垂直与平行教案范文第1篇

【关键词】数学教学；概念形成；规律总结；问题过程

素质教育是教育改革的根本目标，智育是素质教育的一个重要内容，它担负着传授知识、开发智力的双重任务。数学教学是思维过程的教学，通过展示数学知识形成的思维过程，培养提高学生观察、分析、判断、推理、抽象和概括等思维能力；它是发展智力的重要举措。因此，数学教学要充分展示思维过程。那么，教师在数学教学中如何展示思维过程呢？

1 要充分展示概念形成过程。

数学概念的建立主要有两种形式：一是由具体事实概括出新概念，心理学中称为概念形成；二是利用旧知识推出新概念，心理学中称为概念同化。这两种方式是相互联系的，都要经过抽象概括的过程，而且在教学中宜采取二者结合的策略，才能更好地理解概念的本质特征。例如在立体几何中，以“异面直线的距离”这一概念的教学为例，可分两步实施教学。1、揭示概念形成过程。先回顾过去学过的有关距离的概念，如两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离。引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是：最短和垂直，然后启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的点，他们的距离是最短的？如果存在应具备什么特征？于是经过实验操作、观察、分析和共同讨论、抽象出：和两异面直线垂直且相交的直线上两垂直间的距离是最短的。2、用定义揭示概念实质。在学生对“异面直线的距离”有了充分的感性认识基础上，用定义概括概念的本质特征；首先定义“异面直线的公垂线”，然后在此基础上定义“异面直线的距离”。从上面概念的教学过程中我们看到：通过引导学生动手操作、观察、分析和抽象概括等思维过程，学生亲自参与了概念的形成过程，不仅锻炼了学生的思维能力，还感受到了数学知识发现的乐趣，变苦学为乐学。这样调动了学生学习的主动性和积极性。

2 充分展示规律的总结过程。

数学中的法则、性质、公式、公理以及思维方法都是数学规律。它们来源于数学问题，又成为解题的依据和理论基础。这些规律尽管前人已经总结得很好，但学生要掌握它，还必须回到具体题目中去，到一定的思维情境中重新加工制作。如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，传统方法是揭示定理、画好图形、讲解证明三步，展示思维过程的教学则可作如下设计：（1）、创设具体问题情境：在水平面的地面上竖起一根电线杆，请大家想一个办法，检查一下电线杆是否与地面垂直？（2）、设计解决方案：学生把电线杆抽象为一直线，地面抽象为一平面，根据线面垂直的定义设计方案如下：用一块三角板，使一直角边贴紧电线杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可断定电线杆与地面垂直，否则不垂直。

紧接着，再进行如下过程：

2.1 优化方案；提出猜想。教师在肯定方案的正确性和可行性的基础上向学生提出新的问题；是否有比这个方案更方便易行的呢？学生经过操作，提出猜想；三角板的另一直角边只要在两个位置和地面贴得很好，就可断定线杆与地面垂直。

2.2 深化问题、揭示规律。教师要求学生提出上面猜测的问题的实质，并用数学语言加以表述：如果一条直线和平面相交，且和平面过交点的两直线都垂直，则这条直线和该平面垂直。

2.3 共同探讨证明方案。这样讲，思维起点得到降低，跨度小。有利于对规律的消化吸收，同时由于学生通过动手、动脑、动口参与了教学过程，锻炼了思维能力，也获得了独立研究问题的方法。

3 充分展示问题的思想过程。

垂直与平行教案范文第2篇

关键词：高中数学；导入；案例

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）30-150-01

课堂教学是一个完整而系统的过程，每一个关节都是至关重要的，任何一个环节出现差错都会影响到整堂课的教学质量和教学进度。一个好的开端可以使学生快速地集中注意力从而进入学习状态，使学生们的思维更加活跃、提高课堂效率和减轻老师的教学负担。下面通过介绍几种课堂上的教学方式和具体的案例来进行详细地阐述。

一、创新教学模式

1、激发学习兴趣

新鲜的事物对青少年具有很大的吸引力，老师只有在教学过程中摆脱古板的教学方式，不断地创新才能抓住学生的兴趣点。真正的优秀的教学方式可以使学生的思维快速随着教师的思维运转，因为面对着繁重的课业负担的高中生很容易对数学这一课程产生厌烦甚至放弃学习，只有学生从自身意识到学习的重要性和对数学产生学习的兴趣，才能真正地融入到高中数学的学习中。而一个好的开端则可以吸引学生的注意力，慢慢在喜欢上数学。面对传统的“填鸭式”教学，使用生动形象的直观方法则可以使学生对所学知识一目了然。例如在分析立体几何时，不要单纯地将一些计算公式或者规律直接告诉学生，应当画出立体几何的透视图或者展出相关的实物模型，有条件的情况下要求学生亲手制作一些模型，这样既增加了教学过程中的趣味性，又提高了学生的学习兴趣和动手操作能力。

2、由浅入深的推导

学习是一个循序渐进的过程，没有谁可以“一口吃成大胖子”。很多时候我们只能看到事物的表象，而其中的内涵则需要我们一步一步去挖掘。很多学生极易被表象所迷惑，如何正确地引导他们不会误入歧途就是我们教师要求掌握的教学手法之一。当学生在接触到一个新知识并对其有所了解后而沾沾自喜时，就需要引导他们向更深层次去探索，只有不断前进才能有所收获。假设在学习“对数”这节课时，可以这样导入：假设用一块厚度为0.1毫米的金属板连续对折三次，计算其厚度，如果连续对折五十次，其厚度能达到多少呢？如果在不借助计算工具的情况下，学生们通过乘法是很难在短时间算出正确的数值，这时学生们就需要一种新的算法来得到他们需要的答案。通过这种方式不仅激发了学生的求知欲，在大家畅所欲言的同时也使课堂气氛更活跃。

3、课前温习

在每天教授新知识前，应当先回顾一下上一堂课学习的内容，这样做的目的是为了使学生进一步巩固学习过的知识，同时还起到了承上启下的作用，为新授知识做一个铺垫，使学生更快地接受新内容，巩固旧的知识，在教学上实现“双赢”。

例如在学习证明立体几何平行或垂直关系这堂课时，老师可以先引入平行关系：包括线面平行和面面平行；垂直关系：线线垂直、线面垂直和面面垂直。同时在黑板上写下本堂课的关于四个判定和性质定理的学习内容，四个判断定理：1、若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么两个平面平行3、如果一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直4、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；四个性质定理：1、一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 2、两个平面平行，则任一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行 3、垂直于同一平面的两条直线平行 4、两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

将新知识与旧知识同时列在黑板上，使学生直观地认识到两者之间的联系，从而进行对比，不仅巩固了之前的内容，也对新知识有了更多认识，此时教师让学生再通过字面意思进行预习，将新旧知识相互联系后就会达到事半功倍的学习效果。

4、联系实际

数学同其他课程相比更为枯燥，所以如何使学生对数学产生兴趣则至关重要，将数学与生活实际相联系，使用应用题的形式就要比单纯的计算更富有趣味性，同时也可以在课堂上举行一些“谁最快最准确”的小比赛，使学生在做题时更有动力，活跃的课堂气氛会使学生的思维更加敏捷。

综上所述导入的方法是一堂课成功与否的关键，由此可以看出好的教育方法在学习中的重要性。

二、课堂教学经典案例解析

1、随着教育地不断发展，传统的教学方法已经越来越不能适应现在的教育了，以学习“数列”为例，如果在课堂上老师的提问方式不得当，例如在上课刚刚开始时就提出一连串的关于“数列”的问题：什么是数列？等差数列有什么样的性质？它有哪些计算公式？它与等比数列有何差别，又有何联系？当学生面临老师一连串的提问时，就会产生烦躁的情绪，注意力下降，思想“开小差”。这就说明老师的教学抓不住学生的兴趣点，使学生失去了学习的耐心。如果老师换一种方法，先在黑板上列出几组等差数列和等比数列，要求学生自己观察并总结出其中的性质和异同点，当学生有参考目标时就会充满学习的欲望和兴趣，就会变得更加主动。优秀的教育方式不在于一堂课能讲多少，而是能让学生学会多少。

2、上课要做到“有始有终”，有一个好的开始就要有一个好的结束，如何利用好下课前的几分钟也是一种学问。有些老师会让学生在教室提前休息，这样不仅仅浪费了时间，也会扰乱课堂纪律，因此老师可以出一两道简单的题对所学内容进行巩固，或布置下预习作业，但是切记布置的任务不要太多，以免影响学生课间休息和使学生产生逆反心理。

参考文献：

[1] 张 娜.高中数学课堂导入方法及案例分析[D].天津师范大学.2012.

[2] 侯秋燕.高中数学课堂导入策略的研究[D].东北师范大学，2009.

垂直与平行教案范文第3篇

创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，就如何在数学课题教学中培养学生的创新精神，谈点粗浅的见解和尝试。

一、鼓励参与，培养主体意识

数学教学过程中学生的主体地位指学生应是教学活动的中心，教师、教材等一切教学手段，都应为学生的“学”服务。学生在教学活动中居于主体地位，是整个教学活动的中心，但这并非就是说教师无足轻重，可有可无，事实上，教师是全部教学活动的组织者，是学生主体地位得以实现的外因。如在复习曲线对称问题时，（1）提出问题：点（x，y）关于点（a，b）的对称点坐标：曲线f（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线是什么？由学生思考，学生回答，教师讲解。（2）例1：设抛物线y=x2-1上存在关于直线L：x+y=0对称的相异两点，求这两点坐标。师生共同分析点关于直线对称问题一般解法及特殊直线的特殊求法，由学生回答。（3）若改y=x2-1为y=■x2-1抛物线上是否还存在关于直线对称的两点，如何来判断呢？（4）若改y=x2-1为y=ax2-1抛物线若存在直线x+y=0对称的两点，求a的取值范围。与学生一起板书过程，可解得a>■。再探索另一种解法，设垂直于x+y=0的直线为y=x+m代人y=ax2-1后求解指出：解题的关键是利用点关于直线对称的性质，寻找不等式。（5）练习已知椭圆■+■1试确定m的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线y=4x+m对称，最后小结。

二、创设问题情境，培养问题意识

我讲课注意挖掘教材中具有创新价值的问题，引导学生思维发展。

如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，传统处理方法是给出定理，画好图形，把课本上证明讲解一遍。我们可以作如下设计：

第一步，提出问题：在水平的地面上竖起了一根电线杆，现在请大家想一个办法，检查一下电线杆是否与地面垂直？

第二步，设计解决方案：学生将电线杆抽象为一直线，地面抽象为一平面，根据直线与平面垂直的定义设计方案如下：用一块三角板，让一条直角边贴紧电线杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可以断定电线杆和地面垂直，否则电线杆与地面不垂直。

第三步，问题的发展：教师在肯定方案正确性和可行性基础上，让学生提出新的问题：是否有比这个更方便易行的方案呢？如果有一个人没有让三角板旋转一周，而只是检查了两个位置且都和地面贴的好，他就断定电线杆和地面垂直，你们认为正确吗？

第四步，问题的深化：教师要求揭示此问题的实质，并用数学语言加以表述：如果一条直线和平面相交，且和平面内过交点的两直线都垂直，它是否与这个平面垂直？

第五步，设计新问题的解决方案：教师首先让学生利用身边的三角板和铅笔做模型作验证，发现确是垂直的，然后师生共同研究制定理论上的证明方案。

第六步，回到最初的问题，给出合理的解答。

三、进行建模训练，培养应用意识

如在复习函数应用题时，选择典型题目，开展专题讲座，让学生进行建模训练，提高学生的建模水平。例如：

例1．某商人如将进货单价8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售就减少10件，问他将价格每件定为多少元时才能使每天赚得利润最大？并求出最大利润。

构建“函数”模型来解决。答案：售出价14元，最大利润360元。

四、　改革传统的教学模式，培养学生的创新意识

1.培养追求新奇的好奇心

教师的现任之一就是要保护和发展学生的求知欲，实践表明，教学中充分激发和利用学生的好奇心对提高教学效果是十分有益的，如用现代教学手段增强新奇感（应用多媒体演示太空星球的运动引入“圆锥曲线”），应用实际生活中的现象增加趣味性（用打桥牌时对牌的分布的可能性的推测引入“概率”）。

2.诱导质疑，挖掘学生的创新潜能

爱因斯坦曾经说过：“提出问题比解决问题更重要”。“提出问题”是学生数学学习的组成部分，鼓励学生提问时教会学生学习的实际措施，也是挖掘学生创新潜能的有效手段，在现在的课题教学中，由于受应试教育思想的影响，课堂上少有学生主动提出“质疑”，发表自己的“意见”，同学之间缺少有价值的“讨论”，师生之间也缺乏“真诚”与“平等”的对话。

教学中应提倡学生问问题，诱导他们问问题，鼓励他们大胆提出问题，鸣别人所不鸣，为别人所不为。同时，要为学生创造良机，鼓励学生对老师，对书本，对课外读物提出质疑，让学生的天赋和才能得到充分的施展。另外，还要给学生提供提问的时间和空间。因为提出问题首先得发现问题，而发现问题就需要学生有时间和空间去思考，让他有机会发现问题，提出问题。

3.鼓励大胆猜想，培养思维的直觉性

乔治·波利亚《数学的发现》一书中曾指出“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚细节之前你必须猜想出证明的主导思想。”所以，猜想是点燃创造思维的火花，猜想对于创造性思维的产生和发展有着极大的作用。因为科学上很多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才去加以证明或验证。在数学研究里面，“先猜想后证明”几乎是一条规律。

例2.　求和sinx+sin2x+sin3x+…sinnx

分析：这个和式的结构特点是每项正弦函数的角的变化组成等差数列，可以与■+■+…+■=（1-■）+（■-■）+…+（■-■）=■相类比，它指引我们作出猜想：设法把和式中的每一项也拆成两项之和，使所有中间项恰好相消，从而求出结果。

事实上若设S=sinx+sin2x+sin3x+…sinnx两边同乘以2sin■得2sin■*S=cos■-cos■=2sin■*sin■

即■至此，只需通过讨论就可得出结论。

由此可见，在培养思想的直觉性的过程中还可以使学生学会“观察（实验，分析）——猜想——证明”的思考方法。

4.引入开放题教学

数学开放题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，真正学会“数学的思维”，有利于培养学生的开拓精神和创新精神。

如在高一函数图象的复习中，我曾设计下面一个开放题：

例3.　求过点（0，0），（-1，1），（1，1）三点的函数解析式。

垂直与平行教案范文第4篇

关键词：开放式；教学；思维；模式

下面，我就谈谈自己在平时的数学课堂中是如何进行开放式教学的。

一、开放式教学目标

学习的目的在于应用，数学教学的目标是让学生能将所学到的知识用于解决现实世界中的问题。开放式的数学问题要与生活中的实际问题结合起来，才能发挥效能，具有生命力。在教学中，应让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣选择不同的教学得到发展。

二、开放式教学方法

新课程所倡导的学生学习方式就是自主、探究、合作。因此，数学课堂上学生的主要活动就是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动。教师不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，使学生主体性得到充分的发挥和发展。

1.巧创激趣情境，激发学生的学习兴趣

教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与。例如：在进行“有理数的乘方”的新课教学时，我是这样引入新课的：导课时我拿了一张纸说：“这张纸厚约0.1毫米，现在对折4次厚度不足1毫米，如果要对折30次，你们能估计出它的厚度吗？”学生纷纷做出估计，有的说30毫米，有的说70毫米，胆子大一点的学生说20米。但我却说：“经过老师的计算，这张纸的厚度将超过10座珠穆朗玛峰叠起来的高度。”同学们很惊讶！于是我们师生一起来探求。设一张纸的厚度为0.1毫米，则对折30次后的厚度为h=0.12（毫米）。很快学生用计算器求出53687.01米。啊！这张纸的厚度有五万多米高！快有7个珠穆朗玛峰高了，以此来引入新课，增加了课堂的趣味性，满足了学生的好奇心，使学生注意力集中。相反，在数学教学中，如果没有问题情境，就很难激发学生的思维。

2.运用探究式教学，使学生主动参与

教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动，教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。例如：我在讲授“5.1.2垂线”，探究垂线的画法时我提出了下面一系列的问题。问题一：用三角板或量角器画已知直线L的垂线，这样的直线你能画出几条？问题二：经过直线L上一点A画直线L的垂线，这样的垂线能画几条？问题三：经过直线L上一点B画直线L的垂线，这样的垂线能画几条？在我提出这些问题后，学生分小组讨论尝试。然后找学生回答讨论的结果，并找学生到黑板上画一画。这一过程中我关注学生能否正确地找到画出已知直线的垂线的方法。最后师生共同归纳得出结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。在教学中，我大胆地放手，设计让学生操作这一环节，通过学生的探究和讨论，尝试画已知直线的垂线，从而正确、完整地认识到垂线公理。在这个探索过程

中激发学生求知欲望，学生在已有知识的基础上，发挥小组的智慧得出结论。

三、开放思维训练，培养学生的发散思维

传统的教学偏重于学生的逻辑思维训练，而忽视了培养学生的发散思维训练。在教学中，应该让学生学会执果索因的“分析法”，从而培养学生对问题进行探索、探究的能力。如在教学“5.4平移”时，为向学生说明“生活中存在着数学美”的道理，我对学生说“生活中的大量图形都存在着数学美，有的是几何图形的本身，有的是几何图形的平移组合，它们都具有很高的审美价值”。教学中，我把几何图形的线条美、色彩美，平移后形成的美丽图案一一地展示在学生面前，让学生尽情感知，体会数学图形给生活带来的美感。随后，我给学生出了这样的一个问题：“为什么生活中很多物体的形状、图形要采取平移的样式”？为了解决这个问题，我采取了如下的方法。首先，组织4组同学，每组五名。第1组收集商标、建筑图形，第2组收集生活中的例子，第3组收集交通标识；第4组收集美丽的图案之后。汇总所有图形及生活中的例子，分析常见图形与实例。接下来是探讨如下问题：这些图案有什么用？如何绘制呢？你能体会到平移给人以流畅、平稳、和谐的美感吗？等等。通过讨论，学生对数学的认识提高了，也培养了学生的发散思维能力。

垂直与平行教案范文第5篇

关键词： 数学教学 创新思维 教学艺术

目前，随着教学理论研究和教学实践的深入，中学数学创新思维能力的培养与研究的教改在全国各地学校如火如荼地开展着。笔者身临其境，感同身受，深刻体会到学生创新思维能力培养的关键在课堂，而运用新型中学数学课堂教学艺术，让学生感到学习数学是一种艺术欣赏的过程。学生认识数学的科学意义和文化品位，体会数学的美学价值，有利于促进创新思维能力的形成。因此，笔者就数学课堂教学中运用“以境激情”、“研探论证”、“反馈矫正”、“总结评估”四个环节进行了有益的探讨。

一、运用以境激情的艺术

以境激情即教师引导学生尽快进入创设的问题情景，使学生尽快把握教学方向，领悟教学全貌，营造一个良好的氛围。

1.开门见山的激情艺术

“问题是数学的心脏”。“问题解决”的教学已成为数学教学的重要模式之一。教师精心、巧妙地设置问题，开门见山地明确提出问题，引导学生主动分析问题、解决问题，有利于促进学生主动探索、积极思维，充分发挥学生的主体作用，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。

案例1：面面垂直的判定定理

在面面垂直的判定定理教学中，笔者开门见山提出问题：前面我们学习了线面垂直的判定，今天来探讨面面垂直如何判定。

这样开门见山的提出问题，有利学生把握教学的前貌，旨在激发学生探求新知识的欲望。学生自然会主动探讨以下问题：

（1）什么叫面面垂直？面面垂直如何画？如何表示？

（2）教室里有哪些面面垂直的例子？如何从这些实例中得出面面垂直的判定？

2.情感激情的艺术

案例2：函数的概念

笔者从一个有趣的“绕圈子”问题谈起（多媒体显示）：在世界著名水城威尼斯，有一座马尔克广场，广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂，教堂的前面是一片开阔地，这片开阔地吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：先把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面。你猜怎么着？尽管这段距离只有175米，却没有一名游客能到达目的地。他们全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了另一边。1986年，挪威生理学家解开了这个谜团，他分析了大量事例，发现：这一切都是由于人自身的两条腿在作怪。由于习惯，每个人一只脚迈出的步子，要比另一只脚迈出的步子长一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圈子。设某人两脚踏线间相隔0.1米，平均步长为0.7米，当人在打圈子时，圆圈半径y与步差x为如下关系：y=0.14/x(0＜x＜0.1)。

上述生动和趣味的学习材料是学习的最佳刺激，在这种情景下，复习初中函数定义，引导学生分析以上关系也是一个映射，将函数定义由变量说（传统定义）引向集合、映射说（近代定义）。学生在这种情景下，乐于学习，有利于信息的贮存和概念的理解。

3.设置激情的艺术

案例3：形如asinx+bcosx的三角函数的化简（尤拉公式）

教材把它放在三角函数和差化积之后，对于这一教学内容，笔者在教学上作了灵活处理：把它提前到两角和差的正、余弦公式之后。因为和角公式就是尤拉公式的思维最近发展区，从逆用和角公式出发，引入形如asinx+bcosx的三角函数的化简，使学生能沿着思维台阶拾阶而上，逐层设置，这样可使和角公式与尤拉公式浑然一体，衔接自然。

案例4：三垂线定理

学生原有的认知结构中已有直线与平面垂直的定义和判定定理。从思维的最近发展区出发，平面的垂线垂直于该平面内的所有直线，那么，平面内的哪些直线垂直于平面的斜线呢（激发认知冲突）？

分析问题：（如图1）设L是平面α的斜线，O是斜足，P是L上异于O的一点，PA是α的垂线，A是垂足，于是直线AO是斜线L在平面α上的射影，从思维的最近发展区即直线和平面垂直的判定和性质出发，如果平面内的直线a垂直于斜线L，又aPA，那么a平面POA，从而aAO，即只要平面内的直线垂直于斜线在平面上的射影即可。问题从而得以解决，实现了学生的思维顺应。笔者在学生原有知识和所要完成的学习目标间搭建“支架”，使问题序列形成台阶，以便学生逐级攀升，让学生以已经具备的经验为基础主动建构。

以境激情的方法很多，总的原则是创设情景，激趣激疑，营造清新的学习环境。

二、运用研探论证的艺术

研探论证是数学课堂教学中最重要的环节，它是课堂教学的主体。教学的全过程，是学生活动的全过程，教师指导与辅导的全过程，要让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，经过严密的推理论证，形成良好的思维品质，培养学生的创新意识，发展学生的思维能力。

案例5：两角和的余弦公式

推导这一公式有大量的思维活动要展开：

（1）提出问题：求cos（45°+60°）的值。由此学生猜想：cos（α+β）与cosα、cosβ的关系。在验证cos（α+β）≠cosα+cosβ后，提出cos（α+β）究竟等于什么？笔者明确要研究的问题：将两角和的余弦用单角α、β的三角函数（正、余弦）来表示，即研究三个角：α+β、α、β的正、余弦之间的关系，而不急于将结论和盘托出。

（2）为什么要用直角坐标系中的单位圆来研究？直角坐标系中的单位圆是我们研究三角函数问题的最有利工具，而根据任意角的三角函数的定义，角的余弦和正弦就是角的终边与单位圆交点的坐标，也就是用坐标来研究我们的问题。上述三角函数之间的关系可转化为点的坐标之间的关系问题来研究。

（3）为什么要作-β角？这是难点，需要突破。笔者先作出α、β、α+β角后，角α、β、α+β的终边与单位圆分别交与点P2、P3、P4，角α、β、α+β的余弦和正弦已转化为点的坐标。要寻找α+β、α、β的正、余弦之间的等量关系，即寻找等角、等长线段。与α+β的三角有关的一条弦，故可寻找与线段P1P4相等的线段（如图2）。此环节为了更好地突破教学难点，利用计算机辅助教学，将∠OP1P4进行旋转，在旋转的进程中，线段P1P4长度不变（P1P4是与α+β，α、β的三角有关的一条弦），为了找到α+β、α、β的等量关系，须将∠OP1P4的边OP4旋转到α的终边OP2的位置，即作出角-β。

三、运用反馈矫正的艺术

为了更好地巩固与深化教学，笔者充分揭示教学知识的本质特征，使之纳入学生的认识系统，教学中设置的“质疑答辩”教学段，充分调动学生提出疑义，提出争执，提出反问，师生共同解析易错误易混淆的问题。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”学生敢于反问，敢于质疑是探究能力的基础，可以促进学生思维的批判性和创造性的形成。

四、构建总结评估的艺术

课堂小结和课外作业，有利于促进全体达标，培养学生个性，促进思维品质的发展。良好的开端和发人深省的结局会给人带来预想不到的效果，所以小结不等同于一节课的简要复述，也可以新颖别致，有所升华。

案例6：直线方程的两点式

这节课的小结采用列表的方法进行编码(含四种形式的条件、方程、局限性)帮助识记，界定适用范围，同时对不能用这四种形式表示的直线即特殊位置的直线方程另外编码，为进一步解决矛盾，即下节课“直线方程的一般形式”埋下了伏笔，起到承上启下的作用。

课堂小结可以让学生畅所欲言课堂的收获，这些收获包括知识的收获，也包括非智力品质方面的收获。

案例7：两角和与差的余弦

上完两角和与差的余弦这堂课，笔者让学生谈课堂的收获，学生畅所欲言，总结了很多。笔者将学生的总结摘录出以下几点：

（1）不用查表求cos105°、cos75°、cos15°等值。

（2）直角坐标系中的单位圆是我们研究三角函数问题的最有利的工具，研究三角函数问题可借助单位圆。

（3）等量关系体现到图形中是等角、等长线段。

（4）作-β角是思维优化过程。

教师也可以精心设计一些课后动手题，通过问题的解决来小结课堂教学。

例如“正弦函数的图像”这一节课的结尾，笔者给学生留下了这样一个问题：两个直径相同的圆柱形纸筒粘在一起，每个纸筒展开后接口的形状如何?这是一个实际动手操作问题，展开后接口的形状是正弦函数图像（如图3，图4）。这样的结尾，既培养了学生的思维品质，又为下一节课“正弦函数的性质”的掌握奠定了基础。

总之，以上四个教学环节，相互联系，互相渗透，不能将它们截然分开，它们共同形成数学课堂教学的统一体。立足课堂，运用新型数学课堂教学艺术，培养学生创新思维能力，是一个不断实验的过程。新形势下的中学数学教师应与时俱进，强化创新意识，反复实践，把培养学生的创新思维能力落到实处。

参考文献：

［1］邵瑞珍.教育心理学［M］.上海教育出版社，1997.