有余数的除法教案范文第1篇

我们知道，预设与生成是课堂教学的两翼，缺一不可。其中重视生成显得尤为重要。什么是生成性教学？在弹性预设的前提下，在教学过程中生生、师生合作与对话、碰撞中，出现超出教师预设方案的新问题、新情况，这些新情况根据教师不同的处理会呈现出不同的价值。

以《有余数的除法》为例来提醒自己，也提醒年轻的老师们，生成性教学的调控艺术要恰到好处。

【案例1】

Z老师教学《有余数的除法》：

⒈出示提问：7颗桃子分别放进3个盘子里，每盘几个？还剩几个？

⒉学生动手操作模拟分盘后，一学生汇报说：我先给每个盘子放2颗，还剩1颗再切成3份，每盘放一份。

师：一个桃子是不能切开分的。

（马上提问下一个学生。）

【案例1评析】

该案例说明教师对有余数的除法概念不清，没让学生明白不能分切一个桃子的原因。余数的概念本质是被除数、除数、商都是整数，且余数必须比除数小。把握这一点的前提下，可以这样回复学生的回答：“你这种思维方法很好，不过你说的这种分法涉及到一个新内容，这是我们以后要学到的分数和小数的知识，今天咱们学的余数除法必须是整数，一个整桃子是整‘1’，暂时不切了。”

所以，生成性教学的底线是对教学目标，即表现性目标的准确把握。

【案例2】

L老师教学《有余数的除法》：

核心环节1：创设问题情境（略）

核心环节2：

和学生探讨13个橘子，每盘放2个，放几盘剩几个？得出除法算式：13÷2，要求列竖式计算。

生1：列式： 13÷2=5……3

师：这种结果对不？

生：不对！

师：谁来说说应该怎么算？

生2：2×6=12，13-12=1， 13÷2应该商6余1（说了竖式计算的运算过程）

师：试商乘积应该是和被除数最接近的。（把“生1”写上去的5、10、3擦掉，改为“生2”说的6、12、1。）

核心环节3：

用小棒搭正方形，并出示得出的对比算式，让学生观察对比除数和余数，他们的大小应该是怎样的？为什么？

9÷4=2……1

10÷4=2……2

11÷4=2……3

12÷4=3……0

13÷4=3……1

……

【案例2评析】

此案例是学生没有把有余数的除法的实际意义真正理解了，也就是有余数除法的模型没有真正建立起来。只有机械的计算，没有再现学生的思维与体验过程，动而不活，一锤定音太草率。生1的计算结果是否可以这样处理？方法一：请生1再现自己的思维过程，叩问“每盘放2个，余下的3个还可不可以再放一盘？你原来的5盘再加上这一盘是几盘？商6，2×6得几颗？最后余几颗？”方法二：先问其他学生还有无不同的分法？将13÷2=6……1写在13÷2=5……3的旁边;然后设疑，到底哪一个对呢？我们来检验一下，进入“核心环节3”，得出余数与除数的关系，再回头判断前面两种结果哪个正确？

所以，生成教学的调控艺术在于寻找联系点，有效的利用现成资源，把学生的错误和课堂意外事件转化为有价值的案例、介质。立足实际培养学生的“基本数学思想”和“基本活动经验”。

【案例3】

师提问：余数可能是几？

生1：余数可能是0。

师：反问“0是余数吗？”

生：无语……

匆匆而过，不了了之。

【案例4】

W老师在教学《有余数的除法》的新授环节出示：23÷5=4（组）……3（盆），让同学之间互相说说怎么读这个算式。

而学生却在说列竖式计算的运算过程。教师成了旁观者没听没参与，然后继续叫学生汇报，学生答非所问。

【案例3、4评析】

有余数的除法教案范文第2篇

小学低段学法和有余数除法时，教材通常会要求通过“圈一圈”帮助学生加强对除法意义和算理的理解. 可是看似简单的“圈一圈”，在教学中却存在不少的问题.

例 北师大二下《课堂作业本》第7页第1题：“圈一圈，填一填. 把18盆花平均分给5个班，每个班可以分到（ ）盆花，还剩（ ）盆. ”

学生的答题情况如下：

从图中可知，学生列式解答均相同，但是圈法不同. 图1：从答案出发，3个一圈，圈了5次，余3；图2：3个一圈，余数也圈，圈了6次；图3：5个一圈，圈了3次，余3.

该习题究竟3个一圈还是5个一圈，还是都可以呢？我校二年级数学备课组进行了研讨. 讨论时，老师们各抒己见，有的认为要鼓励学生解决问题策略的多样化，有的认为“圈一圈”不能随心所欲，应体现除法的过程……

分析思考：

“圈一圈”能不能随心所欲呢？答案是肯定的“不能！”我们可以从以下几方面思考.

1. 从“圈一圈”意义的层面分析，“圈一圈”不能随心所欲

布鲁纳的发现学习论认为：学生的学习过程包括实物操作、表象操作和符号操作三个阶段. “圈一圈”属于实物操作，在实物操作的过程中学生获得的直接体验，为后两个阶段“表象操作”和“符号操作”（除法算式的构建）作充分的准备. 在访谈中发现，3个一圈的小朋友（见图1、图2）是先算出答案，再根据答案圈一圈. 这样的“圈一圈”其实是为了圈而圈，有本末倒置之嫌，即失去了圈一圈的意义.

2. 从“形”与“数”的关系分析，“圈一圈”不能随心所欲

平均分物有两种情况：第一种，已知要分的总数和平均分的份数，求每份是多少；第二种，已知要分的总数和每一份的数求平均分的份数. 我们通常称前者为“等分除”，后者为“包含除”. 如果不考虑题意，光从圈一圈与算式的关系分析， 图1、图2从包含除的角度理解（每3个一份，有几份），算式应是18 ÷ 3 = 6，绝非是18 ÷ 3 = 5……3，因为余数要比除数小；从等分除的角度理解，图2的算式应是18 ÷ 6 = 3. 而图3无论是从等分除，还是包含除的角度理解，其算式都可以写成18 ÷ 5 = 3……3.

3. 从平均分意义的角度分析，“圈一圈”不能随心所欲

笔者仔细查阅了相关教材和教参，思考教材背后的设计意图，发现关于“圈一圈”的作用和方法，追根溯源，在教材的安排上，一开始就有了明确的指向.

以北师大四版教材为例，学生第一次接触除法是二年级上册第七单元《分一分与除法》. 起始课《分物游戏》中有这样一道例题：“15根骨头平均分给3只狗，每只狗分到几根？”

要求让学生先动手分一分，然后尝试用书面形式记录自己分的过程和结果.

教材呈现了下面三种记录方法：

从记录形式上看，图4与图5类似. 从分法上看，图4和图6相同，都是1根1根地分. 教学用书建议图6的记录方法为“理解和掌握”的教学目标，因为它很完整地表示了平均分的过程和结果：用小棒代替骨头，用小圆代替狗，每个圈表示分一次分掉了多少根小棒，圈内小棒的根数等于平均分的份数，画几个圈则表示要分几次把小棒分完，每份分到小棒的根数等于所画的圆圈的个数.

教材这样安排的用意一是借助具体操作活动（分、画、圈）帮助学生初步理解除法的意义；二是对“圈一圈”的方法给予了规范，圈的方法应该体现分物的过程，1根1根地分，分一次，有几份就需要几根，分了这样的几次，每份数就是几. 综上所述，文章开头案例中的“圈一圈”，合理的圈法应该是5个一圈，1盆1盆地分，分一次需要5盆，圈了3次，也就是每个班可以分到3盆，还剩3盆. 这样的圈法才能体现除法平均分的思考过程，才能促进学生理解笔算除法的算理.

【参考文献】

有余数的除法教案范文第3篇

关键词 抽象思想 小学数学 教学实践

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）09-0118-02

数学本身具有其独有的一些特点，其要求学习者具备一定的逻辑思维、推理能力等。小学数学虽然相对简单，但是它是数学入门的阶段，对学习者后期数学学习以及数学在生活中的应用都有着极为基础的作用。为帮助学生更好地理解和接触数学，教师应当将其中的数学思想融入到教学当中，尤其是将抽象思想应用到教学实践中。

一、数学中的抽象思想内涵分析

依据新课标对抽象思想的解释，其主要是指，数学中的具体思想方法是由抽象思想派生出来的，由数学抽象思想派生出来的有分类的思想、集合的思想、数形结合的思想、“变与不变”的思想、符号表示的思想、对称的思想等。简而言之，数学学习者能够在解决数学问题时或思考问题时，理解数学当中抽象内容进行思考的过程和方法。

二、抽象思想在教学实践中的原则

在小学数学教学过程中，教师要将抽象思想融入其中，并且要达到较好的融入效果，则必须秉持相应的原则。就其原则而言，主要应当注意以下两点：

1.抽象思想的启发原则。教师将抽象思想融入教学时，应当注意不能一味强硬地向学生灌输该思想，而应当对学生进行启发式的引导，由此让学生既能够逐渐形成抽象思想，也能够从中不断扩展思路。就该原则，教师主要可以通过鼓励和支持学生结合数学知识积极动脑、动手，在课堂上综合各项因素提出有效问题启发学生。

2.抽象思想的循序渐进原则。小学生在不同的年级有其身心发展的不同特点，其思维、思想等方面的能力是呈现逐步提升的趋势，因此在教学当中教师时间应用抽象思想也应当顺应该趋势，坚持循序渐进的原则，使得学生一步步接受并且使用抽象思想学习数学。

三、抽象思想教学中的实践案例及分析

就如何将抽象思想融入到小学数学教学实践当中，本文以下先给出具体的教学案例，而后对其进行分析，归纳抽象思想在教学中实践应用策略。

1.抽象思想教学案例

该案例主要结合小学三年级数学中《有余数的除法》内容，进行抽象思想教学，教学过程如下：

教学步骤一：教师先让学生进行一个简单的游戏：猜气球的颜色。

教师使用PPT展示气球，前四个气球的颜色分别为红、黄、紫、绿，而后的气球循环该颜色排列，教师让学生猜测第1 1、14、17、21、26个气球的颜色分别是什么。

学生看着图片进行推算，说出自己的答案，答案各有不同，但是班级中大部分学生说出的答案是正确的，而教师此时并不着急评判学生说的是否正确，而是留下悬念，将《有余数的除法》内容正式进行讲解。

教学步骤二：教师结合教材对本节课的内容进行分析，并且让学生3人一组，而不同的组可以进行进一步的组合，教师让学生分别组合成1 0人、13人，16人的团队，并让学生想一想组成10人、13人、16人的团队分别会余下几个学生。通过以3为单位的小组分散组合。学生已经从中得出答案。

教学步骤三：教师将以上游戏、实践活动的答案公布出来，而后结合教材中的数学例题进行分析，呈现如何进行有余数的除法计算过程，并讲解余数的含义和意义。讲解过程结束，让学生进行计算练习。

教学步骤四：以上三个步骤结束后，教师向学生提出问题1“气球颜色的答案分别是紫、黄、红、红、黄。你们是怎么算出来的呢？”，提出问题2“今天的游戏和活动和《有余数的除法》有什么关系？”，学生回答后，教师再进行归纳总结，加深学生本节课程内容的印象。

2.案例分析

在以上教学案例当中，虽然没有具体谈到抽象思想，但是以上四教学步骤都将抽象思想融入到教学的过程当中了，其中涉及到抽象思想中的分类、集合、对称等的思想。例如猜气球的颜色和小组分散组合的实践活动就结合了以上思想，学生在游戏过程中也得到一定的思维锻炼。在教学过程当中，教师也充分对学生进行循循诱导和启发。教师将抽象思想融入到教学中具体可以进行以下策略：（1）充分结合教材以及教学内容；（2）将教学与生活相结合，引导学生进行思考； （3）对学生进行有效提问，层层递进。

综上所述，抽象思想在小学数学教学当中的实践并不难，教师引导学生进行数学知识探究，而这一过程就是学生数学抽象思想感悟的过程。当然，抽象思想教学实践不是只通过几节课就能达到效果，因此这也需要不断的积累和锻炼，才能逐步帮助学生形成一定抽象思想，从而帮助学生更好地学习数学。

参考文献：

[1]张秋爽.浅谈小学数学教学中的抽象[J].教学月刊小学版：数学，2014，（11）.

有余数的除法教案范文第4篇

关键词：晚清；川东教案；运行态势

中图分类号：K2506 文献标志码：A 文章编号：10085831（2012）06015808

运行就是周而复始地运转，态势即状态和形势。教案四川居多，尤以川东——大致相当于今重庆市①最多最严重，川东实教案高发区或曰重灾区，川东教案就是晚清教案的缩影，考察川东教案的运行态势——目前还没有人关注这个问题，将使我们对川东教案的全貌，特别是其严重性有进一步的印象。

一、经年累月，间见层出

据台湾学者陈银昆统计，1860年到1899年，共发生811起教案，四川以117起居首位　4，24。据隗瀛涛、王笛统计，1861年到1910年，四川共发生127起教案，其中，重庆府以33起居首位，酉阳直隶州12起，夔州府4起，忠州直隶州3起，川东两府两直隶州52起，而成都府、资州和打箭炉厅等其余18个府直隶厅州75起②。实际上，川东仅重大教案就有12起，一般教案61起，这还不算尚待进一步查证的15起大足教案和一些特殊教案。

如果从1860年或1861年算起，则1861年大足教案1151、石砫教案、涪州教案以及长寿教案就是晚清四川最早的一些教案1131-1132。此后，川东教案，特别是大案一直不断，计有1863年重庆教案、1865年酉阳教案、1868年酉阳教案、1873年黔江教案、1876年江北教案、1876年涪州教案、1886年重庆教案、余栋臣第一次起义、1898年江北教案（医馆案）、余栋臣第二次起义、1901年綦江教案以及1907年开县教案。也就是说，在陈银昆所谓晚清民教冲突的各个时期③川东都有重大教案发生，而四川其他区域只有1895年成都教案以及1905年巴塘教案。在晚清教案始发地江苏，自1891年长江教案后再未发生重大教案237、240。而川东就是到1907年，“开县承红灯教之余孽，教会辄遭焚掠”，也是一起重要教案，在李时岳《反洋教运动》一书中，四川最晚的“闹教”事件即此次开县教案　96。

陈银昆认为，如果其他情况相同，则持续时间越长，案件越严重，如果以大型事件为标准，晚清663起教案的83.86%发生在1天甚至几小时或几分钟以内　17-18。而川东教案动辄成年累月，按时间论，1863年重庆教案3天　1191，1886年重庆教案20多天　984，1876年江北教案至少三四个月1876年4月7日（光绪二年三月十三日）开始，按教会提供的材料，大规模的烧杀抢掠一直持续到光绪二年五月上旬，零星的反教行为甚至见诸闰五月到八月。《教务教案档》第3辑第2册，1975年版，第1135-1172页。《清末教案》第4册，2000年版，第396页。　，同年涪州教案半年　1192，1865年酉阳教案7个月　1221，余栋臣第二次起义10个月　80、98，余栋臣第一次起义断断续续两年　1478、1608，1868年的酉阳教案也有两年　1080、1122、1169-1175，1884年綦江教案这样一起普通教案亦持续数日17。

二、无处无之

据台湾学者林文慧考察，福建教案以闽南为多，占47%，闽西无教案　214。在隗瀛涛和王笛的统计中，龙安府、茂州和叙永厅也没有教案。而川东各地几乎程度不同地都发生过教案。

重庆府教案。重庆，包括巴县，除1863年和1886年两次大案，在1862年、1876年、1895年、1896年、1899年、1900年、1901年、1902年、1907年、1909年和1910年还发生过14起教案1862年、1876年、1896年、1899年、1901年、1902年、1907年各教案分别见四川省档案馆《四川教案与义和拳档案》，四川人民出版社1985年版，第27-28页、第377-378页、第48-76页、第547-548页、第690页、第142-143页、第146-147页。1895年、1909年、1910年各两次教案依次见《四川教案与义和拳档案》第478-479页、第490-491页、第150页、第156页、第163页、第166页。1900年教案，陈攸序《袍哥唐廉江与辛亥重庆“反正”》，中国人民政治协商会议全国委员会文史资料研究委员会《辛亥革命回忆录》第7集，文史资料出版社1981年版，第351-352页。　。大足除余栋臣两次起义两次大案，在1861年、1886年、1888年和1899年还发生过教案1886年教案，《教务教案档》第4辑第2册，第984页。1888年教案，《教务教案档》第5辑第3册，第1516页。1899年教案，李永翘《爱国画家张善子先生传略》（一），《四川地方志通讯》1985年第1期。1940年10月，在接受《益世报》记者采访时，张善子自己不无夸耀地说：“四五岁时我固然常到天主教堂去玩，但十七八岁时，我却曾带领了二百余青年，打教堂，著名的大足教案便是我闯下的。”《虎痴访问记》，《益世报》1940年10月6日。　。江北除1876年和1898年（医馆案）大案，在1874年、1879年、1886年和1898年（响应余栋臣案）还发生过教案1874年教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1004页。1879年教案，《教务教案档》第4辑第2册，第770-771页。1886年教案，《四川基督教资料辑要》，第482页。响应余栋臣第二次起义，《大足人民反洋教斗争》，《大足文史资料选辑》（二），第88页。　。涪州除1876年大案，在1861年还发生过教案　1131-1132。长寿除1861年教案、1899年教案，还响应过1876年江北教案1899年教案，《教务教案档》第6辑第2册，1980年版，第1305页。响应1876年江北教案，《教务教案档》第4辑第2册，第759页。　。綦江在1884年和1901年都发生过教案　693-698。永川除1894年教案，还响应过余栋臣第二次起义1894年教案，《教务教案档》第5辑第3册，第1638页。响应余栋臣第二次起义，《教务教案档》第6辑第2册，第1276页。　。合州除1869年教案，还响应过1876年江北教案和余栋臣第二次起义1869年教案，《四川教案与义和拳档案》，第299-300页。响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1123页。响应余栋臣第二次起义，《教务教案档》第6辑第2册，第1274-1275页，第1267页。　。荣昌既响应过1876年江北教案，也响应过余栋臣两次起义响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第760页。响应余栋臣第一次起义，《教务教案档》第5辑第3册，第1457页。响应余栋臣第二次起义，《教务教案档》第6辑第2册，第1258页。《四川教案与义和拳档案》，第518-519页。　。璧山既响应过1876年江北教案，也响应过余栋臣第二次起义响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第1123页，第4辑第2册，第760页。响应余栋臣第二次起义，《教务教案档》第6辑第2册，第1276页。　。铜梁既响应过1886年重庆教案，也响应余栋臣两次起义响应1886年重庆教案，《教务教案档》第4辑第2册，第984页。响应余栋臣第一次起义，《教务教案档》第5辑第3册，第1457页。响应余栋臣第二次起义，《四川教案与义和拳档案》，第522-525页，第528页。　。南川响应过1876年江北教案《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第760页。　。江津响应过余栋臣第二次起义《教务教案档》第6辑第2册，第1328页，第1276页，《民国江津县志》卷三，清。　。定远今属四川，也响应过余栋臣第二次起义　1329。这就是说，重庆府所属都发生过教案，且集中了四川绝大部分大案

夔州府教案。除1907年开县教案外，1895年万县发生教案　1725-1726。奉节除1908年教案，还响应过余栋臣第二次起义1908年教案，《重庆宗教》，第261-262页。响应余栋臣第二次起义，《教务教案档》第6辑第2册，第1279页。　。1890年7月，“奉节、巫山、云阳一带，有以匿名揭帖沿路张贴，毁谤西人者”，法国天主教川东副主教白德理要求查禁　328。只有大宁，即今巫溪县没有发现反教行为。

忠州直隶州教案。丰都除1864年教案外，还响应过1876年江北教案1864年教案，《教务教案档》第1辑第3册，第1203页。响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第760-761页。　。梁山即今梁平，1900年发生教案　669。垫江响应过1876年江北教案《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第760页。　。忠州无教案之名，有教案之实　320-321。

酉阳直隶州教案。酉阳除1865年和1868年两次大案外，1863年、1864年和1876年还发生过教案1863年教案，《教务教案档》第1辑第3册，第1204-1206页。1864年教案，《教务教案档》第2辑第2册，第1201页，响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页。　。黔江1873年发生大案。彭水在1864年、1869年、1876年、1901年和1911年都发生过教案1864年教案、1869年教案，《教务教案档》第2辑第2册，第1175-1177页。1876年教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第760页。1901年教案、1911年教案，《四川基督教资料辑要》，第536-537页。　。秀山除1868年教案，还响应过1876年江北教案1868年教案，《教务教案档》第2辑第2册，第1172页。响应1876年江北教案，《教务教案档》第3辑第2册，第1228页，第4辑第2册，第759页。　。州属全都发生过教案，并有3次大案。

石砫直隶厅在1861年发生教案《教务教案档》第1辑第3册，第1131页。而教会称，石砫抓住4个教民殴打，《教务教案档》第1辑第3册，第1133页。　。

绥定府所属城口厅未发生教案。

1874年6月，川北道潼川府遂宁县花岩场发生教案。由于花岩场后归民元始置之潼南县，此次遂宁教案也可视为潼南教案　1091。今武隆时属涪州，1876年涪州教案染之　1192。

可见，川东只有大宁和城口未发现任何反教行为。换言之，在今重庆市范围内，只有巫溪和城口未发生教案。

三、一夫夜呼，狂走相应

陈银昆认为，如果其他情况相同，参与人数越多，显示教案越严重。依其大案统计法，663起教案中的43.14%为10人以内之小案件，其中，仅1人者达11.76%，可见大部分教案公众所受感染不大　72-73。而川东教案动辄成千上万人参与。

1863年重庆教案，陈桂林等“纠结兵勇痞匪约计千余”分队四扰，劫后演戏治酒，“每日设席百桌”1167-1168。1865年酉阳教案，冯仕银、张佩超等“督率数百人”掳掠城乡教民，“各街传闹如狂”　1221，“几于阖邑风从”1054。1868年的酉阳教案，先是1867年4月，“彭匪”庹元双等人“统带千余人”到酉阳捆捉萧教士至火石垭，并烧抢教民　1203，1868年5月，传教士覃纯卿“发所蓄养匪徒千余人”至张佩超家报复，1869年3月到4月，又“带领黔省在逃叛逆李志高及徐、庹、周、张各匪二千余人”在核桃园等地奸淫掳掠《教务教案档》第2辑第2册，第1225-1226页。覃纯卿，《晚清教案纪事》第63-67页作“谭纯卿”，有误。　。1876年涪州教案，打教队伍“数千，头裹红白巾”，拥至州城打毁教堂、教民房屋　1192。余栋臣第一次起义，“振臂一呼，聚者数千”大事记。1886年重庆教案，50余团3　000余人至白果树教堂“滋事”　988，教案开始那天，甚至有约10　000人参与　162。1876年江北教案，陈子春等“纠集四十八场痞党数千有奇”，拥署请示打教　1133。余栋臣第二次起义，不到10天即募6　000余人的队伍，最多时有万人，被陈银昆视为6个数万人参与大案之一不到10天募6000人，《大足人民反洋教斗争》，《大足文史资料选辑》（二），第81页。最多时上万人，中国科学院历史研究所第三所《近代史资料》，科学出版社，1958年第1期，第135页。陈银昆把它视为数万人参与之案件，依据即波及28州县，《清季民教冲突的量化分析》，第73页。　。1898年江北教案（医馆案），“城乡团众齐至”　740。1907年开县教案，“数日裹胁众至数千”966。所以，像1873黔江教案这样的大案，100多人“撞遇”传教士　996，实为罕见。甚至一些一般教案，如1879年江北教案，牵动“四乡”771。

陈银昆认为，教案通常呈“点”状分布，一旦表现为“面”，即意味着很严重，“面”越宽越严重，依其统计，663起教案中的97.44%仅限于1县之内，甚至几平方公里《清季民教冲突的量化分析》，第19-21页。他在第21页表中所用统计单位是县，但当页文字说明是州县并列，第11页关于教案的单位问题，也说明“通常仅以一州县为限”。　。而川东教案却多呈“面”的表现。

1865年酉阳教案，在法国公使柏尔德密看来就是1864年冬彭水教案“蔓延至于酉阳”的结果　1217。而1868年酉阳案发，彭水又“匪类蜂起”　1176-1177。1886年重庆教案，“铜梁大足等处纷纷打毁”984。余栋臣第一次起义，荣昌被“攻击”，铜梁被“抢掠焚毁”　1457。1876年江北教案，波及涪州、巴县、南川、荣昌、壁山、垫江、长寿、丰都、酉阳、彭水和秀山，“甚至殃及川北邻水内江等处”1228。余栋臣第二次起义波及全川37州县和1个土司吕实强：《义和团变乱前夕四川省的一个反教运动》，中央研究院近代史研究所《中央研究院近代史研究所集刊》第1期，中央研究院近代史研究所1969年版，第122页。陈银昆认为余栋臣第二次起义波及28州县，且只有此案与1895年成都教案波及28州县，《清季民教冲突的量化分析》，第21页。　，这还不算湖北长乐、利川、长阳、巴东，湖南澧州两湖响应余栋臣第二次起义的一些情况，沈云龙主编近代中国史料丛刊第47辑《张文襄公（之洞）全集（电牍）》三十六，文海出版社，第11257-11278页。　以及“滇匪”彭大川的响应两湖响应余栋臣第二次起义的一些情况，沈云龙主编近代中国史料丛刊第47辑《张文襄公（之洞）全集（电牍）》三十六，文海出版社，第11257-11278页。“滇匪”彭大川的响应，祝世德《民国续修筠连县志》，中国地方志集成四川府县志辑第36辑，巴蜀书社1992年版，第601页、第576页。　。此外，1907年开县教案也是“扰及三县”　967。所以，吕实强在论述1863年和1886年重庆教案时就认为其规模之大，不论参加人数，打教范围，还是持续时间，除贵州外，其他地方“均罕与伦比”469。

此外，教案“前呼后应”之势甚烈。1886年重庆教案明确表示“学江北那年打出打进”Great　Britain，Foreign　Office，　China，　Embassy　and　Consular　Archives，Correspondence，F.O.228：961.　。余栋臣第一次起义檄文历数“酉阳打于前，贵州杀于后，白果巷夺其巢穴，重庆府毁其房廊。江北创先陈子春，马跑受害雷健候”　123-124，显示重庆教案、酉阳教案、江北教案、大足本地教案以至贵州教案影响的痕迹。余栋臣第二次起义，　1898年3月江北教案反教领袖之一的袁海山进言，“君能幸免官兵剿杀者，无非有华芳济在耳。若芳济朝出，则大兵夕至”，余栋臣遂坚不合作　511-512

四、视生命财产如儿戏

陈银昆认为，一起教案可包括一个或一个以上之行为方式，这样，可得教案的行为方式1　474次，其中，生命损失132次，财产破坏510次，无生命损失亦无财产破坏832次，132次生命损失共死亡3　563人，含平民1　903人，教民1　598人，外国传教士及其眷属56人，中国传教士6人，“生命损失一项，因人命关天，最能代表教案之严重程度”依陈银昆综合统计，《清季民教冲突的量化分析》，第59-64页。　。

而生命损失大部来自川东。1868年酉阳教案，平民死亡1　620人，教民死亡476人　63，并杀死法国传教士李国。其他各大案，1863年重庆教案，杀死教民刘金光　1167。1865年酉阳教案，杀死法国传教士邓某房东何魁和法国天主教川东副主教玛弼乐　1221。1873年黔江教案，杀死法国传教士余克林和传教士戴明卿　996。1876年江北教案，“命案二十六起”，同年涪州教案，“命案十六起”　1350-1352。1886年重庆教案，11个平民和1个营勇死亡　989。余栋臣第一次起义，“教民报称被杀十二命”　1572。1898年江北教案（医馆案），杀死教民唐希夷　740。余栋臣第二次起义，仅华芳济记载，劫持他时就杀死其厨师及一教民，后来，又杀死传教士黄用中和其助手唐某、一新婚男子、一“半受洗”者、“一吸烟人”、大足教堂厨师以及荣昌某　518-528。甚至1864年彭水教案，“杀毙刘教士等数人”　1176。1899年长寿教案，“杀害安分教民一人”　1305。1900年梁山教案，教民陈万来殒命　669。1908年奉节教案，传教士丁大升遇害　［21］261。此外，1874年遂宁（潼南）教案，教民范洸佶与胡有绿被杀　1091。总之，即使除去梁山与奉节两案，川东教案生命损失已占132次教案生命损失的1/10，中国传教士的50%，总人数的一大半，这还不包括官军弹压教案时的杀戮——余栋臣第一次起义，拾万场一战，“阵斩匪党三十余人”　1608，余栋臣第二次起义，官军攻打玉龙时，“村中居民不及避，被戮多多，遗尸一百三十三具”　528。开县教案，“官兵洊至，杀人数百”第1期。而江苏教案，除了初期有一法教士被杀外，皆未发生命案　239。

杀人手段极其残忍。1863年重庆教案，杀死刘金光，“报验领埋，又被恶等抄尸剥衣，抛露骸骨”　1167-1168。1876年江北教案，“斩决唐昌久，炮烙黄节耀、冉伍氏，支解董大顺。见涕淋，闻胆裂”1134。余栋臣第一次起义，有10个教民被“将尸身支解”　1452。1868年酉阳教案，教民王学顶等人将段玉阶“磔为万段”，把何廷宴倒悬树上，多人“各较一炮”，以刀点心，“复截其头首，剁其四肢”，另有20人备极捶楚之后，亦遭“骈戮丢坑”。1869年1月2日，“杨贞廷手截李教士之头，抛掷火中”。同年3月到4月，覃纯卿伙同李志高报复，支解秦心元等6人，灌油点灯黄老万，复“杀死二百余人，尽行刳去心肝下酒，宰去腿股，作为肉干，人无全尸”。何大发一家及亲族被教民刘明钊等人杀死20人，其妻子何李氏甚至被致死。而在此次教案中与何李氏同样命运的尚有赵杨氏、刘赵氏和任李氏《教务教案档》第2辑第2册，第1204页，第1209页，第1120页，第1226页。其中，何大发一家遭遇，《四川教案与义和拳档案》，第354页。“杨贞廷”，有的地方如《教务教案档》第2辑第2册第1239页又作“杨桢庭”。　。在此，我们看到了“爬行哺乳动物似的杀人冲动”［22］51。

财产破坏更恨不能烧光、抢光。1863年重庆教案，甚至把道辕与县衙之间教民店铺“挨户毁劫”，“如遇妇女，剥衣摘饰，违则刀棒频加”，闹事三日，“打毁七十余家”1167、1191。1865年10月，据法国天主教川东主教范若瑟称，两年中，丰都、彭水和酉阳“三属教民被抢者二千七百余家”　1222。1868年酉阳教案，平民“被焚房屋八百三十二间”，教民“四百一十五间”，千余教民将尖山子等处60余里人家“所有钱谷牲畜衣物，一并抢去，并该地逃避不及妇女数十人”　1118、1206-1207。1876年江北教案，迭毁“教民二百余家”，甚至掘地数尺，“或者是为了更好地发泄他们的仇恨，或者是为了在那里寻找财宝”《教务教案档》第3辑第2册，第1134页，第1115页。《清末教案》第4册，第398-399页。　。同年涪州教案，一开始就“抢毁”教民200多家，后来，又“劫毁”州城教堂　1192。1886年重庆教案，　2　000中国教民的屋舍、店铺和农田被盗或破坏　160。余栋臣第一次起义，被焚教民人家，官方“报称一百数十家”，“教堂报称二百余家”　1572。余栋臣第二次起义，“有指一教中屋者赏钱五千，擒一在教人赏银四十两”，教会和教民财产损失愈400万美元《四川教案与义和拳档案》，第522页。Kenneth　Scott　Latourette　A　History　of　Christian　Missions　in　China，New　York　The　Macmillan　Company，1929，　p355.　。1　900年梁山教案，张春霆等人先对教民陈万来家放火，接着将陈万来及其两个儿媳和一名小孩劫至团长家，勒银1　600两，陈万来允次日给银600两，遂被乱刀杀死　669。在涪州教案中，有人甚至“自带天主教书本，如将民家打抢，就将自带之书诬民习教”　1231。

这就难怪1876年江北教案，3　000多教民逃亡重庆《教务教案档》第3辑第2册，第1350页，《教务教案档》第4辑第2册，第758页。　。余栋臣第二次起义，20　000多教民无家可归　［23］355。1868年酉阳教案，平民“逃往黔楚者数百家”　1224。难怪每一次大的教案都有一笔巨额赔偿，计1863年重庆教案150　000两1211，1865年酉阳教案80　000两《教务教案档》第2辑第2册，第1064页。不包括勒罚张佩超20，000两，《教务教案档》第2辑第2册，第1165页。　，1868年酉阳教案30　000两　1231、1234、1243，1873年黔江教案40　000两　1088，1876年江北教案29　000两　1350，同年涪州教案10　000两　1352，1886年重庆教案261　570两　1386，余栋臣第一次起义50　000两　1580，余栋臣第二次起义1　186　100两　1325-1330，1907年开县教案21　980两　纪闻。另外，1898年江北教案6　400两　［25］486，1900年梁山教案3　000两　671。其中，余栋臣第二次起义是义和团运动前赔偿最多的一次教案　163。而江苏教案共赔偿约90　000两　240，教案共赔偿5　262　758．26两162。

五、动辄兵戎相见

白德理在致国内一位同行的信中这样描述1876年江北教案：“当在城内再不剩任何可以供糟塌和抢劫的东西时，暴徒们便分散在乡间。他们带着火枪和扛着飘扬的旗帜行进，就如同在正规的战争中一般。”［26］399而这样的场面在川东教案中并不鲜见。

两次大案以起义形式出现。余栋臣第一次起义，正如起义檄文所言：“大举龙水镇，沧州马跑场，……此呼彼应，义士来自东南西北，担粮馈响，妇女亦送箪食壶浆。军声大振，教民远逃。”　124余栋臣第二次起义，“止两日龙水镇成为兵山一座”　511，起义队伍和官军是一样的编制，军器有刀枪、长矛、抬枪、牛儿炮和猫儿炮，常驻营五六千人，随时“四出打教堂，借粮食”，部分人可回家生产，遇事鸣锣，立刻归队　135-136，百姓“献刀械者有之，纳银钱者有之”　520-522。1907年开县教案，“初以打教堂为名，数日裹胁众至数千”，对开县、万县和新宁县均形成攻城之势　966，实际上也是一次起义，张力《四川义和团运动》一书中就视为一次起义［27］118、125-130。

其他各大案也像打仗一样。1863年重庆教案，“兵勇痞匪约计千余，纷纷执械” 1167。1886年重庆教案，教绅罗元义雇100多人在家防守，“闻门外人声喧沸，即令各持刀棒跃出，不问情由，不分良莠，逢人乱杀，计伤毙十一命，受伤二十二人”　978。1876年江北教案，“枪炮震地，旗戈遮日，……恍若寇临，例同大变”　1134。同年涪州教案，“匪数千，头裹红白巾，扬旗鸣炮，拥至州城”，劫毁教堂、教民房屋　1192。1865年酉阳教案，冯仕银、张佩超“督率数百人，各执军器旌旗枪炮”，掳掠城乡教民　1221。1868年酉阳教案，张佩超等人引贵州“号匪”数百人以为外援，筑营垒，覃纯卿亦引贵州“叛逆”李志高以及“徐庹周张各匪二千余人”以为外援，并自称统兵大元帅，购买火药，制造枪炮、军衣，“演操喊号”　1174、1117、1206、1224-1226、1205。1901年綦江教案，陈秀俊率众用炮轰开萧际云大门，并“持械抗官，轰伤练勇”697、694。

川东教案中，民团成为中坚。1863年重庆教案，“兵勇痞匪约计千余，纷纷执械，移时道县围队，皆执枪刀齐集”1167。1865年酉阳教案，被控主谋冯仕银，“连年办理该州团防总局事务”　1063，张佩超为营千总团首。1868年酉阳教案，李鸿章明确说是“教民团民互相”仇杀　1165，王文杰认为此次教案反教阵营加入“两种新份子：一是团民，一是黔匪”［28］54。1873年黔江教案反教领袖杨万象是团首，李渊树也是团局头目，所以，教会指控县令“桂衢亨主谋戕教局绅同谋首凶”958。1876年江北教案，“四十八场痞党数千有奇，驻扎青草坝，排队进皇城”　1133。1886年重庆教案，“五十余团，约有三千余人”到白果树教堂“滋事”　988。1898年江北教案，“城乡团众齐至厅署，勒保已获之犯”　740。

所以，政府不得不频频调集军队弹压。1863年重庆教案发生后，成都将军崇实、四川总督骆秉章令蒋玉龙进驻重庆，而将保甲局所属之练勇800人调赴叙永一带。1868年酉阳教案发生后，除地方文武募勇调团，崇实又令裕字营前往，击退“外匪”，兜围打教头目刘幅　1115。1886年重庆教案，护理四川总督游智开调千名营勇到重庆巡防。余栋臣第一次起义，暑大足县令桂天培督团接仗，“右膀被炮轰击”　1068。余栋臣第二次起义，“竭一省之兵力，始得次第肃清”　810、910。1901年綦江案发，“两省兵星夜纷至”　［29］兵事。1907年开县教案，“设非防军赴机迅速，其害岂可胜言”967。

六、祸局未终，外交已起

美国学者费正清认为，从1860年到1900年，几百起教案，“其中至少有50起需要最高级外交当局来决”　188。而川东各大教案，甚至一些一般教案都要引起严重外交纠纷，所谓“祸局未终，外交已起”　第1期，一点都不夸张。

1865年酉阳教案，还没到玛弼乐出事，法国公使柏尔德密就要求总理衙门转饬四川官员“速行查明”　1217。1886年重庆教案，10日内，英国公使华尔身“转达”总理衙门　933。余栋臣第一次起义一个月，法国公使李梅要求总理衙门“电查”　1449。1907年开县教案，不到10天，外务部致电护理四川总督赵尔丰，“顷准英使函称”，开县发生教案，“请查明声覆”960。即如1895年万县教案，一个多月，英国公使欧格讷照会总理衙门，“万县地方出有教案”1725。

据林文慧研究，福建教案发生后，多由领事与福建当局交涉，仅3起由公使向总理衙门交涉，即使教案最多的英国，亦仅半数由公使向总理衙门交涉　220。而川东教案，大案甚至一些一般案件皆由各国公使向总理衙门交涉。1863年重庆教案，柏尔德密陪同范若瑟到总理衙门“面诉”　1173。1865年酉阳教案，玛弼乐遇害后，法国临时代办伯洛内照会总理衙门“毋复稍延，特将此案严肃办结”　1220、1230。1868年酉阳教案，法国公使罗淑亚先提出四项要求，限期结案，接着又提出五项要求要挟，包括钦派大员办理此案，调四川总督吴棠“进京审问”　1086、1092。1873年黔江教案，法国公使热福理直指“桂衢亨主谋”，局绅同谋，并敦促总理衙门“函致各省大宪，饬令地方官平日先事预防，免致有川省等事”，署公使罗淑亚又迫使总理衙门允许参赞赫捷德入川查办《教务教案档》第3辑第2册，第963页，《教务教案档》第3辑第1册，第65页，《教务教案档》第3辑第2册，第1039页。　。1876年江北教案，法国公使白罗呢照会附送法国传教士常保禄诉状、被害教民姓名和被告人姓名以及范若瑟奏疏，声称“若不认真根究，诚恐别滋重案”。同年涪州教案，又函送教民赵泰顺诉状、教民受害清册以及范若瑟奏疏，以便总理衙门“明白川东情形”　1133、1191。1886年重庆教案，英国公使华尔身除及时“转达”总理衙门，又鉴于“此事确因重庆府考试武童而起”，要求“于他省居住洋人之处，倘遇类此考试之事，早行饬知地方官设法预先防范”934。法国署公使恺自迩以“我国人民无故遭此一番扰害”，要求速饬地方官“迅即持平秉公完结”，法国公使恭思当指责“地方官竟将罗元义非法敲打甚重”　932、982。余栋臣第一次起义，法国署公使林椿除面递法国传教士彭若瑟报告，又照会“将匪等严为处治”　1455-1458。余栋臣第二次起义，法国公使毕盛两次到总理衙门称，“余蛮子事，总须兵力收功，若不用兵，断难了结”。法国外交部外交文书中仅华芳济被劫持案的文件即有19件《教务教案档》第6辑第2册，第1288页，《清末教案》第4册，第12-21页。　。1898年江北教案（医馆案），虽然“美使始终和商，并无格外刁难”，毕竟还是出面了，“各国领事竞起为难”　741。1907年开县教案，英国公使要求“查明声覆”960。甚至1895年万县教案，英国公使欧格讷照会总理衙门，要求将万县县令“严行申黜，以儆官邪”，并将打教之人“治以应得之罪”　1726。柏尔德密在交涉1865年酉阳教案时也提及1864年彭水教案。此外，法国副使艾嘉略也对1861年涪州、长寿等教案提出交涉　1131-1132。

教案发生后数次受到武力恫吓。1865年酉阳教案，伯洛内照会裸地宣称：“宜时记念前此西洋各国到中国用兵，皆因此等事端启衅，如将来再有此事，则本国仍用前法。”　12201868年酉阳教案，罗淑亚突然闯进总理衙门，“声色俱厉，声言如不照四条办理，不日要回本国，一切俱由该国水师提督，自行主张”，后来，又以酉阳、遵义两案未结，罗列湖北、山西、河南以及广东未结各案，威胁“会同该国提督，携带兵船”，前赴江西、湖北和四川等处《教务教案档》第2辑第2册，第1095页，《教务教案档》第2辑第1册，第22页。 。1876年江北教案，白罗呢照会总理衙门，望“转知四川大吏，令其明白，此案若起，四川大吏应明晓咸丰十年之和约，此宗责任非轻，况且贵国执政之责任亦非轻”　1127。余栋臣第二次起义，法国外交部长德尔卡塞告诉法国驻重庆领事哈士，“我与海军部长和共和国驻北京公使进行了协商，以确保您的安全以及侨民的安全”［26］18。1907年开县教案，“开万毗连，德英兵轮均到万”　960。所以，梧生“正告蜀人曰：仇教者非排外也，实揖外人而进之也”　。

据陈银昆统计，811起教案，1年内结案者占45.5%　154-155，时间越长，显示交涉越艰难，而川东教案，特别是大案，交涉时间普遍偏长。1863年重庆教案，1865年2月结案，交涉约两年　1210。1865年酉阳教案，1867年7月结案，交涉约两年　1064。1868年酉阳教案，1870年2月结案，交涉一年　1236。1873年黔江教案，1875年9月结案，交涉两年　1088。1876年江北教案、涪州教案，1878年6月同时结案，江北教案交涉两年，涪州教案因为晚两三个月开始，不到两年　1336。余栋臣第一次起义，1892年2月结案，交涉一年半《教务教案档》第5辑第3册，第1569页，结案后余栋臣继续活动数月。　。余栋臣第二次起义，1899年11月结案，交涉一年半　1330。大案只有1886年重庆教案，年底结案，交涉时间不到半年。一些一般教案，如1895年万县教案，1896年4月结案，交涉8个月　1214。1864年丰都教案和彭水教案，至1866年9月，崇实尚称或可了结　1252。所以，早在1867年11月，崇实即对总理衙门“密布苦衷”，称“川省教案之多，办理之难，有非他省可比者”，并以“重庆酉阳各案”为例加以说明　1072-1073。

川东教案呈如此态势，便不难理解“义和团，起川东”，义和团运动起川东，是余栋臣第二次起义，而非赵三多或朱红灯起义拉开义和团运动序幕　［31］，　所谓教案四川居多，尤以川东最多最严重，川东实教案高发区或曰重灾区，是一个负责任的结论，希望川东教案能得到应有的关注。

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有余数的除法教案范文第5篇

关键词： 小学数学教学 课堂生成 错题资源

在数学课堂教学中尤其是计算教学中，学生常常会出现多种答案，常见的教学手段是教师直接出示正确答案，这样的教学方法直接而且简单，但也把学生的主动性和创造性给抹杀了。因此遇到这种情况后，为了充分展示学生的错误，让全班学生有所触动，笔者经常采用的教学方法是把各种错题放在一起展示出来，先让学生介绍自己的方法，通过集体的智慧自然地把一些错误答案排除，让学生去评判，排除错误的，最终留下正确的方法，让学生感到自己的错误是有价值的。笔者以《除数是一位数除法的估算》一节为例，谈谈自己的看法。

【教学案例】以三年级下册《除数是一位数除法的估算》一节为例，实录如下：

出示题目：我们学校三、四年级学生共197人都到阶梯教室搞活动，如果跟我们一样6人一组，大约有几组？

师巡视后让四名学生进行板演。

生1：197÷6≈240÷6=40（组）

生2：197÷6≈180÷6=30（组）

生3：197÷6≈200÷6=30（组）……20（人）

生4：197÷6≈190÷6=30（组）

师：请你们分别说说怎么想的？

生1：我是把197看成240，240÷6=40组。

生2：我是把197看成180，180÷6=30组。

生3：我是把197看成200，200÷6=30余20。

其余学生纷纷表示：估算一般没有余数的。

师：你认为呢？

生3：我的这种不对。

师：我请你把这种算法擦掉。

生4：我是把197看成190，190÷6=30余……

其余学生又纷纷提出：估算一般没有余数。

生4：哦。我的也错了。

师：那也请你把它擦掉。

现在还剩下两种，你们认为哪一种更接近准确数呢？

生1：我认为生2的答案更接近。

师：为什么呢？

生1：因为240-197=43，而197-180=17，43比17大，所以我的不对。

师：其实你估算是对的，但不如XX的接近准确数。那你也把它擦掉。

【案例反思】多位数除以一位数的估算是三年级学生新接触的内容，因此对于197÷6的估算方法和结果也会出现多种答案。在这部分教学中，通过对课堂中生成的各种估算方法的比较分析，得出最优答案，在这节课中共挑选学生估算作品四件，让四位学生一起上台自己分析估算过程，在集体的智慧下评判正误，当认识自己估算方法错误后自己擦除答案，充分尊重学生个体。当黑板上只剩下两种答案时，再让学生区别哪一个得数更接近准确数，使学生更合理地进行除法估算。

数学教学建议30条第21条：“教师要规范学生的作业格式，在学生做作业时，教师要进行巡视，及时进行指导，尤其要关注学困生的作业情况。”在日常教学活动中，教师要经常巡视学生的计算过程，在巡视中发现一些有用的“素材”，及时加以利用，让更多学生从中得到启发，得出最佳方法。现在许多学校的教室里都安装了多媒体教学设备，笔者特别钟爱其中的实物投影，实物投影能让笔者把学生中出现的错例及时展现在全体学生面前，避免板演而造成的展示量少，而无法突出错例这一问题。因此笔者经常在学生进行课堂练习的过程中，一发现个别学生出现计算错误，就拿来进行实物投影，这让笔者在课堂上既关注了学困生的辅导，又对全体学生进行了一次次错例提醒。在本节课中笔者就是这样先让学生试算，再通过对试算过程中出现的各种笔算情况进行比较，根据学生现有经验排除错误的方法，最终得出正确的方法，帮助学生理解笔算过程，同时也避免了学生再次出现这些错误的可能。

1.寻找错例资源，善于变“废”为“宝”。

在计算教学过程中，笔者发现学生计算错误的形式非常之多，导致的原因也多种多样。如何用好学生的错误资源，变“废”为“宝”，让学生错的有用，错的不再出错，不错的因此而受到启发不出错，就需要教师充分整理和分析学生的错例，根据“不同学生”产生的错例有针对性地加以利用，使“不同学生”得到相同的提醒，避免再出错。

2.鼓励自我寻错，学会“挑三拣四”。

教师除了自己寻找学生错例，更应该鼓励学生寻找自己的、别人的错例，并提出错误解决方法。一个学生只有在面对学习结果时习惯“挑三拣四”，才能不断总结自己在学习过程中暴露出的错误问题，使错误不再成为自己学习的包袱，而是成为自身学习旅程中的一盏盏导航明灯，处处提醒自己，通过这样的学习方式使学生真正学会学习，最终提高学习的有效性。

3.利用错例资源，达成“敲山震虎”。

在日常数学学习活动中，学生出现计算错误是不可避免的，难的是教师如何采取一定的措施减少或避免学生出现重复计算错误的行为，而这需要教师平时对学生计算错误现象的搜集、分析和利用，充分挖掘计算错例中的教学价值，让学生错例成为学生的“警钟”，达到“敲山震虎”的效果。

总之，学生在学习过程中出现的错误源自于本身的学习活动，非常直接地反映了学生的学习状况。作为一名有经验的好老师应当善于在课前考虑学生在课堂中可能会出现的错误情况，综合进行预设；善于在课堂中捕捉生成的计算错误现象，巧妙加以运用；善于在课后寻找学生计算中的错误，发掘错误资源的价值。只有做到课前、中、后的合理把控，使学生的计算错误无处遁形，最后通过教师有计划地暴露学生的计算错例，使每个学生从中受益，切实提高教与学的有效性。

参考文献：