数值积分范文第1篇

一、 教师活动

（一）提出问题，启动思维

问题1如何求正方形、长方形、三角形的面积？这些图形都有什么特点？

问题2你知道圆的面积公式吗？它的面积是怎样计算的？

（二）引入新课，探究学习

（三）整理新知，巩固所学

（四）课堂小结，思考问题

小结：（1）求曲边梯形的思想方法是什么？具体步骤是什么？最终形式是什么？

（2）结合求曲边梯形的思想和步骤谈谈你对“以直代曲”的核心思想的认识.

二、设计意图

问题1学生归纳平面图形特点是：各边都是线段组成的图形.同时把思维引向如何求面积的方向上来.

问题2学生感受求曲边图形面积的难度，回忆圆的面积求法，为本节课类比做好铺垫.

问题3给出曲边梯形的定义，明确本节的研究课题，由具体问题出发，激发热情.

问题4先研究特殊的曲边梯形的面积，简化运算，揭示思想核心.应用“以直代曲”的思想把求由抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积归纳为以下步骤：分割近似代替求和取极限.

问题5先分后总整理一般步骤，得到一般方法，给出求解这类问题的一般步骤：“四步曲”，由特殊问题探究上升到一般认识.

问题6通过解决具体曲边梯形的面积，熟悉求曲边梯形的方法和具体步骤，从而巩固定积分的最本质的思想方法，为下节课学习打好基础.

设计要求和意图：让学生自己总结并谈体会，反馈和评价本小节学习，强调重点，即掌握求解过程的步骤是分割、近似代替（以值代曲）、求和、逼近（取极限）的思想.

三、文化价值分析

问题1：平面图形的组成形式；问题2：分割思想，数学知识来源于生活； 问题3：因为实际需要而产生；问题4：以直代曲，近似到精确，逼近的思想；问题5：升华到特殊到一般的探究过程，从而形成数学概念；问题6：再由一般到具体例题的理论实践过程，学生总结归纳形成思维，理解以直代曲的数学文化价值.

本教学案例设计突出概念教学，强化概念的形成过程，培养学生的数学模型意识；突出数学思想方法的教学，加强了导数概念的形成过程及与实际问题的迫切联系；加强了定积分本质的理解；借助微积分产生的时代背景，突出学生人文价值的培养.

数值积分范文第2篇

论文关键词：转炉,炉液力矩,重心,数值积分

转炉倾动力矩是转炉系统各设备设计的基本参数，也是用以确定转炉倾动机构、炉壳、托圈等设备设计及选型的重要依据。转炉倾动力矩一般由三部分组成：空炉力矩、炉液力矩和摩擦力矩。其中，空炉力矩是由炉体质量引起的力矩，摩擦力矩是由耳轴摩擦引起的力矩。在转炉倾翻过程中，这些力矩与设备自身形状、重量、倾动角度有关，其计算较为简单，但炉液力矩的计算与倾动过程中炉液的形状、重量、重心相关，这些又都随着倾动角度变化发生变化，而且出钢后这些变化尤为明显，因而炉液力矩的计算相当复杂。其计算模型的精细程度直接关系到转炉倾动力矩的准确度。

现在一些工程技术人员采用CAD软件中的脚本程序计算炉液力矩。他们大都是利用三维软件中的布尔运算完成此种功能，即用不同平面不断递减或递增平面间距的方式对转炉内腔进行截取，通过设定收敛允差完成炉液力矩的计算。但是由于炉型中弧线与折线的连接不规则，计算中往往导致在特定位置时布尔运算失败，需手动再次调节平面递增或递减的间距，十分不方便，而且受三维软件自身运行速度的限制，整个计算速度较慢，程序也无法脱离三维软件环境独立运行，通用性不强。

1炉液力矩计算的数学模型

1.1炉液混合重心的计算

炉液由两部分组成：钢液和渣液。由于密度不同，渣液浮于钢液上方形成两层，在计算时将炉液分为两部分，一部分为全炉液体积，取渣密度进行计算，称为合液，第二部分为钢液占有的体积，密度取钢液和渣密度之差，称为分液。炉液混合重心的计算公式如下：（1）（2）

式中：x—混合渣液合成重心的x坐标；z—混合渣液合成重心的z坐标；G—全液的重量；G—分液的重量；x—全液的重心的x坐标；z—全液的重心的z坐标；x—分液的重心的x坐标；z—分液的重心的z坐标；ρ—钢渣的密度；ρ—钢水的密度；V—全液的体积；V—分液的体积；g—重力加速度。

1.2炉液体积数值积分

参考文献[5]详细给出了炉液半径及弓高等的计算公式，这里不再赘述。此处仅给出不同倾动角度下体积和重心坐标的计算公式，如下：

（3）（4）（5）

式中：V—炉液体积；r—截面半径；φ—弓形截面张角；z—炉液液面与炉内壁接触的最高点的z向坐标；z—炉液重心的z向坐标；x—炉液重心的x向坐标。

由高等数学可知：对于积分式，采用Romberg积分法计算有：

（6）

（7）

1.3计算收敛准则

在每一个倾动角度，炉液最高点z确定下来后，炉液的体积随之确定。本计算中，采用二分法来完成炉液最高点位置的确定与验算。

设目标函数：

（8）

（9）

式中：f(z)—目标函数；G—设计炉液总重量；G—每次体积积分迭代计算得到的炉液重量；G—铁水装入量；G—渣量。

给定初始最低点z和最高点z，本计算中取z为0，最高点z为炉口高度，显然有：

（10）

按照二分法的原理，依次对z二分并进行迭代，直至满足下式（11）即停止迭代：（11）

式中：ε—迭代收敛允差。

2具体计算及结果分析

2.1出钢过程的处理

在转炉倾翻过程中，炉液上方的钢渣始终浮在钢液上方。出钢时，转炉倾动至一定角度，此时液面最高位置与出钢口位置平齐，炉内钢水从出钢口倾倒出来，而钢渣通过挡渣棒一直留在炉内，直至炉内钢水全部倾倒完成后，钢渣才从炉口倒出。计算中，按式（12）来判断是否出钢。

（12）

式中：V—积分得到的炉液体积；V—初始炉液体积；ε—收敛允差。

当式（12）成立时，用二分法求解得到的液面最高位置，当式（12）不成立时，则说明发生了出钢，此时，液面最高位置始终以出钢口位置为计算基点，不再进行二分迭代。由于出钢过程中，钢液先出，钢渣体积始终保持不变。则出钢后炉内钢水体积可用式（13）表示：

(13)

式中：V—剩余炉内钢液体积；V—积分得到的炉液体积；V—炉内钢渣体积；ρ—钢渣密度。

2.2计算

以某工程设计参数作为计算参数，主要参数如下表1所示。

表1计算参数

名 称

数 值

炉口高度

8.714m

出钢口高度

6.75m

设计出钢量

180t

钢渣兑入量

150kg/t

倾动角度范围

0º-120º

计算收敛精度

0.001

钢渣密度

3000kg/m

数值积分范文第3篇

关键词：单摆，数值积分，梯形公式，辛普森公式，MATLAB

 

单摆问题是一个古老的问题，在现实中应用很广，例如摆钟就是应用单摆的原理制造的. 在无阻尼的情况下，单摆动力学方程是：

(1)

其中是单摆的质量，是单摆的摆长，的初始角为(见图1).

图1

在单摆的摆角很小的情况小，我们用公式：

(2)

作为单摆的震动周期的近似计算公式.但是当单摆的摆角较大(一般认为大于)时，公式(2)就不适用了. 此时单摆的振动周期需用公式(1)的精确解[1]：

(3)

来计算.但是公式(3)涉及到椭圆积分，这个积分利用莱布尼茨公式是很难计算出来的， 这时我们可以借助数值积分方法来计算单摆的振动周期.我们利用了数值积分中的梯形公式和辛普森公式得到了两个计算单摆的震动周期近似公式.

1 近似公式的导出

数值积分中的梯形公式和辛普森公式[2]分别为:

，(3)

，(4)

其中为积分上限，为积分下线，为被积分函数.

对公式(3)用梯形公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(5)

对公式(3)用辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(6)

2 近似公式的精确程度分析

数值积分中的梯形公式和辛普森公式的误差[2]分别为:

，

.

从误差公式可以看出辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式比梯形公式要精确.

为了考察公式(5)和公式(6)的精确程度，我们用数值积分公式中自适应辛普森公式[2]近似的取代精确解，计算精度取到. 下面我们利用MATLAB软件，在区间每隔取值，计算出的90个点的值，然后画出以横坐标，以纵坐标的曲线图.

数值积分范文第4篇

关键词：蒙特卡罗法；多重积分；均匀随机数

中图分类号：TP393文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)35-2289-03

Realization of Monte Carlo Method by Using Uniform Random Sequence for Calculating Multiple Integrals

LIU Hui-ling1,YE Feng2

(1.Department of Electronic and Electrical Engineering, Wuhan Institute of Shipbuilding Technology, Wuhan 430050,China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Wuhan 430056, China)

Abstract: Monte Carlo method is a approximate way to solve problems by using a series of random sequence. Monte Carlo method by adopting uniform random number is a simple and effective way to calculate multiple integrals, its structure is simple and easy to program and debug. This paper describes the realization steps and algorithm using Monte Carlo method of by using uniform random sequence to calculate multiple integrals, and gives the realization of concrete examples.

Key words: monte carlo method; multiple integrals; uniform random sequence

蒙特卡罗法[1-2]，也称为统计试验方法，是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。例如，f(x)在a

在计算多重积分时，如果被积函数的原函数难以求出或原函数不是初等函数获取其解析解就变得较为困难。此时，可采用蒙特卡罗法进行计算，获取其近似解[3]。均匀随机数蒙特卡罗法多重积分的计算简单，结构清晰，是一种有效的方法。本文给出了其计算步骤和流程，并用C语言予以实现。

1 多重积分的蒙特卡罗方法[4-6]

任何一个积分都可看作某个随机变量的数学期望。因此，在利用蒙特卡洛法计算多重积分时，采用了这个随机变量的算术平均值来作为其近似值。

以一般的S重积分为例

(1)

式(1)中：P＝P（x1,x2, …,xs）表示S维空间的点；Vs表示积分区域。

在使用蒙特卡洛方法解算问题时，首先构造或描述概率过程。由于计算定积分本身不是随机性质的确定性问题，在使用蒙特卡洛法求解时，故要将其由不具有随机性质的问题，转化为随机性质的问题。因此在求解时必须构造一个概率过程（分布密度函数），使其某些参量正好是所要求问题的解。

(1)在所求积分区域上构造一个分布密度函数，取Vs上任一概率密度函数f(P),它满足条件f(P)≠0。当P∈VS，G(P)≠0时，令

(2)

则式(1)可改写为

(3)

即θ是随机变量g(P)的数学期望。

其次，建立各种估计量,使其期望值是所要求解问题的解。

(2)用算术平均值来近似g(P)的数学期望。现从f(P)中抽取随机变量P的N个样本：{Pi}Ni=1，则算术平均值为

(4)

就是积分值θ的一个近似估计。

2 采用均匀随机数的多重积分蒙特卡罗法

蒙特卡罗法计算多重积分时，采用均匀随机数法得到随机变量是常用方法之一。此时，选取f(P)的方法是取VS上的均匀分布，即

(5)

这里，VS表示积分区域的体积，此时g(P)=VSG(P)。

根据(1)，(3)，(4)和(5)式，采用均匀分布随机数计算多重积分时，有

(6)

设f(x,y)为区域D上的有界函数，区域D：a≤x≤b，c≤y≤d，其面积A=(b－a)(d－c)，不妨设(xi , yi )，i=1,…,N为落在区域D上的均匀分布随机数列，根据(6)式，则用均匀随机数计算二重积分时，当有N充分大时，有

(7)

将(7)式推广到多重积分，有 (8)

其中s为积分变量的个数，N的取值要充分大。

采用(8)式进行积分计算时，首先需要获取随机数列，（t1,t2, …,tk）代入被积函数，然后乘上对应积分变量上下限之差的累积，重复N次，并累加求和，当N充分大时，所得结果即为积分的近似结果。使用(8)式编写程序计算积分时，其算法流程如图1所示。

图1所示流程可分解为以下8个步骤：

① 设置变量Sum，并令其初值为0，设置变量N并对其赋初值，N的取值要求充分大；

② 取0到1之间均匀分布的随机数列，（t1,t2, …,ts），其中s为积分变量的个数；

③ 计算积分变量xj的取值uj，uj取值介于aj和bj之间，由uj＝aj+(bj-aj)*tj计算可实现，j=0,1,2, …,k，aj,bj为积分变量xj的积分上下限，重复s次，求得随机数列（u1,u2,…,us）；

④ 将第③步求得随机数列依次代入计算被积函数f(x0,x1,…,xs)，求得被积函数的值V；

⑤ 计算积分变量上下限差值的累积，；

⑥ 计算第④步所求得的V值与第⑤步所求得的Mul的乘积，与Sum相加，并赋值给Sum；

⑦ 重复第②―⑥步N次；

⑧ Sum除以N，所得结果就是积分的近似解。

3 算例及其实现

用蒙特卡罗求解 。

对于本例来说，其内层积分上限为一个表达式x，在采用蒙特卡罗计算积分时，其取值依赖于外层积分变量的取值，随外层积分变量取值的变化而变化。故在实现时需对(8)式变化为(9)式。

(9)

C语言程序如下：

double mtml(int s,int n,double a[],double b[],double (*f)())

//s为积分重数，n为抽取随机变量样本的次数

//a,b为数组,分别存储各层积分的上下限

//f为指向被积分函数的指针

{

int m,i;

double r,Sum,*x;

x=(double *)malloc(s*sizeof(double)); //x为存储随机变量样本各个分量的数组

Sum=0.0;

for (m=0; m

{

x[0]=a[0]+(b[0]-a[0])*Rnd(); //Rnd()为在0，1之间产生均匀分布随机数的函数

b[1]=x[0];

x[1]=a[1]+(b[1]-a[1])*Rnd();

Sum＝Sum+(*f)(s,x,a,b);

}

Sum = Sum /d;

free(x);

return(Sum);

}

double mtmlf(int s,double x[],double a[],double b[])

//s为积分重数，x为存储随机变量样本各个分量的数组

//a,b为数组,分别存储各层积分的上下限

{

int i;

double f=1.0,Value=1.0;

for (i=0; i

Value=Value*x[i]*(b[i]-a[i]);

f=f+Value;

return(f);

}

本例的解析计算值为1.25。在抽取样本变量的个数为10000时，其近似解为1.119648，误差为0.005352；在抽取样本变量的个数为100000时，其近似解为1.125504，误差为0.000504；在抽取样本变量的个数为1000000时，其近似解为1.124758，误差为；由此可见，采用蒙特卡洛法计算多重积分，当n的取值充分大时0.000242，其近似解已经相当接近解析解。

4 结论

采用均匀随机数的蒙特卡洛法计算多重积分，是一种简单而有效的手段，其程序结构简单，便于编制和调试；对于多维问题有普遍适用性，其收敛速度与问题维数无关，要达到同一精度，用蒙特卡罗方法选取的点数与维数无关，计算时间仅与维数成比例，而其他的数值方法，达到同样的误差，点数与维数的幂次方成比例。同时，均匀随机数的蒙特卡洛法计算多重积分存在着收敛速度慢且具有概率性质的特点，增加抽取样本次数n，计算量增加，其精度提高很慢，但可以通过选择适当的随机数，如有利随机数，可使其精度提高。

参考文献：

[1] 宫野.计算物理[M].大连:大连理工大学出版社,1987.

[2] 徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:上海科学技术出版社,1985.

[3] 何凤霞,张翠莲.蒙特卡罗方法的应用及算例[J].华北电力大学学报,2005,32(3):110-112.

[4] 尹增谦,管景峰,等.蒙特卡罗方法及应用[J].物理与工程,2002,12(3):46-50.

数值积分范文第5篇

关键词：高等数学 数学文化 微积分 价值研究

高等数学在教学中多围绕数学知识及了理想，通过宏观知识和数学命题来探讨其应用。随着数学文化价值的不断研究，从关注数学教育到重视数学文化，已经从传统的数学定理、公式等方法上，逐步形成数学技术教育的双重功能。从整个数学学科的结构来看，微积分的思想和方法是人类智慧的伟大成就之一。微积分是高等数学中的重要内容，也是打开数学之门的钥匙。学者科朗提出“微积分作为人类思维的重要内容，是联系自然科学与人文科学的桥梁”。因此，加大对数学文化价值的挖掘，从其教育实践中来引导学生体味数学素养，并通过具体的教学课程来进行文化渗透。

一、微积分中的数学文化及价值

从高等数学知识结构来看，微积分占据重要位置，尤其是微积分思想和方法在社会、经济中的应用更为广泛。作为人类思维艺术之一，微积分中的文化价值熠熠生辉。从微积分学科起源来看，古希腊数学家阿基米德从《圆的测量》与《论球与圆柱》中就提到微分和积分思想，我国古代史料中的《庄子》・天下篇中也有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，刘徽的《割圆术》，也提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。随着数学研究的不断深入，基于微积分理论的应用日益凸显其价值，特别是在研究天文学、物理学中更成为科学界的重要理论。然而，对于微积分知识的教学，由于其理论证明和公式推导的复杂性，在逻辑上难以理解，如“无穷小量”与“是否为零”等认识上的模糊性，因此需要从数学教育的价值实践中来突出。

高等数学中的微积分教学，不仅需要从知识和方法的学习上，帮助学生理解和掌握微积分，更重要的是，利用微积分思想中的辩证法，可以促进学生抽象思维能力、运算能力和创新能力的养成。一是微积分有助于提升学生的创造力。从微积分的理性精神和理性思维中，将自然界的物质运动与变化作为数学知识描述的宏观世界，并利用微积分来解释运动的变化和无限的思想。另外，微积分从现代数学的应用中，将人的思维方式作为培养学生创新力的指导，更有助于培养学生的创造力。二是微积分从数学美育价值中促进学生的全面发展。数学不仅是数学符号的表述，在数学美育价值中，正确的认知数学美，将有助于从微积分中来探讨数学的简洁性、对称性、和谐性、精巧性。利用微积分来养成学生的数学态度，拓宽学生的数学思维，帮助学生从欣赏数学美中来优化审美能力，促进学生品德和智能的发展。三是微积分有助于学生掌握现代工程技术等知识。从微积分的应用实践来看，对于物理学、电学等自然科学，利用函数、微分方程、数理统计等方法，将有助于学生从中来认识新的科研知识，掌握微积分工具，来更好的学习其他相关学科知识。

二、在微积分教学中渗透数学文化

数学与数学文化是建构数学理论的基础，也是人类理性思维的重要内容。在微积分教学中，结合数学知识及教学目标，不断延伸数学史及数学文化，从中来帮助学生感受数学的魅力。如对于函数中康托的生平、集合论等数学悖论的引入，介绍数学危机中的发展过程，从微分、导数教学中来探讨导数符合的演变等等。从中来激发学生的学习兴趣，促进学生对数学及数学价值的理解。如对于π的研究，从π的相关文献梳理中，来介绍人们从π的精确值追求中来发掘智力的意义。π又称为“徽率”、“衡率”、“阿基米德数”等，这些不同名称背后的故事，开启了对π的理论探究。同时，在微积分中所展示的严密的逻辑性和抽象性，有助于学生从“思维的体操”中增强抽象能力，唤醒学生的好奇心。如在数学中的逻辑美，我们从数学符号的表达中，从符号的简洁性中来进行形象直观的数学表示。对于某一曲边梯形，在计算器面积时就需要用积分符号 。另外，在数学的对称性研究中，微积分将数与形的对称性进行了诠释，更是对抽象概念及方法的直观应用。如在微积分的实例证明中，对于对称性的利用，可以减少繁复的计算。对于分部积分中的 ，可以进行变形得到 ；对于某一对称区间[a，b]上的积分，如果

，当f（x）为奇函数时，则 ；当f（x）为偶函数时，则 。对于微积分中的和谐性研究，从其公式中即可体现。微分在局部性质与积分的整体性质中获得统一。积分的运算过程是微分的逆运算，我们可以从基本导数的计算中获得基本积分公式；当次微分与积分进行成对出现时，微分与积分公式显示出对称性。如微分中的中值定理与积分中的中值定理，也是微积分和谐美的重要内容。另外，对于拉格朗日中值定理的特殊性，以及柯西中值定理，再加上泰勒定理想高阶导数的推广等，都是微分中值定理的不同形式，这些公式都能够从其内在联系中帮助学生从中感受数学美。

三、在高等数学教学中渗透数学文化的实践研究

抽象性思维是数学的灵魂，对于高等数学中的符号化、抽象化问题，可以从数学文化的渗透中来构建模型，引导学生从中认识、判断和推导、计算。如在欧几里德《几何原本》中，对于数学中概念及命题是建立数学逻辑推理的基础，这些思想和方法更是多门学科知识广泛采用的方法。如形象思维是激发人的创造力的有力工具，数学教学中对代数与几何图形的对应中，为我们的想象力创造了条件，也为更深刻的理解高等数学概念提供了基础。数学中的猜测与想象，将直觉思维运用到数学哲学中，以复杂的数学想象和抽象的逻辑，在直觉中将数学敏锐的洞察力作为数学素养，引导学生从中完善自我认知。可见，在高职阶段数学教学中，渗透数学教育观首先要更新教育理念，从教育的特殊性上来全面审视数学教学，并非从单纯的数学演练中来训练，更多的是通过数学文化的逻辑思想和方法，引导学生从数学知识中发现和欣赏美。再次，借助于数学教学内容，从体现数学文化价值中整合首先内涵，让学生从中发现数学文化，提升数学文化素质。其次，拓宽数学教学课堂中的师生互动，注重发挥师生之间、学生之间的交流与协作，能够从倡导探究中来鼓励学生观察生活，联系实践，从问题情境中来构建数学模型，展开对数学知识及数学意识的培养。最后，注重课堂教学评价创新，特别是在体现数学文化中，要依托现有的评价方式，加大对数学思想、方法、数学精神的主动考察，让学生从探讨交流中发现问题，从良好的情感、态度、价值观上来认识数学概念，掌握多种数学学习及评价方法，充分发挥学生的学习积极性，改进和提升学生的综合数学素养。

参考文献

[1] 曾艳妮.微积分教学中如何融入数学文化[J]. 湖北经济学院学报（人文社会科学版）. 2014（12）.