因数的定义范文第1篇

【关键词】 地心坐标系 地球椭球 地理空间 制图区域 制图物体 地图符号

地理系统 研究 人类赖以生存与生活和 影响 所及的整个 自然 环境与 社会 经济 环境[1]。人类为了生存和 发展 的需要，必须以各种技术手段，采集和获取地理空间的相关信息。 现代 测绘学，是信息 科学 的一个分支，是获得物体的空间位置和属性信息[2]。地图作为空间信息的一种载体，它通过人们创设的地图符号集合，能把制图区域内复杂的空间存在压缩为二维的简单关系，从而使广域空间内的自然现象和社会经济现象的空间分布、地理特征和相互关系跃然纸上。二维地图是人类认识上的飞跃，是人类原始思维向抽象化发展的结果[3]。地图总涉及到地理空间、制图区域和制图物体等基本概念。在现行的大中专教材及有关地图学 文献 中，尚未见这些基本概念的数学定义，因而不能从理论的高度对其概括和阐释。本文是笔者对地理空间、制图区域、制图物体数学定义的研究及其关联的地图符号的数学分析。

1 地理空间事物的椭球面定位

1.1 地心坐标系

以地球质心为大地坐标原点的坐标系，即地心坐标系。这种坐标系统是阐明地球上各种地理和物理现象，特别是空间物体运动的本始 参考 系。但长期以来，由于人类不能精确确定地心的位置，因而较少使用。 目前 利用空间技术等手段，已可在cm量级上确定它的位置，因此采用地心坐标系在当今既有必要性也有了可能性。现在利用空间技术得到的定位和影像等成果，客观上都是以地心坐标系为参照系[4]。使用地心坐标系，在国际上已成为一种明显的趋势。

地球空间事物的定位，涉及地球的形状和一定的坐标系。全球范围内，可用地心大地坐标系和地心笛卡尔坐标系表示点的空间位置。

1.1.1 地球椭球

大地水准面包围的地球形体比较接近真实的地球形状，但仍是一个有100m起伏幅度的复杂曲面，不能用简单的数学方程表示，更难以在此面上进行简单而又精密的坐标和几何 计算 [5]。为此，测绘科学中常以一个接近地球整体形状的旋转椭球代替真实的地球形体，这个旋转椭球称为参考椭球。在现代大地测量中，规定参考椭球是等位椭球或水准椭球，即参考椭球与正常椭球一致。一个等位旋转椭球由四个常数定义，这四个常数常是赤道半径a，地心引力常数gm，动力形状因子j2，旋转速度ω。考虑到便于利用gps与国际兼容，我国建议采用参考椭球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；gm=3986004.418×；ω=7292115×。根据这四个常数，可以得出一系列导出常数[6]。根据地球的扁率f，可以求出椭球短半径b，从而可用数学方程表示一个已知长半径a和短半径b的椭球。

1.1.2 地心大地坐标系dl

地心大地坐标系是使地球质心作椭球中心，以过所求点c的椭球面法线与赤道面的夹角φ为纬度，以过c点的子午面与初始子午面的二面角λ为经度，以c点沿法线到椭球面的距离为大地高h，用c点的三个分量φ、λ、h表示其空间位置。地心大地坐标也即三维地理坐标系，记作dl。对于任何地球空间点c，总存在c=（φ、λ、h）∈dl|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-h～+h]。已知地球椭球的长半径a和短半径b，可定义椭球面。

定义1　 地球椭球面 对c∈（φ、λ、h）∈dl，存在c1=（0°，λ，o）， c2 =（0°，-λ，o），c3 =（90°，λ，o），c4=（-90°，λ，o）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若点集满足：

s={c|c=（φ、λ、h）∈dl，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）

则称s为以a为长半径，b为短半径的椭球面。若a，b分别为地球参考椭球的长、短半径，则称s为地球椭球面。

1.1.3 地心笛卡尔坐标系dk

以地心o为坐标原点，选择一个以赤道平面上一组相互垂直的直线为x、y轴，而以地轴为z轴，这样的坐标系称地心笛卡尔坐标系，记作dk。若以地球参考椭球的长半径a和短半径b作常数，则地球椭球面也可定义。

定义2　 地球椭球面 存在地球椭球的长半径a和短半径b，若点集满足：

s=｛c|c=（x，y，z）∈dk∧ =1｝

（2）

则称s为以a为长半径，b为短半径的地球椭球面，其中2b即地轴兼旋转轴[7]。

1.2 地理空间

地理 科学 研究 的对象是地球的表层，具体地讲，上至同温层底部，下到岩石圈的上部，指陆地住下5～6公里，海洋往下4公里。设地球表层的上限为h1，下限为h2，从而得h的定义域（适用于“地球表层”概念）为h∈[-h2，h1]。根据h的取值，以h=0的椭球面为界面，可定义地球内空间和外空间。

定义3　 地球内空间 满足条件

intk=｛p|p=（φ，λ，h）∈dl∧-h2≤h＜o｝

（3）

的点集，称为地球内空间。

地球内空间即指岩石圈顶部至地球椭球面之间部分。由椭球面与真实地球表面之间的差异，因此存在虽在地表之上却因其处于椭球面内侧而属于地球内空间的点集。

定义4 　地球外空间 满足条件

extk=｛p|p=（φ，λ，h）∈dl∧o＜h≤h1｝

（4）

的点集，称为地球外空间。

地球外空间即是地球椭球面到同温层底部的空间。由于椭球面与 自然 面之间的差异，同样存在虽在地表之下却因处于椭球面外侧而属地球外空间的点集。

定义5 　地理空间 地球内空间entk、地球椭球面s和地球外空间entk的并集，称为地理空间，即

k=entk∪s∪extk|entk，s，extk∈dl

（5）

由于地理空间的上下限h1和-h2的选择与地球表层概念相适应，因此，地理空间的定义也就是地球表层的数学表述。

2 制图区域和制图物体

2.1 同胚

定义6 　同胚 设x和y是两个随意的拓扑空间，并设f：xy。如果f是连续的双一一函数，并且它的反函数f -1也是连续的，那么，f就叫做空间x到空间y上的同胚或拓扑映射或拓扑变换；此时空间x与空间y叫做同胚的，记作x≈y。

如果f是空间x到空间y上的一个同胚，ax，并且b=f（a），则称点集a与点集b是同胚的，记作a≈b；此时又称点集b是点集a在同胚f之下的同胚象或拓扑象。如果f是空间x到空间y上的一个同胚，g是空间y到空间z上的一个同胚，则复合函数gf是x到z上的一个同胚。空间的同胚关系≈是一个等价关系[5]。地貌等高线图形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。

2.2 覆盖空间

定义7　 覆盖空间 设e和b是连通且局部道路连通的拓扑空间，f∶eb是连续满射，如果对于每个c∈b，存在c的道路连通开域u，使得f把f -1（u）的每个通路连通分支同胚地映射成u，则称（e，f）是b的覆盖空间，这种u称为容许邻域，b称为底空间，f称为覆盖投影[10，11]。

2.3 制图区域和制图物体

2.3.1 椭球面上点c与过c点的椭球面法线hc的双一一函数关系

设c为椭球面s上的任意点，c∈s，过c点能且仅能作一条法线hc指向地理空间k。由于大地高h以椭球面为起算面，故地球外空间extk=｛hc|0＜hc≤h1｝，地球内空间intk=｛hc|-h2≤hc＜0｝。显然，地球空间的椭球面法线hc与椭球面上的投影点c是双一一函数。现把覆盖空间定义 应用 于地球外空间extk与地球椭球面s：令覆盖定义中的e=extk，b=s，f是连续满射，c∈s，|f -1（c）=hc∈extk，这里s是底空间，（f， extk）是s的覆盖空间，f为覆盖投影，c是hc在f下的同胚象或拓扑象。同理可说明地球内空间与地球椭球面的关系。

2.3.2 制图区域和制图物体的椭球面定位

定义8 　制图区域 设a为s的子集，as，如果a是s中一个连通的开集，那末，a就叫做s中的一个区域。点c∈a，c的邻域u的原象f -1（u） ∈f -1（a）被作为制图对象时，则称f -1（u）为制图物体。f -1（a）在椭球面上的投影a称为制图区域。c的邻域u在球面上的外在特征有三种：

1） 当u=c为单一点时，称c为f -1（u）的点状定位；

2） 当u=lc，lc表现为线状连通集时，称lc为f -1（u）的线状定位；

因数的定义范文第2篇

“函数三要素”是指函数的定义域、值域和对应法则。

回顾此前我们熟知的两个类似的提法：1.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度；2.力的三要素：大小、方向和作用点。

反观“函数三要素”，并非有如此特性。三要素确实是函数所固有的，但并不是缺一不可。一个函数只要它的定义域和对应法则确定了，这个函数也就完全确定了，而不需要再把它的值域写出来

二、“函数三要素”的历史渊源

人类对函数概念的认识经过了漫长的过程（大约300年），这也是一个不断拓展与深化的过程。从伽利略在研究运动的过程中产生函数的萌芽，到莱布尼兹明确提出“函数（function）”的名词，再到伯努里、欧拉，函数都停留在形式定义阶段。伯努里是把函数当作曲线来研究的，在他眼里，函数就是任意描绘的曲线。稍后的欧拉则在《无穷小分析引论》的开头，把函数定义为：一些常量和变量，通过任何方式形成的解析表达式，并认为两个函数不同只是因为它们的表达式不同。

从这些定义可以看出，他们所强调的都是函数中的“对应法则”，不管是曲线还是表达式，只是给出了两个变量之间的对应关系而已。这当然与现在中学里的函数概念有着很大的不同，比如他们并不排除多值对应（即一个自变量值对应多个函数值），也不考虑函数的定义域和值域。因此，函数概念在他们手里还没有完全明确，这为函数性质的进一步研究带来了很大的不确定性。

直到康托尔集合论的诞生，映射的概念成为数学的专业术语，才真正为现代意义下函数概念的确立提供了条件。然而映射意义下的函数概念在开始时却是这样定义的：

如果A、B是两个非空的数集，f是从A到B满射，则称f是定义在A上的函数，A叫做函数的定义域，B叫做值域。函数可用下图直观表示。

由此定义可清晰看出函数所具有的三个不可或缺的因素，即图中的定义域、值域和对应法则――这正是函数三要素最初的来源。而且，根据函数的这一定义，三要素确实是缺一不可。在此情况下，反复强调“函数三要素”不但是合理的，而且对于认识函数概念很有帮助，其称谓的流行也就是自然而然的事情了。

但是，历史发展到今天，函数的概念再次发生了变化。请看现在正在使用的苏教版高中《数学》必修1的说法：

如果A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应就叫做A到B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域，所有的输出值y组成的集合C（C∈B）叫做函数y=f（x）的值域。

该定义已经不再限定函数必须是A到B的满射，函数的值域当然也就不一定是B，而可以是B的一个子集，这可以由定义域和对应法则完全确定。因此，值域已经不再是确定函数的一个因素，再把它和定义域及对应法则相提并论已经不合适了。因此，确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。

三、统称“函数三要素”对教学有干扰作用

本来“函数三要素”也只是一个约定俗成的说法，大家都认可的称呼何必要人为地去废除它呢？

因为函数在高中数学中所具有的极端重要性，它在平时的教学中有极高的再现率。“函数三要素”的提法，不但已经过时，而且已经产生了一定的负面影响，对老师和学生的思想认识和解题行为有一些误导。

比如，怎样判断两个函数是否为同一个函数？有的人就回答为：看它们的三要素是否都相同，并在解题时去求两个函数的值域。这就是不正确的观念导致不恰当的解题行为。尽管这种错误不是非常严重，还是应该引起注意。再看如下例子：

例1.函数f（x）=x2（x＞0）与f（x）=x2（x＞1）是同一个函数吗？为什么？

不恰当的答案：不是同一个函数，因为它们的值域不同。

分析：值域确实不同，但那是来自于定义域的不同。此回答本末倒置。

正确答案为：不是同一个函数，它们的定义域不同。

例2.函数f（x）=1（x≥0）与f（x）=1（x＞0）是同一个函数吗？为什么？

分析：本题中两个函数的对应法则虽然相同，但由于定义域不同，所以不是同一函数。

说明：两个函数的值域确实相同，但那不是函数的本质属性。

函数的本质属性是它的对应关系，定义域的变化导致函数的变化。函数的值域完全可以作为函数的性质之一来研究。

由此，笔者建议我们在新课程背景下的函数教学中，还是应该避免“函数三要素”的提法。

因数的定义范文第3篇

众所周知，数学概念是建立数学知识体系的基本要素，是数学判断、推理的基础，是培养学生数学能力和发展智力的起点。因此，概念教学历来是数学教学的重点内容之一。

就小学生而言，对数学概念的理解水平既是数学素养的基本体现，更关系到掌握数学知识的基础是否扎实。但是，鉴于小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多数学概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义，但这并不意味着概念的呈现可以“生活化”，可以随心所欲，而同样应该体现数学的特性、数学的魅力。这种“数学的熏陶”能从小就给学生以逻辑的严谨性感受，这是其他学科所难以替代的。

数学概念的定义方式是多样的，在初等数学中用得最多的是属加种差定义。这是因为我们认识客观世界大多遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知的往复循环、逐步深入的过程。而属加种差的定义概念方式是对数学知识形成过程最好的诠释。另一方面，在同一数学知识体系中总会有一系列概念属于同一类型，例如，四边形平行四边形矩形、菱形正方形等。这些概念之间的外延存在包含关系，称之为属种关系。即前面的概念是后面概念的属概念、后面的概念是前面概念的种概念。因而，利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念来解释未知的种概念便成为可能。

例如，“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”这一定义表明，矩形是一种平行四边形，它和其他平行四边形的区别是“有一个角是直角”。

一般而言，在属加种差定义中指明了两点：①指出了一个更一般的概念（属概念），被定义的概念则是它的特例；②指出了被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（种差）。因而，属加种差定义可用公式表示为：属概念+种差=被定义概念。

基于上述理解，笔者认为对数学概念（即使是小学数学教学中的有关概念）下定义应该注意以下几个方面。

一、用属加种差的方式给概念下定义应选取与被定义的概念最邻近的属概念

如给“矩形”下定义，先要找到它的属概念。众所周知，平行四边形和四边形都可以作为矩形的属概念，但平行四边形是与矩形更邻近的属。在平行四边形这个属里，除了包含矩形这个种外，还包含其他种，所以还需要进一步找出矩形所具有的、区别于其他种的本质属性 （ 即种差） 。显然，“一个角是直角”是矩形最简单的一个种差。于是就有了“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”的定义。当然，“属概念一般应该与被定义概念是最邻近的”意味着也可以从较“远”的属概念出发定义，但这就导致需要更多的种差来区分不同的种概念。如作为矩形属概念的四边形，由于其外延更大，平行四边形、梯形等都是其种概念，因而，要区别于更多的其他种概念，从四边形出发定义矩形就需要找更多的种差，如“直角”就需要从一个增加到三个。由此不难理解，属概念与被定义的概念越邻近，种差就越简单。

由此可知，首先，从最邻近的属概念出发定义种概念可以最完美地体现数学知识的逻辑结构，更易使知识系统化。其次，根据学生的接受能力，在已知概念的基础上增加最少的知识所形成的新的概念在理解和掌握上会更容易些，会更有利于形成合理的认知结构。再次，用与被定义概念最邻近的属概念定义，使新概念有一个良好的归属，有利于概念的分类。试想，直接从四边形出发定义矩形，对四边形和特殊四边形的分类将出现何等尴尬的现象？

所以，用属加种差方式定义数学概念尽量不要越级选取属概念。

二、数学概念下定义要严谨

首先，不能用对生活常识概念的理解方式去理解数学概念。即一个数学概念的定义在顾及学生能够理解的同时，也应该考虑其严谨性。那种“我的课堂我做主”的随意性在这里是要不得的。例如，将汉语词典中的一些名词解释作为数学概念的定义就不是研究学问的好方法。

其次，给数学概念下定义必须简明。就是说，定义中不能包含可以互相经过推理而得出的属性。“种差”少了，无法刻画这个概念准确的内涵（导致外延扩大），当然不行；而多了同样不行，即使不矛盾也是累赘而不够简洁。因而，“种差不多也不少”也是下定义的基本要求。例如，将矩形定义为“四个角是直角的四边形”显然不够简明，因为用“有三个角是直角”这个“种差”就可以了。

三、定义数学概念既要尊重学生现实又要体现数学特性

众所周知，数学概念的定义是人为的，如同我们熟知的欧氏几何是从平行公理（过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）作为起点之一，定义几何概念，形成欧氏几何体系；而非欧几何又是从各自的平行公理（过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行和过直线外一点没有一条直线与已知直线平行）作为重要的出发点之一而形成了以“三角形内角和大于（小于）180°”为显著特征的非欧几何学体系。但是，数学教学中的数学概念还是按教材中给出的定义教学为好，因为教材相对较好地体现了数学知识体系的递进关系和儿童学习数学的渐进程序。像“矩形”这种长期以来已被大家所认可并且在教材中固定下来的定义，我们就不必再去重新定义了。

“矩形”在小学阶段没有下定义，它的定义出现在初中教材中。小学教学中是通过揭示长方形的主要内涵：“四条边，对边长相等；四个角，都是直角” 等来描述，这便于学生对长方形概念的理解与运用，但它不是数学意义上的长方形定义。所以，说到长方形（矩形）的定义，还是以与初中教材相衔接为好。

另外，即使找到与被定义概念最邻近的属概念，但由于种差有时是不唯一的，这会导致用属加种差方式所做出的定义也不唯一。例如，若用“两条对角线相等”做种差，矩形的定义就成为这样：“两条对角线相等的平行四边形叫做矩形。”可以证明这个定义与“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”是等价的，但在小学教学中还是选择有利于学生理解又不失数学的严谨性的“一个角是直角”作为“种差”为好。

因数的定义范文第4篇

一、要掌握定义对象的存在性

数学概念定义对象的存在性，一方面可用定义所标志的实际事物来说明，另一方面还需要用逻辑证明的方法来说明。这种对概念作辩证唯物的解释在中学数学教材中是通过以下方式来实现的：

（1）举出定义对象的实际事例。例如平行线的实际事例有铁轨、直尺边缘等。

（2）给出概念的存在定理。例如证明“垂直于同一条直线的两条直线不能相交”，这个定理的证明说明了平行线定义在逻辑上是合理的，平行线的概念是实际存在的。又如命题“三角形三条边的垂直平分线交与一点”实际上就是“三角形外心”的存在定理。

数学概念的存在定理，既可在下定义之前给出，也可在下定义之后给出。在教学中应根据组织教材的需要，作出适当的安排。

（3）数学概念的定义有一种叫做“发生式定义”。例如圆的概念可定义为“圆是一个动点在平面内与一定点作等距离运动所成的封闭曲线”。这样的定义本身说明了定义对象的存在性。因此，定义对象的存在，在教学中是采取多种方式来说明的。

二、要掌握概念的名称的作用

概念是从实际事物中抽象出来的。抽象的结果是用“词”来表现的，通常把这种概念的词的表现叫做“概念的名称”。例如“相似三角形”这一名称，它除了表示概念所指示的对象之外，还表示了对象的属性。

概念是一种思想，概念的名称是与这一种思想紧密联系的符号。这种联系发生在形成概念的过程之中或过程之后。由于使用名称是与概念相联系的，概念的名称所指的不是一个专门的对象，而是一类对象。所以，结合对象来命名的作用，就是借此可以揭示概念的外延。

在数学概念的教学中，学生企图以死记硬背名称、术语的方式来掌握概念，这往往是由于他们不懂得概念的名称的由来和它的作用。引导学生正确使用概念的名称或术语对正确的思维具有很重要的意义，因为不掌握概念名称的作用也正是造成歪曲概念的原因。

三、要掌握原始概念的作用

数学概念的教学，一方面要利用关于数和形的实际事例的感性材料进行抽象与概括来揭示概念所反映的本质属性，另一方面在给概念下定义的过程中要利用以前已知的概念来给出新的概念的定义。这是因为新概念所反映的属性必须以旧有概念的名称来表达。如此类推，必然在某些概念之前，没有任何已知的数学概念可作为定义的依据。像这些不能给予任何定义的概念称为原始概念。在中学数学中，如“点”“线”“面”“元素”“集合”“对应”等都是据以定义其他数学概念的原始概念。

原始概念也是在实际事例中抽象出来的，但它是起于直接经验的。例如集合的概念定义为“具有某种属性的东西的全体”。这种定义不以任何数学概念为依据。这种定义的理解，全凭实际事例的指示；只有通过直接经验才能把握它的意义。一般称它为指示的定义或描述性的定义。

在数学概念的教学中，应当使学生懂得原始概念是一切其他概念的定义的出发点。

四、要掌握给概念下定义的规则

任何科学概念的叙述必须是明显的、确定的，否则便不能产生反映事物属性的作用。而数学概念和概念之间的联系首先通过概念的定义来反映的。因此，要求概念之间的联系必须是逻辑的联系。因为这种逻辑的联系是根据正确思维的规律建立起来的，所以，给概念下定义必须符合一定的规则。

大家知道，给概念下定义不能循环。循环定义的表现，一种是既用甲概念来定义乙概念，又用乙概念来定义甲概念。例如“相交成直角的两条直线叫做互相垂直”和“互相垂直的两条直线的交角叫做直角”是循环的定义。另一种是纯粹的“同语反复”。例如互为质数的数叫做互质数。这样定义的结果是什么也没有说明。

在学生的回答中，常常出现循环定义的错误，这往往是由于对本门学科的原始概念的作用缺乏足够的认识。在一门学科的开始阶段，基本概念的教学必须注意避免这种错误。

概念和它的定义又必须是相称的。如果不相称，必然产生缩小或扩大概念所应该具有的外延的错误。例如“无理数是无限小数”就是扩大了无理数概念的外延，因为像π? lg2等无理数都不能够用有理数的方根来表示。

在学生的回答中，这一种错误也是常见的。这往往是由于对概念的内涵与外延没有真正掌握。在概念的教学中，必须十分重视根据概念的名称和定义来揭示概念的外延，亦即对概念进行分类。

教师要能正确地运用概念，就必须在掌握概念时不仅了解概念内涵中所包括的一切属性，而且还必须了解怎样把邻近的概念或彼此相反、彼此对立的概念区别开来。这就要求教师要掌握一定的概念体系。

掌握概念的体系就是既要熟悉比目前所研究的概念更为一般的概念，又要熟悉比目前所研究的概念更为特殊并且是从属于它的概念。

例如方程和函数是不同的数学概念，它们分别各自构成自己的体系，但又彼此有概念上的联系。方程实质上是用函数来下定义的额，所以，函数是比方程更为广泛的概念。

因此，教师对教材的掌握首先表现出对一定的概念体系的掌握。

五、要掌握概念的运用

概念的运用是把已经概括了的一般的属性应用到个别的、特殊的场合。这又叫做概念的具体化，这种具体化主要表现为把概念作为判断的工具。在数学问题中，经常利用定义来判定图形属性或者数量之间的关系。在数学概念的教学中，概念每一次的具体化，都将使学生对概念有更全面、更深刻的理解和掌握。

因数的定义范文第5篇

1．分类讨论的数学思想

例1：已知 的定义域为 ，且 ，求下列函数的定义域：（1） ；（2）．

分析：由 的定义域为 ，则可以知道，必定有 成立，又 ，故 ，但是 的正负不能确定，求 和 的定义域时，则需要按照 取值的正负情况作分类讨论．

解：（1） ， 必修满足 ．

①当 时， ；②当 时， 或 ，

当 时，定义域为 ；

（2） 必须满足 ，则 ．

①当 时， 的定义域为 ，即函数不存在；②当 时， 的定义域为 ；③当 时， 的定义域为 ．

点评：涉及分类讨论的题目，则首先要明确分类的原因，其次要找出分类的标准，确定分类的步骤，逐类求解，最后写出结论即可．

2．函数与方程的数学思想

例2：求函数 的值域．

分析：该函数的分子、分母分别是关于 的二次式且无公因式，因而可以考虑化为关于 的二次方程，然后利用判别式求该函数的值域．

解：已知函数可以变形为 ．

，当 时，将上式视为关于 的一元二次方程．

， ，即 ，解得 ．

当 时， ，则 ，函数的值域为 ．

点评：利用判别式求上述分式函数的值域问题，需要注意，一是检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或使函数无意义，则应该都从值域中去掉该值；二是闭区间的边界值也是要考查该值时的 是否存在；三是分子分母必修为即约分式．

3．数形结合的数学思想

例1：已知函数，则集合 中含有元素的个数为．

分析：根据题意作出其图象，利用数形结合的思想来解决．

解： 中所含元素的个数就是曲线 和直线 的交点个数，借助函数的图象可以知道，当 时，两图象无交点；当 时，由函数定义知道图象有唯一交点，则 中含有1个元素．

点评：（1）解函数概念题要深刻理解函数的概念；（2）有关集合的运算，可借助图形来解决．

4．转化的数学思想

例4：周长为定值 扇形，它的面积 是半径 的函数，求 的定义域（已知扇形的面积= 弧长 半径）．

分析：本题是与实际有关的函数问题，则需要注意应用转化的思想来进行解决．这里先求 的定义域，则需要先求 的解析式．

解：设扇形弧长为 ，则周长为 ，

． ， ， （1）

扇形面积 ．

又 ， ， （2）

则由（1）（2）可以得到函数的定义域为 ．