与三角形有关的线段范文第1篇

《平面图形的认识（二）》是学好平面几何知识的重要基础，怎样才能掌握这一章节，我建议同学们从下列几方面入手.

一、 体会知识结构

二、 明确重点难点

本章的重点内容是探究两直线平行的条件和平行线的性质，探索三角形的有关性质和应用.难点则是平行线的判定与性质的条件和结论易混淆，探索多边形内角和与外角和公式过程中应用的化归思想需深入领会.

三、 理解知识要点

1. 认识同位角、内错角、同旁内角

（1） 同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在第三条直线的同一边，在被截两条直线的同一方向，那么这两个角叫做同位角.如图2中的∠1和∠2分别在直线c的同一边，并且都在直线a、b的上方.同位角是指两个角的位置关系，在判别“同位角”时，注意位置上的两个“同”：在第三条直线的同一边，在被截两直线的同一方向.同位角不一定相等.

（2） 内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的两旁，那么这两个角叫做内错角.如图2中的∠2和∠7分别在直线a、b之间，并且在直线c的两旁.内错角是指两个角的位置关系，内错角的特征：在被截两直线之间，在截线的两旁.内错角不一定相等.

（3） 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同旁内角.如图2中的∠2和∠5分别在直线a、b之间，并且在直线c的同旁.同旁内角是指两个角的位置关系，同旁内角的特征：在被截两直线之间，在截线的同旁.同旁内角不一定互补.

（4） 同位角、内错角、同旁内角都是由两条直线被第三条直线所截而形成的，将其分别从图中分解出来，得出其基本图形可分别形象地记为“F” 形、“Z”形、“C” 形.当图形较为复杂时，一定要观察清楚同位角（或内错角、同旁内角）是哪两条直线被哪一条直线所截的.另外这三种角讲的只是位置关系，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系.

2. 两直线平行的条件

① 同位角相等，两直线平行.② 内错角相等，两直线平行.③ 同旁内角互补，两直线平行.

以上三种方法都是利用角的关系判断两直线的位置关系.具体做法：要判断两条直线平行，首先需要两个角，并且这两个角是两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角或同旁内角；其次是要具备角的大小相等或互补.在两者都具备的前提下，两条被截的直线互相平行.

3. 探索平行线的性质

① 两直线平行，同位角相等.② 两直线平行，内错角相等.③ 两直线平行，同旁内角互补.

同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是平行线特有的性质.不要误认为凡同位角、内错角都相等，凡同旁内角都互补.

4. 两直线平行的条件与平行线的性质的区别和联系

（1） 平行线的性质和两条直线平行的条件的前提和结论恰好相反，运用时关键是弄清楚它们各自的前提和结论.

（2） 两条直线平行的条件是由角的数量和位置关系推得直线的位置关系，而平行线的性质则是由直线的位置关系推得角的数量关系.

5. 图形的平移

（1） 图形的平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形的运动叫做图形的平移.平移运动时，图形上的每一点都是沿同一方向移动相同的距离. 图形的平移由平移的方向和平移的距离决定.平移的距离是指对应点之间线段的长度.

（2） 图形平移的性质：① 平移不改变图形的形状、大小，即平移前后的两个图形全等，平移只改变了图形的位置.② 图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一条直线上）并且相等.③对应线段平行且相等.

（3） 平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.两条平行间的距离处处相等.

（4） 画平移图形：画平移后的新图形，要首先确定平移方向和距离，再确定关键点平移后的对应位置，最后按原有的方式依次连接，就可得到平移后的图形.作图的依据是平移的性质.

（5） 图形平移的应用：利用平移的性质可以巧算某些图形的周长和面积，还可以设计美丽的图案.

6. 认识三角形

（1） 三角形的概念：三角形是由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形.三角形有3条边、3个内角和3个顶点.

（2） 三角形分类：① 按边分类为：不等边三角形和等腰三角形；② 按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

（3） 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.要判断所给三条线段能否构成三角形，可以用两条较小的线段长之和与最大线段长进行比较，若前者大于后者，则这三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形.

（4） 三角形中的特殊线段：①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一边，一个三角形有3条高，并且3条高相交于一点.②在三角形中，一个内角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线分三角形一角所成的两个角相等， 一个三角形有3条角平分线，并且3条角平分线相交于一点.③在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的中线分三角形一边为相等的两条线段， 一个三角形有3条中线，并且3条中线相交于一点.三角形的高、中线、角平分线都是线段.

7. 三角形的内角和

（1） 三角形的内角和：三角形3个内角的和等于180°.这个结论揭示了3个内角之间的数量关系.

（2） 直角三角形两锐角互余.

（3） 三角形外角的概念及性质：① 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.三角形的一个外角就是三角形某个内角的邻补角.② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

与三角形有关的线段范文第2篇

第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略， 是系数， 的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 (几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号; (注意括号前有数字因数)②再合并同类项。 (系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 ( ) 注意00没有意义。5、负整数指数幂： ( 正整数， )6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。 ( )注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误： ， ， ， ，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 (相邻且互补)二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等 两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。 ②作一个角等于已知角。第三章 三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形 (三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形 (有一个角是直角)钝角三角形 (有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。 (分成的两个三角形面积相等)b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。 (每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章 生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∠1=∠2 PBOB PAOA PB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 OA=OB CDAB PA=PB四、等腰三角形性质： (有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形; (一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合; (三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。 (简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60; ②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ②对应线段、对应角相等;② 对应点的连线被对称轴垂直且平分; ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题第六章 概 率一、概率：反映事件发生可能性大小的数。 事件P的概率=二、事件的分类三、游戏是否公平：双方事件发生的概率是否相等。

与三角形有关的线段范文第3篇

（1）与三角形有关的线段：

①三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形这三条线段有时分别用a、b、c三个字母来表示，三条线段相交的三个点叫做三角形的顶点，若顶点分别用A、B、C来表示，这个三角形可以表示为ABC，读作“三角形ABC”；

②三角形按三条边的长短关系分为等腰三角形、等边三角形和三条边都不相等的三角形；

③三角形两边和大于第三边，两边的差小于第三边；

④过三角形的一个顶点A画它所对的边BC所在直线的垂线，垂足为D，所得线段叫做三角形BC边上的高；

⑤连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点，所得的线段叫做ABC的边BC上的中线；三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

（2）与三角形有关的角的关系：任意三角形的内角和等于180°；直角三角形的两个锐角互余，反之也成立；三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，三角形的外角等于与它不相连的两个内角的和。

（3）多边形及其内角和

①在一个平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，如果组成多边形的线段条数n，那么这个多边形就叫n边形；

②n边形的内角和等于（n-2）×180°；

③n边形的外角和等于360°。

2、第十二章：全等三角形

（1）全等三角形的特征：

①两个三角形放在一起能够完全重合，像这样的两个三角形叫做全等三角形；

②两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角；

③全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的判定：

①三条边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）；

②两边和这两条边的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）;

③两角和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）;

④两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）;

⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

（3）角的平分线的性质：

①角的平分线上的角到角的两边的距离相等，可利用三角形全等来证明；

②角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可利用三角形全等来证明；

3、第十三章：轴对称

（1）轴对称：

①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折合后重合的点叫做对称点；

②经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点与这条线段连个端点的距离相等，反之在一个平面内到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

③如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）等腰三角形与等边三角形：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成三线合一）；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

②三条边都相等的等腰三角形叫做等边三角形；等边三角形的三个 内角都相等，并且每一个内角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

③直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；可通过等边三角形的性质来证明。

4、第十四章：整式的乘法与因式分解

（1）整式的乘法：整数的乘法公式

①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；

②单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同他的指数作为积的一个因式；

③单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；

④多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，在把所得的积相加。

（2）整式的除法：整数的除法公式

①同底数幂相除，底数不变，指数相减；由此可推断任何不等于0的数的0次幂都等于1；

②单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

③多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（3）乘法公式：乘法公式

①平方差：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；反过来也成立；

②完全平方：两个数的和（或差）的平方等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍；反过来也成立

③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号；去括号后同样；

5、第十五章：分式

（1）分式的性质：

①像这样，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，分式中A叫做分子，B叫做分母；

②分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变；

（2）分式的运算：

①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；

②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

③同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

④异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式相加减；

与三角形有关的线段范文第4篇

一、截取(延长)线段，构造全等三角形

例1如图1，AD是ABC的中线，DE、DF分别是ABD、ACD的角平分线，求证：EF

分析利用角平分线的条件，分别构造两对全等三角形，转移BE、CF，使三条线段构成一个三角形.

证明在DA上截取DN=DB=DC，连结NE、NF.

由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.

又BD=ND,ED=ED，

所以BDE≌NDE，

得BE=NE.

同理可得CF=NF.

而在EFN中，NE+NF>EF，

故BE+CF>EF，

即EF

点评当有角平分线时，截取相等线段，为解题开通道路.本例也可延长ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.

二、截取(延长)线段，构造等腰三角形

例2如图2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求证：2AC>AB.

分析本题关键是如何构造出2AC.利用角的二倍关系，构造以AC为腰的等腰三角形，该等腰三角形的底边恰与AB相等.

证明延长BC到D，使CD=AC，连结AD.

则∠CAD=∠D.

而∠ACB=∠CAD+∠D，

所以∠ACB=2∠D.

而∠ACB=2∠B，

所以∠B=∠D，得AB=AD.

在ACD中，AC+CD>AD，

所以2AC>AB.

点评本题也可以在BC上取点E，使∠AEC=∠ACB.连结AE，可类证.

三、延长中线构造平行四边形

例3如图3，AD是ABC的中线，求证：AB+AC>2AD.

分析由2AD想到延长AD至等长，构造出平行四边形，就可把有关线段转移到一个三角形中.

证明延长AD到E，使DE=AD，连结BE、CE.

又DB=DC，所以四边形ABEC是平行四边形，得AC=BE.

在ABE中，

AB+BE>AE，

所以AB+AC>2AD.

点评如果没学到平行四边形，也可证明EBD≌ACD.

四、构造中位线

例4证明：三角形任两条中线之和大于第三条中线.

已知：如图4，AD、BF、CE是ABC的三条中线，它们相交于N.

求证：BF+CE>AD.

分析利用三角形重心N将各中线三等分的性质，取AN的中点M，使EMN的三边分别是各中线的三分之一.

证明取AN的中点M，连结ME.

因为AD是中线，N是重心，

所以MN=13AD.

又E是AB中点，

则EM=12BN=13BF.

因为EM+NE>MN，

而NE=13CE，

所以13BF+13CE>13AD，

从而BF+CE>AD.

点评本题也可延长ND到G，使DG=DN，得平行四边形BNCG，再利用BNG的三边不等关系.

五、移动线段

例5如图5，D是ABC的边BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且∠EDF=90°，求证：BF+CE>EF.

分析利用直角∠EDF，构造等腰三角形以及全等三角形，将三条线段转移到同一个三角形中.

证明延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG.

由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，则EF=EG.

又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，

则BDF≌CDG，

得BF=CG.而CG+CE>EG，

所以BF+CE>EF.

点评本题的关键是对直角DEF条件的利用.一般有两种方法：一是作出斜边上的中线，二是加倍直角边.本例采用的是后一种方法.这样将目标式中的三条线段转移到同一个三角形中.

六、截大补小

当已知条件中，一个角大于另一个角时，可采用“截大补小”法，即在大角内作一个角等于小角，或将小角补成与大角相等的角.

例6在ABC中，∠C>∠B，求证：AB>AC.

证法1如图6-1，在∠C内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D，则BD=CD.

在ADC中，AD+CD>AC，

则AD+BD>AC,即AB>AC.

证法2如图6-2，作∠CBE=∠C，BE与CA的延长线交于点E，则BE=CE.

在ABE中，AE+AB>BE，

则AE+AB>CE=AE+AC，

即AB>AC.

点评本例结论实际上是有关三角形边角不等关系的一个重要定理.即在三角形中，大角对大边，大边对大角.

练习题1.在ABC中，AB>AC，M是角平分线AD上一点，求证：BM-CM

与三角形有关的线段范文第5篇

一、翻折构造

例1 在等腰直角[ABC]的斜边AB上，取两点M和N，使∠MCN=45°，记AM=m，[MN=x]，[BN=n].则以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状是（ ）.

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.随x，m，n变化而变化

【分析】首先，要明确判断以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段集中到同一个三角形中；其次，用好∠MCN=45°这一已知条件，并及时联想到∠ACM+∠BCN=45°；最后，为将长为x，m，n的三条线段集中，可考虑将ACM沿CM翻折，使点A与点P重合（如图1），这样可将长为m和x的两条线段集中在一个角中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x，m，n的三条线段就集中到了PMN中.

解：∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∠ACM=∠PCM，

∠BCN=∠PCN，可证BCN≌PCN，PN=BN=n，

∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°.

∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°.

以x，m，n为边长的三角形的形状是直角三角形，故答案为B.

【小结】当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造.

二、旋转构造

例2 已知O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB，∠BOC和∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA，OB，OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数分别是多少？

【分析】首先，解决此题的关键依然是要将OA，OB和OC三条线段集中到同一个三角形中；其次，考虑到等边三角形的特点，若将AOB绕A点逆时针旋转60°（如图2），此时，AB与AC重合，点O与点M重合，可得到AMC，因为AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA，OB和OC就集中到了COM中.故求OA，OB，OC三边所对的角即为求COM的三个内角.

解：由∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x.

则有6x+5x+4x=360°，x=24°，∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°，

∠AOM=∠AMO=60°，

∠MOC=∠AOC-∠AOM=96°-60°=36°；

∠OMC=∠AMC-∠AMO=144°-60°=84°；

∠OCM=180°-（∠MOC+∠OMC）=180°-36°-84°=60°.

以OA，OB，OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°，36°，84°.

【小结】旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合、旋转角度能构成特殊角等两个条件.

三、轴对称构造

例3 ∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边OA，OB上有点Q，R（均不与点O重合），则PQR的周长的最小值是多少？

【分析】首先，要确定PQR的周长的最小值，关键是确定Q，R的位置，而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值；其次，已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形（如图3）.

解：分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，与OA，OB交于点Q′，R′，由轴对称性质可知PQ′=MQ′，同理PR′=NR′.

因为线段MN的长度等于MQ′+Q′R′+NR′，即MN的长度正好等于PQ′R′的周长.

由两点之间线段最短这一定理，易得出PQ′R′是点P与∠AOB两边上的Q，R两点构成的三角形中周长最小的三角形.所以问题中的Q，R与Q′，R′重合时PQR的周长值最小，而其值正等于线段MN的长度.

连接OM，ON，由轴对称性质可知，OM=OP=ON=10，且∠MON=90°，

MN=[102]，

PQR的周长的最小值是[102].

【小结】一般来说，求几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称点，将折线段转化为直线段.

四、特殊构造

例4 在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2.

【分析】首先，由所求证的关系为平方形式，联想到勾股定理，进而思考如何构造直角三角形求证.如图4，已知∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角形BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形ABE中的AB2+BE2.这样只需证明AE=BD即可.其次，由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则ADC为等边三角形.易证DCB≌ACE，于是AE=BD.