圆周运动教案范文第1篇

1 教材对圆锥摆资源的运用

综观各版本的物理教科书提供的学习素材，无一例外的都选取了圆锥摆案例.

人教版物理必修2（2010年4月版）§5.6“向心力”，①在课文正文中编写了“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验，从受力分析及力的矢量关系确定了F向=mgtanθ，结合几何关系，tan=r[]h，其中r为圆周运动的半径，h为圆周轨道与悬点的竖直高度，通过测出小球质量m、轨道半径r及高度h即得出向心力，探究向心力与线速度v、角速度ω的关系；②在“做一做” 栏目中采用“绳子的一端拴一个小沙袋，手握绳子的另一端，让小沙袋在水平方向做匀速圆周运动，体会向心力”；③在“问题与习题”栏目中，探讨小球沿光滑漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动的这一变形的圆锥摆问题.

鲁科版物理必修2（2007年7月版），§4.2“向心力与向心加速”，采用了类似上述人教版的材料②，但强调小物体受到的重力与拉力相比可以忽略；而在课本的§4.2及§4.3 “向心力的实例分析”两节的“作业”栏目中均讨论了圆锥摆案例.

教科版物理必修2（2005年11月版），§2.2“圆周运动的向心力”，在课文正文“观察与思考”栏目中给出了游乐场里的旋转木马，受重力和吊绳的拉力共同作用，在水平面上做圆周运动的圆锥摆实用案例；§2.3“匀速圆周运动实例分析”一节的练习与评价栏目，探讨玻璃球沿光滑的碗壁做匀速圆周运动的类似圆锥摆问题.

2 圆锥摆模型的教学要求解读

《普通高中物理课程标准》有关圆周运动（向心力）的要求：（1）内容标准 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；例：估测自行车拐弯时受到的向心力；关注圆周运动的规律与日常生活的联系.（2）活动建议 调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异.

各地在执行国家《普通高中物理课程标准》时，都制定了更细的教学要求.例如《江苏省普通高中课程标准教学要求（物理）》（2011年修订本），其中关于圆周运动（向心力）的要求：（1）课程目标 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.（2）学习要求 通过实验体验向心力的方向，理解向心力的概念；通过实验，知道向心力的大小与哪些因素有关，理解向心力公式.（3）限制性说明 关于向心力的定量计算，只限于在一条直线上的外力提供向心力的情况.（4）教学建议 调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异.

《江苏省普通高校招生考试（物理科）考试说明（大纲）》（2013年版）关于考点“匀速圆周运动 向心力”的限制说明：“向心力的计算只限于向心力是由同一直线上力合成的情况”.

显然，上述三个文件规定不尽相同，国家课标是没有限制说明，这样，各种教材关于圆锥摆教学案例是应该被采用，而且可以作适当的拓展，按照地方（江苏省）的教学要求和考试要求，圆锥摆这一案例应被删除，因为此处的向心力不是由同一直线上的力所合成.由此，调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异等教学内容都将从教学计划中删除，这明显与国家课标相勃.

关于圆周运动、向心力这一知识点的教学（考试）要求，在教育部考试中心统一命题的年代，早期是不设限制，90年代中期，全国高考考试大纲中曾设过限制：“向心力的计算只限于向心力是由同一直线上力合成的情况”，到90年代后期，这一限制又删去了，到目前，无论是由教育部考试中心统一命题还是自主命题的绝大多数省市，考试大纲和考题都不设限制.从江苏省近年的高考试题的要求来看，这一限制也是形同虚设，事实上江苏高考试题对圆锥摆模型一直是考的，而且考试要求还比较高.所以，关于圆锥摆模型的教学不是可有可无，而是必须教，必须教到位！

3 圆锥摆模型及其基本结论

（1）圆锥摆结构和运动模型

如图1所示，一根不计伸长的细线，一端固定在O1点，另一端拴一小球（可视为质点），给小球某一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动.

（2）向心力（牛顿第二定律）方程

设小球的质量为m，悬线与竖直方向的角度为θ，绳子长为l，小球做圆周运动的半径r=l・sinθ，

由牛顿第二定律得

如图2所示，飞机在水平面内转弯时，机翼倾斜，垂直于翼面的升力N与重力G的合力为飞机做匀速圆周运动的向心[HJ1.35mm]力.这里，升力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，机翼与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.

由牛顿第二定律mgtanθ=mv2[]R，解得v=[KF（]Rgtanθ[KF）].由此可知，若航线弯道半径R一定，飞行员可以通过调整机翼与水平面的夹角θ来改变飞行速度.若飞机保持速度v大小一定，则R越小，夹角θ必须越大，反之，则R越大，夹角θ必须越小，当R∞，θ0，表示飞机沿水平方向作匀速直线运动.

拓展2 光滑漏斗壁上小球的圆周运动

如图3所示，一质量为m的小球以一定的速度沿着光滑漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动，垂直于漏斗壁的支持力N与重力G的合力为小球做匀速圆周运动的向心力.这里，支持力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，漏斗壁与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.等效的圆锥摆摆线为O1A.

如图4所示，两个相同的小球A和B沿着光滑漏斗壁运动，试比较A和B运动的周期、漏斗壁对小球的支持力的大小.

根据圆锥摆基本结论（2），等效的圆锥摆的周期取决于悬点到圆轨道的高度h，此处因hA>hB，故TA>TB.根据圆锥摆基本结论（3），漏斗壁对小球的支持力N，因θA=θB，故NA=NB.

拓展3 火车水平转弯

如图5所示，火车水平转弯时，按设定速率行驶，在竖直平面内，火车只受重力G和轨道正面的支持力N（轨道侧向没有挤压），与圆锥摆模型对照，轨道正面的支持力N相当于圆锥摆模型中的绳子拉力F，轨道与水平面的夹角相当于圆锥摆模型中的绳子与竖直方向的夹角θ.

圆周运动教案范文第2篇

在实验验证中，教材提供了这样的实验案例：“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”。

细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时正好位于圆心。用手带动钢球，设法使它沿纸上的某个圆周运动，随即手与钢球分离。

教材中设计这个实验，就是想从以下两个角度来得到圆周运动的向心力的：

（1）利用秒表（或手表）测小球运动的周期，由圆的半径就能求出小球运动的线速度，代入向心力的表达式，计算出向心力的大小。

（2）利用半径和线长，就能确定悬线与竖直方向的夹角，从而计算出小球的合力，这也就是小球运动的向心力。

比较由上述两种方法所得到的向心力的大小，进行验证。

对于教材中所介绍的这个实验，本人在实际教学过程中进行了多次尝试，均未成功。所以认为本实验方案“构思虽巧，操作不了”！

（1）小球的速度方向（抛出方向）是我们预设的某个圆 的切线方向；

（2）小球的速度大小为此时小球所在圆轨道对应的线速度值。

以上两点要同时做到，也就是说速度的方向不能偏，速度的大小既不能大，也不能小，否则小球将不是做圆周运动，而做椭圆摆。而我们在实验时，是不太可能做到以上任一点的，更不要说是能够确保同时做到以上两点要求。

我猜想，编者可能也意识到了这一点，知道小球的抛出速度是一个定值，而这个值是实验者难以把握的，所以文中提到：“用手带动钢球，设法使它沿纸上的某个圆周运动，随即手与钢球分离。”这一说法。

我们不禁要问，我们应该用多大的速度去“带动钢球”？当手与钢球分离时，我们能控制这一速度值吗？事实上不能，所以，这个实验确难成功。

但是，我不得不承认这个实验设计和出发点是很好的，构思是十分巧妙的，所以，我想对这个实验做个小的改动，让这一方案得以实施。

我们在铁架台上水平固定一只稍长点的铁夹子，用铁夹子竖直夹住一只小直流电动机（可从废旧的录音机、玩具汽车上拆），让电动机的转轴竖直向下，而在电动机的轴上固定（焊接）一个“偏心”的小扣，用来系细线的上端，用一个可调电压的电源供电，或者在电路中串联一只可调电阻，来控制和改变电动机的转速，让电动机来带动小球的摆动，待到小球运动稳定时，再将预先画好的多个同心圆的白纸靠上去……本实验方案可操作了。

通过改变电动机的转速，小球会在细线与竖直方向成不同偏角时稳定地做圆锥摆，方便我们测量多组数据，做更多的探究。

圆周运动教案范文第3篇

关键词： 课堂教学 教学方法 教学质量

有效课堂教学是指教师以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果，从而实现指定的教学目标，但不管采用何种方法，都应确定是否能调动学生的学习积极性，是否能产生良好的教学效果，否则任何方法都是失败的。下面笔者结合自己多年教学实践经验谈一点粗浅看法。

一、创设问题情境，诱发学习兴趣

数学情境可以说无时不有，无处不在，关键在于怎样精心设置和有效利用它。一般来说，问题的呈现应该能引发学生的思考，激起学生的兴趣，并具有一定的现实性及一定的开放性。所以在教学中首先要做的事就是精心创设一个让学生置身于其中的情境。当学生的学习投入到了“真实的情境”中，他就会面向生活与实践，为解决问题而学习；形成主动寻求知识的内在动力；就会去自主地寻觅、探究和发现。学生在这种情境中主动获得知识，比讲授给他们的要丰富得多、扎实得多，更能激发他们的学习兴趣。

例如：在教学《轴对称图形》这一课时，教师可以应用多媒体的鲜艳色彩、优美图案，直观形象地再现事物，给学生以如见其物的感受。教师可以用多媒体设计出三幅图案：一个等腰三角形、一架飞机、人民大会堂，一一显示后，用红线显现出对称轴，让学生观察，亲身感受这一类图形的性质。图像显示模拟逼真，渲染气氛，创造意境，学生怀着浓厚的兴趣去学习、去思维、去理解、去记忆，最大程度地唤起了学生的“内驱力”，激发学生学习数学的积极性，提高课堂教学的效果。

又如在教授“警惕平均数的误用”一节，可先出示问题：路旁有一个鱼塘，旁边竖的牌子上写明：此塘平均水深为1.5m。张凌身高为1.7m，不会游泳。一天，他往塘边经过，不小心掉入塘中，你想结果会怎样？为什么？从这个问题中，你发现“平均数”有什么特点？这是一个开放性的问题，并带有一定的趣味性。可以让学生讨论、说理，从中发现平均数的特点和存在的缺点，这样既充分暴露了学生的思维过程，培养了学生思维的广阔性和深刻性，又让学生结合现实背景，自主地、真正地理解了平均数的优缺点。

二、利用实物教学，使问题直观化

在教学中，利用实物教学，可以帮助学生对事物进行观察，通过视觉获取信息，然后研究、发现其规律。观察和实验是发现问题的开始，是创造性思维的基础，任何教学活动都离不开观察和实验，它可以将抽象的东西直观化，深奥的东西浅显化，从而克服学生的思维障碍，这样有助于提高学生学习数学的兴趣。

例如：在学习圆周角定理时，可以通过教具移动圆周角顶点的位置，让学生观察一条弧所对的圆周角和它所对的圆周角的位置关系，通过观察，应当认识到有些问题的答案不唯一，要分情况进行讨论：当圆心在圆周角的一条边上，同一弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？先让学生猜想，然后证明：当圆心在圆周角的内部或外部时，同一弧所对的圆周角和圆心角又有什么关系?可以让学生展开讨论，打破习惯的思维模式，使讨论的问题直观化。

三、运用媒体教学，激发学习兴趣

在教学中教师要结合教材运用多媒体展示数学外在形式与内在结构的和谐美、奇异美，使学生受到美的熏陶，体验到数学学科的价值，激发学习兴趣。在教学中教师还可结合教材设计一些形式新颖、引人入胜、富有智力价值的数学游戏，有利于培养数学意识和数学观念，有利于学生将所学的数学知识与日常生活中的问题联系起来，从而加深对数学的理解。

1.概念教学使用多媒体

如讲“垂直于弦的直径”时，由于这节课的难度较大，笔者就在屏幕上打出了一组强化理解“垂径定理”的判断正误题、选择题、填空题，吸引学生的注意力，激发学生的兴趣。又如在学习《图形欣赏与操作》时，利用多媒体手段将一些美丽图案制作成动画，可让学生直观地看到图案的画法，并且学生会惊奇地看到：六角雪花图案绕中心旋转，速度由慢到快时，可产生各种各样效果奇特的图案。在美的熏陶中，学生会感到几何图形变换无穷，妙不可言，在生活中应用广泛，从而对几何产生了浓厚的兴趣。

2.“运动”教学使用多媒体

例如：要理解“圆柱看成是一个矩形旋转得到的”和“圆锥看成是由一个直角三角形旋转得到的”，也可以利用制作一个运动着的课件来演示，可以形象地直观地将圆柱、圆锥的形成过程展示出来。

3.网络教学使用多媒体

例如：在《图形操作之七巧板》的教学中，利用一个七巧板的拼图软件（可以在电脑上通过鼠标自由操作旋转拼图），让学生在电脑上进行拼图游戏，充分发挥多媒体的交互性特点，生动活泼的游戏活动使学生能更好地掌握知识，更积极主动地参与到教学活动中来，优化教学过程。

四、动手实践操作，促进质量提高

心理学家认为：“认知的发生和发展是通过人的活动来实现的。”这种实践，不受逻辑规则的约束，依赖于猜想，以潜在逻辑的形式进行。彭加勒说过：“逻辑用于论证，直觉用于发明。”对于数学创造活动中直觉思维的作用的论述是十分精辟的。因此，在数学教学中，让学生在真实、具体和有趣的操作情境中丰富感知，在身临其境中得到启发，激活思维，对培养学生的创新思维和创新能力具有重要意义。

例如：在教学多边形内角和时，课堂上让学生自己用火柴棒搭多边形（三角形、四边形、五边形、六边形……），然后让一名学生回答：对于三角形来说，从某一顶点出发可引几条对角线，能划分成几个三角形，这个多边形的内角和度数是多少？接着小组合作探索四边形、五边形、六边形……的内角和分别是多少？最后研究n边形的内角和是多少？学生通过特殊边数的多边形的内角和探讨到一般情况多边形的内角和的探索，发现了动手、积极主动探索非常重要。

总之，在新课程实验中，教师要不断提高教学艺术水平，从教材的内容和学生实际出发，运用各种合理的方法和手段，使课堂教学有效化，培养和激发学生的学习兴趣，调动他们学习数学的积极性，为真正提高课堂教学的质量，提高学生学习的质量，为培养更适应社会发展的新型人才，而贡献力量。

参考文献：

［1］朱慕菊.走进新课程.北京：北京师范大学出版社，2002.

［2］蔡绍稷.信息技术.江苏科学技术出版社，2003.

圆周运动教案范文第4篇

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）10A-0025-01

理答是课堂教学的重要环节，也是教师课堂教学智慧的集中体现。新课程标准实施以来，强调教学过程中的师生互动、生生互动，教师对学生的课堂提问和理答行为是互动最基本的形式。然而，有很多教师对学生的回答并没有做到智慧理答，当学生说出来的答案和课前预设的答案一致时，教师就大加赞赏；但学生的回答与教师预设的答案不一致时，就置之不理，失去了很多宝贵的生成性资源。这种随意、不当的理答方式，严重制约了小学数学高效课堂的构建。因此，教师要注重师生的协同活动，科学理答，使学生对知识的理解更加深刻，提高了学生的思维能力，从而为小学数学课堂增色添彩。

一、捕捉亮点，激发热情

学生是课堂教学的主体，他们的思维是灵活的、自由的。在课堂上，当学生有创意的想法时，教师应及时捕捉课堂中生成的亮点，不要吝惜对学生的肯定和赞赏，增强学生的参与感，点燃学生学习的热情。

有这样一道应用题：有一批面粉，每袋装40千克，可装60袋，现在只有50个袋子，每袋要多装面粉多少千克才能把这批面粉装完？审题后，学生们觉得这道题很简单，教师在巡视的过程中，发现大部分学生列出了这样的算式：40×60÷50-40= 。引导学生分析完这种算法后，教师追问：“同学们，这道题还有别的算法吗？”这时有学生说可以这样列式：40×（60-50）÷50。教师微笑着说：“你能不能将你的想法和大家一起分享呢？”学生得到了老师的肯定，自信地说：“原来可以装60袋，现在只准备装50袋，也就是多出了10袋，原来每袋面粉有40千克，也就是说多出了10个40千克，然后把多出来的面粉除以50，算出来的结果就应该是每袋应多装的面粉的数量。”顿时，教室里响起了热烈的掌声。

上述案例，在学生想到一般的算法后，教师让学生寻求其他算法，培养了学生的创新思维能力。在这个过程中，教师通过巧妙地捕捉亮点，睿智理答，让学生感悟到了数学的魅力，体验到了成功的喜悦。

二、延迟理答，有效引导

在课堂教学中，教师要静心等待学生的思考，善于倾听学生的想法，适时地延迟理答，给学生创造更加自由的探索空间，让学生的思维产生碰撞，提高学生的思维能力。

在学习《多边形的内角和》时，教师从已经学过的长方形和正方形入手，利用多媒体先出示了一个长方形和正方形，然后提问：这两个图形的内角和是多少度？因为这两个图形的每一个角都是直角，所以学生很快得出它们的内角和是360度。接着教师用多媒体出示了两个不规则的四边形，让学生探索这两个图形的内角和。这时全班学生都陷入了思考，教师则耐心地等待学生的“高招”。突然有学生说：“我用量角器量出每个角的度数，然后相加，发现是360度。”教师等待全班学生明白他的意思后，说道：“这个方法可行，但是每次都用量角器测量，是不是很麻烦呢？同学们，再思考一下，有没有其他更好的办法呢？”学生开始热烈地交流起来，不一会儿有个学生说出了自己的想法：“我发现任何一个四边形，都可以分成两个三角形，一个三角形的内角和是180度，所以四边形的内角和就是360度。”

在这个教学案例中，教师没有运用传统的灌输式教学，将结论滔滔不绝地讲给学生听，而是让学生积极探索，教师则适时等待，延迟理答，将学生的思维引向深入，彰显了数学课堂的精彩。

三、关注错误，拓展思维

在学生学习数学的过程中，难免会出现错误，这是很正常的现象。当学生的思维出现“卡壳”时，教师要运用充满智慧的语言进行理答，促使学生自我反省、自我纠正，进而拓展学生的思维能力。

在教学“圆的周长”时，教师在引导学生学习圆的周长计算公式后，出示了这样一道题：一个半圆的直径是8厘米，它的周长是多少厘米呢？很快就有学生说出了自己的答案：“半圆周长是圆周长的一半，所以得3.14×8÷2=12.56（厘米）。”显然，学生的认知出现了偏差，教师并没有立即否定学生的答案，而是因势利导，引导学生发现错误，进而分析、改正错误。师问道：“同学们，你认为半圆的周长，应该由哪些部分组成呢？”有学生还是认为是圆周长的一半，但很快就有学生发现了问题，半圆的周长应该是半圆的周长加圆的一条直径，学生们恍然大悟，开始主动分析刚才的错误，进而列出了算式3.14×8÷2+8=20.56（厘米），得出了正确的答案。

上述案例，教师面对学生思维的脱节，形成错误的认知时，并没有立即予以回应，而是通过智慧理答，让学生重新审视自己的思维，让他们主动发现错误，以促进学生的思维向更深层次发展。

圆周运动教案范文第5篇

关键词：数学教学；追逐型应用题；推广

中图分类号：G421 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0223-03

在中小学的数学教学中，常遇到一类以“追逐”形式出现的应用题，这类应用题遍及小学、初中、高中，有时还与生活实际密切联系，成为数学生活化的典型。“追逐”型应用题的原形是这样的：甲与乙在同一方向作匀速直线运动，其中，甲先走，但速度较慢，乙后走，但速度较快，问多长时间或多远路程时，乙可以追上甲。

这类问题尽管五花八门，形式多样，但解决方法却非常简单，那就是抓住

一个关键：两个人所走的路程相差为一个常数（成为追逐路程）；

一个公式：追逐时间=追逐路程?摇两者速度差

一、直线上的追逐运动

例1：小红从生活小区以每小时5千米的速度步行去学校，半小时后，小玲也从同一小区以每小时10千米的速度跑步追赶，问经过多长时间，小玲追上小红？

解1（算术解法）：小红先走的路程为5×0.5=2.5千米，小玲之所以能追上小红，是由于小玲速度较快而实现的，因此，小玲追上小红的时间应为

2.5÷（10-5）=0.5（小时）

解2（方程解法）：设x小时后，小玲追上小红。则小红所走过的路程为5×0.5+5x；而小玲所走过的路程为10x，依题意，得方程10x=5×0.5+5x；解得x=0.5（小时）。

二、圆周上的追逐运动

例2：圆园与宁宁在半径为50米的圆形运动上进行长跑训练，圆园先跑5圈，宁宁再起跑，已知圆园2分钟跑1圈，宁宁1分钟跑2圈，问经过几分钟，宁宁追上圆园？

解：设经过x分钟，宁宁追上圆园。

则在这个运动过程中，宁宁走过的路程为2×2π×50x，圆园走过的路程为5×2π×50+0.5×2π×50x，依题意，得方程2×2π×50x=5×2π×50x+0.5×2π×50x。

解之得x=■=■（分钟）

三、时钟上的分针、秒针与时针的追逐运动

时钟上的时针，分针，秒针不停地作追逐运动，分针追时针、秒针追分针、秒针追时针，这些运动遵循一定的规律，现在提出一个问题：在零点到12点的十二个小时内，①时针和分针重合多少次？在什么时刻重合？②时针和秒针重合多少次？在什么时刻重合？③分针和秒针重合多少次？在什么时刻重合？

我们知道，时针，分针，秒针作的是匀速圆周运动，时针走得最慢，十二个小时走一周；分针速度次之，一个小时走1周；秒针走得最快，一个小时走60周，这三条针不停地运动，分针赶时针，秒针赶分针，重合了又超，超了又重合，不断地重合，又不断地超，是一个典型的数学应用题中的“追逐”模型。按每运动一周就是走了2π弧度，那么，设时针速度v1，分针速度v2，秒针速度v3分别表示为：

v1=■=■/小时；v2=2π/小时；v3=120π/小时

假设运动时间为t，则

1.时针和分针的运动规律是（v2-v1）·t=2nπ?圳t=■

即（2π-■）t=2nπ 解之得 t=n+■×n

由于一天十二个小时分针走了12周，故n的可取值为

n=0，1，2，3，…，11.

也就是说，在一天十二个小时内，时针和分针重合12次，这12次重合的时刻分别计算如下：

当n=0，则t=0时=0时0分0秒

当n=1，则t=1■时≈1时5分27秒

当n=2，则t=2■时≈2时10分55秒

…………

当n=11，则t=11■时=12时≈12时0分0秒

将计算结果列表如下（略）

有趣的是，这12次时针和分针的重合时刻构成一个等差数列，首项是0，末项是12，公差是■.数列的和是S=■=72（小时）.

2.时针和秒针的运动规律是：（v3-v1）·t=2nπ?圳t=■

即（120π-■）t=2nπ 解之得t=■n.

由于秒针一个小时走60周，十二个小时内走720周，故n的可取值为：

n=0，1，2，3，……，719.

也就是说，在一天十二个小时内，时针和秒针重合720次，这720次重合的时刻分别计算如下：

当n=0，则t=0时=0时0分0秒

当n=1，则t=■×1=■时≈0时1分1秒

当n=2，则t=■×2=■时≈0时2分2秒

…………

当n=719，则t=■×719=12时≈12时0分0秒

将计算结果列表（略）。

这720次时针和秒针的重合时刻也构成一个等差数列，首项是0，末项是12，公差是■.数列的和是S=■=4320（小时）.

3.分针和秒针的运动规律是：（v3-v2）·t=2nπ?圳t=■

即（120π-2π）t=2nπ 解之得t=■×n

由于秒针在每个小时内走60周，故n的可取值为：

n=0，1，2，3，……，59.

也就是说，在每个小时内，分针和秒针重合60次，在一天十二小时内重合共720次，其中0时—1时重合的时刻分别计算如下：

当n=0，则t=■×0=0时=0时0分0秒

当n=1，则t=■×1=■时≈0时1分1秒

当n=2，则t=■×2=■时≈0时2分2秒

当n=3，则t=■×3=■时≈0时3分3秒

…………

当n=59，则t=■×59=1时=1时0分0秒

以后的每个小时，分针和秒针重合的时刻都遵循以上的规律。比如

1时—2时重合的时刻分别计算如下：

当n=0，则t=1+■×0=1时=1时0分0秒

当n=1，则t=1+■×1=1■时≈1时1分1秒

当n=2，则t=1+■×2=1■时≈1时2分2秒

当n=3，则t=1+■×3=1■时≈1时3分3秒

…………

当n=59，则t=1+■×59=2时=2时0分0秒

11时—12时重合的时刻分别计算如下：

当n=0，则t=11+■×0=11时=11时0分0秒

当n=1，则t=11+■×1=11■时≈11时1分1秒

当n=2，则t=11+■×2=11■时≈11时2分2秒

当n=3，则t=11+■×3=11■时≈11时3分3秒

…………

当n=59，则t=1+■×59=12时=12时0分0秒

时钟的时针、分针、秒针作不停顿的“追逐”运动，而每一条针又是作各自的匀速圆周运动。这种运动就发生在我们身边，发生在我们眼前，似乎那么简单，又是那么平凡，然而，它体现出来的数学问题却是那么有趣，那么生动，那么奇妙，那么引人入胜。挖掘生活中的数学问题，会增长我们的见识，让我们发现数学在生活中的应用，提高学好数学的信心。

这样的教学案例值得我们探讨，从中不但使我们享受数学在生活中的乐趣，也能激发学生学习数学的热情。

参考文献：

[1]孟坤.钟表里的数学问题[J].高中数学研究，2006，（9）：7-9.

[2]王宏梅.由“黄金椭圆”联想“黄金双曲线”[J].中学教研（数学），2006，（8）：14-15.

基金项目：广西新世纪教改项目“民族地区高校数学教师教育中案例教学的理论与实践研究”（编号：2011JGB108）