数列的极限
数列的极限范文第1篇
关键词：极限，数列，函数
极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.
数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.
数列极限1．定义
设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε （不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.
上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.
对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.
2．性质
收敛数列有如下性质：
（1）极限唯一性；
（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；
（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；
（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；
（5）保序性，即若 ，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.
定理1 （收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.
函数极限 1．定义
（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作
上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为
1对：任意以两直线为边界的带形区域；
2总：总存在（以点x0位中心的）半径；
3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；
4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.
（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.
2．性质
（1）极限唯一性；
（2）局部有界性
若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；
（3）局部保号性
若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；
（4）局部保序性
若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.
定理2 函数f(x)当x→x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x→x0时的左、右极限都存在些相等，即
利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.
1.极限值为有限的情形：
（1）给定任意小正数ε；
（2）解不等式或，找δ或N；
（3）取定δ或N；
（4）令或，由或成立，推出或.
2. 极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：
（1） 给定任意大正数G；
（2） 解不等式；
（3） 取定δ；
（4）令，由成立，推出.
利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.
极限存在准则1．夹逼准则
（1）数列极限的夹逼准则
如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：
1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；
2
则数列{an}的极限存在，且 .
（2）函数极限的夹逼准则
（以x→x0和x→∞为例）如果
1（或|x|>M）时，有
2（或），则（或）
（3）一个重要不等式
时，
2．单调有界数列必有极限
3．柯西（Cauchy）极限存在准则
数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.
数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。
计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则
三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：
注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.
2. 利用已知极限
……
3. 利用泰勒公式
4. 利用迫敛性
5. 利用定积分求和式极限
6. 利用数列的递推关系计算极限
7. 利用级数的收敛性计算极限
8. 利用积分中值定理计算极限
计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.
极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.
数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.
数列极限1．定义
设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε （不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。论文大全，函数。。论文大全，函数。。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.
上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.
对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.
2．性质
收敛数列有如下性质：
（1）极限唯一性；
（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；
（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；
（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；
（5）保序性，即若 ，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.
定理1 （收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.
函数极限 1．定义
（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作
上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为
1对：任意以两直线为边界的带形区域；
2总：总存在（以点x0位中心的）半径；
3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；
4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.
（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.
2．性质
（1）极限唯一性；
（2）局部有界性
若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；
（3）局部保号性
若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；
（4）局部保序性
若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.
定理2 函数f(x)当x→x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x→x0时的左、右极限都存在些相等，即
利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.
1.极限值为有限的情形：
（1）给定任意小正数ε；
（2）解不等式或，找δ或N；
（3）取定δ或N；
（4）令或，由或成立，推出或.
2. 极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：
（1） 给定任意大正数G；
（2） 解不等式；
（3） 取定δ；
（4）令，由成立，推出.
利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.
极限存在准则1．夹逼准则
（1）数列极限的夹逼准则
如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：
1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；
2
则数列{an}的极限存在，且 .
（2）函数极限的夹逼准则
（以x→x0和x→∞为例）如果
1（或|x|>M）时，有
2（或），则（或）
（3）一个重要不等式
时，
2．单调有界数列必有极限
3．柯西（Cauchy）极限存在准则
数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.
数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。论文大全，函数。。
数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。
计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则
三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：
注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.
2. 利用已知极限
……
3. 利用泰勒公式
4. 利用迫敛性
5. 利用定积分求和式极限
6. 利用数列的递推关系计算极限
7. 利用级数的收敛性计算极限
8. 利用积分中值定理计算极限
计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.
参考文献1.CalculusandItsApplications(EighthEdition)，(美)MarvinL.Bittinger著，杨奇毛云英译，机械工业出版社，2006.7
2.高等数学—及其教学软件（第二版），上海交通大学编，科学出版社，2005.6
3.微积分（Ⅰ），清华大学数学科学系《微积分》编写组，清华大学出版社，2004.2
4.数学分析选讲，徐新亚夏海峰著，同济大学出版社，2008.8
数列的极限范文第2篇
一、向学生介绍极限方法的来源，引导学生针对数列极限的定义提出问题
普遍的高等数学教材中，都是从刘徽的“割圆术”引出数列极限定义的.我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年在注《九章算术》时，为了订正圆周率是“周三径一”之误，他在计算圆周率的过程中，创立并使用了极限方法．他先借助圆的内接正多边形来无限分割圆，再通过计算圆的内接正多边形的边长来求得圆的周长，提出了“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”[1]的“以直代曲”的极限思想．恩格斯也曾深刻地指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．[2]通过对刘徽“割圆术”的讲解，可以让学生对极限产生相对直观的认识．
接下来带领学生仔细阅读如下定义，并让学生提出疑问.
数列极限的定义：对于数列｛χn｝，如果存在数A，无论预先任意指定怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，当n＞N时，有不等式
｜χn-A｜＜ε.
则称数列｛χn｝存在极限，并且称数A为数列｛χn｝当n∞时的极限，记作
在准确阐述定义后，教师发挥主导作用，充分激发学生探究数列极限的兴趣，鼓励学生大胆提出问题．在我的教学实践中，学生通常会提出如下一些问题（教师可将问题归纳在黑板上）：
①常数A是怎么来的？它是数列｛χn｝的最后一项吗？
②ε是怎么来的？为什么必须是正数，而且还要是小正数？
③N是怎么得到的？它是唯一确定的吗？
④怎么理解n＞N？
⑤所有数列都有极限吗？极限是否唯一？
二、启发学生积极思考，努力寻求上述问题的答案，教师作归纳
在具体教学实践中，我会让学生充分讨论，大胆提出自己的看法．在逐一修正学生回答的基础上，再作如下系统讲解．
（一）一些数列，如 ，等等，有一个共性，就是随着 （项数）无限增大，它们的变化都显示出趋于稳定的状态，即无限接近于某个常数．这种特性就是我们这里所说的极限.显然，只有无穷数列才可能有极限．
（二）式子｜χn-A｜＜ε表明ε的作用在于“衡量”项χn与数A的“接近”程度，所以ε必须是正数，而且还要是“小正数”，因为ε越小，说明项χn与数A越“接近”；ε只有任意小，式子｜χn-A｜＜ε才能表达出项χn与数A可以“接近”到任何程度．以上两点可以用“数列｛χn｝当n∞时的极限是A”的几何解释来加以说明：
将数A及数列｛χn｝在数轴上用它们的对应点表示出来，再以A为中心以ε为半径在数轴上截取两点A-ε和A+ε(如下图)．
由于不等式｜χn-A｜＜ε相当于不等式A-ε＜χn,A+ε，所以当n＞N时，所有的点χ都落在开区间(A-ε,A+ε)内，而只有有限个（至多只有N个）疏散在这个区间以外．因ε越小，开区间(A-ε,A+ε)的长度2ε也越小，可以看出点χn集聚在点A近旁，[3]无数个点χn无限“接近”点A．
（三）数列实质上是定义在正整数集上的函数，n＞N（n和N代表数列的项的序号，显然都是正整数），即χn代表着数列｛χn｝中较χN靠后的那些项.N是由ε确定的，所以数列极限定义又称为“ε-N”定义.一般来说，所给定的ε越小，N应该越大.有时把N写成N(ε)，就是为了表明N依赖于ε．另外，从数列极限的定义可以看出，如果当n＞N时，｜χn-A｜＜ε成立，那么对任意一个N1＞N，当n＞N1时，｜χn-A｜＜ε也成立，所以，N不是唯一的．
例1：“说明数列 的极限是1”．若指定ε=0.00001,则由｜χn-A｜＜ε,即 就可推出n＞5,所以由ε=0.00001确定的N是5(当然也可以是大于5的其它整数)．这时，只要项的序号n＞N，即第N=5项后的所有项χn与A=1的差的绝对值就小于ε=0.00001，这说明数列 与1的“接近”程度在0.00001以内．同理，指定其它正数ε，也可以找到相应的N；显然所有的小正数ε，都能找到相应的N.根据数列极限的定义， 就是数列 的极限．
（四）数列极限的定义不能用来求数列的极限，只能在“观察”到某个常数可能是某个数列的极限时，用它来证明，把结论肯定下来．在具体运用中，我们依据数列极限的定义来判定数列存在极限或证明某个常数是数列的极限；反之，我们也依据数列极限的定义来说明某个数列不存在极限或某个常数不是数列的极限，此时只需证明有｜χn-A｜＜ε的情况存在即可．
例2．证明数列｛(-1)n｝不存在极限．
证明 因为对于任意数A1，存在ε0=1，若A1≥0，则对于任意正整数N，总存在奇数n0＞N，使得
｜(-1)n0-A1｜=｜-1-A1｜=1+A1≥1．
若A1＜0，则对于任意正整数N，总存在偶数n0＞N，使得
｜(-1)n0-A1｜=｜-1-A1｜=｜1+(-A)｜=1+(-A)＞1．
所以，任意数A1都不是数列{(-1)n}的极限，即数列{(-1)n}不存在极限．
（五）“数列{χn}的极限是A”就是说“项χn的变化趋势是趋近于A”（“趋近”可理解为“无限接近”），即“当n无限增大时，χn趋近于某个常数A，此时，称A为数列{χn}的极限”．所以可以肯定地说，常数A并不是数列{χn}的最后一项，而是数列的“变化趋势”．也许有的学生会认为数列的极限是数列项的近似值，这也需要教师加以说明．近似只是在“有限”中认识极限，而极限是在“无限”中的精确.比如，在刘徽的“割圆术”中，圆的内接正多边形的周长近似于圆的周长，但当内接正多边形的边数趋近于无限时，圆的内接正多边形的周长就趋近于圆的周长，显然，圆的周长是由圆的内接正多边形的周长组成的数列的极限．
三、教师对数列极限的定义作进一步说明
通过以上分析后，教师可个别提问学生对前面那些问题的理解情况，并当堂作补充修正．在确认学生已基本掌握定义后再作如下几点 说明：
（一）通俗地说，极限的意思就是，“也许达不到目标，但能无限接近目标”．怎样才叫“无限接近”呢？回答是，你要多接近（这就是ε）我就能多接近，还比你要的更接近（这就是“＜ε”）；同时，我能保证在某个过程之后（这就是“当n＞N时”），都在你要求的接近范围之内．
（二）掌握极限概念的关键在于对正数ε二重性的理解．一方面，ε必须具有任意性．ε可以代表任意小的正数，只有这样才能保证数列{χn}无限地接近于数A；因为ε是任意小的正数，那么 等等，同样也是任意小的正数，因此讨论求证数列极限时，定义中的不等式｜χn-A｜＜ε中的ε可用 等来代替，｜χn-A｜＜ε也可用｜χn-A｜≤ε来代替；正是由于ε是任意小的正数，我们在分析问题时，可以限定ε小于一个确定的正数．另一方面，为了表明数列{χn}无限接近于数A的渐近过程的不同阶段，ε又必须具有相对固定性；同时，在论证过程中，一旦指定了ε，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行．ε的任意性是通过无限多个相对固定性表现出来的，ε的任意性和相对固定性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证关系．ε的任意性，表明极限是人们从近似中认识精确的数学方法．例如，在刘徽的“割圆术”中，我们由圆的内接正多边形周长认识了圆的周长，即“圆的内接正多边形周长无限接近圆的周长”．ε的相对固定性，表明极限又是人们从精确中更深刻地认识近似的数学方法．例如，在刘徽的“割圆术”中，我们由圆的内接正多边形的周长认识了圆的周长，又从圆的周长深刻认识了圆的内接正多边形的周长与圆的周长的关系，即“由圆的内接正多边形周长组成的数列的极限是圆的周长”.
（三）若数列{χn}存在极限（收敛），则它的极限是唯一的（收敛数列的唯一性）.
例3．证明：若 ，同时 ，则A=B．
证明 根据数列极限的定义，对任意ε＞0，分别有
存在正整数N1，当n＞N1时，有｜χn-A｜＜ε；
存在正整数N2，当n＞N2时，有｜χn- B｜＜ε．
取N=max{N1,N2},当n＞N时,同时有
｜χn-A｜＜ε与｜χn- B｜＜ε．
于是，当n＞N时，有
｜A-B｜=｜A-χn+χn-B｜≤｜χn-A｜+｜χn-B｜＜ε+ε=2ε.
显然A与B是常数,2ε是任意小的正数,所以只有A=B,上述不等式才能成立．
数列的极限范文第3篇
关键词： 数列极限 单调有界 级数 递推数列
命题：设b＞a＞0，d＞0，且X=，
证明：X=0.
本文给出该命题的四种证法，之后给出该命题的应用.
一、四种证法
证法1：容易看出=＜1，即数列{X}单调递减，而X＞0，
显然，由单调有界定理知：X=X存在.
由施图兹定理，有X==［n-（n-1）］= ［n］=x=x，
即x=x.
由b＞a知x=0.
证法2：由证法1知X=X存在且x≥0.若x≠0，则
在b＞a＞0，d＞0的条件下，可知
＜，k=n+1，n+2，…，2n-1，
=＜（）=（1+）ee（n∞）
由b＞a知e＜1，这与=1矛盾，故x=0.
证法3：设y＞x＞0，记u=y-x.由伯努利不等式
（1+x）≥1+αx，α≥0，x＞-1.
如果γ和δ都是大于1的整数，则
（）≥1+γ，()≤1+.
由此可得（1+）≤≤（1+），
或()≤≤().
取γ与δ，使γu＞d与＜d成立，此时有
（）＜（）≤≤（）＜（），
因此有
（）＜＜（）.
这个不等式对于大于三个数（），，1中最大者的一切实数γ，δ都成立.
在上式中，依次取：
x=a，a+d，a+2d，…，a+nd;y=b，b+d，b+2d，…，b+nd，则可得到一系列不等式：
（）＜＜（）
（）＜＜（）
…
（）＜＜（），m=n+1.
将上述一列不等式相乘可得：（）＜x＜（），m=n+1.
由于（）=（）=0，因此x=0.
证法4：不妨设d=1，记p=，n=1，2，…，显然0＜p＜1.
由题意知，证明无穷乘积p收敛于零即可.因为部分乘积p是正的，且递减，所以只需证明它的收敛即可，令p=1+α，则
α=p-1=-1=（1+）=（1-+0（））-1
=1-+0（）-1=-+0（）
由此可见，当n适当大时，α定号.
但由收敛，发散知，级数α发散，因此无穷成绩p收敛于零，从而有 x=0.
二、应用实例
例：设x＞2，证明+++…=.
证明：易见
=--
一般有：
=-
所以
+++…+
=-
由命题知==0
所以结论成立.
参考文献：
［1］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.
［2］舒阳春.高等数学中的若干问题解析［M］.北京：科学出版社，2005.
［3］陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
数列的极限范文第4篇
【关键词】极限;特殊算法;夹逼原理;Stolz原理;单调有界;收敛
极限讨论的是变化趋势问题，极限的计算是事物运动变化由量变到质变的辩证规律在数上的反映.导数和积分的定义都是建立在极限的计算基础上的.因此，熟练掌握极限的计算是必须的.常用的极限计算方法有利用定义求极限、利用极限的四则运算法则和性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用等价无穷小求极限、利用洛必达法则求未定式的极限等等.但有些极限的计算需要有一些特殊的技巧，下面列举一些特殊的极限计算方法供大家参考，除增加极限的算法外，也力求能够对微积分的知识有贯通性的把握.
1.利用夹逼原理求数列极限
夹逼定理：设{an}，{bn}，{cn}为三个数列，an≤cn≤bn，limn∞an=limn∞bn=a，则limn∞cn=a.
例1 求极限limn∞∑ni=112n2+i .
解 n2n2+n≤∑ni=112n2+i≤n2n2+1，
limn∞n2n2+n=limn∞n2n2+1=22.
由夹逼原理有 limn∞∑ni=112n2+i=22.
此方法的要点是当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放缩后所得的新数列易于求极限，且两者的极限值相同，则原数列的极限存在，且等于此公共值.
2.利用级数审敛法求极限
通过此方法是找出要求极限的数列所对应的级数∑an.如果能判定此级数是收敛的，则由级数收敛的必要条件可知limn∞an=0.
例2 计算limn02n・n！nn.
解 设an=2n・n！nn，有级数∑∞n=12n・n！nn.
因为limn∞an+1an=limn∞2n+1・（n+1）！（n+1）n+1・nn2n・n！=limn∞2・nn（n+1）n=2limn∞11+1nn=2e<1，
由级数审敛法可知级数∑an收敛，故limn02n・n！nn=0.
虽然这种方法只能判断以零为极限的数列，具有很大局限性，但由于级数的审敛方法很多，所以对某些极限来说使用该方法还是方便的.
3.利用Stolz原理求数列极限
CauchyStolz定理：设数列{xn}及{yn}满足条件：
（1） {yn}严格递增且limn∞yn=+∞;
（2） limn∞xn+1-xnyn+1-yn存在（有限或为±∞），则limn∞xnyn=limn∞xn+1-xnyn+1-yn.
例3 设k为正整数，证明limn∞1k+2k+…+nknk+1=1k+1.
证明 令xn=1k+2k+…+nk，yn=nk+1，由Stolz定理，
limn∞1k+2k+…+nknk+1=limn∞xnyn
=limn∞xn+1-xnyn+1-yn=limn∞（n+1）k（n+1）k+1-nk+1
=limn∞（n+1）k（k+1）nk+12（k+1）knk-1+…+1=1k+1.
例4 求极限limn∞1n！∑np=1p！.
解 令xn=∑np=1p！，yn=n！，则yn严格递增且limn∞yn=+∞.由CauchyStolz定理，有limn∞∑np=1p！n！=limn∞xnyn=limn∞xn+1-xnyn+1-yn
=limn∞（n+1）！（n+1）！-n！=limn∞n+1n=1.
4.利用极限满足的关系式求极限
设f是连续函数，若数列{xn}由式xn+1=f（xn）给出，就说该数列是用递推方法给出的.倘若{xn}收敛于x-，对式xn+1=f（xn）两端求极限，注意到f的连续性，有x-=limn∞xn+1=limn∞f（xn）=f（x-）.可见{xn}的极限是方程x=f（x）的解.于是问题归结为证明数列{xn}收敛.通常用单调有界原理或数列收敛的Cauchy准则证明{xn}收敛.我们也看到，决定递推式xn+1=f（xn）给出的数列的要素是初值x0和函数f.为使{xn}收敛，讨论初值x0和函数f所应满足的条件，常可给出一般的结果，例如压缩映象原理.这类数列的收敛问题，用某些一般的结果，可给出较简洁的证明.
例5 已知函数f在[0，+∞）上连续，且0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞）.对a1≥0，构造数列an+1=f（an），n=1，2，….证明：
。{an}为收敛数列;
）设limn∞an=t，则f（t）=t;
＃┤籼跫改为0≤f（x）<x，则t=0.
证明 。an+1=f（an）≤an，an单调递减，由单调有界原理，{an}收敛.
）设limn∞an=t，对式an+1=f（an）两端取极限，利用f的连续性有
t=limn∞an+1=limn∞f（an）=f（limn∞an）=f（t）.
＃热t>0，有t=f（t）<t，矛盾.因此只能有t=0.
可以看到，极限的计算既是一种重要的运算，同时它又牵扯到多方面的知识点和技巧，相信通过极限计算能力的提高也必然可以提升我们综合处理问题的能力.
【参考文献】
[1]同济大学.高等数学[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002：23- 38.
数列的极限范文第5篇
【关键词】高等数学 极限 求法
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02
极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
一、由定义求极限
极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续性求极限
此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A
两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限
六、利用单调有界原理求极限
单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。
七、利用洛必达法则求极限
八、利用等价无穷小代换求极限
在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。
九、利用泰勒展式求极限
运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。
十、利用级数收敛的必要条件求极限
求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。
参考文献：
[1]徐荣贵.求极限的方法和技巧[J].四川工程职业技术学院学报，2006（1）.
[2]华东师范大学数学系.数学分析上册（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.
