小数乘法教学反思

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小数乘法教学反思范文第1篇

关键词：知识迁移；能力飞越；教学反思

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）21-066-2

【引言】

本学期我执教五年级数学，作为一个刚从事数学教学的年轻教师来说，我不敢丝毫懈怠，所以利用暑期时间，我将本册教材进行了解，做到心中有数。当接触“小数乘法”这一章节时，我在心中便有了一个大胆的想法：整数乘法学生在四年级已经学过，而小数乘法的算理也如出一辙，根据知识迁移的原理，教学时何不让学生自己去探索解决呢？所谓“迁移”，最主要的一点是要找准新旧知识间的“连接点”，以达到新旧知识的顺利过渡，降低学习的难度。

一、立足学生已有经验，设置问题情境，为促进迁移奠基

小数乘法实则按照整数乘法的算理来进行计算，最后再按照积的变化规律点上小数点。而整数乘法相关的知识，学生们并不陌生，所以，课的一开始，我便让学生列式计算24*15=（360）。一生到黑板上板演，其余独立完成，再集体订正并回顾整数乘法的算理。紧接着，我说：“不计算，知道240*15=（ ）？”学生们马上一口报出得数3600！又问：“你们是怎么知道的呢？”生：“积的变化规律！”引导出自己想要的答案，我也兴奋起来：“谁能具体说说积的变化规律呢？”顿时，班里像炸开了锅一般，大伙都争先恐后的发言，我很欣慰，因为这样的复习已经开了一个好头，打铁趁热：“积的变化规律真管用，那么2.4*15=（ ）？”生：“一个因数不变，另一个因数缩小10倍，积也要缩小10倍，得36。”

【反思】

迁移依赖的是知识间的共同因素，教学新课时通过复习铺垫，挖掘出新旧知识的共同点，导出新知识，再运用旧知识学习新知识。

学生认知结构中已有学习内容既是以前学习的结果，又将成为以后学习的联系点，因此，在讲新知识之前对已学内容进行复习巩固，可为发生“正迁移”打好基础，自然地过渡到新课，这样就分散了难点，突出了重点，便于新知的掌握。这正好符合论语的名言：温故而知新，可以为师矣。因此，对已学知识进行适当的整理，在其中掌握适当的方法，对新知识的掌握有事半功倍的效果。

二、通过知识间的联系，锻炼数学思维，让学生由此及彼

紧接着，我并没有按书中的步骤教学例1，而是直接教学例2：0.72*5= .题目一出示，我并没有强调要求如何计算，而是让他们小组进行讨论，互相交流计算方法。很显然，由于之前的复习唤醒了学生关于整数乘法的记忆，学生很快便想到可以先计算72*5=360，再缩小到它的1/100，得3.60。根据小数的基本性质，去掉小数末尾的0，小数的大小不变，最终得3.6。对于他们的理解，我给予了肯定的鼓励：“你们真厉害，都能根据整数乘法的方法来计算小数乘法啦！”由于抓住了问题的核心，我便开始带领学生一起观察该题的竖式板书，并进一步理解、梳理小数乘法的算理。

【反思】

知识迁移的实质是基本概念和基本规律的迁移，也就是原有知识结构对新的学习内容的影响。小学数学内容是一个前后有序，又不断发展的整体。从学生的认识规律看，知识的形成和掌握也往往在旧知识的基础上引出新知识，并使新知识相互沟通，从而达到促进迁移，发展智力，形成能力的作用。

小学生有极大的智慧潜力，只要教师及时引导，小学生的潜能同样可以充分发挥。都知道，“教”的目的，最终是为了“不教”。教师对知识的“重组”“转换”“转移”，不但可使学生把新旧知识联系起来，而且可以增强学生的智慧潜力，锻炼他们的思维。

就本节课而言，这样使小数乘法的算理在学生原有认识结构中“落脚”，使乘法计算得到扩展深化，形成新概念。

三、通过新旧知识的对比，突出教学重难点，顺利实现正迁移

教学中，对于小数乘一位整数的计算，学生们掌握较好，但计算2.3*12，诸如此类的多位数时，列竖式时出现了每一步都带小数点，最终导致错误的结果。学生貌似理解了小数乘法的算理，实则不然。所以我便因势利导，来个将错就错，就以此题为例，再一次引导学生分析这题的算理：将2.3扩大到它的10倍为23，再按23*12来计算，并适时提问：“既然是按照整数来计算的，那么列竖式过程中需要点小数点吗？”（经过这么一点拨，学生顿悟）直到最后算出积后再点上小数点。

积的小数点的确定既是本章的教学重点，又是一个难点。在实际作业操作中，有的学生按积的变化规律来确定，也可以直接数因数中一共有几位小数，再从积的右边起数出几位，再点上小数点。对于后者，关键在于适当弱化积的计算过程，突出寻找积的小数位数与因数的小数位数的关系，以保证学生思维的高效性，也避免计算枯燥无味的感觉。

到这里，新知识的学习便告一段落了。我提问：“小数乘法与整数乘法究竟有什么相同与不同之处呢？”这一问题无疑是对小数乘法与整数乘法的总结性对比，找准二者的“连接点”，以及辨析新知的不同之处，达到再次巩固教学重难点的效果。

【反思】

心理学研究表明：对比可抗干扰，加强对易混知识的比较，有利于排除干扰，加深对某些相关概念的认识和理解，使易混知识在学生头脑中彻底分化。就本节课而言，当学生能很好地找出小数乘法与整数乘法的异同时，那么我所设定的教学目标也基本达成了，学生也顺利实现了新知识的正迁移。

四、分层分类的练习，巩固内化知识，促进能力的提高

一种数学知识的习得还必须经过大量的练习来巩固。而“算”更应该在本章的教学中得到很好地贯穿。

虽然，之前学生大多能掌握“算理”，说起算理也是头头是道，但在具体的作业过程中，又让我看到了“百花齐放”式的错误。面对这些错误，我反而要感谢它们适时的出现。因为学生对一种新知识的掌握正是需要经过懵懂出错纠正练习熟练掌握这一系列过程的碰撞和磨合。因而，从学生的错误中，我得到了很多关于重点知识与难点知识的反馈，这样可以让我有针对性地进行诊治，并达到巩固强化的效果，顺利实现知识的内化。例如：

第一，突出积变化的规律。 在教材中积变化的规律是新知，在教学中我却将它当做复习，引导学生充分理解一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少，积就会扩大（缩小）多少。并引导学生直接运用这一规律计算出例2中的0.72*5，感受规律的正确性。

第二，突出竖式书写的格式。 如计算1.35*1.2时，出现了将小数点对齐来计算。导致小数乘法的对位与小数加减法的对位相混淆，这时抓住小数点为什么不对齐来引导思考：我们已将1.35扩大100倍得135，1.2扩大10倍得12，计算的是135*12，所以应根据整数乘法的计算方法计算，最后还得将积缩小到它的1/1000。同样，对于竖式过程中点小数点，也可以从算理的角度去解决。

第三，突出小数位数的变化。 小数位数的变化是本节课的一个难点，按照整数乘法的方法去计算，最后根据积变化的规律或者数因数的小数位数来确定积的小数位数，这样学生掌握较好。但不计算来直接判断积的小数位数时，就不能完全按照数因数位数的方法来判断，诸如7.35*1.6，像这样最后一位乘得的积为整十数时，再根据小数的基本性质，省略末尾的0，便不能判断积为三位小数。最终通过计算，让学生意识到并不是积的小数位数和因数的小数位数都是一样的。

小数乘法教学反思范文第2篇

《小数乘法的意义》一课是义务教育新课标教材中四年级的教学内容，它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展，其教学目标是引导学生通过具体情境和实际操作，了解小数乘法的意义，并能结合意义计算简单的小数乘整数的得数。教材在编排上注意体现新的教学理念，设计了丰富的生活背景素材，为学生主动从事观察、提问、计算、合作、交流等数学活动，提供了大量的信息，满足了学生多样化的学习需求，同时也让学生感受到数学知识与日常生活的密切联系。教师在教学中要引导学生认真观察，积极思考，主动提出问题，置学生于开放的情景活动之中，让其自主探索解决问题的策略，使学生的数学思维能力和创新精神得到培养。

片断一：创设购物情境，启发学生提出问题。

师：同学们喜欢逛超市吗?一起到超市去看看。（出示情境图）

看到了什么？能提出哪些数学问题？

生1：每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖多少元？

生2：每包饼干1.2元，买4包饼干多少元？

生3：每包方便面0.80元，买2包方便面多少元？

生4：每千克苹果3.00元，买1.50千克苹果多少元？。

……

师：这些问题就作为这节课研究的内容。

反思:数学来源于生活。从学生的生活经验和已有的知识出发，将数学活动与他们的生活、学习实际相连，创设购物的生活情境，引导学生进行观察、思考，让他们从生动、具体的背景材料中去发现、去探索与之相关的数学问题，这不仅能够较好地激发学生的学习兴趣和求知欲望，而且能使他们积极主动地参与数学活动，自觉地用数学的思维方式来观察和解决生活中的实际问题。

片断二：自主探索、合作交流、建立数学模型

生：独立思考以上问题、探索研究

师：汇报交流

生1：第一个问题，列式0.2×3，因为每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖就是3个0.2，这和整数乘法意义相同，所以用乘法计算。

师：0.2×3等于多少呢？

生1：我用3个0.2相加，0.2＋0.2＋0.2=0.6元。

生2：我是这样想的，0.2=2角，2×3角=6（角）=0.6元。

生3：我用的是画图的方法：一个正方形代表1元，平均分成10份，每份就是0.1元，每根棒棒糖0.2元，就涂2份，3根就涂6份，也就是0.6元。

生4：从他们的计算结果中，我发现了一个规律，可以直接用整数乘法计算，再看因数中有一位小数，积就有一位小数。

师：厉害！这位同学还发现了计算的规律，这对于今后的学习是很有帮助的。

生5：我选择的是第四个问题，我想每千克苹果3.00元，这是苹果单价，1.5千克是苹果的数量，根据单价×数量=总价，列式为3×1.5。

师：那么怎样算出它的得数呢？

生5：1千克苹果是3元，0.5千克就是1.5元，合起来就是4.5元。

生6：也可以用1.5+1.5+1.5=4.5（元）

生7：先用3×15=45，再看因数中有一位小数，所以积也有一位小数，即4.5元

……

反思:教师重视学生自主探究发现的过程，放手让学生自由地思考，探究计算方法，对于0.2×3＝0.6，3×1.5＝4.5，同学们利用自己的生活经验和已有知识，用自己的思维方式，积极主动地去尝试，不同的学生用不同的想法解决问题，可谓殊途同归。在探究过程中，由于学生已从他人的思想方法中得到启发，他们都能利用连加的方法，单位换算成整数计算的方法，以及用几何模型涂一涂的方法来计算小数乘整数的结果，进一步理解小数乘法的意义。教师能尊重学生的不同想法，并鼓励学生大胆发现规律，应用规律，只有学生亲自经历探索过程而发现数学知识，才会印象深刻，掌握牢固，运用自如，同时思维的主动性和创造性才能得到充分的发挥，才能体验到经过努力获得知识的成功的喜悦。

片断三：运用新知识，深化理解，拓展延伸

师：（第4页第2题）说一说这几道小数乘法算式的意义。

生1：0.3×4表示4个0.3是多少？

生2：5×0.3表示5个0.3是多少？

……

师：谁能说明每幅图所表示的意思？

生：每个正方形代表“1”，平均分成10份，每份是0.1，平均分成100份，每小格代表0.01。

师：让学生动手涂一涂，填写得数）

师：从涂的结果发现了什么？（全班反馈）

师：我们知道了0.01×10＝0.1，0.01×100＝1,那么0.01×1000＝?

生:0.01×100＝1,那么0.01×1000，结果扩大10倍得10。

师：你能计算6×2.5吗？请在小组内与同学交流你的想法。

生1：2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5=15

生2：6×2＝12，6×0.5＝3，12＋3＝15

……

师：在我们的生活中到处都有小数乘法，请同学们课后找找这样的例子，把你找到的结果写到数学日记里。

反思:教学既要注重过程，也要注重结果，所以必须及时有效地搞好课堂训练。在这个环节中，我设计了多层次练习，从多种角度训练学生运用所学知识解决生活中的实际问题的能力。通过实际操作涂一涂，不仅有助于进一步理解小数乘法的意义，同时体现了数和形的结合。鼓励学生自己在生活中寻找能用小数乘法解决的问题，写下有意义的数学日记，做到了数学来源于生活，又应用于生活。

小数乘法教学反思范文第3篇

一、具体现象描述

在教授小学数学北师版四年级下册小数乘除法时，有几个现象频繁呈现，亟待解决。

1、小数乘法列竖式的计算中，部分学生对小数点对齐印象深刻，总是不由自主地对齐数位再相乘，导致结果出错。

2、小数乘法计算中，我们先将小数看成整数计算，最后再数小数位数，可还是有学生出现小数位数数不正确的现象，通常会少数或是漏数；针对末尾有0的计算时，更是容易出现不补0就数位的现象。

3、小数除法时，学生不能顺利的移动小数点。将除数变成整数，所有的学生都能做到，然而还有较多的学生总是忘了同等移动被除数的小数点。

5、学生在计算中算错、看错的现象屡见不鲜，其中错例形式多种，花样百出。

二、错例成因解析

面对学生的错误，笔者通过翻书籍，访学生，反思课堂教学，同行交流等系列活动，进行了深入研读与分析，认为错例成因如下：

1、教师主观意识过于强烈，总将错误归结于学生的粗心与不认真，而忽略了教师的上课实效性。分析小数乘法的错例，可以发现：小数乘法是建立在整数乘法的基础之上的，在此之前，学生已经掌握了整数乘法的列竖式方法，可以利用知识的正迁移作用，教会学生小数乘法的计算方法。在新授之后再进行新旧比较，提醒学生别忘了数一数小数位数，给积添上合适的小数点。回顾自己的新课教授，就因为将学生的起点立的太高，没有帮助学生进行新旧知识的沟通，从而落下了如此的"病根"，实属教之过。

2、过于注重学生计算技能的训练，忽视计算素质的培养。为何学生在接受计算课时便容易显现乏味的态度？这里面不缺乏我们教师对计算内容的特殊处理。一般的教师总觉得计算教学不过是会计算、会算对、会应用，因而会花更多的时间在计算技能的练习上，而往往将提高计算素质置于最边角地位。也正因为教师对计算教学的偏向理解，成就了学生对计算学习的种种消极态度。

3、在教学中重答案，轻习惯养成。分析现今的数学测试，由于计算出错而导致卷面失分的现象比比皆是，这也是教师最头疼，最想解决的一个课题。可老师是否想过，过于追求答案，学生容易放松了对格式的规范，放松了对书写的严格要求。久而久之，呈现出急躁、敷衍、无所谓的态度，从而对学习造成负面影响。

三、有效策略研讨

诚如特级教师王凌所说："今天一个其数学本领仅限于计算的人，几乎没有什么可贡献于当今的社会。因为廉价的计算器就能够把事情办得更好。"由此我想：应当把小学的计算学习过程定位为一个发现问题、提出解决问题的猜测、尝试解决、验证与修正、形成算法、推广应用的过程，是一个学生实现再创造与数学化的过程，是培养学生掌握数学学习方法的良好途径。若从这个角度来重新认识计算教学，可以使我们的计算教学更加接近于计算教学的真谛。

（一）加强小学各阶段口算能力的训练

特级教师邱学华老师有言：计算要过关，必须抓口算。但口算的训练需要摒弃一贯的机械重复，实现科学化的进程。教学中，宜结合具体的内容采用视算与听算相结合的方法。其中视算是基本方式，而听算对学生的要求更高，要求学生记住运算数目，同时进行思维计算，对培养学生的注意力和记忆力有着非常重要的作用。

（二）加强估算与笔算的结合

新课标淡化甚至取消了计算中的部分内容，但却强化了估算能力的培养。源于估算与生活极其接近，发展好估算能力，可以解决生活中的许多问题。回到教学实践中，我们可以利用估算对算式进行结果的预测，以及对结果的合理性进行必要的考察，减少和防止计算中可能出现的错误。

教学中我们可以通过逐步培养学生对算式的观察力、预测力、思维方法、计算技巧等方面入手，组织学生在计算之前，将算式进行细致的观察，并进行初步的估算。以0.9×1.05为例：1、先估计出积的大致范围为0.9-1.05；2、估计积的末尾是5；3、积是三位小数；4、实际是计算9×105，再点小数点；5、列竖式的时候应将数位多的放在上面计算。经过如此一番思考与分析，相信学生对计算有了一定的把握。

（三）加强对错例的分析，找寻源头实现突破

计算教学中，我们通常会发现形形、多种多样的错误。但善于归类总结的教师会从中找寻到一定的规律，以此来改进自己的教学方法，防止错误的再发生。

1、粗心大意所造成的错误

如抄错题目，看错数位，将乘法算成了加法，进位的时候忘记加上，最后一步加法不够细心等等。类似的错误，经过教师一提醒后均可发现并及时订正，出现这样无意错误主要还是由于学生没有良好的作业习惯。

对策：A：规范学生的作业书写格式，在新授课伊始便强调书写步骤，每日坚持，不厌其烦地提醒指导，直到学生形成良好的书写习惯。B：根据各个阶段的内容，学生的年龄特点，组织不同形式的竞赛活动，旨在活动中让学生互相学习，规范学习习惯。

2、对计算法则模糊所造成的错误

牢固地掌握计算法则是正确进行计算的必要条件。然而，总有部分的学生对法则没有完全的理解，造成作业中想到这步忘记那步，个体究不出缘由，需要帮助才能获得解决。如：9.6×1.8 ， 学生能计算第一步，却容易把第二步跟个位对齐，造成结果的错误。再如小数除法中0.21÷0.025，一类错误是21÷25，这是对小数除法中被除数和除数同时扩大相同的倍数没有正确理解造成的；二类错误是210÷25，但在计算中，依旧将小数点与原数的小数点对齐，这是对算理的理解不够透彻。再如：6.7÷66，商是循环小数，可需要算到第六位才能正确的看出循环节，可学生在计算时往往只算到第三位或第四位便写出了循环节，这是对循环小数特点的不完全掌握造成，如若学生在课堂上经历了完整的找循环节的过程，相信不会那么草率地认定这个题目的答案。

这类错误的产生有两个原因，一方面跟教师上课的质量有关，上课重点未突出，概念讲解模糊不清，没有设计学生探究的活动，就不能启发诱导学生正确牢固地掌握计算法则。另一方面跟学生上课的效率有关，学生听讲不认真，不知道抓重点听，不知道跟着内容走，造成对新知的一知半解。

对策A：认真备课，提高课堂教学质量。除了认真钻研教材外，还要花更多的时间了解学生。在教学中，要特别注重学生的思维过程，利用丰富的情境引导学生从本质上掌握知识点，而不仅仅是计算技能的强化。B：加强学生学习方法的指导。由于个体差异，很多的学生不知道高效地听讲，这直接影响到学习的效果。那么作为一名走进课堂的教师，要时刻谨记科学的学习方法的传授，抓典型，树榜样，帮助全体学生找到适合自己的学习方法。

3、基本口算的不熟练

小数乘法教学反思范文第4篇

一、样例、迁移

“样例学习又叫从例中学，是学习者通过研习样例而习得专家的问题解决方法的一种学习方法。”那么什么又是知识迁移？又怎样进行知识的迁移呢？知识迁移就是“一种学习对另一种学习的影响”。在学习这个连续过程中，任何学习都是在学习者已经具有的知识经验和认知结构、已获得的动作技能、习得的态度等基础上进行的。这种原有的知识结构对新的学习的影响就形成了知识的迁移。要促进迁移的产生，首先要有教师的指导。其次要掌握学习材料的特性。三是学习的心向与定势。它们指的是同一种现象，即先于一定的活动而又指向该活动的一种动力准备状态。四要选择好适合的媒体。还有就是有较多相似的知识更容易产生迁移。学习者原有的认知结构也很重要。

二、实验研究

（一）实验一

1.研究目的：样例范围变化对小学乘法迁移影响是否很大，还有哪些重要因素影响学生学习小数乘法学习结果。

2.实验方法：本次试验采用2（第一个因数整数、小数）×2（第二个因数整数、小数）×4（样例变异的四个水平）三因素随机试验。其中两因数为被试内变量，样例变异为被试间变量，因变量为迁移成绩。

3.实验对象：选取我校五年级202名没有学习过小数乘法但是学习过整数乘法的学生为实验对象，其中男生112人，女生90人。学生按自然班进行试验。

4.实验材料：实验材料分为学习材料和测试材料。学习材料分为无变异材料和有变异材料。无变异材料即因数变为整数乘以多少，算出的积就除以多少得到结果。有变异材料分三个水平（1）两个因数分别乘以多少，积就除以他们的乘数的积，得到结果。（2）末尾出现零，零在小学学的不深但用的较多。（3）积不但末尾出现了零，而且前面位数不够时还要补零。

5.实验程序：实验分为两个阶段，第一阶段202名被试研习学习材料，时间为8分钟左右，学习完毕材料收回。进入第二阶段，测试阶段，被试根据学习材料完成4组习题的其中一组，要求写出完整的解题过程。测试时间为5分钟，测试结束，材料收回。

数据观测方法：每道测试题分为横式和竖式两部分，两部分都完整给10分，一半对给5分。

6.实验结果：无变异那一组题知识迁移的主效应显著，学生学习起来比较容易。有变异的第一组两个因数分别乘以多少，积就除以他们的乘数的积，得到结果，知识迁移的主效应显著，学生学起来问题不大。有变异的第二组末尾出现零，需要化简，知识迁移的效应其次，有变异的第三组积不但末尾出现了零，而且前面位数不够时还要补零，知识迁移效应不是十分明显。以自然班为单位学生的影响因素被排除。

（二）实验二

1.研究目的：样例范围变化对小学乘法迁移影响是否很大，还有哪些重要因素影响学生学习小数乘法学习结果。

2.实验方法：本次试验采用2（第一个因数整数、小数）×2（第二个因数整数、小数）×3（学生：学优、学中、学困）三因素随机试验。其中两因数为被试内变量，学生层次为被试间变量，因变量为迁移成绩。

3.实验对象：选取我校五年级202名没有学习过小数乘法但是学习过整数乘法的学生为实验对象，其中男生112人，女生90人。学生按自然班进行试验。

4.实验材料：实验材料分为学习材料和测试材料均为实验一的材料。测试材料按照学习材料的四种类型编辑，为防止工作记忆的干扰每种类型只涉及2道，共8道题。将这8道题编好号，每类一纽，按拉丁方方案发放。这主要是想避免学习效果干扰。

5.实验程序：实验分为两个阶段，第一阶段202名被试研习学习材料，时间为8分钟左右，学习完毕材料收回。进入第二阶段，测试阶段，被试根据学习材料完成4纽习题的其中一组，要求写出完整的解题过程。测试时间为5分钟，测试结束，材料收回。

数据观测方法：每道测试题分为横式和竖式两部分，两部分都完整给10分，一半对给5分。

6.实验结果：学优生组知识迁移的主效应显著，学生学习起来比较容易。学中生两个因数分别乘以多少，积就除以他们的乘数的积，得到结果，知识迁移的主效应显著，学生学起来问题不大。有变异的第二组末尾出现零，需要化简，知识迁移的效应其次，有变异的第三组积不但末尾出现了零，而且前面位数不够时还要补零，知识迁移效应不是十分明显。学生的自身条件越优越迁移的效果越好，尤其是测试题复杂之后，影响就越显著。

三、结论

小数乘法教学反思范文第5篇

一、备课的误解

第一个误解是把“写教案”等同于“备课”。有学校把定期检查教师的教案作为管理教学质量的手段，认为教案的质量等同于教学质量，导致一些教师养成了为应付检查而写教案的习惯，使得备课成为被动的“抄写”活动，失去了主动的思考和学习，备课并没有成为上课的准备，而成为了“不得已而为之”的负担，备课没有成为主动的脑力劳动，而成了被动的体力劳动。

事实上，教案就是对课堂教学的一个计划和安排（Lesson Plan），应当是对备课中思考和学习的一个记录。这个记录可以写出来，也可以不写出来；可以写得很详细，也可以写得很简略，甚至也可以不写出来。教案是为教师自身教学所使用的，因此写出来还是不写出来、写得详细还是粗略，应当由教师依据自身情况和需要自由决定，而不应当按照某一种模式硬性地统一要求。备课的质量是由教师主动“思考和学习”的质量决定的，而不是由写不写教案或者教案写成什么样子决定的。备课的水平决定了教学质量，而教学质量最终是靠培养出来的学生的质量来检验的。因此，试图通过检查教案的方式检验教师的教学质量，显然是不妥的。

第二个误解是备课内容追求全面，其结果是备课中需要思考的内容变得“复杂化”和“形式化”。比如，要求书写格式必须包括“课题名称、教学目标、重点难点、教学过程、板书设计”等，其中“教学目标”必须包括所谓的“三维目标”。一些地区开展的说课比赛中，组织者更是规定了“八股文”式的模板，规定说课内容要包括“指导思想与理论依据，教材分析与学情分析，教学目标与重点难点，教学流程与教具学具，教学评价与方式方法，教学特色与教学反思”，其中的“教材分析”必须包括多个版本教科书的对比分析，“学情分析”必须通过所谓的“前测”来进行。试想，在日常教学中，教师准备40分钟的一节课，怎么可能去认真思考如此烦琐的内容？在这样的模板下，教师的备课不是独立地思考和学习，而是在揣摩“检查者”或“评委”想法的基础上的“东抄西抄”，当然也就谈不上发挥教师的主动性和创造性了。这种追求全面的备课要求实质上是“把简单问题复杂化”，使人无法聚焦重点，自然就不能使得思考深入，只能是“用华丽的词汇掩盖空虚的内容”。

第三个误解是备课中的思维方式模式化。在不同地区、不同学校经常听到一些模式化的说法。比如，“必须要有生活情境，必须要有直观模型”，等等。无论是“生活情境”还是“直观模型”都属于教学的方法与手段，方法与手段是为内容和目的服务的。不同的内容和目的所适用的方法和手段可能是不同的。这些模式化的思维方式可能是来源于一线教师对所谓“专家”的迷信，认为专家说的都是正确的。中国教育的一个特点是众多的没有做过中小学教师的专家在指导着中小学教育教学。这样的指导可以说是利弊参半，最不可取的指导有两种类型，一种是把外国人的话变成晦涩的中文灌输给教师，使得教师误认为“外国的就是先进的”“听不懂的就是高深的”理论；第二种是“有想法、没办法”的所谓指导，这种“眼高手低”的指导给人的感觉是高高在上、可望而不可即，空谈理念和意义，对于教育教学中的实际问题说不出解决办法。这样“没错且没用”的指导只会使得一线教师慢慢习惯于高谈阔论式的教学研究，而对于教育教学中的实际问题却视而不见。

第四个误解是只关注教学内容，而忽视课堂组织形式的设计。什么样的任务适合独立思考？什么样的任务适合同伴交流？什么样的任务适合小组合作？每一个学习任务需要安排多少时间？完成任务后应当如何组织汇报？学生汇报过程中如何组织其他学生的倾听与交流？这些问题其实都是需要在备课过程中认真思考并有所安排的。

综上，备课作为教师上课前的准备活动，应当是一个个性化的活动，并没有统一的模式。备课永远不会有最好的模式，每一位教师都可以创造出最适合自己以及自己学生的备课方式。从某种意义上说，这也是“教无定法”的一种体现。

“变教为学”的教学从知识安排的角度说，强调突出本质和实现关联，所谓“突出本质”就是明晰知识属性，由此可以确定其学习的过程与方法。[1]“实现关联”的一个重要方面是把“新”内容与学生已经熟悉的内容建立联系，实现“化未知为已知”。为此，备课中需要思考和研究的一个重要问题就是辨别“新”知识。

二、辨别“新”知识

辨别新知识是确定学习目标的基础。这样的思考关注哪些内容对学生的学习来说是“新”的、哪些是学生已经熟悉的，这将成为设计“怎样学”的依据。下面以“小数乘法”和“小数除法”为例说明。“小数乘法”是在学习了“整数乘法”“小数的认识”以及“小数加减法”之后的内容，应当说是以上内容的重新组合，从数学的角度看，这种“重组”并没有出现什么新知识。但从学生的学习来说，就可能存在着学生所不熟悉的“新”内容。

学生之前对“乘法”的认识是“相同加数求和”，如果把这种认识用于对小数乘法的理解就会产生困难。比如，小数乘整数的“0.5×3”，可以理解为是“3个0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反过来“0.5个3相加”就不好理解了。类似地小数乘小数“0.5×0.3”，用“相同加数求和”也很难理解其含义。

“小数除法”也是类似，学生过去所熟悉的整数除法算式一般有两种理解方式，比如对于“24÷4”，第一种理解是“24中包含有多少个4”；第二种理解是“把24平均分为4份，每份是多少”。不妨把第一种理解简称为“包含除”，第二种简称为“等分除”。对于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是问“22.4中包含有多少个4”。这样的理解对于如图1的竖式计算过程就难以解释了。

图1计算过程实际上分为两步，用“包含除”的语言说，第一步算出了“22中包含有5个4”，剩余部分是“2.4”，比除数4小，就无法用“包含除”的语言继续解释下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的语言叙述为“把2.4平均分为4份，每份是多少”，如果除数也是小数，同时被除数小于除数，那么无论是用“包含除”还是“等分除”都很难解释除法算式的含义。比如“0.1÷0.2”，既不能说成“0.1中包含有多少个0.2”，也不能说成“把0.1平均分为0.2份，每份是多少”。

另外，学生学习“整数乘法”和“整数除法”后会不自觉地形成两种认识，第一种认识是“乘法使得结果变大”“除法使得结果变小”。[2]第二种认识是做除法的时候“被除数总是大于除数”的。这两种认识在学习小数乘除法的时候都发生了变化。因此，在学习小数乘法和小数除法之前，首先需要学习的“新”知识不是程序化的“算法”，而是针对小数乘法算式和除法算式含义的理解。

三、为新、旧知识搭桥

辨明对学生来说可能的新知识后，需要思考的重要问题是如何把“新”知识变成“旧”知识，也就是把新知识与学生已经熟悉的知识或者经验建立联系。

对于“小数乘法”，一种较为普遍的学习方式是借助长方形的面积。图2正方形ABCD的边长为1，所以面积为1。

在图2正方形的AB边上截取0.5长度，AD边上截取0.3长度，那么长方形AEFG的面积就可以用“0.5×0.3”表示。类似于这样的方法在国内外小学数学教科书中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级上册中对小数乘法的引入，就采用了求面积引入小数乘法。

在国外的数学教学中把用长方形面积展示小数乘法过程叫作小数乘法的“直观化（Visualization）”，比如对于“5.7×1.4”的计算过程和结果，就可以用下面的图形直观地展示出来。[3]

图4 小数乘法示意图

用长方形面积直观理解小数乘法，实际上是默认了一个前提，就是边长为小数的长方形面积可以用“长×宽”计算，这一点与学生之前的经验并不相符。所谓“长×宽”的长方形面积公式，学生最初是用“数方格”的办法学习的，数字“1”对应的是一个方格，边长都是整数。而在图4中数字“1”对应的是一个“大方格”，其中还包含了100个“小方格”，实际上是把小数变成整数进行理解，并没有揭示小数乘法的真正含义，仍然会对学生理解小数乘法构成困难。

对小数乘法算式真正的理解需要借助分数的思维方式，用分数的眼光看待小数及其乘法运算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解为“0.5的”或者“0.3的”。两者的相等关系可以从下面的图5中看出：

0.5的：

0.3的：

图5 0.5×0.3的理解图示

在实际的购物问题中就可能出现类似的计算，比如，“一个物品的价格是0.3元，买半个多少元？”这个问题可以用“0.5×0.3”来计算，实质上是用求“0.3的”进行思考的。行程问题中，如果一个人的步行速度是平均每分钟0.12千米，那么半分钟步行距离就可以用“0.12×0.5”来计算，也是运用了“求一个数的几分之几”的思维方式。

在这样理解的基础上，应当可以对小数乘法的

结果进行口算或估计。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此结果应当是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”应当比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是这个结果应当介于7.5和9之间，在没有精确计算的时候，利用分数的思维方式已经估计出了准确结果所在的范围，这对将来算法的学习是十分有益的。

对于小数除法来说，最难理解的情况是“除数是整数部分为0的小数，并且被除数小于除数”，对于这样的情况可以利用“比和比例”的思维方式进行理解。比如，一个物品单价为0.2元，如果某顾客只有0.1元，可以买多少？这个问题可以通过计算“0.1÷0.2=0.5”来解决。这样的方法实质上是利用了“总价”与“数量”成正比例，也就是说“0.2元与0.1元之间的倍数关系”与“1个物品和0.5个物品之间的倍数关系”是一样的。这样的关系可以从图6的表格中明显看出：

总价（元） 0.2 0.1 …

数量（个） 1 0.5 …

图6 总价、数量关系图

这个时候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表达的是0.1与0.2之间的倍数关系，这实际上就是“比和比例”的思维方式。再比如，中国古代重量的计量单位有“斤”和“两”，两者的关系为1斤等于16两。因此有一个成语叫作“半斤八两”，表示势均力敌、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八两”的基础上问“0.2斤等于多少两”？其间的数量关系可以用图7的表格展示出来：

斤 0.5 0.2 ……

两 8 ？ ……

图7 半斤八两示意图

此时用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2与0.5之间的倍数关系，由于“？”与“8”也符合这样的倍数关系，所以0.2斤对应的就是“8×0.4=3.2（两）”。

因此，对于小数乘、除法一种有效的理解方式是充分利用计量单位之间的比例关系。小学阶段含有这种计量单位的“量（magnitude）”主要包括描述物体“大小”的长度、面积、体积；描述物体“轻重”的重量（质量）；描述价值“贵贱”的人民币；描述经历“长短”的时间；描述“冷热”的温度；描述“快慢”的速度；描述旋转或者“张开程度”的角。凡此都可以成为理解小数乘、除法算式的素材，成为沟通新、旧知识的桥梁。虽然比、比例以及正、反比例等都属于六年级的课程内容，但相关的方法和思维方式是在数学课程中贯穿始终的。

以上关于“小数乘、除法”的课程内容具有“似旧不旧”的特点，也就是表面看没有新内容，而实际上存在着与学生已有知识和经验不同甚至相悖的内容。因此，备课中应当着力挖掘其中蕴含着的“新”内容，这些新内容将成为学生学习的重点和难点。

四、似新未必新

数学课程中还有一类与“似旧不旧”相对的课程内容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知识，而实际上学生之前对其已经具有了相当丰富的知识和经验。备课中一个重要工作就是把“似新”的内容与学生已经熟悉的内容沟通联系，使之成为“不新”的内容。“圆的面积”通常被认为是难教并且难学的课程内容。事实上如果沟通了圆与三角形的关系，学生完全可以自己推导出圆的面积公式。[4]如图8，首先把一个半径为r的圆面内部画出若干同心圆：

然后想象将这些同心圆逐一取出：

接下来想象将图9中所有同心圆从某处剪开并拉直，依次摆放在一起：

这样就形成了一个两条直角边分别为半径“r”和圆周长“2πr”的直角三角形。

所有变换过程并没有使得面积发生改变，因此图11三角形的面积与原来图8圆形面积相等，因此利用三角形面积公式就可以求出圆的面积为πr2了。这样的过程与之前学生所熟悉的将“平行四边形”转化为“长方形”求出平行四边形面积公式的过程是一样的。[5]另外，这样的过程实质上是利用了微积分中所谓“分割、求和、取极限”的方法，也是利用“离散量”研究“连续量”的过程。[6]

“变教为学”主旨在于让学生自己经历知识的发现与发明，这就要求教师备课中需要认真研究并且辨别新知识，进而沟通其与旧知识的联系，在此基础上为学生设计有效的学习任务和学习活动。

参考文献：

[1] 郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏宝霞. “几何直观”观什么[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索规律[[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2013，（12）.