数值方法范文第1篇

求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的常见方法，希望对广大读者有所帮助。

一、直接法

适用类型：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例1：求函数的值域。

解：因为，所以，

所以函数的值域为。

二、配方法

适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

例2：求函数的值域。

解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

三、判别式法

适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。

例3：求函数的值域。

解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即，

细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？

注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。

将分别代入检验得不符合方程，所以。

四、分离常数法

适用类型：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例4：求函数的值域。

解：因为，

所以，所以，

所以函数的值域为。

五、换元法

适用类型：即运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。

例5：求函数y=2x+的值域。

解：令t=（t≥0），则x=，因为y=-t+t+1=-（t-）+，所以，求得函数值域为（-∞，]。

而对于含的结构的函数，可利用三角代换，令x=，∈[0，]，或令x=，∈[-，]。

例6：求函数y=+的值域。

解：由于定义域为{x|-1≤x≤1}，可设x=，-≤t≤，

则原函数化为y=，y=sin（t+），因为-≤t≤所以-≤t+≤，-≤sin（t+）≤1，求得函数的值域为[-1，]。

六、数形结合法

适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例7：求函数的值域.

解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点（2，3）到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆

连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线

和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：

七、反函数法

适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型，形如y=（a≠0）的函数的值域，均可使用反函数法。

例8：求函数y=（x≥-4）的值域。

解：由原式解出x，得x=，因为x≥-4，所以≥-4，即≥0，求得值域为（-∞，1）∪[，+∞）。

八、单调性法

适用类型：就是利用函数的单调性求其值域，先确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，再求出值域。

例9：求函数的值域。

解：，，都是增函数，故是减函数，因此当时，，又，。

九、求导数法

适用类型：当一个函数在其定义域上可导时，可以利用求导数法求定义域。先对函数求导，求出函数的最值，再确定函数的单调性，进而求出值域。

例10：求函数在定义域[0，2]上的值域。

解：=，令=0，化简为+=0.解得=-2（舍去），=1。当0≤x0，单调增加；当1

十、利用均值不等式法

适用类型：就是利用a+b≥2（a，b>0）求函数的值域。使用均值不等式时要注意，“一正，二定，三相等”，即（1）a，b均为正数；（2）a+b或ab为定值；（3）当且仅当a=b时取“=”。这三个条件十分重要，任何一个不满足都不可以用均值不等式法。

例11：求函数y=的值域。

解：由于y==≤=

所以，0

十一、有界性法

适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。

例12、求函数的最大值。

解：根据二倍角余弦公式化简得

总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。

参考文献

[1]高考总复习资料《名师伴你行》.

[2]高考总复习资料《师说》.

数值方法范文第2篇

从这个例子中我们发现，对于同一个对应法则的函数，不同的定义域可能会引起函数值域的改变（即使值域没有改变也应视为不同的函数）.更为关键的是，当定义域是连续变化的数集时，值域就是连续变化的数集，当定义域是离散的数集时，那么相应的值域也就相应变成了离散的数集.这就说明，尽管函数的值域是由定义域和对应法则共同确定的，但值域本身的连续或离散的特性只是由定义域本身决定.

我们平常要求的函数的值域大多数都是定义在连续数集上的函数，以下我们所研究的话题如未作特殊说明均基于此.从函数值域定义可以发现，要求出所有的函数值是不现实的，我们只能求出有限的几个，那么究竟要求出几个呢，聪明的同学当然想到了，只需求出函数值中的最大和最小的就可以了.随之而来的问题是，是不是所有的函数都有最大和最小值呢，这些最值又是在哪里取到的呢？

要想弄清这点，我们还得从函数最值的概念说起.对于函数y=f （x），其定义域为x∈D，如果同时满足：①对于任意的x∈D，均有f （x）≤M；②存在x0∈D满足f （x0）=M，则称实数M为函数的最大值，最小值的概念只需将条件①中的不等号调整为“≥”即可.从形的角度，函数的最大（小）值就是函数图象上最高（低）点对应的纵坐标.这里其实已经揭示了函数值域的一个求法：图象法.

当然，我们不可能每次都通过图象来解决，而且也不必如此.我们的目标是图象的最高（低）点，而这是由函数的单调性决定的.对于一个定义在闭区间上函数而言，如果它在定义域内单调，那么它的最大（小）值就在区间端点处取得；如果函数在定义区间内某点x=x0的左右单调性发生改变，该点称为极值点，相应的函数值f （x0）称为相应的极值，则函数的最大（小）值就在区间端点及极值点处取得.特别值得一提的是，如果该区间内仅有一个极值点，那么在该点处取得的极值必为相应的最值.

到这里我们就不难明白前面给出的错误案例中同学错解的原因了，他知道要去求函数的最值，但是不清楚函数的最值并不一定在定义区间的端点处取得.正确的解答应该是：

现在我们应当清楚，函数值域的最根本的求法就是单调性法（图形求解的数化）；我们要想跨越“函数值域求解”这道鸿沟，只需做到下面两点：①熟悉常见基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、勾形函数等）的单调性；②能利用配凑、换元等手法将复杂的函数化归为基本初等函数.

数值方法范文第3篇

关键词： 工程专业; 数值计算; 课程建设; 计算思维

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2015）01-42-03

Exploration and thinking of course construction on numerical computation method

Yan Shiyu， Rao Jie， Jiang Hui， Li Meng， Yang Xiaohua

（School of Computer Science and Technology， University of South China， Hengyang， Hunan 421001， China）

Abstract： The mathematics are combined with the computer programming capacity in the course of numerical computation method. Since the engineering students have found it difficult to learn this course， the necessity of course setting on numerical computation method in engineering is expounded in this paper. According to the characteristics of engineering practical teaching， the teaching mode and method are optimized to promote computational thinking of engineering majors to achieve a better teaching result.

Key words： engineering; numerical computation; course construction; computational thinking

0 引言

随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值计算软件不断开发出来，数值计算方法对自然科学和工程技术科学的影响越来越大。现在，无论是在高科技领域还是在一些传统学科领域，数值计算均是不可缺少的方法，它已成为科学工作者和工程技术人员应当掌握的知识和工具[1]。工程专业学生在处理实际工程模型时，会遇到各种数值计算问题。学好“数值计算方法”这门课程，有助于提升工程专业学生计算思维的能力。

关于计算思维的科学定位，自然科学领域公认的三大科学方法：理论方法、实验方法与计算方法[2]。国防科技大学人文学院朱亚宗教授从科技史与科技哲学的视野出发，并结合人类的科技创新实践活动来考虑，提出了将理论思维、实验思维和计算思维并列为三大科学思维[3]。数值计算方法与其他基础数学课程又有着本质上的区别，它不仅研究自身的理论，而且更多地与实际问题相结合，是数值计算方法与工程技术实践紧密结合的一门课程。计算方法的目的是对数学问题建立计算机能够执行的解题方案，并从理论上加以验证其科学性和有效性。在解决工程实际问题时，常常依据传统数学理论，将其中的数学问题求解归结为利用数值方法来解决，并借助于计算机得以充分地实现。其中科学计算软件已经在许多工程领域得到应用。

掌握计算方法的基本理论及其应用，对工科大学生从事专业研究和提升计算思维能力具有重要意义。

1 工科数值计算方法课程教学缺陷

目前全国高校在软件工程专业本科学生中开设数值计算方法课并不多，即使有的学校开设了这门课程，其教学也是像数学专业一样，强调理论，没有结合软件工程思想有针对性和选择性地教授这门课程。工科学生往往并不具备很扎实的数学理论基础，在学习和理解数值计算方法中泛函、插值等相关知识时会缺乏兴趣。而且，数值计算方法这门课程在工科教学环节中得不到应有的重视，很多人认为这是数学专业的课程，软件工程学生重视工程实践就可以了，往往忽视了科学计算中非常重要的计算思维的能力的培养。该课程教学中普遍存在以下问题。第一，教学目标不明确;第二，教学内容不加甄别，教材的选择与学生的基础和接受能力脱节;第三，教师采用的教学方法缺乏灵活性，传统重理论的教学方式不能适合当代大学生课程教学，实践教学环节缺乏，最终达不到教学目标，还导致了工科学生对这门课程学习兴趣不浓。

2 数值计算方法课程建设的对策

针对以上问题，我们在这门课程的实际教学中，首先改变对课程的认识。数值计算方法是以各类数学问题的数值解法为研究对象，是理论与实践相结合的一门学科。它不同于纯数学只研究数学理论本身。通过方法的推导和描述，以及整个求解过程的分析，为数学问题依靠计算机提供实际可行的，理论可靠的，计算复杂性小的各种数值算法。为了使学生能够更好地掌握计算方法课程的基本思想、基本原理和方法，除了必须具备数学学科的基本知识外，还要摆脱这些数学学科思维模式的束缚，转而过渡到数值计算思维[4]。

另外，理论与算法实现两者相辅相成。软件工程学生编程能力强，但是数学理论偏弱，结合具体算法的具体应用和实例分析，通过上机实验来具体应用其所建立的算法，并验证理论结果，反过来理解数学理论，并且举一反三。

2.1 设置合理的教学目标

设置教学目标应跟上软件学科的发展，根据实际的教学效果做适当的调整，最终设置合理的教学目标。我学院软件工程系教研室针对卓越软件工程师班的本科学生，实行“3+0.5+0.5”的培养模式，学生在完成大学三年的基础和专业学习后，在大四学期开设了四个模块：群体软件工程、信息系统、核电软件、软件测试。学生可以根据自己喜好选择方向。在核电软件模块中开设了数值计算方法课程。近年来核电国产化的需求日益强烈，而核电软件的开发涉及科学计算问题，数值计算方法这门课程是这个方向的核心课程。结合行业特点和工科学生的数学背景知识，这门课程主要是培养学生对数值计算方法在实际工程背景中应用的理解，以具体的工程实践模型为背景，在解决实际问题中涉及的数值计算方法，从算法到编程、实现结果。从工程角度提升对数学理论知识的理解。

2.2 甄选教学内容

在工科专业课程课时分配上，计算方法课程学时很有限。在这有限的学时里，如何让学生系统地掌握基本方法和基本原理值得深入探讨。根据工科学生的数学基础，结合数值计算知识单元，以软件工程卓越班数值计算课程为例，采用Bloom分类法说明学生对知识点应掌握的程度，具体如下：

了解 能记住学习过的内容;

理解 能领会课程内容的含义，掌握知识的内涵;

应用 能在新的具体情况下应用所学知识解决问题。

同时，还应说明各个知识点的重要程度，具体如下：

核心 该知识点是核心知识单元的一部分;

推荐 该知识点不是核心知识单元的一部分，但应包含在必修课程中;

可选 该知识点属于选修知识单元。

有关教学大纲和各个知识点的重要程度见表1、表2。

2.3 创新教学方法和手段

这门课程数值方法的理论推导建立在很强的数值基础上，工科学生一方面对书本知识很难吃透，另一方面由于工科学生缺乏严密的数学逻辑思维的训练，心理上有种“谈数学而色变”的恐惧心理，因此也影响了课堂教学的效果。如果采用传统的数学理论讲解教学方式，很难调动学生的学习兴趣。因此，创新教学方法和手段很有必要。

表1 数值计算方法课程教学大纲

[主题＼&主要内容＼&数值计算中的误差分析＼&1、误差的来源与分类

2、误差与有效数字

3、数值计算中的误差估计

4、数值方法的稳定性与算法设计原则＼&线性方程组的数值解法＼&1、直接法与三角形方程组的求解

2、Guass列主元消去法

3、Guass全主元消去法

4、Guass选列主元消去法

5、平方根法＼&插值法与最小二乘法＼&1、拉格朗日（Lagrange）插值

2、插值多项式中的误差（插值余项，高次插值多项式的问题）

3、数据拟合的最小二乘法＼&数值积分和微分＼&1、Newton-Cotes公式

1.1 插值型求积公式及Cotes系数

1.2 低阶Newton-Cotes公式的余项目

1.3 Newton-Cotes公式的稳定性

2、复合求积法

2.1 复合求积公式

2.2 复合求积公式的余项及收敛阶

2.3 步长的自动选择

2.4 复合Simpson求积的算法设计＼&常微分方法的数值解法＼&1、欧拉（Euler）方法

2、龙格-库塔（Runge-Kutta）方法＼&]

表2 数值计算方法领域中的知识点表

[知识点＼&掌握程度＼&重要程度＼&数值计算中的误差分析＼&应用＼&核心＼&直接法与三角形方程组的求解＼&理解＼&核心＼&Guass消去法＼&应用＼&核心＼&平方根法＼&应用＼&可选＼&插值法与最小二乘法＼&应用＼&核心＼&Newton-Cotes公式-插值型求积公式及Cotes系数＼&应用＼&核心＼&低阶Newton-Cotes公式的余项目＼&应用＼&核心＼&Newton-Cotes公式的稳定性＼&应用＼&核心＼&复合求积法--复合求积公式＼&应用＼&核心＼&复合求积公式的余项及收敛阶＼&应用＼&核心＼&步长的自动选择-复合Simpson求积的算法设计＼&应用＼&核心＼&欧拉（Euler）方法＼&应用＼&核心＼&龙格-库塔（Runge-Kutta）方法＼&应用＼&可选＼&]

2.3.1 借助实际工程数学模型引入数值计算方法

从实际问题中抽象出来的数学模型，数值计算方法为这些数学模型的解决提供一些基本的算法。比如核电软件中，中子通量的计算最后可以抽象出一个扩散方程，那么通过对实际应用背景的描述，不仅可以激发学生的学习欲望，提供建立数值方法的实际应用源泉，也体现出数值方法的价值和意义，使我们的数学教学不再是无源之水，无本之木，不再显得那么空洞。有了扩散方程这个模型后，进一步就是离散方程。为什么要离散方程，以实例启示学生为什么建立数值方法，应该如何引进数值方法。建立一种数值方法后，哪些问题是值得我们研究的。例如在学习数值积分方法的时候，可以看到基于复化梯形公式的求积方法比牛顿求积公式精度更高，学生从计算实际结果中可以感觉到数学计算方法的神奇魅力。这样的启发式加互动式教学，对学生深入掌握样条理论起到了非常好的作用。

2.3.2 理论与算法实现相结合

从计算方法数学理论角度来理解什么是数值收敛，什么是数值稳定，以及什么情况下可以用高斯消元法来求解线性方程组，这些对于工程出身的学生来说是困难的。但数值计算方法数值稳定、数值收敛的概念是相当重要的。如何让学生轻松理解这些生涩难懂的概念，那么最简单的一个办法就是找一个数值算例，用计算机语言来实现。比如求解一个四阶的代数方程，用不同的求解方法来验证数值解的精确性，从结果反推出为什么有的方法数值解是收敛的，而有的方法则是不收敛的。从理论上去找原因。这样就加深了对理论的理解，进而提升学生的理论功底。

2.3.3 设计一个完整案例，让学生体验数值计算方法的美

数值计算方法的知识点很多，每个知识点都可以通过设计算法来实现。但是这些零散的知识点还不足以让学生体味到数值计算方法的力量和美，为此我们设计一个难度适中的案例，让学生从工程实践背景开始，提出模型，离散模型，分析方程特点，提出数值求解方法，设计算法，编程实现，分析数值结果，得出理论收敛结果。这个过程能让学生体会到数值计算方法的应用，在工程实践中的力量是很强大的，同时也会感叹数值结果的美。这个过程使得学生有了不同于传统的软件工程思维，提升了其计算思维能力。

<E：＼方正创艺5.1＼Fit201501＼图＼ysy图1.tif><E：＼方正创艺5.1＼Fit201501＼图＼ysy图2.tif>

用软件工程卓越班学生完成的一个简单的数值计算为例，编程分别通过一次插值和二次插值求f（sin500）的近似值及其误差。本次实验所用工具为Visual Studio 2012，使用的语言为C#，学生利用软件工程思想面向对象设计来做数值计算程序设计，采用界面直观展示不同结果，使学生更进一步体验了数值计算方法的美。

一次插值与二次插值比较，同时与已知电脑中的计算器计算结果进行比较，学生会自然发现二次插值的计算结果更接近真实值，误差比一次插值小。从而加深对误差的理解。

3 总结经验，创精品课程

经过教学效果和社会需求分析判断，达到教学目标。在这个过程中需要总结经验，为创精品课程做准备。在实践教学中，做到“跟上时代”与“注重基础”相辅相成，才能使这门课程兼具了纵向与横向的深度。学生能够在这门课程受益，学到知识的同时，也学会了一种新的思维方法，跳出狭窄的视野，在更广阔的范围内思考问题，扩展思维并提高解决问题的能力，同时也为自己树立起信心。

实践经验还告诉我们，创“数值计算方法”在软件工程领域的精品课程呼唤双师型教育。也就是说，作为教师个体，既需要有工程背景和工程经历，又需要有学术水平;作为师资队伍，既要有科学型教师，又要有工程型教师。这样才能培养出既有理论功底和专业基础，又有工程实践能力的软件工程人才。可以通过校企联合办学，引进兼职教师，加强教师培训，完善评价体系等措施，逐步建立起这样一支双师型的师资队伍。

参考文献：

[1] 傅凯新，黄云清，舒适.数值计算方法[M].湖南科学技术出版社，2002.

[2] 石钟慈.第三种科学方法-计算机时代的科学计算[M].清华大学出版

社，2000.

[3] 朱亚宗.论计算思维―计算思维的科学定位、基本原理及创新路径[J].

计算机科学，2009.36（4）.

数值方法范文第4篇

随着计算机技术和网络技术在图书馆领域的深入应用，数字图书馆得到了迅速的发展。图书馆大量馆藏文献的数字化工作成为目前亟待解决的问题，采用数字图像的方式加工保存图书文献资料是馆藏文献数字化工作的有效途径，其主要优点是加工速度快、适合大批量、规模化加工，并能全面保留纸质文献的原始信息。数字图像二值化是处理文献资料图像的关键技术，合适的二值化算法不但可以提高数字馆藏的处理效率，而且对于改善数字文献的阅读质量，提高OCR系统的识别率都具有重要意义。

数字图像二值化又称为数字图像的阈值变换，其核心问题是二值化阈值的选取算法。Ridler和Calvand提出了一种阈值选取的迭代法，但是计算比较耗时；Trussel对迭代法进行了改进，将任意直方图划分为两部分，并计算每一部分的平均灰度，然后用两个平均灰度级的平均值作为新的分割阈值。日本大津展之提出了最大类间方差法，该算法是根据最小二乘法将直方图在某一阈值处分割成两部分，当被分成的两部分的方差为最大时即取得最佳分割阈值。文献[1]提出了一种基于高低通滤波特征的文本图像快速二值化方法，该方法以图像灰度统计特征值为阈值，利用高低通滤波的特征对图像进行阈值分割。文献[2]提出了一种带灰度保留的文本图像二值化方法，解决了当文本图像中包含图片信息，在二值化处理中图片信息容易被破坏的问题。图像二值化方法还包括微分直方图法、中值滤波法和最大直方图熵阈值分割法等。

数字化馆藏文献图像的数据量巨大，图像之间的灰度直方图差别较大，这就要求图像二值化处理速度要快，质量要高，即每一图像的阈值选取计算速度要快，阈值准确度要高。以往的阈值选取算法有些计算速度快，但精度低，图像质量无法保证，有些算法阈值选取精度较高但是计算速度较慢，图像处理效率较低。该文基于对文献图像直方图统计特征的分析，综合了高低通滤波法处理速度快和最大类间方差法阈值计算精度高的优点，研究文献图像二值化处理技术，通过实验分析比较，取得了较好的图像处理效果。

本文所提出的数字图像二值化方法综合了高低通滤波法处理速度快和最大类间方差法阈值计算精度高的优点，对于解决文本图像的二值化问题有较大的帮助。该算法的优点在于：算法简单、时间复杂度较低，比较适合图像的数据量巨大，图像之间的灰度直方图差别较大的文献的数字化加工处理。

通过多次对比实验发现，该文所提出的算法效果较好，图像处理的精度较高，图像质量有保证，取得了较好的图像处理效果。

数值方法范文第5篇

关键词： 雷达； 均值滤波； 异常值； 检测修正

中图分类号： TN957.52?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2013）11?0005?03

0 引 言

测量雷达在军用和民用领域都有着广泛的应用。近年来，针对不同应用领域的测量雷达相继研制成功，分别在目标的精密跟踪、RCS测量，气象预报，地理测绘等军民领域发挥了巨大的作用，为各项基础理论研究和工程应用提供了有力的数据支撑。然而，由于测量设备本身、数据传输或者人工操作等原因，可能使测量数据中包含某些错误的信息。如果不将这些错误的测量信息检测并剔除掉，将给后续的数据处理带来很大的误差。

目前，针对异常数据检测问题已经提出过很多种方法，包括基于统计学的方法、基于最近邻居的方法、基于分簇的方法、基于聚类的方法等。这些方法在无线传感器网络的数据检测中得到了广泛的应用[1]。针对雷达测量中的异常值检测，文献[2]和[3]通过对卡尔曼滤波方法进行改进，分别提出了适合靶场测量和火箭飞行测量的异常值检测方法。两种方法均能够检测出数据中的异常值，提高了目标的定位精度，但同时对非异常点数据进行了一定程度的平滑，不利于事后的数据处理与应用。

本文首先介绍了均值滤波及其改进算法——基于邻近去最值均值滤波的原理，其次根据时间的连续等差变化特性对时间参数进行了检测修正，采用基于邻近去最值均值滤波方法对发射功率、方位俯仰角、距离参数进行检测修正，最后利用实测数据进行了验证。

1 异常值检测原理

1.1 基于邻近去最值均值滤波原理

均值滤波算法是基于统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术。通常应用于图像处理中的平滑和去噪。其基本原理是对图像中的每个合法像素点邻域中的像素按照灰度级进行排序，然后将该组的均值输出作为该像素点的值。均值滤波定义如下：

[g（x，y）=mean{f（s，t）}， s，t∈Sxy] （1）

式中：[g（x，y）]为[（x，y）]点的输出值；[f（s，t）]为以[（x，y）]点为中心的邻域内[（s，t）]点的输入值；[Sxy]为以[（x，y）]为中心的邻域。邻域类型可以根据研究或者应用需要选择方形、一字形、十字形、×形等，邻域大小一般可以选择[3×3]，[5×5]。对本文数据类型进行均值滤波，相当于采用一字形窗口。均值滤波可以消除图像中的椒盐噪声和突变点，但是会改变图像中的原始数据。基于邻近去最值均值滤波是对均值滤波的改进，它对模板S内的数据做了去最值修正处理，即在得到模板S内的数据后，去除了其中的最大最小值（以[f（s，t）]表示），再进行均值滤波。该滤波方法极大减小了由于异常点参与运算而导致的滤波结果偏离真值的影响，但是同样会改变原始数据。

1.2 基于邻近去最值均值滤波检测

滤波和检测的目的不同，前者主要是对数据进行去噪和平滑，而后者主要是在不修改原始数据的前提下找出数据中的异常点。因此，本文根据式（1）给出如下判别规则：

[Δf（x，y）>3std（f（s，t））] （2）

其中：

[Δf（x，y）=f（x，y）-mean（f（s，t））] （3）

式中[f（s，t）]为去除模板内数据的最大最小值的其他数据。若式（2）成立，则[（x，y）]点为异常点。

2 检测方法

测量雷达根据其应用领域不同，所记录的参数也存在一定的差异。但是，雷达时统的GPS时间、角度、发射功率、回波功率、目标距离为其必要参数。其中，时间异常点可以直接根据其连续性进行判断，发射功率、角度和距离异常可以通过邻近去最值均值滤波方法进行检测。根据目标特性理论[4]，由于雷达回波功率本身就存在很大的起伏，无法通过简单算法对回波数据进行异常检测。而基于卡尔曼滤波及其改进算法的雷达回波功率异常检测方法，在检测出异常值的同时，很有可能将正常值剔除或平滑。因此，回波功率检测问题需要进一步深入研究。

2.1 时间异常检测

时间异常主要是指时、分、秒、毫秒中的某一项或者某几项出现跳变，使得该条记录的时间与记录前后时间不连续。飞行试验过程中，在目标起飞至降落期间，雷达一般对目标进行持续跟踪，并同步记录回波数据，数据记录时间是连续变化的。因此，可以根据时间变化的连续性对数据记录中的跳变时间点进行检测和修正。

假设雷达脉冲发射重频为N，某段时间内采集的数据记录时间为：t0，t1，…，ti，…，i为1～N，那么相邻脉冲（即采样记录）的时间间隔Δti=ti-ti-1=[1N]。如果连续检测到Δti，Δti+1不为[1N]，则说明ti存在跳变，直接以ti-1+[1N]代替ti即可修正。

2.2 发射功率、方位俯仰角、距离异常检测

雷达跟踪目标过程中，发射功率基本保持稳定，角度和距离连续变化。因此，根据数据变化的特性，本文通过一滑动检测窗口，对发射功率、方位俯仰角、距离参数进行检测。具体检测方法为：

（1）设计一滑动检测窗口，长度为9。

（2）对窗口内的数据去除最大最小值后，求均值及标准差。

（3）对待检测项进行判别，若满足式（4），则该点为异常点：

[x-u>3std] （4）

式中：u为滑窗内其他7个点数据的均值；[std]为对应的标准差。

（4）同步对本条记录的其他参数进行检测。如果有另外一项参数同时异常，则剔除该条记录；否则以步骤（2）计算的均值修正该异常值。

3 检测结果及分析

本文针对测量雷达录取的一段飞行数据进行异常值检测，各异常项检测修正结果如图1～图4所示。

3.1 时间检测修正结果

为方便对检测结果的有效性进行验证，将时间格式统一转换为毫秒。时间检测修正结果如图1所示。

由图1（a）可见，原始时间存在4个阶梯式跳变。产生跳变的原因为：目标超过雷达某个重频（PRF）工作方式下的作用距离时，雷达信号处理算法自动切换PRF，使得特定PRF工作方式下的雷达回波数据在某几个时间段内无数据，进而导致个别数据记录的时间不连续（本文后续由该原因引起的数据正常跳变不再另作解释）。图1（b）为检测修正结果，由于时间数据量级太大，无法反映出时间异常检测结果。图1（c）为检测修正前后数据差值结果，从图中可以明显观察到，原始数据存在2个时间异常跳变点。

3.2 发射功率检测修正结果

图2为发射功率异常检测结果。图2（a）为原始发射功率数据分布，图2（b）为检测修正结果，图2（c）为修正前后的数据差值结果。可见，发射功率存在一异常点。其中，发射功率数据做了归一化处理。

3.3 角度检测修正结果

图3为雷达俯仰角异常跳变检测。从图3（a）中可以明显观察到两个异常跳变点，图3（b）为检测修正结果，图3（c）为修正前后的数据差值结果。

3.4 距离检测修正结果

图4为距离异常检测结果。其中，图4（a）为原始距离数据分布，图4（b）为检测修正结果，图4（c）为检测修正前后的数据差值结果。由图4（a）和图4（c）可以明显观察到，原始距离数据存在一异常点。

4 结 论

在实际工程测量中，记录数据出现异常值的现象是经常发生的。本文对测量雷达采集数据异常值检测问题进行了研究，通过邻近去最值均值滤波检测方法，对实测数据进行了检测修正。结果表明：本文算法在有效检测出数据异常点并修正的同时，并未改变非异常数据，是一种有效、可行的测量雷达数据异常值检测修正方法，给后续的数据处理及应用提供了准确的数据输入。

值得提出的一点是：根据邻近去最值均值滤波的原理，本文方法能够很好地检测出数据中单个异常跳变点，但是对于连续出现的数据异常问题，本文方法失效，需要采用其他方法进行检测。

参考文献

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