第九课时

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索平方差公式的过程．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

（二）能力训练要求

1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．

2．培养学生观察、归纳、概括的能力．

（三）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．

教学重点

平方差公式的推导和应用．

教学难点

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

教学方法

探究与讲练相结合．

通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999（2）998×1002

[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．

[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．

[师]很好，请同学们自己动手运算一下．

[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）

=20002-1

=4000000-1

=3999999．

（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2

=10002-22

=1000000-4

=1999996．

[师]2001×1999=20002-12

998×1002=10002-22

它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．

Ⅱ．导入新课

[师]出示投影片

计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．

（学生讨论，教师引导）

[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．

[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．

[生]解：（1）（x+1）（x-1）

=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）

=m2+2m-2m-2×2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）

=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）

=x2+5y•x-x•5y-（5y）2

=x2-（5y）2

[生]从刚才的运算我发现：

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

[师]能不能再举例验证你的发现？

[生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

即（50+1）（50-1）=502-12．

（-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

[师]为什么会是这样的呢？

[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．

[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．

[生]这个规律用符号表示为：

（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？

[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？

[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．

（出示投影）

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

即：（a+b）（a-b）=a2-b2

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．

在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算

（出示投影片）

例1：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

例2：计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．

即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

（a+b）（a-b）=a2-b2

同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：

（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）

=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1．

[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？

[生]我觉得应注意以下几点：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．

[生]运算的最后结果应该是最简才行．

[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．

Ⅲ．随堂练习

出示投影片：

计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（3a+2b）（3a-2b）

（4）（a5-b2）（a5+b2）

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．

（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．

（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2

=（a+2b）（a+2b）-4c2

=a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2

=a2+4ab+4b2-4c2

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

=（a2-b2）（a2+b2）

=（a2）2-（b2）2=a4-b4．

优胜组总结发言：

这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．

Ⅳ．课时小结

通过本节学习我们掌握了如下知识．

（1）平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的结构特征

①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

Ⅴ．课后作业

1．课本P179练习1、2．

2．课本P182～P183习题15．3─1题．

Ⅵ．活动与探究

1．计算：1234567892-123456788×123456790

2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．

过程：

1．看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．

2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．

结果：

1．1234567892-123456788×123456790

=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）

=1234567892-（1234567892-1）

=1234567892-1234567892+1

=1．

2．原方程可化为：

5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2

∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2

即5x+54x2-24-54x2+6=2

移项合并同类项得5x=20

∴x=4．

板书设计

备课资料

[例1]利用平方差公式计算：

（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；

（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．

分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）

解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）

=（a2）2-92=a4-81；

（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）

=[（2x）2-12]（4x2+1）

=（4x2-1）（4x2+1）

=（4x2）2-1=16x4-1．

方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算．这是这类试题的计算原则．

[例2]计算：

（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；

（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．

分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式．于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算．事实上，这是可行的．

解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）

=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+…+2+1

=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）

=50×101=5050；

（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．

=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）

=××××××…××××

＝×=．

方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用．