排列与组合范文第1篇

一、直接法

依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念，直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.

例1：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，共有多少种不同的选法？

解：这是组合问题，分三步完成：

第一步，从10人中选出2人承担甲项任务，共有 种方法；

第二步，从剩下8人中选1人承担乙项任务，共有 种方法；

第三步，从另外7人中选1人承担丙项任务，共有 种方法.

因此，不同的选法种数共有C210·C18·C17 =2 520种.

【说明】用直接法解题时，捕捉信息，分清排列问题还是组合问题，进行分类或分步是解题的关键.

二、间接法（排除法）

在求解附加有限制条件的排列、组合问题时，可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数，再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法（排除法）.

例2：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，共有多少种不同的选法？

解：从10名学生中任选2名当代表有C210 种选法，其中不符合要求的有：两人都是男生的选法有C27种选法，因此，符合条件的选法有C210-C27=24 种.

【说明】本例是带有附加条件的组合问题，这里“至少有1名女生当选”，即为附加条件.先求出所有的组合数，再减去不符合条件的选法.

三、捆绑法

在研究某些排列、组合问题时，某些元素必须在一起，处理时把它们并成1组，或者作为一个整体，与其他元素进行排列、组合，然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.

例3：有7个人排成一排照相，甲、乙两人必须相邻的排法有多少种？

解：本例是排列问题，可分为两个步骤：

第一步，将甲、乙两人当作1个（保证他们相邻），6个人的全排列数为A66；

第二步，甲、乙两人的位置可以交换，排列数为A22；

因此，甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66 ·A22=1 440种.

四、插空法

在研究不相邻的排列问题时，可先安排无条件限制的元素，然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中，必要时包括前后两端的空位，这种解题方法称插空法.

例4：由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字，且数字1与2不相邻的5位数，那么这种5位数共有多少个？

解：本例是排列问题，分两步完成：

第一步，先让3、4、5这3个数作全排列，有A33种选法.排好后出现4个空位，如下图：

第二步，从这4个空位中任取两个让1、2去站位，则数字1与2均不相邻共有站法种数为A24 ，根据分步计数原理，这种5位数共有A33·A24=72个.

五、先选后排法

对于排列、组合的混合应用题，往往可以采用先选出来，然后再按要求进行排列的方法，这种方法称为先选后排法.

例5：从5男4女中，选出3男2女共5个人，分别参加5种不同的工作，有多少种不同的选法？

解：这是一个排列、组合的混合应用题，分两步完成：

第一步（先选），从5男4女中选出3男2女5个人，共有C35 ·C24种选法.

第二步（后排），选出的5个人分别参加5种不同的工作，有A55种选法.

依据分步计数原理，不同的选法共有（C35 ·C24）·A55=7 200种.

【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题，关键是如何先选，也就是把元素分成怎样的组合，要选得合理，解法才会正确.

六、特殊优先法

对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题，往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.

例6：用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数？

解：本例是一个带有特殊条件的排列问题，先排含特殊条件的数字，共分3步完成：

第一步（特殊优先），个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个，有A13种选法；

第二步（特殊优先），由于0不能是10万位数字，所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字，有A14种选法；

第三步，再把剩余的3个数字与0共4个数字，在万位数至10位数的4个位置上进行全排列，有A44种选法；

排列与组合范文第2篇

最近两年，全国多数地市的高考都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养，而排列和组合类型题就成了出卷老师笔下的“宠儿”.这类题目主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力.但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题.下面就解决排列和组合问题作一个初步的探究，介绍一些常用的方法.

一、解题的一般过程

1.认真审题弄清要做什么事.

2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类.

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

二、基本解题方法

法1相邻问题捆绑法

例16人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻， 共有多少种不同的排法？

解析可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有A22A22A44=96种不同的排法.

法2不相邻问题插空法

例2七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）.

A.1440种B.3600种

C.4820种D.4800种

解析除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A26种，不同的排法种数是A55A26=3600种，选B.

法3定序问题倍缩法

例37人排队，其中甲乙丙3人顺序相对位置不变共有多少不同的排法？

解析对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他

元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A77/A33.

法4定位问题优先法

例41名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则不同的排法有多少种？

解析老师在中间三个位置上选一个有A13种，4名同学在其余4个位置上有A44种方法；所以共有A13A44=72种.

法5重排问题分步求幂法

例5有5封信投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？

解析完成此事共分六步：把第一封信投入邮箱有4种投法，把第二封信投入箱也有4种投法，依此类推，由分步计数原理共有4×4×4×4×4=45种不同的排法.

法6多排问题单排法

例68个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A24种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A14种，其余5个元素任排5个位置上有A55种，故共有A14A24A55=5760种排法.

法7选排问题先选后排法

例7四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析“先取”四个球中两个为一组，另两组各一个球的方法有C24种，“再排”在四个盒中每次排3个有A34种，故共有C24A34=144种.

法8环排问题线排策略

例88人围桌而坐，共有多少种坐法？

解析围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有（8-1）！种排法即7！.

法9平均分组法

例96本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少种分法？

解析分三步取书得C26C24C22种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF，该分法记为（AB，CD，EF），则C26C24C22中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共有A33种取法，而这些分法仅是（AB，CD，EF）一种分法，故共有C26C24C22/A33种分法.

法10正难则反法，特别是“至多”“至少”

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）.

A.140种B.80种C.70种D.35种

解析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C39-C34-C35=70种，选C.

排列与组合范文第3篇

关键词：高中数学；　排列组合；　现状；　优化策略

一、高中数学“排列组合”教学现状

高中数学“排列组合”教学能有效训练学生严谨的数学思维，培养学生掌握科学地解决实际问题的方法，为学生进一步学习数学奠定良好的基础。然而，现阶段的“排列组合”教学还存在三个问题：第一，教师没有详细和透彻地讲解“排列组合”的概念与原理。大部分教师把“排列组合”的教学重点放在解题方法上，忽略了其基本概念和原理的讲解，导致学生在运用概念与原理的过程中出现遗漏、重复或者无法分类的情况；第二，教师讲解目的不明确。在讲解“排列组合”的问题时，有的教师没有引导学生理解题意，使得学生在解决问题的过程中不知如何下手；第三，在教学过程中，教师没有做好知识的衔接，不利于学生有效地学习“排列组合”。

二、高中数学“排列组合”教学的优化策略

1.结合生活实际，激发学生的学习兴趣

兴趣是学生最好的教师，也是实施高中数学“排列组合”教学的前提，所以教师应把“排列组合”教学置于富有趣味性的情境中，以实际生活为背景，通过解决“排列组合”的实际问题，使学生体会到学习数学的作用，从而激发学生的学习兴趣。如在讲解“排列组合”时，教师可以用我国著名的数学家沈括提出的棋局问题为导入，开展课堂教学：“围棋的棋盘横竖各有19路，总共有361个位置，而每个位置有白子、黑子和空着三种可能。那么，此棋局一共有多少种局面？”这样的生活小故事，能有效激发学生的学习兴趣，引导他们积极主动地思考问题。另外，在教学过程中，教师的教学语言应尽可能幽默、生动，一层一层地为学生揭示“排列组合”知识，通过展现数学的魅力，激发学生的求知欲，提高学习效率。

2.重视知识迁移，帮助学生形成科学的认知结构

在“排列组合”的教学过程中，教师应根据学生同化、顺应的心理特点，帮助学生迁移“排列组合”知识，从而形成科学的认知结构和良好的思维方式。以“排列组合”中的分步和分类为例，如果做好一件事情有A和B两种方法，也就是A和B互不相交，在A办法中存在m1种办法，而B办法中存在m2种办法，也就是card（A）=m1，card（B）=m2，即做好这件事情的不同办法共有card（AUB）=card（A）+card（B）=m1+m2种，也就是n为2时的分类原理。如此一来，学生就可以利用学过的集合知识来理解和学习“排列组合”知识，知识的迁移帮助学生构建了科学的知识脉络。

3.建立数学模型，引导学生解决实际问题

高中数学“排列组合”教学以计数为特点，思想方法灵活独特，所以在实际教学中，教师应把实际问题转化为可操作的数学模型，以方便学生求解。如在解答这道题目“从4种蔬菜中选择3种，把它们种在三块不同的地里，请问有多少种种植方法？”时，学生会出现A34、C34×A33两种不同的解题思维，后者思维零乱，重视事件过程；前者思维较为完善，能把事件看成对象。因此在教学过程中，教师应注重建立数学模型，让学生把实际的抽象问题转化成具体的模型，学会把事件看成一个对象，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

三、结语

本文以高中数学“排列组合”教学为例，分析了“排列组合”教学的优化策略。首先，在开始前，教师应了解和预估学生的学习情况。虽然“排列组合”知识贴近生活，学生也比较感兴趣，但他们缺乏解决实际问题的经验，以至于无法理清解决排列组合问题时的思路，找到正确的解题路径；其次，教师应选取简单的例子，引导学生基于实际经验来分析问题；最后，在成功解答上述问题的基础上，教师可以适当地提问，以巩固学生的学习效果。

参考文献：

[1]刘英.怎样讲好高中数学《排列组合》的开篇——分类计数原理与分步计数原理[J].新课程研究(基础教育),2009,(8).

排列与组合范文第4篇

一、排列组合知识特征及其活学活用的意义

排列组合是高中数学课本里相对独立的一个章节。内容理论相对抽象，并且实际解答应用富于技巧的变化，因此很多学生对排列组合的学习感到很吃力。其对锻炼高中生的抽象思维与灵活运用能力有很大的帮助。排列组合这一章的两个最基本的原理是加法原理与乘法原理，也是排列组合的基础内容，是解决排列组合问题的基础理论。在具体的学习中，学生往往对排列组合问题感到无从下手，不知道该用什么方式解答题目，其中主要原因就是因为学生没有真正地“消化”这两个基本原理，导致无法理顺解题的思路。并且，学生另一个存在的问题就是无法对排列组合知识进行灵活地应用。排列组合的理论知识点并不是很多，注重的是方法的灵活掌握，因此教师在具体的教学中，要注意对学生的灵活运用能力的培养，不仅要会学知识，更要会用知识。排列组合知识并不仅仅是书本上的知识，其在生活中都是有很多用处的。下面就具体谈谈在学生的日常生活中，排列组合知识无处不在的应用。

二、排列组合知识在现实中的活学活用

1.排列组合知识在现实中的具体应用。数学本身是一门实用性很强的学科，在生活中，数学的应用时无处不在的。排列组合作为计数的一种数学工具，其活学活用的范围是很广泛的。例如，中学生喜欢玩拼图或者魔方玩具，其实拼图与魔方也包含着排列组合知识的应用，拼图在排同一种花色时所用的图片并没有一定的规则，并且可以重复，这就利用到了组合知识。排列组合知识在生活中的实际应用不胜枚举，这里所说的只是冰山一角。教师在具体的教学中，要让学生感受到排列组合应用的广泛性，以及其重要的意义。

2.排列组合知识在现实中活学活用的好处。教师需要让学生知道，学习掌握排列组合知识，不是为了在试卷中的排列组合题目中拿到分数，更重要的是要学会活学活用，理解其作为一种数学工具给实际生活所带来的便利。例如，学生在生活中会玩扑克牌，玩扑克牌的过程当中不可能每盘都能起到好牌，有时候拿到不理想的牌数，就需要对其进行巧妙的“排列组合”，有时候巧妙的“排列”就能取得“反败为胜”，把劣势变为优势。排列组合能够解决很多实际中的问题，这也是其带来的好处。

三、提高学生排列组合知识活学活用能力的策略

1.使学生灵活掌握各种排列组合方法。排列组合知识的应用是很灵活的，方法各种各样，学生要做到灵活运用。其具体有捆绑法、插空法、邮箱法、反客为主法等等。就拿捆绑法来说，捆绑法是指把必须相邻的元素单独取出并捆绑起来，合成一个整体，再与其余的元素排列组合。例如16个人坐一排照相，甲和乙必须相邻，有多少种排法。具体则可把甲乙二人排列，有A（2，2）种方法，再与其余的四人结合，即有A（2，2）×A（5，5）种排法，即一共有240种不同的排法。排列组合的计算手段丰富多样，因此，首先要让学生扎实地掌握各种方法的基础理论，了解其依据来源，然后再针对不同的问题进行不同方法的灵活运用，灵活解决。

2.注重实例启发，运用实例教学。排列组合的知识点丰富，运用的方法也很多，若单独靠理论的讲解，不仅学生的接受知识的效率低，教师自己也会产生疲惫。生活中运用排列组合的例子实在太多，教师针对每一个排列组合方法的应用，都有必要进行实际的案例的分析解决，这样不仅能够使学生更熟练地掌握各种排列组合的解决方法，并且长久下来，培养了学生自身的一种活学活用的理念，使其更能够认清排列组合知识的内涵。例如，让学生掌握排列组合的解决办法，可设置一个与生活相贴近的问题，比如，有篮球队员5人，乒乓球队员3人、排球队员4人，让其排成一排照相，并不使本队的人分开，有多少种排法，具体算法是把各队都当做一个整体排列，则有P（3，3）种排法，同时每个队内部也有排列，篮球队P（5，5），乒乓球队P（3，3），排球队P（4，4）。所以一共四者相乘，就有103680种排法。教师在教学中需注重类似的实例教学，合理地设计例子，让学生对理论应用有一个更清晰的概念。长此以往，能够让其产生知识运用的良好习惯，并锻炼了应用的能力。

排列与组合范文第5篇

下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。

一、合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( )

A.120种B.96种C.78种D.72种

由分类计数原理，排法共有A44+A33A31A31=78种，选C。

练习1. (89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个(用数字作答)。答案:36

二、混合问题“先选后排”

对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。

例2.4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种?

分析:因有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有C42种，从4个盒中选3个盒有C43种;2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有C42C43A33=144种。

练习2.由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个?答案:有C43C32A55=1440(个)

三、局部问题“整体优先法”

对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。

例3.7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?

分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法，它的内部甲、乙两人有A22种站法，中间选的3人也有A33种排法，故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种。

练习3.四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种?

答案:A4424=384

四、元素间隔，分位插入

对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。

例4.5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法?

解:先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。

注意:①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。

练习4.4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种?答案:2A44A44

五、顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

例5.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66÷A33=120种。

练习5.要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法?答案:A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种

六、“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例6.四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种?

解:先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。

练习6. 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?答案:A22A44

七、构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例7.方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?