排列组合例题范文第1篇

1 正面复杂，对立面相对简单

某些排列组合问题的正面情况比较复杂，难以分清，或者计算繁琐，运算量大，但其对立面或反面的情况比较简单，易于处理，可以优先考虑间接法.这也就是通常所说的“正难则反”.先撷取一个简单的例子.

例1 从4名男生和5名女生中选出3人参加学校合唱团，至少有1名男生的选法有多少种？

解析 本题采用直接法易犯这样一个错误：工厂甲先派一个班，有3种方法，剩下的2个班均有4种选择，所以共有3 4 448××=种分配方案.这里面蕴含着重复计算的错误，且这种重复的引入往往比较隐蔽，不易察觉，而且很难排除.例如“A班先去甲厂，之后B班也去了甲厂”与“B班先去甲厂，之后A班也去了甲厂”是同一种情况.注意到“工厂甲必须有班级去”的对立面就是“工厂甲没有班级去”，所以先计算3个班自由选择工厂的总数，再去除工厂甲没有班级去的分配数，应是一个非常清晰和自然的思路.本题答案是4 4 4 3 3 337××？××=种.

2 问题中包含同一性的情况

某些排列组合问题中，存在一些形式不同而实质同一的对象，这些对象只需要保留一个，常常考虑用间接法，把多余的一一排除.

例5 空间有12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，则这12个点最多可确定多少个不同的平面？

3 “不符合条件”的情况相对简便

排列组合的应用题种类纷繁，抽象性较强，常常需要用到分类讨论的方法，即根据对象的本质和属性，将其区分为不同种类，然后逐类进行研究，但在有些情况下，寻求“不符合条件的类”要比“符合条件的类”简便得多，此时用间接法显可以降低思维难度，简化解题过程.

例9 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那有多少种不同的排课方法？

例10 有两排座位，前排11个座位，后排12个，现安排2人就座，规定前排中间的3个位置不能坐，且这2个人不左右相邻，那么不同的排法数有多少？

排列组合例题范文第2篇

一、直接法

依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念，直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.

例1：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，共有多少种不同的选法？

解：这是组合问题，分三步完成：

第一步，从10人中选出2人承担甲项任务，共有 种方法；

第二步，从剩下8人中选1人承担乙项任务，共有 种方法；

第三步，从另外7人中选1人承担丙项任务，共有 种方法.

因此，不同的选法种数共有C210·C18·C17 =2 520种.

【说明】用直接法解题时，捕捉信息，分清排列问题还是组合问题，进行分类或分步是解题的关键.

二、间接法（排除法）

在求解附加有限制条件的排列、组合问题时，可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数，再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法（排除法）.

例2：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，共有多少种不同的选法？

解：从10名学生中任选2名当代表有C210 种选法，其中不符合要求的有：两人都是男生的选法有C27种选法，因此，符合条件的选法有C210-C27=24 种.

【说明】本例是带有附加条件的组合问题，这里“至少有1名女生当选”，即为附加条件.先求出所有的组合数，再减去不符合条件的选法.

三、捆绑法

在研究某些排列、组合问题时，某些元素必须在一起，处理时把它们并成1组，或者作为一个整体，与其他元素进行排列、组合，然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.

例3：有7个人排成一排照相，甲、乙两人必须相邻的排法有多少种？

解：本例是排列问题，可分为两个步骤：

第一步，将甲、乙两人当作1个（保证他们相邻），6个人的全排列数为A66；

第二步，甲、乙两人的位置可以交换，排列数为A22；

因此，甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66 ·A22=1 440种.

四、插空法

在研究不相邻的排列问题时，可先安排无条件限制的元素，然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中，必要时包括前后两端的空位，这种解题方法称插空法.

例4：由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字，且数字1与2不相邻的5位数，那么这种5位数共有多少个？

解：本例是排列问题，分两步完成：

第一步，先让3、4、5这3个数作全排列，有A33种选法.排好后出现4个空位，如下图：

第二步，从这4个空位中任取两个让1、2去站位，则数字1与2均不相邻共有站法种数为A24 ，根据分步计数原理，这种5位数共有A33·A24=72个.

五、先选后排法

对于排列、组合的混合应用题，往往可以采用先选出来，然后再按要求进行排列的方法，这种方法称为先选后排法.

例5：从5男4女中，选出3男2女共5个人，分别参加5种不同的工作，有多少种不同的选法？

解：这是一个排列、组合的混合应用题，分两步完成：

第一步（先选），从5男4女中选出3男2女5个人，共有C35 ·C24种选法.

第二步（后排），选出的5个人分别参加5种不同的工作，有A55种选法.

依据分步计数原理，不同的选法共有（C35 ·C24）·A55=7 200种.

【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题，关键是如何先选，也就是把元素分成怎样的组合，要选得合理，解法才会正确.

六、特殊优先法

对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题，往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.

例6：用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数？

解：本例是一个带有特殊条件的排列问题，先排含特殊条件的数字，共分3步完成：

第一步（特殊优先），个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个，有A13种选法；

第二步（特殊优先），由于0不能是10万位数字，所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字，有A14种选法；

第三步，再把剩余的3个数字与0共4个数字，在万位数至10位数的4个位置上进行全排列，有A44种选法；

排列组合例题范文第3篇

下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。

一、合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( )

A.120种B.96种C.78种D.72种

由分类计数原理，排法共有A44+A33A31A31=78种，选C。

练习1. (89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个(用数字作答)。答案:36

二、混合问题“先选后排”

对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。

例2.4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种?

分析:因有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有C42种，从4个盒中选3个盒有C43种;2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有C42C43A33=144种。

练习2.由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个?答案:有C43C32A55=1440(个)

三、局部问题“整体优先法”

对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。

例3.7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?

分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法，它的内部甲、乙两人有A22种站法，中间选的3人也有A33种排法，故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种。

练习3.四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种?

答案:A4424=384

四、元素间隔，分位插入

对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。

例4.5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法?

解:先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。

注意:①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。

练习4.4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种?答案:2A44A44

五、顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

例5.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66÷A33=120种。

练习5.要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法?答案:A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种

六、“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例6.四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种?

解:先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。

练习6. 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?答案:A22A44

七、构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例7.方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

排列组合例题范文第4篇

智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．

据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．

排

列

、

组

合

概念

从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.

专题一

算法

在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．

专题二

排列数公式与计算

专题三

组合数公式、计算与性质

应用

用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.

专题四

用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．

专题五

用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．

专题六

图1

于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．

2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性

运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．

因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．

排

列

、

组

合

概念

排列、组合的概念

算法

算法原理、计算公式

应用

解排列、组合问题

图2

值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．

3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性

如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．

按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．

（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．

（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．

（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．

4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性

我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．

于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：

（1）排列与组合的判定标准（见前文）．

（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．

（3）排列数公式的特征（略）．

（4）组合数与排列数的关系（略）．

（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：

①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．

所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．

②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．

处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．

③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．

解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．

5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性

智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．

所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．

在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．

为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．

（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．

（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．

一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．

错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．

故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?

错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．

略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．

参考文献

1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990

排列组合例题范文第5篇

一、特殊元素的优先安排法

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排.操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”.

例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）

二、相邻问题的捆绑法

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看做一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记做A，（A共有6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记做甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求），此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4=48种不同排法.

三、不相邻问题的插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.

例3：马路上有编号为1、2、3…9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种.

四、顺序固定问题的选位不排法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列.也可先放好顺序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

六、分排问题的直排法

把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法处理.

例6：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法.

解：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排处理，所以不同的坐法有.

七、允许重复排列的住店法

解决允许重复排列的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复.把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”.

例7：7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是多少种.

解：因同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看成7家“店”，五项冠军看成5名“客”，每个客有7种住宿方法，由分步计数原理得N=八、分配问题的先分堆再排列法