讨论根的个数的方法范文第1篇

随着课程改革的深入， "应试教育“向”素质教育“转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养，提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

例3、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－110 两种情况来研究解决问题。

讨论根的个数的方法范文第2篇

分类讨论思想，是一种对特定题型可能出现的不同情况分不同条件分析讨论进而得出结论的思想，即当题目不能在唯一的情况下进行讨论时，这时就要根据特定的标准将此题人为地划分为若干部分，然后再对各个部分分别求解，最后综合部分解题过程得到答案。在一些题目中，特别是涉及函数、数列、几何等的题型，只针对一方面进行思考无法得出完整的答案，这就需要学生们进行分类讨论。其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，属于思维的范畴，体现出的是一种对数学问题的认识、处理和解决的能力。

分类讨论的具体步骤：1．准确识别出所要讨论的对象，同时明确它的范围；2．确定分类依据，并在此基础上分类，使之不重复也不遗漏；3．逐个攻坚，获取阶段性的结论；4．进行归纳总结，得出完整答案。

一、分类讨论的基本原则

能得出完整答案的前提条件是要能准确地利用分类讨论方法，在运用此法分析题目的思考过程中，应确保分类依据的统一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考虑如何使分类变得更精简，更易于我们下一步的操作。为了确保分类的准确性，需要遵循如下原则。

1．分类标准的统一性。分类讨论的难点在于学生不好把握开始讨论的时机，即心中不清楚为何讨论、又从哪方面开始进行，等等。这就要求我们需要完全理解吃透所用的概念、定理、定义，全面地考虑题目给的条件。通常情况下，含参数的一元二次不等式的判别式、项的系数、根的大小等，常常是分类讨论划分的依据，学生们也要善于总结这些划分的关键点。

举个例子，根据角的特点把三角形分为锐角、直角、钝角三角形是完全符合要求的。但是假如把锐角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形、钝角三角形等划分在一起，此种分类方法同时用了按边、按角分类两种方法。要不就按边分，要不就按角分，应该只用一种标准，因此这种分类方法是不正确的。

2．分类标准的互斥性。各个分类的集合应该彼此互相排斥，即避免各个分类中出现相重合的部分，要不然会造成重复讨论，违背分类讨论的原则。

如：某小学一个班级有9个学生在运动会期间参加了跳高和100米短跑两个比赛项目，其中有6人参加跳高比赛，5人报名了100米短跑，倘若把这9个人分成参加跳高项目和参加100米短跑项目两类，就陷入了所谓的子项相容的误区。因为我们很容易判断出来，一定有2人既报名参加跳高，又参加了100米短跑。

3．分类标准的代表性。每次进行分类讨论时．要做到让对象不漏、不重，具有层次性、没有越级。当题目中同时存在多个类似的、不确定的划分因素时，我们要以占主导作用的因素为依据，然后对划分的每一类别分别求解，最后求出完整契合的答案。

二、分类讨论思想的运用

数学是逻辑性很强的学科，这取决于数学知识结构的严密性与延续性。因此，无论利用“分类”的办法总结归纳数学知识，还是指导课堂教学思路都具有重要的现实意义，它都渗透分类讨论思想。

1．在函数当中的运用。定义域内不能用一个解析式表达时，就要根据两个变量之间的关系将定义域分类讨论，这样，在不同的范围内就会有不同的解析式，这种表达两个变量之间关系的形式就是分段函数。严格来讲，分段函数的定义域分段必须遵循分类讨论的原则。比如，在讲解n次方根时，应该向学生们强调一点：正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数。在讲解根式的公式时，要向学生强调分类讨论。指数函数与对数函数中底数a的取值范围是一个重点，而它们的单调性则是由底数a来决定的，这点要加以强调。

2．在向量学习中的作用。用分类讨论思想指导教学，会使向量各知识点之间的脉络清晰，结构明了；用分类讨论思想解决向量问题，会使问题化繁为简，化难为易。我们可以用分类讨论思想来系统地认识向量：比如，向量的表示方法有：几何表示法（有向线段）、字母表示法(B，a)，坐标表示法(x，y)。两个向量之间的关系有共线、不共线，共线又分为共线且方向相同、共线且方向相反两种情况。向量的运算分为线性运算、数量积运算两种，其中线性运算包括加法运算、减法运算和数乘运算，结果都为向量，数量积运算的结果都为实数（可正可负）。

讨论根的个数的方法范文第3篇

一、分类讨论思想的理论概述

高中数学学习过程，是将数学知识和数学思想融合的过程.高中学习到的数学思想，包含了函数思想、转化思想、数形结合思想、方程思想、公理化思想、分类讨论思想等等.根据不同的问题进行具体分析.分类讨论思想是一种重要的数学思想，也叫一种逻辑方法.进行分类的过程中，包括有现象分类和本质分类，根据现象分类是依据对象的外部特征来展开的，比如数的分类的等，根据本质分类是根据特征来进行的，比如函数的分类方法有多种，以及函数表现出的单调、有界、值域、定义域等问题.灵活应用分类思想进行数学学习，能有效促进学生思维能力的提升.

二、分类讨论思想的实际应用

分类讨论思想的应用步骤：① 分析讨论对象，明确讨论参数；

②将讨论对象合理分类，做到不重复也不遗漏，分层清晰统一；

③逐层分类，分步解决，分步归纳，并最终将各种情况进行总结.

分类讨论思想的应用方向：根据概念定义分类讨论；根据公式、定理的限制条件分类；根据运算和证明需要进行分类；由于参数变化引起的分类；图形的不确定性引起的分类；在实际情况中需要进行分类讨论等.

分类讨论思想的应用实例：

讨论方向1： 根据公式、定理引起的分类讨论：比如二次函数的定义、绝对值定义、曲线方程标准定义、对数底数定义、等比数列求和公式中的定义等等.与这些定义相关的一些问题，不同情况下应该具有不同的解题策略，从而引起了分类讨论.

实例1：假设有0

解：根据对数底数的定义，在a的值不同的情况下，本体中去掉绝对值的方法不同，从而将a分类讨论为01两部分.

由0

分类①：当0

=[loga（1-x）]-[-loga（1+x）]

=loga（1-x2）>0.

分类②：当a>1时，|loga（1-x）|-|loga（1+x）|

=

[-loga（1-x）]-[loga（1+x）]

=-loga（1-x2）>0.

总结得出|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

讨论方向2：根据实际情况进行分类讨论，比如排列组合中的实际情况和问题等.

实例2 四位同学参加一种竞赛，有两种类型的题目可以选择.A类题目选对得50，选错扣分50，B类题目选对得分40，选错扣分40，最后这四位同学的总得分是0分，请问这样的情况有多少种.

解：对于实际问题，根据题目的需要进行分类讨论，可以分为三类，都选A，2对2错则为C24种；都选B，2对2错则为

C24种；2个选A，1对1错，2个选B，1对1错，为C24C12C12；一共36种.

三、分类讨论思想的注意事项

讨论根的个数的方法范文第4篇

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：

1） 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。

2） 分类要完整：不重复，不遗漏。

3） 有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

所以我们要努力的使学生掌握这种思想，这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。比如学习分类思想，要明确分类思想方法具体分散在哪些章节的哪些知识的教学中，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

一、 渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类： 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。

例1 方程kx2-2x+3=0有几个实数根？

学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分>0，=0，

例2 二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

这两道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之；其次，有时分类并不是一次就可完成，需逐级分类

三、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

分类讨论的思想对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化，克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。

在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

1.有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等；2.数和式的变形中需要附加条件；3.研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解；4.涉及几何图形的形状和位置的问题；5.开放性的数学问题；6.一般得，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况。

例3 当a为何值时，方程 只有一个实数根？求满足条件的实数a的值及方程的根。

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

1） 化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

1.等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

讨论根的个数的方法范文第5篇

1　渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，教师利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如：数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为整数、分数；或分为正有理数，零，负有理数，为下一步分类讨论奠定基础。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，零的绝对值是零。通过对正数、零、负数的绝对值的认识，让学生了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

结合《有理数》这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识，并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

2　学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

2.1　根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。例如：比较有理数的大小。两个有理数的大小比较，可以分为：正数和正数、正数和零、、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较。而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点，正确进行分类讨论，可得到正确的解答。

2.2　根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类。学习一元二次方程根的判别式时，对于变形后的方程ax2+bx+c=0（a≠0）用两边开平方法求解，需要分类讨论＞0，＜0，＝0这三种情况来对应方程的解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。

又如，解关于x的不等式：ax+3>2x+a，通过变形得到（a-2）x>a-3，这时要根据不等式的性质分类讨论（a-2）＞0，（a-2）＜0，（a-2）=0三种情况分别解不等式。

2.3　根据图形的特征或相互间的关系进行分类。

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例如，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是多少？ 转贴于 分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作腰上的高，可得腰上的高出现不同的位置进行分类求解。

3　引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例4、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1≠0 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝1时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）；当m－1≠0时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1；当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0，抛物线 y=－x2－2x－1的顶点（－1，0）在x轴上。

例5、函数 y =x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：y的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。

证明：（1）当x≤0时，x5-x3-x≥0 y≥1恒成立；（2）当0x3，1>x y>0成立；（3）当x=1时，y=1>0成立；（4）当x>1时，y=（x6-x5）+（x4-x3）+（x2-x）+1 x6>x5，x4>x3，x2>x y>1成立，综上可知，y>0成立。