数值计算方法；教学；实验；多媒体

数值计算方法是高等学校信息与计算科学专业的一门主要的专业课程，主要研究如何运用计算机近似求解数学问题的方法，逐渐成为数学与计算机科学的交叉性学科，既有纯数学的系统性和严密性特点，又与纯数学的研究重点不同。通过学习本课程，使学生理解并掌握科学计算中常用数值计算的基本原理和方法，并具备建立数学模型的基本技巧；训练学生熟练运用计算机编程语言实现各种数值计算方法；培养学生自行处理常规计算问题的能力和综合运用知识分析、解决问题的能力，达到理论与实践相统一。与数学专业不同，信息与计算科学专业应以实用性为出发点。结合近几年该门课程的教学情况，觉得有必要对这门课的教学内容进行更新、对教学方法进行改革和教学手段进行研制开发。

一、教学内容的更新

数值计算方法中数据的复杂性、算法的抽象性使初学学生感到无所适从，畏难情绪从第一堂课就开始了。如何充分利用有限的学时，在系统讲授数值计算方法的同时，让学生学会应用所学的算法去解决实际遇到的问题，从而使理论成果在实践中得以应用，并在实践中丰富理论算法，是这门课教学的基本方向。每一章基本算法的讲授都应先给出实例，从实例中引出问题，引导学生思考如何运用数学理论去解决问题，最后再给出算法，这样能够激发学生的学习兴趣。同时，数值计算方法该门课程的结构表面上感觉比较松散，实际上各个章节之间都有着密切的联系，所以要重视课程体系结构的讲授。如果没有一条主线贯穿始终，学生无法深层次地理解知识结构之间的联系。因此，在教学中要使各章之间保持一种紧密的联系，这样，学生的思路就会比较清晰，对知识的掌握更加扎实，实现由学习-应用-创新的进阶，并最终掌握科学计算的精髓。

二、教学方法的改革

在课堂讲授中应该遵循教学的主体是学生、主导是教师的原则，采取课堂讲解和提问题相结合，引导学生从实际问题出发，建立数学模型，在对模型的分析中结合以前章节中学习的数学思想，自己思考并动手推出相应的计算公式，而不是机械地记忆所学的数学公式，学生就不会觉得数值计算方法很枯燥。另外，针对数值计算方法课程内容过于抽象、难以理解的特点，采用直观式教学方法，将课堂板书和多媒体相结合。为了加深学生对基本概念和理论的理解，这部分内容以传统板书为主。而对于实例以及复杂公式的计算，应采用作图对比、幻灯片和动画进行演示和练习，来突出所要学的知识和已学知识的联系，以及所要学知识的几何直观性，从而节省时间，有利于培养学生的数学直觉，提高学习的积极性和主动性，提高学习效率。其次，针对数值计算课程抽象理论证明多的特点，尽可能多地从相关资料上收集最新的学科信息，寻找一些本学科在其他学科中应用的实例，引导学生思考问题，活跃课堂气氛，通过分组讨论的形式自由解决问题。同时，在讨论过程中，让学生深刻体会到数值计算方法的结果“没有最好，只有更好”，任何一个问题都没有现成的答案和方法，只有通过独立思考，反复实验比较，才能得到更好的计算结果。而且，不同讨论组所得到的结果会相差甚远，这样可以激发学生互相交流，比较方法的优劣，从而改进问题的求解。这种互动式的教学方法，注重课堂气氛的培养，既能激发学生学习的兴趣，又能使其对课堂内容实践化。

三、教学手段的研制开发

由于数值计算方法属于基础理论课程，在黑板上进行数学推理的过程同时也是学生消化理解知识的一个过程，因此内容的讲授还是主要以黑板为媒介。但是随着现代科学技术的发展，网络和多媒体技术在日常教学中的作用日益显现。在教学中，充分利用计算机和网络资源，通过计算机演示各种数值计算方法的运行结果，并对各种结果进行图形的比较，使得课堂教学环境更加形象生动，不仅大大增加了教学信息量，而且有效地激发学生的形象思维。为适应时代的发展，在教学中应精心制作相应的教学课件，提前准备课程中部分复杂的数学推导过程和计算框图，这样大大节省了在课堂上书写繁琐公式的时间，并且可以将主要精力集中在讲透基本概念、原理、技巧、算法设计与程序实现方面。同时，将一些重要步骤制作成多媒体动画，并配有清楚的文字说明和与图形变化对应的动态数据显示。此外，制作每次课的电子教案，突出教学的重难点，并且在复习时可以将课程内容贯穿在一起，更好地帮助学生理解课程的体系结构。

参考文献：

[1]王能超.数值分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

数值计算方法范文第2篇

关键词：数值计算方法；数学建模；必要性；途径

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）24-0047-02

随着计算机的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如《计算物理》、《计算化学》、《计算生物学》、《计算地质学》、《计算气象学》和《计算材料学》等，而《计算数学》中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。因此掌握数值计算方法的基本理论及其应用对理工科大学生从事专业研究具有重要意义。那么如何加强学生对计算方法思想的领悟？如何增强学生运用计算方法思想解决实际问题的能力？在计算方法教学中融入数学建模思想是值得我们认真思考的问题，也是解决学与用关系的一个非常有意义的尝试。笔者参加了山东省精品课程数值计算方法的建设，又结合近几年的教学体会，提出以下几点认识。

一、数学建模思想融入数值计算方法教学的必要性

1.传统数值计算方法教学的不足之处。值计算方法，也称数值分析或计算方法，是专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的理论分析。课程中有大量的、冗长的计算公式，所涵盖的知识面宽，各部分内容自成体系，因而给人的感觉是条块分割严重，逻辑性、连贯性不强。在传统的数值计算方法教学中，主要是讲解定义、公式推导和大量的计算方法等。很多学生在学习的过程中甚至考试结束之后仍然不知道自己所学的算法能在什么地方应用，导致学生学习目的性模糊，学习兴趣减少，因此加强培养学生的数学建模能力具有十分重要的意义。

2.数学建模思想在数值计算方法教学中的作用。所谓数学建模[1]，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过做一些必要的简化和假设，明确变量和参数，并依据某种“规律”，运用适当的数学理论，建立变量和参数间的一个明确的数学关系式，这个数学关系式即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模。建立实际问题数学模型的过程如下[2]：实际问题建立数学模型求解模型检验模型结果修改模型再求解模型（可循环多次）实际问题的合理结果。在这个过程中，只有一小部分模型能解析求解，大部分数学模型只能数值求解。这就要用到数值计算方法课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、曲线拟合法、方程迭代求解法、共轭梯度法等，这就启发我们将数学建模的思想融人计算方法的教学中，提供数值方法实际应用的源泉，体现数值方法的价值和意义，使数学教学不再是无源之水，无本之木，不再显得那么空洞，从而把以往教学中常见的“要我学”真正地变成“我要学”。

二、数学建模思想融人数值计算方法教学的途径

将数学建模的思想融人数值计算方法教学中是很有必要的，但具体如何融入呢？结合教育的实际，笔者提出以下几点建议。

1.原则。课堂教学的主要内容和地位而言，数值算法是课堂教学的主要内容，数学建模仅作为一种教学方法而存在，是学生认知的一种途径，它为数值计算方法教学服务，是教学工作的一种延伸和补充，处于从属地位。数值计算方法为主，数学建模为辅，二者不能平分秋色，更不能本末倒置。因此，数学建模思想渗透到数值计算方法教学中的量不能超过一个度，否则，数值计算方法课就会变成数学建模课。

2.在解决应用问题的讲解中渗透数学建模的思想与方法。值计算方法中的数值方法都有很强的实际应用背景，每一种方法都直接或间接与工程应用有关。教学中通过对实际应用背景的描述，可以激发学生的学习欲望和探究心理，从而对学习内容及过程产生强烈的兴趣和需要。这就要求授课教师了解其他相关学科课程，让学生知道所学的知识在不同领域的应用。例如：在信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点，建筑工程的外观设计，天文观测数据、地理信息数据的处理，社会经济现象的统计分析等方面，插值技术的应用是不可或缺的；在实验数据处理问题中，曲线拟合得到广泛应用；在汽车、飞机等的外型设计过程中，样条技术的引入使其外型设计越来越光滑、美观。

3.数学实验中渗透数学建模的思想与方法。机环节是数值计算方法这门课程重要的组成部分，也是检验学生理解授课内容好坏的“试金石”。授课教师可以结合实际和所学数值算法设计一些综合性的问题，让学生去解答。学生通过查阅资料，认真研究，建立模型，设计算法，编程上机，调试运行，得出结果。这个过程既提高了学生编程上机能力，对所学算法有了更深刻的理解，而且对提高学生应用所学的计算方法知识解决实际问题的能力也有很大帮助。

4.在案例教学中渗透数学建模的思想与方法。案例教学[3]，就是在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法。所选教学案例要尽可能结合学生所学专业，并且涉及相应数值算法而又能体现数学建模思想。这样既使学生掌握了数学建模的方法，又使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器。下面具体举一个例子给予说明。例：三次样条插值案例．在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。解：传统的设计方法是工程技术人员常常用一条富有弹性的均匀细木条，让它们依次经过离散数据点，然后用“压铁”在若干点处压住，在其他地方让它自由弯曲，然后沿细木条画出一条光滑曲线，形象的称为样条曲线

在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数是A，弯矩为M，样条曲线的曲率为k（x）。由力学知识：Ak（x）=M（x），M（x）是线性函数，k（x）=■当 时（即小挠度的情况），上述微分方程简化为Ay"（x）=M（x），y（4）（x）=0因此，“样条曲线”在每个子区间可近似认为是三次多项式。通过此数学建模案例可以让学生体会三次样条的基本特征：分段三次光滑，整体二次光滑。

总之，在数值计算方法教学中融入数学建模思想，不但搭建起数值计算方法知识与应用的桥梁，而且使得数值计算方法知识得以加强、应用领域得以拓广，在推进素质教育和培养创新能力上将会发挥重要的作用。

参考文献：

[1]丁素珍，王涛，佟绍成.高等数学课程教学中融入数学建模思想的研究与实践[J].辽宁工业大学学报，2008，10（1）：133-135.

[2]曾国斌.试论数学建模与高等数学教学[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2008，21（3）：92-94.

[3]何莉.在高等数学教学中培养学生数学建模能力[J].科教文汇，2008，68.

数值计算方法范文第3篇

关键词:软土;地铁车站结构;振动台试验;数值计算方法

1 引言

神户地震和 历史 上发生的大震一再表明,对软土地基中的地铁车站等地下结构的抗震设计开展 研究 有重要的意义。对地下结构地震响应的计算,迄今已提出多种算法[1],然而由于对其涉及的各类复杂因素的 影响 尚认识不足,不同的计算方法或模型得出的结果存在很大的差异,且很难鉴别各自的合理性。本文建立软土地铁车站地震响应的分析 理论 与计算方法,并通过对模型试验进行拟合分析验证了所建立的车站结构动力响应的计算方法的正确性和合理性,以便工程设计实践 参考 。

2 软土地铁车站结构的振动台试验

软土地铁车站结构的振动台模型试验分自由场振动台模型试验、典型地铁车站结构振动台模型试验和地铁车站接头结构振动台模型试验等三种。试验开展过程中遇到的技术难题包括对地铁车站纵向长度的模拟,场地土的动力特性与地震响应的模拟,模型箱的构造与边界效应的模拟,以及量测元件设置位置的优选等。笔者对这些技术难题逐一进行了研究,并都提出了行之有效的解决方法, 使试验取得了可靠的数据[2][3]。

试验过程中,首先进行了自由场振动台模型试验,用以模拟自由场地土层的地震反应,据以获得模型箱内不同位置处的土的加速度响应,确定“边界效应”的影响程度和鉴别模型箱构造的合理性;然后通过典型地铁车站结构振动台模型试验了解地铁车站结构与土共同作用时地震动反应的规律与特征,为建立地铁车站地震响应的分析理论和计算方法提供试验数据。振动台模型试验记录了在不同荷载级别的EI-Centro波、上海人工波和正弦波激振下,加速度测点传感器的反应;由动土压力传感器,得到了各测点在不同加载工况下的动土压力反应时程;根据结构模型构件上布置的应变片,测得了构件应变的变化。

3 软土地铁车站计算方法

将自由场土体简化为多自由度体系,其动力平衡方程可表示为:

[M]{ü}+[C]{u}+[K]{u}={f} (1)

式中[M]、[C]、[K]分别为体系的质量矩阵,阻尼矩阵及刚度矩阵,{櫣}、{敶}{u}分别为相对加速度向量,相对速度向量和相对位移向量,{f}为荷载向量,对于非周期性的地震作用,初始时刻的结构体系的速度和位移一般为零,求解式(1)可得结构体系的瞬态反应。

本文采用拉格朗日差分法对式(1)求解,特点为在时域内将动力平衡方程转化为运动方程和应力-应变关系,即将计算区域离散为二维单元,单元之间由节点联结,并将运动方程:

采用如图1的过程求解,直到不平衡力足够小为止。

软粘土在卸载再加载及反向加载的过程中同时伴有弹性和塑性变形[4];同时对软粘土进行的动三轴试验表明,应变趋向于零时,其阻尼并不趋向于零,即在应变趋于零时,仍存在能量耗散[5]。笔者结合软土地铁车站振动台模型试验中对饱和软粘土进行的动三轴试验,将软土在动荷载作用下的能量耗散分为粘性和非粘性两部分,利用边界面模型理论建立软粘土的粘弹塑性动力本构模型,并通过对自由场振动台试验进行数值模拟计算,验证了该模型的有效性[6]。本文中对软粘土的动力本构模型采用粘弹塑型模型,将软粘土在动荷载作用下能量耗散分为粘性和非粘性两部分,其中粘性部分只与应变率有关而与应变的大小无关;非粘性部分为塑性变形的加卸载过程中的能量耗散。

4 地铁车站结构的振动台试验的拟合分析

4.1 计算简图

对地铁车站结构进行的三维计算与分析表明,横向激振条件下离端部较远的地铁车站结构可简化为平面应变 问题 进行分析。本文拟对离端部较远的主观测断面按平面应变问题计算,方向与激振方向平行,并与车站结构模型的纵轴垂直。计算区域以模型箱为界,底部边界在竖直方向固定,侧向边界在水平方向固定,上表面为自由变形边界。振动过程中,模型箱发生的变形,可略去不计,故侧向和底部边界在水平方向的加速度始终与台面输入波一致。计算网格划分如图2所示。

模型箱内衬厚17.5cm的泡沫塑料板,用以模拟场地土易于变形的特性,划分网格时泡沫塑料板和模型土均被离散为四边形单元,车站结构模型离散为梁单元,并在泡沫塑料板与土体、土体与车站结构之间设置了接触面单元,接触面单元由法向弹簧、切向弹簧、抗拉元件和滑片组成,滑片剪切强度采用莫尔-库仑准则。

振动台模型试验中模型土的参数值示于表1。车站结构材料的动力特性参数,拟按常规方法由将混凝土材料的静弹性模量提高给出,研究表明动弹性模量比静弹性模量约高出3050%,微粒混凝土试样的试验表明本次试验中微粒混凝土的静弹性模量可取为Es=7.0GPa,则其动弹性模量值为Es=7.0×1.4=9.8GPa。

4.2 计算结果与试验结果的拟合分析

自由场振动台模型试验表明,模型箱结构合理,其边界效应的影响未波及到地铁车站结构模型所处的位置,鉴于典型地铁车站结构振动台模型试验中,用于接受激振响应信息的传感器有加速度传感器、动土压力传感器和应变片等多种,以下拟对其分别作出拟合分析。

4.2.1 加速度反应的拟合分析

(1)加速度反应的放大系数

放大系数是指测点加速度反应的峰值与振动台台面输入的峰值之比。地铁车站结构振动台模型试验中,土体一半厚度处测点和车站结构模型上部测点的放大系数的计算结果、试验结果及相对误差分别如表2和表3所示。由表可见各加载工况下土体与车站结构模型加速度反应放大系数的计算结果与试验结果均吻合较好,且上海人工波各工况的拟合程度更好。

(2)加速度反应时程与富氏谱

对地铁车站结构振动台模型试验,图3、4给出了SH-4工况下土体一半厚度处测点的加速度反应时程及其富氏谱的计算结果及相应的试验结果,图5、6给出了SH-4工况下车站结构上部测点的加速度反应时程及其富氏谱的计算结果与试验结果。由图可见土体内及结构上测点的计算结果的波形、幅值与试验结果均基本吻合,两者在各频段的频率组成也均基本吻合,表明文中的计算方法可较好地模拟地铁车站结构的地震加速度响应。

4.2.2 车站结构模型的动土压力的拟合 分析

(1)动土压力的幅值

(2)动土压力的时程

图7给出了在SH-4工况下,结构模型侧墙中部测点的动土压力时程的计算结果与试验结果。由图可见地铁车站结构振动台模型试验中,结构模型侧墙不同部位测点的动土压力时程的计算结果的波形与试验结果基本吻合,也表明文中的计算 方法 可较好地模拟地铁车站结构与周围土体间的动力相互作用。

4.2.3 车站结构模型的动应变

车站结构模型构件的动应变幅值的实测结果表明,结构构件在各级荷载下均处于弹性受力状态。鉴于下中柱下端的应变最大,拟将各构件的动应变与相同工况下下中柱下端的动应变相比较,并将比值称为构件的相对应变。计算结果和实测结果的相对应变及其相对误差如表5所示。由表可见车站结构模型各构件相对应变的计算结果与实测结果基本吻合,本文采用的计算方法也可较好地模拟地铁车站结构的动力变形特性。

5 结论

本文的软土地铁车站结构的振动台模型试验为建立地铁车站地震响应的分析 理论 和计算方法提供了试验数据。采用本文的计算方法对振动台模型试验进行拟合分析,结果表明该计算模型可较好地模拟软土的动力特性、地铁车站结构与土体的动力相互作用,及地铁车站结构的动力响应特点。该数值计算方法较好地模拟了软土地铁车站的地震响应,可供工程设计实践 参考 。

参考 文献 :

[1] 杨林德,李文艺,祝龙根,等.上海市地铁区间隧道和车站的地震灾害防治对策 研究 [R].同济大学上海防灾救灾研究所研究报告,1999.6

[2] 杨林德,季倩倩,等.软土地铁车站结构的振动台模型试验[J] 现代 隧道技术2003,40(1):p7-11

数值计算方法范文第4篇

Abstract: This article mainly discusses the importance of mathematical software for the numerical calculation in computational mathematics and introduces the implementation for classical algorithms and the improvement for the algorithm by mathematics software. Finally, the applications of mathematical software in the numerical calculation is illustrated.

关键词： 数学软件；计算数学；数值模拟

Key words: mathematical software；computational mathematics；numerical simulation

中图分类号：G434文献标识码：A文章编号：1006-4311（2014）23-0250-02

0引言

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析，主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。计算数学的重要性日益显现。现代的科学技术发展都离不开大量的数值计算问题。比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，都有许许多多的数据要进行计算。

1计算数学必备的基础

除了掌握数学专业必修的基础课程：高等代数、数学分析、空间解析几何和概率论语数理统计、常微分方程之外，计算数学还应该掌握泛函分析，数学物理方程，矩阵分析，C语言程序设计等，更需要有数值分析、差分法、有限元法统称的偏微分方程数值解法。

2数值模拟及其重要性

数值模拟也叫计算机模拟。依靠电子计算机，结合有限元或有限容积技术，通过数值计算和图像显示的方法，达到对工程问题和物理问题乃至自然界各类问题探究。

数值模拟技术诞生于1953年Bruce和Peaceman等对一维气相不稳定径向和线形流的模拟。受当时计算机能力及解法限制，数值模拟技术只是初步应用于解一维单相流问题。1954年，West和Garvin等模拟了油藏不稳定两相流。

数值模拟包含以下几个步骤：

①首先要建立反映问题（工程问题、物理问题等）本质的数学模型, 即建立反映问题各量之间的微分方程及相应的定解条件，这是数值模拟的出发点。

②数学模型建立之后，需要解决的问题是寻求高效率、高准确度的计算方法。由于人们的努力，目前已发展了许多数值计算方法。计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及求解方法，还包括贴体坐标的建立，边界条件的处理等。这些过去被人们忽略或回避的问题，现在受到越来越多的重视和研究。

③在确定了计算方法和坐标系后，开始编制程序和进行计算。由于求解的问题比较复杂，比如方程就是一个非线性的十分复杂的方程，它的数值求解方法在理论上不够完善，所以需要通过实验来加以验证。正是在这个意义上讲，数值模拟又叫数值试验。这部分工作是数值模拟的重点。实践表明这一部分工作是整个数值模拟的主体，占绝大部分时间。

④在计算工作完成后，大量数据只能通过图像形象地显示出来。因此，数值的图像显示也是一项十分重要的工作。

3基于数学软件Matlab的数值算法实现

下面通过2个数值例子说明数学软件Matlab[1]在学习数值分析和差分方法上方便快捷和有效性

算例1[2] 比较分别采用二次插值和三次样条插值以及分段线性插值在求解下面问题，并考虑各插值方法的误差及算法效率问题。

求x=0.45,0.55,0.61,0.78,0.82,0.94的近似解。

一种是利用插值公式，建立M文件，构造出插值多项式，然后对所求的点带入求解。

这种方式针对Matlab初学者比较适用，一方面熟悉Matlab编程计算环境，联系编写M文件，为以后编写复杂的算法做准备。

第二种是直接调用Matlab软件自带的函数命令，yi=interp1(X, Y, xi, method)。

其中X是已知自变量，Y是已知函数值，xi待求节点自变量，method可为一次插值’linear’，二次插值’square’，三次插值’cubic’，样条插值’spline’。

在Matlab命令框输入以下命令

X=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]；%注意这两行命令是输入已知数据条件

Y=[-0.9163 -0.6931 -0.5108 -0.3567 -0.2233 -0.1054];

Xs=[0.45 0.55 0.61 0.78 0.82 0.94]；%需求节点值

Y1=interp1(X, Y, xs, 'linear')；%线性插值所得的函数值

Y2=interp1(X, Y, xs, 'square')；%二次插值所得函数值

Y3=interp1(X, Y, xs, 'cubic')；%三次插值所得函数值

Ys=interp1(X, Y, xs, 'spline')；%三次样条插值所得函数值

通过运行得到表2所示结果。

其真解为：-0.7985 -0.5978 -0.4943 -0.2485 -0.1985-0.0619

Xz=[X, Xs]

plot（Xz,Y1,’k-’,Xz,Y2,’k*’,Xz,Y3,’k’,Xz,Yz,’r’）

根据得到的计算结果我们分析其结果，会发现一次插值和三次插值的误差较大，并不是插值多项式的阶数越高，精度越高。

同时我们可以分析其偏差，利用下述代码计算

Error_21=sum(sqrt((Y1-Yz).^2))；%一次插值的误差

Error_22=sum(sqrt((Y2-Yz).^2))；%二次插值的误差

Error_23=sum(sqrt((Y3-Yz).^2))；%三次插值的误差

Error_2s=sum(sqrt((Ys-Yz).^2))；%三次样条次插值的误差

椭圆型方程有着重要的现实意义。比如，带有扩散的两物质自催化反应模型，带有非单调反应函数的两种群食饵-捕食模型，带有扩散的三种群周期互惠模型，带有扩散的三种群周期竞争模型本算例选取最简单的计算方法五点差分法求解椭圆方程问题。采用Matlab编程实现此计算方法的数值模拟。由于篇幅限制，本文仅例举出一维的带界面的椭圆方程的算例。这里求解的问题是椭圆方程在定义域内有不连续点的情形。 若问题采用五点差分格式计算椭圆偏微分方程边值问题，就可以转化为解含间断节点的椭圆边值问题，即构造改进五点差分格式算法去求解带界面的椭圆问题。由于篇幅限制仅列出一维问题的算例。

算例 2[3] -(βux)x+κu=f+Cδ(x-α)+δ′(x-α)

x∈Ω\a，Ω=[0,1]，α点处函数的左右极限及导数都不相等。并且满足跳跃值为[u]=u+-u-=，[βux]=β+u-β-u。

下面利用Matlab给出了改进的中心差分格式的算法实现，解决单个跳跃或者多个跳跃的问题。改进程序主要分为以下几个板块（a）初始化变量；（b）特殊单元差分格式的求解；（c）系数矩阵的求解；（d）线性方程组求解及误差求解（e）数据输出及可视化。若将[0,1]分为10等分求解分片二次多项式的问题，则得到的误差是机器误差。数值模拟及误差分布结果参看图2。其中图1（1）是一个间断点的数值解和真解的比较，图1（2）一个间断点数值解的绝对误差，图1（3）是两个间断点的数值解和真解的比较，图1（4）两个间断点数值解的绝对误差。我们发现模拟结果相当好，也验证了一维的浸入界面方法的精度为2阶精度。

通过 Matlab 软件实现了不连续问题的一维椭圆问题的求解。也可以实现很多基于经典数值方法的改进，求解更多复杂问题。用 Matlab 软件的编程容易实现可视化效果。基本实现了对计算数学的数值模拟的实现。当然这里只是举出2个简单的算例。

4总结

本文主要探讨了数学软件Matlab在计算数学的数值模拟中的重要性。并用两个数值例子说明了数学软件在数值模拟的有效性和可靠性。这将对有志从事科学计算的研究人员有一定的引导和帮助作用。

参考文献：

[1]Bruce G H, Peaceman D W, Rachford H H, Rice J D. Calculations of unsteady-state gas flow trough porous media[J]. Transactions, American Institute of Mining and Metallurgical Engineers, 198 (1953): 79-91.

[2]West W J, Garvin W W, Sheldon J W. Solution of the equations of unsteady-state two-phase flow in oil reservoirs[J]. Transactions, Ame，rican Institute of Mining and Metallurgical Engineers, 201(1954): 217-229.

[3]王沫然.Matlab与科学计算[M].北京:电子工业出版社, 2004.

数值计算方法范文第5篇

关键词：圆周率 实验法 几何法 分析法 计算机 作用

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）01（c）-0206-03

了解圆周率的演算历史与历史作用，对于我们更好的继承和发展数学事业都具用重要意义。

1 圆周率的历史演算

圆周率π是数学常数，它是圆的周长和直径的比，在社会生产与实践中应用是非常广泛的，圆周率的演算精度在某种意义上反映国家的数学水平。

1.1 通过实验演算值

演算值的初级阶段发生在公元前950年前后，是通过实验为依据，是根据对圆的周长与直径的测量演算得来。在古代人们把等于3长期应用，如基督教《圣经》中取为3，在印度、巴比伦等也长期使用=3这个简约数值。在《周髀算经》中对圆周率有过“圆周三径一”这样的描述，意思是圆的直径是1，周长大概为3，这说明了人类早期对值的估算，在东汉时期官方公布古率明确规定圆周率等于3，并以此来计算圆的面积。

人类的早期还应用其它不精确的方法来推算值。如古希腊与古埃及人曾经用谷粒摆在圆周之上，以粒数与方形对比的办法获得值，还用质地均匀木板锯得圆形和方形以其重量的比获得值等获得圆周率的许多值，如古埃及人将=3.1605使用近四千年，公元前6世纪印度人曾取3.162，在我国西汉之初王莽命令刘歆造量的容器“律嘉量斛”，在造容器的过程中刘歆就用到圆周率值，为此他通过做实验，获得一些关于圆周率的一组近似值，分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，这已比径一周三的古率大大进步了，这种人类经粗糙计算得出的数据，主要用于计算园田面积，由于数值不够精确在当时没有产生较大影响，但用这些值来制造器皿等误差就明显太大了。

1.2 通过几何法演算值

通过简易测量的方法演算出的值是很粗略的，阿基米德科学地研究了圆周率，使圆周率的演算发展到中级阶段，他对值的演算建立了数学的方法而非通过测量的手段，将值精确到任意精度，从此使圆周率的演算建立在数学科学为基础。

圆周长界于其外切正四边形与内接正四边形之间，所以4>>，显然这是不精确的，阿基米德将正多边形的边数增加，曾使用了正96边形来演算值，从而使阿基米德所求圆周率的精度越来越高，在他的著作《圆的测定》一书中首次创造性地利用下界与上界来更精确地确定值，利用几何法对圆周长和其直径的比界于与之间进行证明，并得出误差的估计值，此种数学演算方法从理论上讲重要的是所求得的圆周率值更加精确。

阿波罗尼奥斯经长时间的演算得到的值为3.1416，在公元前150年前后由希腊天文学家托勒密获取的值为3.1417，并取得近似值为377与120之比，这些都是自从自阿基米德以后所取得的伟大成就。

我国首先最早在公元263年左右由数学家刘徽得到比较准确的值。刘徽采用当时先进的割圆术得到等于3.14，并提出它是不足近似值，他研究割圆术的时代虽比阿基米德稍晚点，但他与阿基米德相比从方法上更有独到地方，只用圆的内接正n边形可以给出的上界与下界，此做法比阿基米德利用外切与内接正n边形来确定值要简便了许多，此外刘徽通过对割圆术的研究过程中给出了一种奇妙的计算方法，他把分割成的192边形的若干个粗略的近似值使用简单的加权平均的方法，得到圆周率值的4位有效数字3.1416，对这一结论刘徽曾说过，若使用割圆的方法来计算得到这个数值，就要割至3072边形，此种相对精确的计算方法的效果是神奇的，这种奇特的计算方法是割圆术中最精彩的，可惜的是由于当时人们没能对它有正确理解而未被重视。

我们都知道祖冲之对圆周率所做出巨大贡献，在史书《隋书·律历志》中有许多关于祖冲之对圆周率演算的记载，他对圆周率的演算有巨大成就，求得圆周率介于3.1415926和3.1415927之间，其精确度进一步提高，并且求得的两个替代分数，它们分别是约率22/7和密率355/113，他演算出的值有八位，此成果是当时最精确的，在世界上保持了近千年记录，并且在1912年日本数学家三上义夫为纪念祖冲之的研究成果提出将等于355/113叫做祖率。

为什么祖冲之能够获得这个巨大成果？是建立在刘徽割圆术方法基础之上的并对它进行有效的发展与传承，所以对祖冲之的成就大加赞誉时，要清楚他是站在数学大师刘徽的有力的臂膀之上的原因，若要只利用演算圆的内接多边形边长这种方法想获得这个精确结论，后人做过推算，它需要演算至少圆内接正12288边形才可以获得这一精确度值，祖冲之还可能利用了其它的奇妙方法来简化计算过程，由于记录他个人成果的书《缀术》已遗失了，有关这点已不可查询了，这在我国数学史上非常令人惋惜也是巨大的损失。

祖冲之创造出的成就在世界上享有盛誉，比如我国已发行纪念他的邮票，人们于1964年11月9日在紫金山天文台观测到的小行星取名为祖冲之星，苏联人于1959年观测到的月球环形山脉取名祖冲之山，法国在发现宫的科学博物馆内墙壁之上撰文专门表述祖冲之的伟大功绩，在苏联莫斯科大学的走廊里矗立着祖冲之的大理石雕塑。

祖冲之表示值选择用两个简单的分数，一般情况下不会引起人们的注意，但是这点在数学上具有极其有重要的意义，与密率（只用到了1、3、5这三个数字）的近似度很接进，它在形式上却十分简并很优美，有数学家专门做了验证后得出：在所有分数中当分母不大于16603时没有发现其它分数比密率更趋近于，西方人取得这个成果是在祖冲之之后的一千多年，可以坦率的讲祖冲之获得密率是一件非常了不起的事情。祖冲之是使用什么方法获得这样精确的结论的呢？由于当时的文献没有承传下来，后人对它也做了各种各样的推测，那么就让我们一起考查一下国外数学历史，或许能够找到一些线索。

德国于1573年经数学家奥托研究后获得这个结论，他就将托勒密的结论和阿基米德的结论中分子、分母分别相减而合成，即：；荷兰于1858年由安托尼兹将阿基米德的结论中上限与下限取平均数进行了合成，得到了此结论，即：[（333+377）/2]/[（106+120）/2]=355/113。两人都获得了祖冲之的密率，但纯粹是巧合，没有任何道理。在17世纪日本数学家关孝和在求值时建立零约术，它实际上是采用加成法去求得近似分数的办法可以获得祖冲之的约率与密率，他选取3、4为母近似值，经依次六次加成便获得约率22/7，经一百十二次加成便获得密率355/113，他的弟子对此种办法进行了改进，找出从附近的过剩或不足近似值中就近加成的方法，其实质是前面已讲到的加成法，这样自3、4为起点经六次加成获得约率22/7，经七次加成获得25/8，就近和紧邻的22/7进行加成获得47/15，这样经过23次加成方可得密率355/113。

在《中国算学史》中记载着钱宗琮有关祖冲之圆周率计算方法的推测，他推演了祖冲之在获得密率的计算过程，经算得加成权数x=9，并采用把徽率157/50和约率22/7作母近似值，这样计算：（157+22×9）/（50+7×9）=355/113，从而获得密率，并且钱宗琮对祖冲之的计算过程给了高度解读与评价。

另外还有一种推测是采用连分数的办法，利用更相减损术来求两个正整数的最大公约数早在《九章算术》已有记载，因此利用这一工具来求近似分数存在着可能性，便有人认为祖冲之在求出盈二数以后再利用这种方法把3.14159265表达为连分数，于是得出其渐近连分数：22/7、336/106、355/113、102573/32650…最后把精确度较高、分子和分母又较小的分数355/113作的近似数，英国的博士李约瑟也是这样考虑的，他在《中国科学技术史》中对祖冲之所研究的密率进行了较高的评价，由于祖冲之得到的密率是一些渐分数、连分数，所以是一个了不起的成果。

我们再来研究一下国外对圆周率所作出的贡献，印度阿耶哈达在公元450年左右获得=3.1416；中亚与西亚地区在1424年前后由数学家卡西经过演算805306368个内接与外切正多边形的周长，最终得到=3.14159265358979325，这个值有十个有效数字从而首次突破由祖冲之所创造的记录；法国在16世纪由数学家韦达运用阿基米德的演算方法，采用216×6个正边形计算得到有9位有效数字的值，他仍沿袭了阿基米德的研究方式，由于他采用了十进位制数，从而使韦达有了先进的工具，也获得了更高精度的值；德国数学家鲁道夫在17世纪用一生的时间来研究值，他采用十进制数并与阿基米德的研究方法相结合，他开始时未从正六边形入手并把它的边数增倍，而是从正四边形入手一直推出262条边的正多边形，最多达到大概4610000000000000000边形，经计算得出值中有36个有效数字，在德国为缅怀他作出的这一伟大成就固把命名为“鲁道夫数”。

前面讲了运用几何法求值，它的计算繁杂，会穷尽数学家一生的心血，鲁道夫的计算已经到了巅峰，古典方法再不能向前推进了，在17世纪数学分析的发现促使的演算过程也进入全新的历程。

1.3 通过分析法演算值

利用分析法求值的时期是通过无穷级数来计算，它已经突破求多边形周长的繁杂演算过程，此时对已给出精确表示与充分的理性认识。

1579年数学家韦达得出的最早分析表达式：这个公式十分的优美，至今也令人们欣赏赞叹，公式中仅出现数字2，使用乘、除、开平方与加法等系列的运算就得出值。后来相继对给出多种表现形式，比如在1650年由英国科学家约翰·沃利斯提出：；在1650年由英国数学家罗尔德·布隆克尔提出：在1671年由苏格兰数学家詹姆斯·格雷里奇提出：这些式子都是首次精确表达值，但是运用它去计算值时耗费时间与精力，想把值精确至小数点后第二位就得演算几百项。

创建微积分的数学家牛顿提出：

牛顿运用这个公式大大简化了值的计算过程；大数学家欧拉于18世纪对值提出新的计算：…，…从形式上看两个表达式是十分简洁与完美的，但计算出的值的效果并不好；数学家亚伯拉罕·夏普于1699年运用詹姆斯的结论算出值有72位有效数字；数学家梅钦于1706年提出的表达式：，他运用级数展开的方法计算值到小数点后100位，为纪念他的成果，表达式以他的名字来命名；法国代·拉尼于1719年把值精确到小数点后第112位；德国兰伯特于1767年经过证明提出值是无理常数；法国勒让德于1794年再经过证明得出也是无理数；达塞于1844年得到公式：，并运用此公式对值取得第200位小数的成就；在1853年德国卢瑟福竟然把值精确至小数点后的400位。

在1882年由德国林德曼提出并得到证明为超越数，它不是整系数代数方程的解，从此解决了困扰人们近二千年的数学难题即不可化圆为方，从而极大的突破了对认识。在1873年由美国菲格森把值精确至小数点后的710位；佛格森与小伦奇于1947年共同研究并得到值的小数点后的808位，创造了用人工计算值的世界最高记录。

求值不同的类似公式在19世纪后出现很多，精确度也越来越高，谢克斯在1873年运用梅钦的级数公式把计算至小数点后707位，他用了20年时间才获得这项世界纪录，为歌颂他顽强精神与坚韧毅力，人们在他去世后把凝聚他一生心血值刻在他的墓碑之上，他获得的这个举世的成就成为以后74年内为人们深信不疑的最高记录。数学家弗格森在若干年后对谢克斯的计算有疑虑，他大胆地进行了猜想，值中虽然数字的排实不存在规则，但各个数字出现的几率似乎相近，于是他对谢克斯的值做了统计后提出数字的出现并不均等，于是使他产生了怀疑。从1944年至1945年的一年时间内他采用了当时最优秀的计算手段进行计算，找到从第528位开始是错误的，之后的一百多位数字全部有问题，谢克斯的大半成果就这样被无情地一笔抹去了，但谢克斯作为毅力坚强的计算者自愿献出大半生精力从事值的计算工作而无报酬，这种在数学上的不懈追求精神是值得我们学习的。

1.4 通过计算机演算值

世界上首台计算机ENIAC于1946年问世，随着电脑时代的开启出现了计算方面的根本革命，1949年在计算机上根据梅钦的计算公式将值计算至小数点后2035位，计算时间仅为70小时，由于计算机的发展速度非常快，导致值的计算记录被一次次打破。

印度数学家拉马努金在19世纪初提出一个高效的计算值的数学公式：，由于公式中出现四次方导致它高速趋近于的真实值，每一步计算都可以增长8位有效数字，1985年人们使用这个公式对值进行计算后得到小数点后一千七百万位数字；法国裘努埃于1959年运用IBM704将值计算至小数点后16167位；美国香克斯与伦奇于1961年运用IBM7097将值计算至小数点后100265位；法国吉劳在1966年运用STRETCH将值计算至小数点后250000位；法国吉劳在1967年运用CDC6600把值计算至小数点后500000位；法国吉劳在1973年把值计算至100万位小数，并把此成果编成世界上最枯燥的二百页的书；日本鹿角理三吉与久仲山于1981年运用FACOMM-200利用公式把值计算到小数点后2000038位；美国贝利在1986年利用Cray-2只耗费28小时就将值计算到小数点后29360000位；日本廉正蒲田在1986年使用NECSX-2把值计算至小数点后134217700位，并在1989年对值的计算攻破10亿位；日本在1994年运用数学公将值精确至小数点后40亿位，并在1995年已突破64亿位。

在20世纪90年代数学家创造出的“水龙头”计算法，对值在原有数字的基础之上运用递推方式可以计算出后继的数字，电脑专家们还创造出十分有意义、有效的公式：，运用此公式得到了特殊的结果，即在十六进制数中第位数字可独立计算出来，而无需得出位之前的数字，比如不必计算出的100万位之前的数字，就可知道第100万位的数字。

日本东京大学教授金田康于1999年对值已获得小数点后2061.5843亿位，据最新消息讲他正使用超级计算机算得值的小数点后一兆二千四百一十一亿位，改写了两年前由他创造的纪录，现在虽然打破记录，但不管推进至多少位也不至令人感到惊喜，事实上将值算得如此精确其应用的作用已不大，在科技方面所运用值有十多位就已足够了，若运用鲁道夫得出的仅36位有效数字的值来演算能将太阳系包括在内圆的周长，其误差不足于质子直径的1/1000000。

2 值的历史作用

是什么原因使数学家对的计算一直不能停步呢？是什么原因对值有这样的兴趣呢？这里面除了有人类的对新生事物的探索追求和想超越他人的想法之外，还有其它更加重要的理由。

（1）通过值的计算以检测超级巨型计算机的各种性能。通过值的计算以检测计算过程的稳定性与计算速度，以便通过检测结果对计算机进行改进，比如当Intel公司将奔腾（Pentium）计算机推出时就是通过计算值发现此计算机中存在一个小问题，这就是值的计算到目前为止还不能停步的重要原因之一。

（2）通过计算值的思路与演算方法可发现新的数学概念与数学思想方法。即使计算机的运算值速度非常高，但还要求由数学家精心编制值的运算公式与程序以指导计算机进行运算，如果将的演算历程划分出计算机时代时，但绝不意味着它在计算的方式与方法上有什么改进，仅仅是所采用的计算工具上有所突破罢了，所以研究怎样改进计算技术、发现更加精确的计算公式并使其公式收敛得更快更好、并能快速地达到极高精度等这些问题仍是数学家们要研究的重大问题，比如印度现代著名数学家拉马努金发现许多非常好的结论，运用他的公式能精确并迅速地演算出的高位近似值，他的结论给出了更加精准地演算值的明确思路，可见的计算过程是人类数学发展的胜利但它绝不是机器的胜利。

人类是否能做到无限地对值的计算进行下去，依据朱达偌夫斯基的估算人类是做不到的，人类最多能对计算到位，尽管目前人类距离这一极限位置还很遥远，但它的计算终究是有界限的，为了探究这一界限是否存在、是否受到这一界限的阻碍，人类就要从算理上有新的质的飞跃，要牢记并杜绝谢克斯式的在计算史上发生过的惨痛的教训，唯有探求新的计算方法。有人提出对计算时能否做到不从头进行而要从中间开始，这种大胆的想法是要探索并行计算公式，计算的并行计算公式终于1996年被发现，只不过它是16进制的公式，由它可得到的1000亿位的小数，如何把这16进制的公式转化成10进制的并行计算公式是将来数学面临的一个难题。

（3）通过值的计算检验数学理论层面的问题。人们希望将的无穷级数展开至亿位，并通过此过程能够给出充分的数据以检验人们所提出的一些理论层面的问题，从中可推出大量神奇的性质，比如要考查在的十进制展开式中有些数字较稀疏、有些较稠密，数字出现的几率是否相等，还是它们完全随意等。最早提出在的数值中各数字出现的几率应该相等的是数学家弗格森，就是这种猜测为发现与纠正谢克斯在计算值过程中出现的失误找到了根据，弗格森想验证自己的猜测是否成立他却做不到，他人也是由于知道的值的位数有限而无法去验证猜想，所以人们对其正确性也就产生了怀疑，比如在的近似值中0出现的几率开始时很少，0在第32位首次出现，但是随着的近似值的增加，这种情况出现了变化，第8个0出现在100位内，第19个0出现在200位内，第999，440个0出现在1000万位以内，第599，963，005个0出现在60亿位内……所占比率为1/10，其它数字出现的情况也有相似的结论，虽然稍有偏差但都控制在1/10000以内。这些问题看似无聊，只有那些思想敏锐的人才会问这些简单的问题，相信人类终将会得出许多有用的结论，从而推动数学的发展。

人们很久以来就在的展开式中努力查找素数，起初在相当长的一段时间里经过艰难试除确定314159是六位数素数，于1979年两位美国数学家发现并证明在的数列中有长达38位素数31415926535897932384626433832795028841，并称之为“天文素数”，后来麦文在的数列中又发现存在长度达432位的素数，从此以后再没有新的发现。

（4）通过值的计算了解值中数字的出现有没有固定模式。人们追求能够在十进制中通过统计分布对数字进行研究，以此来寻觅存在的可能模型，但至今为止还没有找到这类模型。人们还想知道在值中是否存在无限的样式变化，即是否存在任意样式的数字排布，大数学家希尔伯特就曾提出在的十进制数中是否存在10个9在一起，就目前得到的60亿位数来作考察已经发现有6个9在一起，此问题的回答应得以肯定，只要的数位有足够长，什么形式的数字排布皆会出现，只不过是时间问题而已。

据统计在值的60亿数字之中已经有连续的10个6、9个7、8个8，从小数部分第3204765位和第710150位以后都有连续7个3，值的前八位在小数部分第52638位后也同样出现，有趣排列876543210出现于小数部分第2747956位，只是缺个9，还有123456789也出现，只是缺个0，虽然数列314159重复出现6次，但数列0123456789从未出现过，这一点对人们有启发作用。

参考文献

[1] 李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] （英）期科特.数学史[M].南宁：广西师范大学出版社，2002.

[3] 王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003.