不等式在中学数学中的应用范文第1篇

【关键词】高中数学；不等式教学；数学思维；应用；策略

在高中数学学科教学中，不等式教学是其中重要的内容.在教学不等式内容过程中，积极应用数学思维可以让学生更好地进行学习.笔者在教育教学实践基础上，总结出在高中数学不等式教学中，如何应用数学思维促进教学效率提高的方法，重点从以下几个方面给予阐述.以更好地在高中数学教学中强化和锻炼学生的数学思维.

一、对数学思维的认识

（一）定义

在高中数学教学中所说的数学思维，实际上指的是一种概括性的思考的方法.这种思考方法是在对经验实施归纳和总结基础上，继而提出具有逻辑推理能力的方法和规则.这种思维主要是对事物之间的数量关系跟外部空间展开抽象化的概括.在思维的类别上，专家已经将思维分为三个类别：直觉思维、形象思维和逻辑思维.在这三种思维中，直觉思维是人在学习过程中所形成的一种敏感的判断力.而形象思维则是通过具体的一些现象而感知到的思维.逻辑思维是根据某一种事物的逻辑层面上的规律而展开的一种思维活动.就数学教学而言，就是应用逻辑思维对数学知识进行概括、分析和推理.

（二）在高中数学不等式教学中应用数学思维的作用

就学科特点而言，高中数学学科不同于语文学科，具有很强的抽象性，但是正因为抽象性，其逻辑性极其突出.其中不等式知识就是其中一例.在教学过程中，如果强调应用数学思维，尤其是逻辑思维，那么必然有助于教学效率的提高.在实际的高中不等式数学教学中，广泛地应用数学思维，不仅能够有效地促使学生的综合能力的提升，还有助于高中学生对不等式知识的理解，促进他们创新能力的提高.此外，由于数学来源于生活，跟生活有着紧密的联系，故而，教师在教学过程中如果将不等式理论知识跟实践有机地结合进行教学，其教学的效果会更好.

二、在高中不等式教学中对数学思维的具体应用

（一）“数+形”结合的思维模式

由于数学学科的自身的特点，要教好高中的数学必须充分地将“数”与“形”有机结合起来.在高中的不等式教学过程中，积极采用“数+形”结合思维，主要是要求学生能够通过“数”的方式促进对“形”问题的解决，能够通过“形”的方式得出“数”的结论.在高中数学教学中对“数+形”结合思维，实际上已广泛地应用.比如，三角法、图解法和数轴，以及复数法等，就是典型的“数+形”结合思维.在高中不等式教学中运用这种思维可以将原本复杂的问题进一步简单化.充分地让抽象的问题具体化，促使学生用比较少的时间解决好数学问题，真正促进不等式数学教学效率的提高.

比如，我们在教学求解x3+3x-4≥0这一不等式的时候，教师可以将不等式进行分解变形：（x-1）（x+2）2≥0.接着将x=1，x=-2，在函数图形中准确地标注，再通过“图”就可以将该不等式的解集区域形象地呈现给学生，促进学生的理解和把握.这就是典型的一种“数+形”结合思维.这样有助于学生在最短的时间里寻找到答案.

（二）函数方程的思维模式

在高中数学不等式的教学过程中，运用函数方程的思维模式进行教学，实际上就是将不等式进行转化成一种与之相互对应的函数或者方程问题，然后，对转换后的函数或者方程进行解答，进而寻找答案.比如，在教学高中不等式的时候，可以将不等式充分地转换为两个函数值之间的一种不相等的关系，然后，由函数f（x）=0，进而计算出y=f（x）的零点.通过方程的解答会促使学生发现函数跟不等式之间有着紧密的关系.在高中不等式的教学中，应用函数方程的思维模式来解答，需要注意的是，一定要让学生理解方程和函数的概念，以及两个概念之间所存在的差异性.所以，在运用函数方程的思维模式来解答不等式时，必须要求学生掌握函数与方程的异同，而后进行解答，这样有助于提高学生们的数学思维能力.

（三）化归性的思维模式

化归性的思维实际上就是一种转换性的思维.这种思维模式，就是对不等式数学知识，通过观察、类比以及联想等各种形式将其转换为另外一种形式的问题，实现复杂问题简单化.在高中不等式的教学中，充分地应用化归性的思维模式，可以将各种类型的不等式简单化、具体化.与此同时，学生在运用化归性的思维过程中，促进他们对旧知识的有效巩固，进而全面地掌握数学公式中的结构特性，培养学生从不同的角度去思考问题和解决问题的能力.

不等式在中学数学中的应用范文第2篇

关键词：数学思维；高中数学；不等式；解题方式；教学重点

高中数学因其解题的特殊性和运用的灵活性，决定了它在解题过程中并不能和语文、英语等科目一样死记硬背，而是贵在理解，能够灵活应用。在高中数学诸多知识点中，如不等式、解析几何等并不能通过牢记公式来解析题目，而需要有准确的解题切入点、严谨的思维逻辑以及清晰的解题思路才能较完整的对目标题做有效的分析。尤其是在做不等式的相关题目中，往往题目的最终目的都是为了分析两式的对比关系，这就要求我们高中数学教师在实际的教学中，应该引导学生针对两式的相同点和不同点准确找到切入点，并在该切入点的基础上寻找正确的解题思路，培养学生的数学逻辑、数学思维以及对不等式的敏感度，提高学生解题的高效性和准确性。所有说，高中数学不等式中数学思维的有效应用，将对高中学生的数学能力和数学成绩有积极的重要的影响作用。

1.高中数学不等式教学中的数学思维

在高中数学不等式的解题思维或者说解题方法一般会用到数形结合、递推、化归等多种方法，其中数形结合的方法有利于增强学生对不等式的理解，有助于帮学生在解题中理清思路，准确解题。因此，教师在高中数学不等式的教学中重点是培养的学生的思考方式和解题思维，要结合自身对不等式知识点的理解，并辅以相关经典习题，将其中的数学思维给学生做以剖析。引导学生在对于不等式的学习中，不仅仅停留在表面，要深入理解不等式存在的意义及内涵，明确不等式在不同组合中的切入点，找到正确的解题思路以及不等式对比中存在的数学逻辑，用正_的解题方式做题，确保解题的准备性和高效性。

2.数学思维在高中数学不等式教学中的有效应用

在以上的分析中，已经明显体现出数学思维对于高中数学不等式学习和解题的重要性。以下将结合实际问题中的数学思维解题方式，分析数学思维在高中数学不等式中的有效应用，为高中数学不等式的教学方式提供借鉴。其在实际中的主要应用有数形结合在不等式标根法中的应用，函数方程在不等式恒成立方面的应用，分类讨论在含绝对值不等式中的应用等几个方面。

2.1数形结合数学思维在不等式标根法中的应用

数形结合数学思维简单说就是数学中的数字与形状之间互相联系，并且可以互相转换计算。数形结合数学思维对于学生清晰、深入理解高中数学不等式有着很好的促进作用。其具体体现在高中不等式标根发的教学实践中，在通常使用不等式标根法的解题时，运用数形结合的数学思维进行将解题分为三个步骤：第一，将所解不等式分解为若干个一次因式相乘的形式，并化解使每个因式中最高次项的系数为正；第二，将以上所化解的一次因式的根标在数轴上，并从最大根开始连接个点，奇穿过偶弹回，形成一条曲线；第三，根据所画的曲线，写出不等式的解集。这是一种典型的数形结合数学思维在不等式教学中的应用，通过这种数学思维的应用，可以简化学生不等式解题的思考过程，使解题思路更清晰，同时得出答案清晰明了，不容易出错，保证的答题的高效性和准确性。

2.2函数方程思维在不等式恒成立证明方面的应用

函数方程思维就是一种借助函数定义或者函数性质进行解题的数学思维模式。其在不等式中的应该主要有利于学生在不等式成立的证明的过程中找到答题的突破口，指导学生辨别不等式证明的类型，深入剖析不等式成立的关系，使学生能够较快的找到准确的不等式证明的切入点，确定正确对的解题思路和解题方法。其主要应用在不等式恒成立证明方面的解题，在不等式恒成立的解题过程中，首先往往需要通过求最值或极值的方法确定不等式的区间范围，这时建立合适的函数模型会避免解题中出现丢解的情况，保证证明不等式恒成立过程的完整性以及明确证明方向及部分。函数方程数学思维的应用，有效解决的描点作图难且不准确，容易丢解的问题，使不等式解题过程更加条理化、简单化。

2.3分类讨论在含绝对值不等式解题的应用

分类讨论数学思维就是将完整的题根据其中的某些特性分开来讨论，以便找出规律或建立方程，简化求解的过程。在含有绝对值的不等式中，因正负有别，所以，往往采用分类讨论数学思维模式进行解题。其在不等式解题中的应用主要有“分段讨论法”，通过所求特性对不等式进行分段，并对各段依次求解，最后求解的并集。这种方法将有效简化解题难度，排除解题的不稳定因素，保证解题准确性。

结语

以上主要分析了数学思维在不等式解题中的实际应用，体现出数学思维的应用能够提高学生对不等式的理解深度，快速找出不等式解题的切入点，优化解题思路，完善解题方法。

参考文献：

[1]郑永兵. 数学思维在高中数学不等式教学中的重要性[J]. 考试周刊， 2015（96）：51-51.

不等式在中学数学中的应用范文第3篇

一、 起始阶段

要想较顺利的做出数学应用题，必须首先学好有关基础知识，即通过阅读题目，能去掉实际的外壳，把文字语言翻译成数学语言，具备分析出数量关系的能力，为解决好这个问题，依据数学新课标的要求和现行的初中数学教材我做了以下几个环节。

熟练掌握由数学语句列出代数式的方法

进入初中以后，做应用题首先应解决好入门问题,要抓好由数学语句列出代数式这一环节,这一点不可忽视,也不能操之过急，否则易使多数同学对应用题产生畏难情绪。

由数学语句化代数式是解应用题的起点,综合的数学语句化代数式是一个难点,小学数学基础差的同学掌握它有一定困难,在教学中切莫忽视,抓基础就要从这里开始 。

学会用应用语句列式

应用语句即包含数量关系的语言,把它转化为代数式是解应用题的一个切入点,一般来说,要比数学语句列代数式难度大一些,起始教学中应注意以下几种情况。

（1）把实际问题中的自然语言先转化为数学语句，再列出代数式。

由应用语句转化为数学语句再列代数式是一个难点，也是一个重点，教学中要通过分析和练习使学生掌握这一部分内容，要帮助思维能力差的学生过好这一关。

在初中数学教材后面的内容中，应用题将逐步接触许多实际问题，会逐步加深，这将在后面的“形成阶段”和“提高阶段”中探究。

（2）根据公式，直接把实际问题中的自然语言转化为代数式或等式，例如行程问题中的路程、时间、速度之间的关系，货价问题中的单价、件数、总价之间的关系，都可以由公式给出，根据这些公式就可以直接列出代数式或等式。再如“底为a，高为h的三角形的面积是”等用自然语言表述的求周长、面积公式和体积的问题，可直接利用周长公式、面积公式和体积公式。随着数学内容的不断深化，还会有许多新的公式出现。例如，利率公式，工程问题中的工作总量、工作时间、工作效率之间关系的公式等，教学中要让学生牢固掌握这些公式。

初步接触由图表语言列数学式子

图形和表格是一种信息的载体，它也是一种语言，有图表语言列数学式子是教学的一个难点。在应用题的起始阶段，要由易到难，使学生初步学会由图表语言列数学式子的方法，由图表语言列数学式子主要有下面几种情况：

（1）由图形列式。有些应用题的数量和尺寸是由图形给出的，这就要根据图形提供的数量信息，列出数学式子。

（2）由表格列式。有些应用题是以表格形式给出的

由图形和表格提供的信息列式这类题目,在教学中是经常遇到的,要逐步培养学生识图、看表后寻找关系和列式的能力。这些类似内容都是今后解答应用型问题的最基础的东西,在整个初中数学教学过程中要想方设法让学生掌握好。

二、应用题教学的形成和提高阶段

在做了上述各种教学准备并检测学生基本达标后，学生就可以对不同类型应用题中的各种语句中所体现的数量关系转变为代数式了，然后在根据同量之间的关系或不同量之间的某种公式化关系建立不等式（组）或方程（组），为解决各种类型的应用问题奠定了知识基础。在教学中我重点抓了以下几个方面的内容。

加强数学与其他各学科相联系的应用题的教学

旧教材主要强调的是数学的知识性，应用题大多是工程类、行程类、浓度配比类、数字类等题目。而新课要求下的应用题已不在整齐划一，渗透着数学知识与其他各学科之间的联系。

由此可知,不同的学科有着不同的规律性东西,有的是本学科的成品,有的则需要实验和探索,但这其中不断用着解应用题的基本思想---代数式到关系式

多解读初中数学与实际生活相联系的应用题

不等式在中学数学中的应用范文第4篇

【关键词】 初中生；一元一次不等式（组）应用题；应对策略

对于“不等式（组）”，新课程标准的具体要求是：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组， 解决简单的实际问题， 并体会不等式（组）也是描述实际问题的一个有效的数学模型.”

虽然同学们都能够记住解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解.

一、解题中遇到的困难及常见错误

1． 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障

例1 地砖按每块5．5元出售，地砖每边长35厘米，用这种砖铺满长7．8米、宽5．7米的房间，需花费多少钱购买地砖？

评析 要正确地解应用题，必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求. 本题中，学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义，否则不能读懂题意. “地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念，以及米与厘米之间的进率换算. 像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多，信息量大，经验不足导致学生读不懂题目，不知从何下手，是学生最伤脑筋的. 总之，学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量，已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.

2． 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难

例2 苏科版八年级下教科书20页练习第1题.

某班学生外出春游时合影留念，1张彩色底片的费用为1元，冲印1张彩照需0．6元. 如果每人预定1张彩照，且每人所花费用不超过0．8元，那么参加合影的学生至少有多少人？

错解 设参加合影的学生至少有x人， （错误原因：设未知数不确切，应改为设“参加合影的学生有x人”）

则1 ＋ 0．6x ≥ 0．8x，（错误原因：列式时不等号反向）

解这个不等式，得 x ≤ 5.

答：参加合影的学生有5人． （错误原因：认为此题结果是确定值，而此题结果是一个取值范围）

评析 在列不等式解应用题中，学生设未知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难，甚至出错．

3． 列不等式（组）时忽视关键词

例3 （2011山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”. 计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

解 （1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30 － x）个．由题意，得

80x ＋ 30（30 － x） ≤ 1900，50x ＋ 60（30 － x） ≤ 1620，

解这个不等式组，得18 ≤ x ≤ 20．

由于x只能取整数， x的取值是18，19，20．

当x ＝ 18时，30 － x ＝ 12；当x ＝ 19时，30 － x ＝ 11；当x ＝ 20时，30 － x ＝ 10．

故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．

（2）方案一的费用是：860 × 18 ＋ 570 × 12 ＝ 22320（元）；

方案二的费用是：860 × 19 ＋ 570 × 11 ＝ 22610（元）；

方案三的费用是：860 × 20 ＋ 570 × 10 ＝ 22900（元）．

故方案一费用最低，最低费用是22320元．

评析 解这类应用题的难点在于理清题意，寻找题目中的关键词语. 例3中的两个关键词“不超过”、“ 不少于”是列不等式（组）的依据. 另外还要注意所设未知数受实际情况的制约，此例中中型图书角的个数x应是正整数．

不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系，列出不等式（组），通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

4． 移项或两边同乘（除）负值时不变号

根据题意正确地列出不等式（组）后，最重要的是解不等式（组）．

例4 解不等式：2x ＋ 4 ＞ x － 1．

错解 移项，得2x ＋ x ＞ －1 ＋ 4．

即3x ＞ 3，则x ＞ 1．

例5 解不等式：－3x ＋ 9 ＜ 0．

错解 移项，得－3x ＜ －9．

系数化为1，得x ＜ 3．

评析 上面两例均犯了不变号的错误. 例4、例5分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致. 因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心. 例4的正确结果应为x ＞ －5，例5的正确结果应为x ＞ 3.

5． 概念或意义不明确

例6 求不等式 2x － 4 ＜ 0的非负整数解．

错解 因为2x － 4 ＜ 0的解为x ＜ 2，所以它的非负整数解为1．

例7 解不等式：｜x｜ ＜ 3．

错解 x ＜ 3．

评析 例6和例7错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆，如“非负整数解”、“绝对值”等. 非负整数应包括0和一切正整数，故例6正确解为：0和1. 绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离，故例7的正确解为：－3 ＜ x ＜ 3.

6． 去括号时不遵守运算法则

例8 解不等式：3x － 2（1 － 2x） ≥ 5．

错解 去括号，得3x － 2 － 2x ≥ 5，

故x ≥ 7．

评析 本题有括号，根据解不等式的步骤，要先去括号. 括号前的数要与括号里的各项相乘. 去括号时，除应遵循乘法的分配律不能漏乘外，还应遵循去括号法则：去括号时，括号前面为“－”，去括号要将括号里的各项都变号. 本题产生错解的原因有两点：括号外的数只与第一项相乘，括号前面是负号只对第一项变号. 因此本题的正确解应为x ≥ 1.

7． 去分母时，漏乘不含分母的项

例9 解不等式： ＋ 2 ≥ －2x．

错解 去分母，得x － 1 ＋ 2 ≥ －4x．

移项、合并同类项，得5x ≥ －1，即x ≥ －．

评析 本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，去分母时，不等式的两边同乘各分母的最小公倍数，漏乘不含分母的项，漏乘了常数项，这是解一元一次不等式（组）时常出的错误之一，应引起高度重视. 因此本题的正确解应为x ≥ －.

8. 分子是多项式，去分母时忽视了分数线的括号作用

例10 解不等式： － ＞ 0．

错解 去分母，得4x － 1 － 3x － 1 ＞ 0，

移项、合并同类项，得x ＞ 2．

评析 去分母时， 当分子是多项式时，各分式的分子必须看成一个整体. 忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错，应分别对分子添加括号，再运用去括号法则. 例10中没有添加括号导致了错误.

正确 去分母，得2（2x － 1） － 3（x － 2） ＞ 0．

去括号，得4x － 2 － 3x ＋ 6 ＞ 0，

移项、合并同类项，得x ＞ －4．

二、学好解一元一次不等式（组）及应用题的策略

1． 理解有关的概念

① 不等式：用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式.

② 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知数.

③ 不等式的解：在含有未知数的不等式中，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有无数个.

④ 不等式的解集：如果一个不等式有解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.

2． 领悟不等式的三个基本性质

① 不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

② 不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

③ 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据，其中前两个性质类似于等式的性质，而在运用性质③时，要注意必须改变不等号的方向，这是不等式特有的性质.

3． 牢固掌握不等式（组）的解法

解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同：① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 系数化成1.

各步需注意事项：① 去分母：不要漏乘不含分母的项，是否改变不等号的方向；② 去括号：括号前是负号时，括号内各项均要变号；③ 移项：移项要变号；④ 合并同类项：系数相加，字母及字母指数不变；⑤ 系数化成1：是否改变不等号的方向.

4． 牢固掌握列不等式（组）解应用题的步骤，抓住不等关系关键词，挖掘隐含的不等关系

在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等．我们一定要利用好这些关键信息，列出不等式（组）以解决实际问题.

有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要求老师引导学生根据问题的实际意义，深入挖掘蕴含其中的不等关系．

5. 重视不等式（组）应用题的教学

在平时的教学过程中， 教师既要注重知识的传授和题目的解答，也要重视学生的实践性活动的开展和教学，这样才会避免数学和实际生活脱节，同时教学中要不断地增加新的背景和内容， 跟上时代，弥补生活经验的不足，激发学生学习的热情．对于不等式（组）应用题文字较多学生获得信息困难的问题，教师平常在教学中在应用题上要多停留，有耐心.

在实际问题中，有许多用方程很难解决的问题，而用不等式去处理则可轻易解决. 应用题是初中数学的重点，列不等式解应用题是初中数学的难点，根据题意正确地列出不等式（组），解应用题就成功了一半. 一元一次不等式（组）的解法十分重要，它与一元一次方程的解法有许多相似之处，但又有其自身特点，同学们要认清两者解法的联系与区别. 正确应对学生在解题过程中遇到的困难，提高学习的积极性，增加学习数学的兴趣，才有可能应用一元一次不等式（组）去解决生活中的实际问题.

【参考文献】

［1］钟山．不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾――《一元一次不等式组》教学片段所感［J］.学生之友（初中版）（下）,2010（11）．

［2］赵春祥．列一元一次不等式解应用题［J］.初中生，2009（6）．

［3］石卫东．解一元一次不等式的常见错误分析［J］.中学生数学，2003（10）．

不等式在中学数学中的应用范文第5篇

百年大计，教育为本。随着我国教育事业的发展，初中数学教育越来越重视学生数学思想的培养。数学思想在数学教育之中有着重要的地位，它是数学学习的灵魂所在，关系着学生数学学习的效率及学生对于数学问题的解答质量。初中生数学思想的培养旨在帮助学生更好地理解初中数学中的概念及重点。初中数学教学大纲中涉及的数学思想主要有：函数思想、方程思想、建模思想、转化思想及数形结合思想等。其中，函数与方程思想是初中数学教育的重点培养思想。本文通过分析二者概念的定义，并结合具体的应用实例，旨在帮助中学生更好地理解函数思想及方程的本质，提高学生在面对具体数学问题时的应用能力。

二、相关概念

（一）函数思想

在初中数学教学中，首先引出的是函数的概念。函数描述的是自然界中数量之间存在的关系。函数思想主要是通过具体问题的数学特征，分析具体数学量之间的关系，进而建立数学模型，从而进行问题的深入研究。初中数学中的函数思想主要体现在学生“联系和变化”的能力。在具体解题中，首先应该根据题意构建函数y，然后再利用函数的增减性、最大值和最小值、图像变换等对问题进行具体的分析。初中数学中的函数模型主要有一次函数、反比例函数、二次函数、锐角三角函数等几类，大部分的数学函数题也是围绕这几类函数模型的。

函数思想并不只是针对函数类数学题而存在的。函数思想虽然基于学生对函数的概念及性质的掌握，但是在各类数学题中都能得到体现。这就要求在具体的解题中，应该善于挖掘题中的隐含条件，进而构造出函数模型。初中生在解数学题过程中应该锻炼自己的审题能力，能够对题目进行充分、全面的解读，这是培养学生函数思想的重要前提。

（二）方程思想

初中数学教材中涉及的方程思想主要立足于具体数学问题的数量关系，然后通过学生正确理解，将问题中所给的语言文字转化为相应的数学语言，进而转化为既定的数学模型。这里提到的数学模型包括方程、不等式、混合式（方程与不等式共存），然后通过计算获得方程或者不等式的解，从而使得数学问题得到解决。值得强调的是，与函数思想一样，方程思想的适用范围很广，它并不只针对方程问题存在。就像前面提到过的不等式中同样用到了方程思想。随着对初中数学的进一步学习，我们能够体会到方程思想的用处很广，它会潜移默化地影响学生的解题思路，帮助学生提高解题能力。

笛卡尔将方程思想进行了具体的概括，他认为的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。在数学领域，几乎到处都有等式与不等式存在。初中数学作为数学教育的基础教育，大部分内容都是建立在等式与不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具体应用到初中数学中，设未知数、列方程、研究方程、解方程都是学生应用方程思想的重要体现。

三、应用案例

（一）函数思想的应用

我们在初中数学中所遇到的数量关系有时没有那么直观，如果利用函数思想建立数学量之间的函数关系模型就能够有效解决这一问题。通过构建具体的函数模型研究初中数学问题，可以使很多东西简单化。同时，培养学生的函数思想有助于其学习能力的提高、学习成绩的进步。

例如：据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕，无地可耕的情况最早会发生在（ ）。

A.2022年？摇？摇B.2023年？摇？摇C.2024年？摇？摇D.2025年

解：设x年后我省可耕地为y亩，则y与x的函数关系式为y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考虑实际情况x应取74，无地可耕的情况最早会发生在1951+74=2025，所以应该选D。

上述例题的解答问题就体现了函数思想。通过建立时间与耕地面积的函数关系使题目简单化。倘若直接计算，也能得到正确答案，只是解答过程会相对繁琐并且容易出现错误。其实，利用函数思想解决初中数学问题的中心思想很简单，就是构建函数关系式。但具体应用起来并非易事。学生要综合考虑函数的性质、图形及实际情况解答问题，并不是单纯地列出函数式就可以了。教师应加强学生的相关练习。

（二）方程思想的应用

1.方程的思想在代数中的应用：对于一些概念性的问题可以用方程的思想解决。

例如：1）■+1与■互为相反数，求m的值;

2）p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q的坐标。

解题思路就是根据给出的语言描述，利用相反数的概念及关于x轴对称的性质列出相应的方程式，然后对方程式进行求解。

2.方程的思想在几何中的应用：最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。

例如：若三角形三个内角之比是1∶1∶2，判断这个三角形的形状。

解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，

则x+x+2x=180，解方程得x=45，所以该三角形为等腰直角三角形。

从上面的例子可以看出，方程思想在具体应用中就是利用方程观点，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再对方程进行求解。教师应该加强培养学生根据题意列方程的能力，这是利用方程思想解题的关键所在。

四、结语