【摘要】如何培养学生的科研能力，是当前高校教学改革所面临的重要问题。本文基于不确定理论教学和科研的实践，阐述了课堂教学过程中，如何结合讲授的基本内容，逐步让学生了解科学研究过程中的基本方法，以达到提高科研能力的目的。

【关键词】不确定理论概率论可信性理论公理化方法类比方法

一、不确定理论简介

在运筹学、管理科学、信息科学、计算机科学及工程等领域存在诸多客观或人为的不确定性，如随机性、模糊性等。随着社会的发展和人们对改造自然要求的提高，在处理实际问题时，必然也会遇到某些不确定因素的出现。人们用科学的方法研究不确定信息是从研究随机现象开始的。到现在为止，研究随机现象的理论，即概率论已经发展为处理此类不确定性的强大理论工具，并在许多问题的解决过程中发挥着重要的作用。

模糊集的概念是上世纪六十年代由Zadeh［4］首次提出的，到现在为止，模糊集理论已经发展成处理模糊信息的重要方法，它的理论也越来越受到人们的青睐。长期以来，由于人们应用隶属度函数描述模糊集合，而隶属度函数的选取具有很大的主观性，故大部分学者认为模糊集是经验的集合，缺乏严谨性。实际上，人们之所以对模糊集理论存在片面的理解，主要原因是模糊集理论本身没有形成一个完整的理论体系。尽管Nahmias［3］定义了可能性空间和模糊变量的概念，并试图建立模糊集理论的公理体系，但由于公理基础不完善，以致于随后的理论框架一直没有很好的搭建起来。直到最近Liu［1］［2］在Nahmias可能性空间的三条公理的基础上，又提出了可能性空间的第四条公理，并成功的建立了模糊集的公理体系：可信性理论。

我们知道，现实世界是不确定的，而不确定现象的发生也具有不确定性。某些时候会出现双重或多重不确定性同时发生的现象，一种典型的情况就是随机性和模糊性同时发生。例如，在测量湖水深度时，一般的测量方法是随机的在湖中选取一点，测量的结果可能为“很深”、“较深”、“大约5米”等比较模糊的数据。实际上，这些数据的产生既涉及随机性，也伴有模糊性，显然若想单独用概率论或模糊集理论来处理这个问题就显得力不从心。双重不确定性问题的出现，促使了模糊随机理论和随机模糊理论的发展。［1］［2］

总的来说，作为数学科学的一个分支，不确定理论是研究不确定现象及其内在规律的学科，是概率论、可信性理论、随机模糊理论和模糊随机理论的统称。

二、不确定理论教学中学生科研能力培养的必要性

近年来，随着不确定理论的逐步发展及其应用领域的不断扩大，很多高校逐渐意识到为高年级学生和研究生开设该类课程的必要性。一些关于不确定理论的课程，如概率论、模糊集理论、可信性理论的课程相继开设。但在教学的过程中，由于一些教师对不确定理论的了解和研究不够深入，因此往往忽略了对不确定理论发展和研究方法的介绍，不能有效的培养学生的科研能力和创新思想。虽然学生通过系统学习能够掌握教科书上相关的理论知识和应用方法，但书本知识毕竟是过去研究结果的总结，对学科的前沿不能有系统的掌握。

实际上，不确定理论课程中的一些学科，如可信性理论、模糊随机理论，都是近年来才开始逐步发展完善的，因此在充分了解发展过程和领域前沿的基础上，向学生介绍重要结论的由来和科研方法是十分必要的。这对于扩展学生的知识面，增加其学习积累，培养其学术思维具有重要的作用。鉴于此，我们通过多年的教学和科研实践，逐步探索将学生科研能力的培养纳入课堂教学中，使学生通过对不确定理论的学习逐步掌握一般的科研方法和技巧，为将来的进一步学习和深造打下良好的基础。

三、不确定理论课堂教学中培养学生科研方法的尝试

对于高年级的学生来说，在课堂教学中讲授相关知识的同时，最重要的是向他们传授相关的科研方法，以打破科研神秘感，培养他们的科研兴趣。在不确定理论实际教学的过程中，可以向学生介绍两类科研方法的应用，即公理化方法和类比方法。

1．公理化方法：公理化方法是建立数学体系的主要方法之一。它对现代数学和某些自然科学产生了重要的影响。公理化的趋势是现代数学区别于以往数学的重要特征之一。它在公理基础上将其它所有概念、命题组成严密的逻辑体系，从而条理清楚、简明扼要，使人们便于学习、继承和应用。［5］［6］所以，一门数学如果公理化了，则被认为是成熟的学科。建立在公理基础上的学科一定是严谨的学科，在发展过程中不会出现悖论。在介绍公理化方法的时候，一定要先以浅显易懂的实例告诉学生什么是公理基础及其作用。例如，初中学习的平面几何就是建立在公理基础上的，其中涉及的公理包括平行直线永不相交、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。通过这样的介绍，学生首先会对公理基础有一个较清楚的认识，之后对不确定理论中公理基础的理解有一个较好的开端。

现代概率论完全是在公理化体系的基础上发展起来的，其公理基础包含三个方面的内容：设Ω为非空集合，A是由Ω的一些子集构成的代数，若非负集函数Pr满足：

公理1：Pr｛Ω｝＝1；

公理2：对任意B∈A，有Pr｛B｝≥0；

公理3：对任意可列互不相交的集合列A，有，则集函数Pr称为概率测度，（Ω，A，

Pr）称为概率空间。随机变量是定义为从概率空间（Ω，A，Pr）到实数集合的一个可测映射。

在介绍上面公理时，一定要向学生介绍概率测度是测度的一种特殊形式，因此，在概率空间和随机变量的概念提出后，人们就可以从测度论的角度来研究概率论，从而有力地推动了概率论的公理化理论体系的形成。概率论中相关定理的推导都是基于公理基础上的，故不会出现悖论，缺乏了公理基础，悖论不可避免。在概率论的讲授过程中，一定要时刻以公理为主线，让学生体会到公理化方法在概率论发展中的重要地位和作用。可信性理论的发展也是基于公理基础的。它包括如下四条公理：即设Θ为非空集合，P（Θ）是由Θ的所有子集构成集合。若非负集函数Pos满足：

公理1：Pos｛Θ｝＝1；

公理2：Pos｛Φ｝＝0；

公理3：对任意的集合列｛Bi｝，有Pos｛UiBi｝＝ViPos｛Bi｝，则集函数Pos称为可能性测度，（Θ，P（Θ），Pos）称为是一个可能性空间。模糊变量是定义为从可能性空间到实数集合的映射。

此外，为了定义乘积可能性空间和乘积可能性测度，Liu［1］［2］提出了可能性理论的第四条公理。设（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n是可能性空间，而Θ＝Θ1×Θ2×…×Θn。设集函数Pos满足：

公理4：对任意B∈P（Θ），有：

此时，记Pos＝Pos1∧Pos2∧…∧Posn，则Pos是一个可能性测度，从而（Θ，P（Θ），Pos）是一个可能性空间，称为是（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n的乘积可能性空间。

可信性测度（Cr）是基于可能性测度而定义的，即对任意B∈P（Θ），有Cr｛B｝＝Pos｛B｝＋1－Pos｛Bc｝。三元组（Θ，P（Θ），Cr）称为可信性空间。可信性理论是基于上述公理和可信性侧度的基础上发展而来的。它与传统模糊集理论相比，其优势在于它是建立在公理化体系基础之上的，从而可以消除模糊集中的主观因素，而且不会出现悖论。

通过对不确定理论公理基础的介绍，不仅可以使学生了解公理基础在学科发展中的地位和作用，也使他们掌握一项重要的科研方法——公理化方法。

2．类比的方法：类比法是数学方法论的基本方法之一，它根据两种数学对象之间在某些方面相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法，它在数学的发展中起着非常重要的作用。［5、6］从整体而言，可信性理论的迅速发展得益于类比了概率论的知识。事实上，模糊变量、可信性测度，以及期望值算子的概念都能够在概率论中找到原型，它们分别对应于随机变量、概率测度，以及随机变量的期望值算子。在不确定理论的其他学科，如模糊随机理论和随机模糊理论的丰富过程中，类比的方法仍然起着非常重要的作用。

在教学过程中，教师一定要介绍类比方法如何应用的。就概率论而言，对概率测度的研究极大丰富和发展了概率论的理论体系。同样的，要发展模糊集理论，就必须要研究可能性测度、必要性测度和可信性测度的数学性质。具体来说，如何研究这些测度的数学性质呢？要解决这个问题，我们必须要回到概率论，对照概率测度的研究方法，研究可能性测度、必要性测度以及可信性测度的数学性质。这就是类比方法的应用。所谓“站在巨人的肩膀上”也就是这个道理。对模糊集理论来讲，它的巨人就是概率论，它的发展也必须参考概率论。例如，概率测度有一些数学性质：设（Ω，A，Pr）为一个概率空间，则有

（1）（自对偶）对任意的B∈A，有Pr｛B｝＋Pr｛Bc｝＝1；

（2）（有界性）对任意的B∈A，有0≤Pr｛B｝≤1；

（3）（单调性）对任意的B

C，有Pr｛B｝≤Pr｛C｝。

在可信性理论中，由于可信性测度对应于概率论中的概率侧度，在研究可信性侧度性质时，我们应该首先考虑它是否具有与概率侧度相似的性质。有了这种想法，经过严格的理论推导也可证明可信性侧度具有自对偶性、有界性和单调性。设（Θ，P（Θ），Cr）是一个可信性空间，则：

（1）（自对偶）对任意的B∈P（Θ），有Cr｛B｝＋Cr｛Bc｝＝1。

（2）（有界性）对任意的B∈P（Θ），有0≤Cr｛B｝≤1。

（3）（单调性）对任意的BC，有Cr｛B｝≤Cr｛C｝。

实际上，可信性理论的很多结论都是类比了概率论中的结论而得到的，再如，概率期望值算子具有线性性质，我们同样也可以证明，在某些条件下可信性期望值算子也具有线性性质。

在课堂教学的过程中，教师一定要注意介绍类比方法的应用，它是科学研究方法论中的一项重要方法。这样的授课方式不仅能让学生在理解概率论的基础上更加容易理解其他理论，还能让学生掌握科研过程的另一基本方法——类比法。

四、结束语

在教学过程中，除了讲授课本上基本理论和基础知识外，还应逐步培养学生的科研能力和科研方法。具体来说，就是在课堂教学过程中注意用实例的方式注重科研方法的灌输，这样不仅有利于学生对课本知识的理解，对于提高他们科研能力和扩充知识面都有很大的帮助，从而达到教学的目的。

参考文献

1LiuB.UncertaintyTheory:AnIntroductiontoitsAxiomaticFoundations.Berlin:Springer-Verlag，2004

2LiuB.TheoryandPracticeofUncertainProgramming.Heidelberg:Physica-Verlag，2002

3NahmiasS.Fuzzyvariables.FuzzySetsandSystems，1978.1：97～110

4ZadehLA.Fuzzysets.InformationandControl，1965.8：338～353

5周述歧.数学思想和数学哲学.中国人民大学出版社，1993

6吴炯圻、林培榕.数学思想方法.厦门大学出版社，2001

7郑毓信.数学哲学新论.江苏教育出版社，1990