矩阵在数学建模中的应用

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矩阵在数学建模中的应用范文第1篇

关键词二次饱和d-最优试验设计;回归模型;excel

中图分类号s11文献标识码a文章编号 1007-5739(2010)22-0020-02

establishingsecondsaturatingd-optimaldesignregressionmodelbyexcel

gao hong-ze

(puyang institute of agricultural sciences in henan,puyang henan 457000)

abstractthe process of establishing second saturating d-optimal design regression model by excel was summarized,including the estimate of the parameter as structure matrix,transpose matrix,coefficient matrix,inverse matrix and regression coefficient and so on.this method had the advantage of high accuracy on design and easy to calculate,which could be spread and applied in the experimental design of agricultural production.

key wordssecond saturating d-optimal design;regression model;excel

二次饱和d-最优设计是农业生产中常用的一种试验设计方法,可减少试验次数,提高试验精度,该方法的参数估计精确度高,但是其统计建模因运用矩阵计算而十分繁琐[1-3]。通过实践,利用excel可轻松实现二次饱和d-最优试验设计[4]。

1设计过程

1.1列出结构矩阵

打开excel 2003,列出该文要分析的试验计划结构矩阵和试验结果(表1),把二次项放在一次项和交互项的中间,即可得到下面的结构矩阵表,用“x”表示:

1.2求转置矩阵

先求出结构矩阵x的转置矩阵,用x′表示。选中x结构矩阵表数据,单击“编辑”菜单上“复制”,然后单击“编辑”菜单上“选择性粘贴”,选中“转置”后点击“确定”,即可得到转置矩阵x′:

1.3利用mmult函数求系数矩阵(信息矩阵)a

系数矩阵的计算公式为:a=x′x。mmult函数是求两数组矩阵乘积的函数。在excel表中,首先选中a矩阵要放置的区域,再单击“插入”,然后单击下拉菜单中的“函数”,出现插入函数对话框,在“插入函数”中选中mmult函数,在函数参数array1中选中x′矩阵数据组数据,在array2中选中x矩阵数据组数据,按f2,再按 ctrl+shift+enter,即可得到a矩阵数据:

1.4利用minverse函数求a的称相关矩阵(逆矩阵)c

称相关矩阵的计算公式为:c=a-1。在excel表中,首先选中c矩阵要放置的区域,单击“插入”,然后单击下拉菜单中的“函数”,出现插入函数对话框,在“插入函数”中选中minverse函数,在函数参数array中选中a矩阵数据组数据,按f2,再按ctrl+shift+enter,即可得到c矩阵数据:

1.5计算回归系数b

1.5.1用sumproduct函数计算常数项矩阵元素b。各列b值=σ(该列每一编码值×对应的试验指标值)。

在excel中的二因素二次饱和d-最优设计结构矩阵表和试验结果上进行计算。现以求b0进行示范,点中结构矩阵表b0值所放置的位置,再单击 “插入”,然后单击下拉菜单中的“函数”,出现插入函数对话框,在“插入函数”中选中sumproduct函数,在函数参数array1中选中x0对应列的编码值,在array2中选y列对应的数据组数据,然后点击“确定”即可得到b0的值。用同样的方法可求出其他b值。选中求得的b值,进行复制、转置粘贴,即可得到常数项矩阵b:

b=b0b1b2b11b22b12=3 253675.299 5361.090 72 222.4732 160.828-164.623

1.5.2利用mmult函数计算回归系数b。计算公式为:b=cb。利用mmult函数,在array1中选中c矩阵数据组数据,在array2中选中b矩阵数据组数据,按f2,再按ctrl+shift+enter,即可得到b矩阵数据:

b=b0b1b2b11b22b12=528.151 7130.528 363.028 3323.207 81-14.831 29.028 329

1.6建立回归方程

把求得的b值代入回归模型,即得到如下回归方程:

=528.1517+130.528 3 x1+63.028 33 x2+9.028 329 x1x2+23.207 81 x12-14.831 2 x22

经检验,该方法均适合二因素、三因素二次饱和d-最优设计回归模型的建立。

2小结

(1)用excel程序中不需要计算机语言编程和复杂的计算,就可以轻松建立二次饱和d-最优设计回归模型,非常方便[5-6]。

(2)可在excel上建立一套完整的计算模型,需用时只需更改试验结果数据,就可以建立相应的回归模型,给试验结果分析带来极大的方便。

3参考文献

[1] 焦志勇,周绍美.二次饱和d-最优设计[j].山东农业科学,1989(2):46-49.

[2] 张永成.饱和d最优设计方法在农业试验中的应用[j].马铃薯杂志,1997(3):171-176.

[3] 张明刚.用excel对农业试验数据进行回归分析的方法[j].贵州农业科学,2009,37(6):26-258.

[4] 狄佳春,陈旭升.excel对农业试验统计分析中的应用[j].计算机与农业,2002(6):24-25.

矩阵在数学建模中的应用范文第2篇

关键词:中学教学质量 评估 层次分析 数学模型

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089(2012)02-0122-01

近年来，由于各中学的教学成果给社会带来的影响，我国中学教育的教学质量也备受社会各界关注。如何对中学教学质量进行评估？为了能深入细致的评估中学教学质量，本文对中学教学质量评估材料中各项评价指标做了量化处理，最终得出了综合评价中学教学质量的简便方法。

1.模型的假设及符号规定

假设: 1. 专家咨询法得到的数据具有代表性、权威性。

2. Z：中学校教学质量水平（目标层）

B1:中学教学水平B2:中学教学成果（准则层B）

C1:办学指导思想C2:师资队伍C3:教学条件C4:教学管理C5:学风C6:教学效果C7:学科建设与教学改革中学教学水平（B1）C8:继续深造 C9:就业C10:其它中学教学成果（B2)(方案层C)

B=(b)2×2：Z下的比较矩阵,i,j=1,2; C1=(c)7×7：B1下的矩阵, i,j=1,2，……，7;

C2=(c)3×3：B2下的矩阵, i,j=1,2,3; Xi：专家对因素Ci的最终评分，i=1,2,……，10。

2.模型的建立与求解

2.1 评价体系的层次结构

为了能够较为科学地评价各中学的教学质量，本文根据各中学的特点，应用著名美国学者T.L.Saaty提出的层次分析法，得出了中学教学质量评估的层次结构图。

2.2 构造比较矩阵

在确定同一层中各因素对上一层的贡献程度时，我们采用专家咨询的方法对各因素进行评分，构造出了各层中的比较矩阵。

2.2.1 比较矩阵

通过专家咨询法，我对相关专家进行多次咨询后，在第二层中整理得到B1、B2关于Z的两两比较矩阵B，其中bij表示Bi和Bj对Z的影响之比。

相应的矩阵为: B=(b)2×2=|1/5 1|

同理，方案层（C）中，对因素C1，C2，…，C6，C7关于B1的两两比较矩阵C1，其中Cij表示Ci和Cj对B1的影响之比。

相应矩阵为：

C1=(c)7×7= 1 3 5 7 4 8 41/3 1 4 5 3 6 31/5 1/4 1 2 1/2 5 1/21/7 1/5 1/2 1 1/5 2 1/21/4 1/3 2 5 1 4 11/8 1/6 1/5 1/2 1/4 1 11/4 1/3 2 5 1 1 1

方案层（C）中，对因素C8，C9，C10关于B2的两两比较矩阵C2，其中Cij表示Ci和Cj对B2的影响之比。

相应的矩阵为：C2=(c)3×3=1 1/3 5 1 1 81/5 1/8 1

3.模型的求解及应用

3.1 计算矩阵的权向量及进行一致性检验

对比较矩阵B，由于阶数为2，显然满足一致性检验。利用数学软件（Matlab6.5）编程求出的B的权系数。与矩阵B相应的权向量为：w0=(w1,w2) T=(0.833,0.167)T。

关于矩阵C1，计算得出它的最大特征值为：ans0=7.632 ；相应的特征向量为：

w0=(w1,w2……w7)=(0.3842， 0.2295， 0.0804， 0.0409， 0.1209， 0.0392， 0.1050)，利用一致性检验指标CI= (ans0-n)/(n-1)=0.1053和随机一致性检验指标RI算出一致性检验比率CR=CI/RI=0.0798

同C1理，可以检验C2满足一致性检验，并且利用数学软件（Matlab6.5）编程（程序见附件三）计算出矩阵C2相应的权向量为：w1=(w1, w2, w3)T =（0.2746，0.6571，0.0683)T 。

3.2 综合评价公式及应用

由上述计算结果得出，准则层的权向量为：w(1)= w0(1) =(0.833, 0.167)T ；子准则层的权向量为：w(2)=( w0(2)，w1(2))T=( 0.3842， 0.2295， 0.0804， 0.0409， 0.1209， 0.0392， 0.1050， 0.2746， 0.6571， 0.0683)T。因此，容易得出中学教学质量评估的综合评价模型（I）为：

0.320X1+0.191X2+0.067X3+0.034X4+0.101X5+0.033X6+ 0.087X7+0.013X8+0.109X9+0.011X10 ……………（I）

其中Xi,表示因素Ci 在专家评价下的最终得分，i=1, 2,……，10。

在本文中采用10分制分别对因素C1，C2，……，C10进行专家评分。不妨假设专家由多人组成，对层次结构中每一个因素如（Ci）分别打分后，我们先去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后对剩下的专家评分结果求平均值即为该因素的得分（Xi）。

4.模型的评价及推广

本文通过层次分析法建立了中学教学质量评估的综合评价模型,应用该方法得出的三所中学校的评价结果也比较合理.该模型具有较强的推广价值,比如应用在中学生综合素质评价,教师教学质量评价等数学问题的处理上。但是，由于层次分析法用的决策矩阵具有一定的主观性，我们的决策矩阵虽然是用的由专家赋值法得到的,数据也具有广泛的代表性,但仍不能确保其准确性与科学性。

参考文献

[1] 姜启源,谢金星, 叶俊.《数学模型》第三版.北京：高等教育出版社,224-244 2004.4

矩阵在数学建模中的应用范文第3篇

关键词：认知诊断；Q矩阵理论；测验蓝图的设计；基本矩阵；多级评分

中图分类号：B841.2 文献标识码：A 文章编号：1003-5184（2012）05-0417-06

正如Tatsuoka（2009）指出，认知诊断是一种模式识别。模式识别由特征提取及分类判别两部分构成。认知诊断中Q矩阵理论对应于特征提取，而认知诊断模型对应于分类判别。

1 Q矩阵理论进展的回顾

Tatsuoka建立Q矩阵理论（Tatsuoka，1995，2009），即根据欲诊断的内容，确定被试的知识状态，并且要用观察反应模式将知识状态表达出来（Tatsuoka，1995）。其实，Q矩阵理论离不开Q矩阵，Q矩阵是一种元素为0～1的矩阵，故是布尔矩阵，它实质上是诊断范围内的属性（attribute）和项目或知识状态的关系矩阵，若正确回答项目j必须掌握属性i（或第j种知识状态中包含属性i），则qij=1，否则qij=0。认知诊断中有一个概念—期望反应（又称为理想反应），即具有知识状态为α的被试i在不猜测也不失误的条件下对项目j的反应称为期望反应。期望反应又指期望反应得分。如果是采用0～1评分方式，则期望反应得分为0或1分；对于多级评分，则期望反应的得分是一个0分到该项目满分之间的一个非负整数。

规则空间模型的创始人Tatsuoka（1995，2009）认为Q矩阵可以从现存的试卷分析出来。Q矩阵的行代表属性，列代表项目，对Q的行进行逐对比较，比如第i行减去第k行，如果所得的差向量的每个分量均非负，则表示属性i是属性k的先决属性。由此可以找出属性之间的先决关系。然后Tatsuoka（1995，2009）认为Q矩阵的行进行布尔并与交运算可以构成一个属性空间（LA），列进行布尔并与交运算可以构成一个项目空间（LI），并且认为LA和LI是布尔代数，再通过布尔描述函数（BDF）可以导出期望反应模式。

Tatsuoka（2009，p.9）甚至认为“在规则空间模型中，知识状态，或者等价地（or，equivalently），理想反应模式，形成预先确定的分类组别的集合”；随后，在该书第99页又说，“每一个属性模式和它对应的理想反应模式一起称为知识状态；换言之，知识状态可以是属性模式，或者等价地，知识状态可以是它对应的理想反应模式”。可见Tatsuoka在某种意义上，认为知识状态集合至少是可以和期望反应模式集合对应的。但是下面的例1将指出，除非测验蓝图设计合理，否则不相同的期望反应模式的数目一般都少于不相同的知识状态的数目，所以很可能不同知识状态对应同一个期望反应模式。Tatsuoka为了更好地使期望反应模式与知识状态对应，进而达到观察反应模式与知识状态的对应，提出了充分Q阵的概念，即Q矩阵通过行的比较导出属性之间的先决关系，这个先决关系如果能蕴含出可达矩阵，则这种Q阵为充分Q阵（Tatsuoka，1995，2009）；一个题库的所有项目如果能够对应充分Q矩阵，则这个题库称为充分题库。Tatsuoka（1995，2009）认为充分Q矩阵和充分题库可以提高认知诊断测验的构念效度（construct validity），因此她说充分Q阵是知识结构的核心（Tatsuoka，2009）。

然而其他的研究人员对上述Q矩阵理论的内容进行了一些修正。Gierl，Leighton和Hunka（2000）认为Tatsuoka这种从实际数据中或者在试题命制以后提取Q阵的方法（称为事后分析的方法，用retrofitting表示）的逻辑有问题，因为许多现存的试卷或测验其目的不是做认知诊断，故相应的试卷的设计不适宜做认知诊断。Leighton，Gierl和Hunka（2004）提出先分析属性及其层级，然后再给出邻接阵、可达阵、Q矩阵，再设计测验的工作流程，并且创建了属性层级方法（AHM）。

在0～1评分方式下，Ding，Luo，Cai，Lin，Wang（2008）和丁树良，祝玉芳，林海菁，蔡艳（2009）指出LA、LI不一定可以构成布尔代数，从而使用BDF导出期望反应模式的理论基础不存在，同时给出了不使用BDF而由知识状态和测验蓝图（测验Q阵Qt）计算期望反应模式的简便算法。丁树良等人（2009）、杨淑群，蔡声镇，丁树良，林海菁，丁秋林（2008）发现知识状态集合或潜在项目集合均可以由可达阵的列“生成”出来，丁树良，杨淑群，汪文义（2010）和丁树良，汪文义，杨淑群（2011）给出如下的定理。

定理1 假设所讨论的认知属性对认知任务所起的作用是非补偿、连接的，并且采用0～1评分方式，则Qt中包含可达阵R是使知识状态与期望反应模式建立起一一对应关系的必要充分条件。

这里所说的“一一对应”的更加专业的说法是“双射”，即既是“入射”又是“满射”（左孝凌，李为鑑，刘永才，1982）。这个定理说明可达矩阵在认知诊断测验编制中的重要作用，由此丁树良等人（2010，2011）建议将可达阵作为测验蓝图Q阵的子矩阵，并且把将可达阵作为子矩阵的测验蓝图称为 “充要Q阵”。事实上由定义立即得知充要Q阵一定是充分Q阵，而且容易举例说明充分Q阵不一定是充要Q阵。特别地，下面的例子说明尽管充分Q阵可以提供属性层级结构，而根据属性层级结构可以去构造好的测验蓝图，但是使用充分Q阵本身作为测验蓝图并不一定可以提高认知诊断的效度，因此充要Q阵的概念比充分Q阵的概念更加重要。

例1三个独立属性，令Q1=110011101，Q2=100010101，显然Q1是充分Q阵，而由Q2知属性1是属性3的先决属性，故Q2不是充分Q阵，但Q2仅仅使知识状态

000与001的ERP相等， 010与011的ERP相等，而Q1使100，010，001与000的ERP相等，即Q2 对应了6个不同的ERP，而Q1只能对应5个不同的ERP。因此在认知诊断测验中，一般来说使用Q1比使用Q2的效果会差一些。至少应用AHM或者RSM的时候，分类的类中心缺少一个，从而增加了错误判别的可能性；其实像DINA模型，也存在同样的问题。这个例子表明，充分Q矩阵的概念不一定能够达到提高认知诊断的效度的效果。事实上Tatsuoka（2009）本人也意识到充分Q阵不一定能够将所有被试分类，更不一定能将被试都正确分类。她表示，充分Q阵不一定是合适（appropriate）Q矩阵。同时她称对应于同一个期望反应模式的知识状态的集合为一个知识状态等价类（equivalent class）。显然这个等价类是定义在Qs的列上，由测验Q阵（Qt）决定的。

不论测验蓝图是以何种方式得到的，Qt中元素有可能标注不合理，Tatsuoka并没有讨论如何应用Q矩阵理论对Q矩阵进行修正，也没有提出过根据实际数据对测验Q矩阵修正的方案。de la Torre（2008）提出了在DINA模型下Qt中元素修正的一个方案，涂冬波，蔡艳，戴海琦（2012）根据DINA模型中项目参数的意义，提出了Qt修正的γ（伽玛）方法。而Chen，Xin，Wang，Chang（2012）和汪文义，丁树良，游晓锋（2011）提出了项目属性在线辅助标定的方案，以及Cui和Leighton（2009）提出属性层级相合性指标（HCI）以评价被试反应是否符合测验Q矩阵规定的层级关系。这些都可以看成是Q矩阵理论的进一步拓展。

Tatsuoka（1995，2009）注意到有的测验Q阵（Qt）使得多个知识状态对应同一个期望反应模式，这容易引起诊断分类混乱。如果可以设计Qt使得不同的知识状态对应不同的期望反应模式，再加上已有的认知诊断模型可以将一个观察反应模式对应一个期望反应模式，这便可以完成Tatsuoka（1995，2009）规定的Q矩阵理论的任务，即用观察反应模式表示知识状态，并且不引起诊断分类的混乱。

因此，现在面临的两个关键问题：一是要制定评价Qt设计好坏的标准；二是在给定的标准下，如何构造一个好的Qt。在此首先给出认知诊断测验蓝图的设计好坏判断的一个标准：在已知属性及其层级关系条件下，对于一个好的Qt，它应该建立起期望反应模式与知识状态的双射关系（即入射和满射关系；双射关系有时又称为一一对应），即不同的知识状态对应不同的期望反应模式（入射），而且每一个期望反应模式都有知识状态与之对应（满射）。然后，在讨论如何构造一个好的Qt之前，为了明确测验编制和这种属性层级的对应关系，本文的第二部分先讨论在0～1评分模式下，对于两个属性之间存在几条路径的复杂属性层级结构，如何用Q矩阵进行描述，为此给出基本矩阵的概念。最后（第三部分）讨论在某种多级计分模式下，给出测验蓝图设计的建议，使得在这种测验蓝图之下知识状态集合和期望反应模式集合一一对应，并且指出这是一个充分条件。

2 如何理解收敛型结构

Leighton等人（2004）给出了4种基本的属性层级关系，即线性型、发散型、收敛型、无结构型。他们认为其他更复杂的层级关系可以由这4种基本类型复合出来，并且他们认为每一个层级都有一个公共的先辈属性，即这个属性是所有其他属性的先决属性。Tatsuoka（1995，2009）讨论了另一种层级结构—独立型，即任何两个属性之间都不存在先决关系。这里值得讨论的是收敛型结构（图1），这时，如果不能同时掌握属性A3和A4，则不能掌握属性A5，就好像不懂同分母相加和求两个数的公倍数，就不能掌握异分母相加一样。

但是命题专家可能遇到这样的问题：如果有好几种不同的途径，可以从属性A到属性D，比如已知属性A有几种策略可以由A到D，这时，对应的属性层级关系图如何画？为了使问题明确起见，我们只考虑一种最简单的情形，即K=4，并且A到D有两条路径A、B、D和A、C、D，属性层级关系由图2.a还是图2.b描述才是正确的？

根据Leighton等人（2004）的定义，图2.a是收敛型，即欲掌握属性D，必须同时掌握属性B、C（而掌握属性B或C，必须先掌握A），即如果不管电流流经路线的先后顺序，那么这时B和C的关系相当于电路中的串联关系；而图2.b是两个分开的由A到D的路径，它表示了既可经由B到D，又可以经由C到D，这时B和C的关系又相当于电路中的并联关系。对于图2.a，其邻接阵为

A=0000100010000110，可达阵为R=1000110010101111，而潜在Q阵Qp=10001100101011111110，学生Q阵Qs=000010001100101011111110，Qp是4×5矩阵；Qs是4×6阵，表示代表6类不同知识状态。

而图2.b对应两个邻接阵：

A1=0000100000000100，A2=0000000010000010，由图2.b和命题专家命制的项目，这四个属性之间有两条通道，相应的可达阵为

R1=1000110000101101，R2=1000010010101011。R1的第3列仅有一个元素为1，它是R1第3行第3列的元素，表示属性C为孤立结点；同理由R2可知属性B为孤立结点（注意属性A不是孤立结点，尽管第一列仅含一个非零元，但是它是B或者C的先决属性）。于是图2.b对应的两个可达阵删去各自的孤立结点对应的列，且相同的列仅保留1列以后，得到一个“基本矩阵”，记为B。称B为基本矩阵是因为根据B和扩张算法（Ding et al.，2008；丁树良等，2009；杨淑群等，2008），可以得到基于图2.b的所有不同的项目类Qp，且所有可能扩张出Qp的矩阵中B包含的列数最少，这里

B=10001100110110101011，Qp=1000110011011010101111101111

由扩张算法可知，可达阵是一个基本矩阵，而基本矩阵不一定是可达矩阵。因为众所周知，可达阵是一个方阵，而基本矩阵不一定是方阵。事实上，“基本矩阵”是可达矩阵这个概念的一个推广。

由图2.b也可以使用更简单的方法获得基本矩阵，由图2.b中两条通路，可以写出各个通路的路径（用列表示），然后删去相同的路径，便可以导出B，=B，基本矩阵每一列均十分重要，如果测验蓝图中缺少某一列会使某几个不同知识状态对应同一个期望反应模式，比如令Qt=10001100101011101111，它缺少B中1101和1011，这时若采用0～1评分模式，其期望得分模式的计算如下：

（1 1 0 1）Qt=（1 1 0 0）Qt=（1 1 0 0 0）

（1 0 1 1）Qt=（1 0 1 0）Qt=（1 0 1 0 0）

这时会使认知诊断的诊断分类准确率下降。

因此，我们建议对于0～1评分，在测验蓝图设计中，应该包含所有基本矩阵的列对应的项目。

3 多级评分认知诊断测验蓝图的设计

多级评分比0～1评分具有更多的诊断信息，研究多级评分方式下测验蓝图Qt的设计可以更好地诊断分类。但是多级评分比0～1评分更复杂，比如如何计分就值得仔细讨论，目前0～1评分的研究比多级评分的研究更加深入。我们这里只是限定在比较简单的评分方式下，讨论Qt的设计。

设每掌握项目中所包含的一个属性，则对该项目期望得分增加一分（田伟，辛涛，2012；Tatsuoka，1995；祝玉芳，丁树良，2009），即设α为知识状态，Qt是一个测验蓝图，其行表示属性，列表示项目。上述期望得分的计算方式实质上便是向量和矩阵的乘法，即αTQt，而且我们也假设属性之间不可以相互补偿。在这些假设之下，我们有如下结论：

结论1 如果矩阵Qt的秩（rank）等于属性的个数，则在上述记分方式之下，知识状态与期望得分模式是一一对应的。

结论1的证明要用到线性代数中齐次线性方程组有唯一解的充要条件的相关结论，由这个结论及所给出的Qt行满秩的条件，知道两个知识状态α、β不相等，则必有αTQt≠βTQt。又由于期望反应模式的数目不可能超过知识状态的数目，现在不同的知识状态对应不同的期望反应模式，故此时的期望反应模式个数等于知识状态个数，从而，这个Qt建立了这两个集合之间的双射。但是，这个结论仅仅是一个充分条件而不是必要条件。下例说明了这一点。

例2 设K=3，且属性层级为线性型。这时知识状态只有4种：

α0=000，α1=100，α2=110，α3=111，设Qt=100111100，这时Qt的秩等于2﹤K=3。但对于α0，α1，α2，α3，它们的期望反应模式分别为：E0=（0 0 0），E1=（1 1 1），E2=（1 2 1），E3=（1 3 1），显见E0，E1，E2，E3各不相同，即虽然Qt的秩不等于属性个数，知识状态{α0，α1，α2，α3}与{ E0，E1，E2，E3}也实现了一一对应，这就说明了矩阵Qt的秩（rank）等于属性的个数仅仅是知识状态与期望得分模式一一对应的一个充分条件而不是必要条件。

然而对于独立型属性结构（即任两属性之间均互不为先决关系），结论1是不是一个充分必要条件还有待进一步讨论。

4 讨论

本文概括了Tatsuoka（1995，2009）Q矩阵理论及其包含的主要内容，以及其他研究人员对Q矩阵理论的修正、补充和拓展。本文试图从两方面扩展Q矩阵理论。一方面，对于有多条路径由属性A到属性D，讨论了0～1评分方式下测验蓝图的设计，即包含“基本矩阵”。可达阵是基本矩阵的一种。然而这种测验蓝图的设计方式，还只是在例题的启发下的一个直观的想法，是否可以如同0～1评分方式下可达阵的重要作用那样予以证明（丁树良等人，2010），这也值得考虑。图2.a与图2.b的区分是重要的，命题专家如果要命制含属性A、D的项目，必须同时包含属性B和C，则这时层级关系图如图2.a所示，如果既可以命制含A、B、D，又可以命制含A、C、D的项目，则层级关系图如图2.b所示；另一方面，对于特殊计分模式的多级评分认知诊断，给出了一个好的测验蓝设计的充分条件，并且在线性结构条件下，指出这不是必要条件，然而对于离散型结构，这是否为必要条件还有待进一步讨论。对于多级评分方式，如果也有多条路径由属性A到属性D，测验蓝图应该如何设计，才能使得知识状态和期望反应模式一一对应，这个问题值得仔细讨论。另外如果有多条路径由属性A到属性D，这时Tatsuoka（1995，2009）给出的对Q矩阵进行逐行比较寻找属性之间的先决关系的做法失效，因为Tatsuoka（1995，2009）给出的这个方法的前提是一对属性之间最多只容许一条路径的连接。既然在命题当中出现一对属性之间有多条路径的连接的事实，就有必要研究在这种情况下如何从Q矩阵出发，寻找属性之间层级关系的方法。本文讨论的多级评分的方式有合理之处，比如选择合适的属性粒度，使得满足这种评分条件；但是这种评分方式的确有其局限性，至少它不是很灵活。至于在其他评分方式下，测验蓝图应该如何设计，值得仔细考虑。当然，如果像罗欢，丁树良，汪文义，喻晓锋，曹慧媛（2010）建议的属性分数加权以后再计算期望反应模式，测验蓝图设计的原理可以仿照上面的思路进行讨论。

有一种观点认为，使用DINA模型，可以不考虑属性层级，即任何情况下，都可以当成独立结构看待，因此不必花费精力去研究属性的层级关系。姑且不说认知诊断测验应该重视认知模型，而属性及其层级正好是认知模型的一种表现形式；如果仅仅论及数据分析，这种观点忽视了一个重要的问题，即认知诊断测验如果设计不好，其判准率必定受到影响。而要设计一份合理的认知诊断测验，则必须知道属性及其层级。清楚了属性及其层级关系，才能计算出潜在Q阵Qp，才能设计出好的Qt。只有好的Qt，才能使知识状态与期望反应模式一一对应，而不至于使多个知识状态对应同一个期望反应模式，才能提高诊断判准率。有了属性及其层级，有可能大大节省数据分析的时间。比如K=10，对于线性型结构，只能够获得11种知识状态；而对于独立型结构，则可以获得1024种知识状态，两者分析的时间显然大不相同。由此观之，讨论属性层级的意义绝对不可以小觑。认知诊断蓝图的设计表面上看是一个Q矩阵的元素的填写过程，这和成就测验中的双向细目表的填写似乎没有差异，但认知诊断要弄清楚被试认知的结构，从而清楚他们认知的长处与缺陷，如果没有一个科学细致的设计是不可能达到目的的。这个设计甚至贯穿在认知诊断的全过程，事实上，对Qt的修正也就是根据所获取的被试的观察反应模式对测验蓝图的再认识，这一做法和成就测验也不相同。总之，认知诊断测验还是一个比较新的研究领域（Leighton，Gierl，& Hunka，2004），发展不充分，许多问题有待进一步探讨、争论，以期在更深入的层次上达到新的统一。　

参考文献

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Tatsuoka，K.K.（2009）.Cognitive assessment：an introduction to the rule space method（pp.9，79，99，107）.New York：Taylor & Francis Group.

Extension to Tatsuoka’s Q Matrix Theory

Ding Shuliang Luo Fen Wang Wenyi

（School of Computer and Information Engineering，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022）

矩阵在数学建模中的应用范文第4篇

【关键词】模糊聚类；家庭成员；模糊相似矩阵

1.引言

客观世界中，存在着大量的模糊现象和模糊概念，如“学习很优秀”，“头发很黑”，等，这里的“头发很黑”等都是模糊概念[1]。而模糊数学正是研究和处理模糊性现象的数学方法。根据模糊数学提出的算法得到了广泛的应用。文[2]实现了DNA序列的聚类，文[3]使用模糊聚类对网页进行聚类优化，文[4][5]通过模糊聚类，实现对用户访问网站兴趣的挖掘。本文通过建立模糊相似矩阵，将客观事物予以分类的方法。

2.定义

下面有关模糊集、及模糊相似矩阵的定理见文[6][7][8]

定义1：X，Y是论域，R：X×Y->[0，1]，称为从X到Y的模糊关系，把R（x，y）称为x和y具有关系R的程度。如果是从X到X的模糊关系称为X上的模糊关系。

定义2[6]：模糊等价关系：若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，对于任意x，y?X，满足：

（1）自反性：R（x，x）=1

（2）对称性：R（x，y）=R（y，x）

（3）（x，y）∈R且（y，z）∈RR（x，z）∈R

定理1[8]设R∈M（n×n）是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k（k?n），使得传递闭包t（R）=Rk，对于任何自然数b?k，都有Rb=Rk，此时，t（R）是模糊等价矩阵。

通过求传递闭包t（R），将模糊相似矩阵变成模糊等价矩阵。

3.构建模糊等价矩阵

建立模糊相似矩阵：

对文献中，日本学者Tamura给出的家庭成员相貌相似关系，在模糊数学中广泛使用。案例如下：这里有三个家庭，总共16人。每个家庭为4-7人。每人提供一张照片，共计16张照片，由很多个不相识的中学生分别对照片两两进行比较，按相貌相似程度进行评分，相貌越相似，打的分就越靠近1，越不相似，分数越靠近0，分数都在在[0，1]之间。每对照片的相似程度由所有人对他们的评分的平均值确定，得到相貌相似矩阵，如表1所示。题目要求：把三个家庭区分开来（即对这16个人进行聚类）。

本文的解决方法是，使用模糊传递闭包的聚类算法，因为得到的信息里，没有聚类数（三个家庭的信息可以去掉），也没有聚类中心等信息。

其中rij表示xi和xj的相似程度，rij接近1，说明两个人相貌的相似度越高，也可能是一家人，rij接近0，说明两个人相貌的相似度越低，越可能不是一家人。

从相似矩阵R出发，过程RR2R4R8，最多经过log2N+1（N为样本的数目，是20）后，必有R2k=（R2k）2，停止迭代，最终的R2k就是模糊等价矩阵。

表2是相貌相似矩阵传递闭包。

算法参数c=1，求出的模糊等价矩阵。当l=0.6时，得到的l-截集的分类结果：

{1 6 8 13 16}，{2 5 7 11 14}，{4 9 10 12 15}，{3}

3号这个人没有归入某一类，是错误的，准确度是15/16=93.75%。

4.模型评价及改进

本文根据相片中相貌的相似度，构建模糊相似聚类，利用模糊传递闭包的模糊聚类算法，较准确的实现那个家庭成员的聚类。

参考文献

[1]王士同.神经模糊系统及其应用[M].北京：北京航空航天大学出版，1998.

[2]刘丽.DNA序列分类模型[J].安徽农业大学学报，2005， 32（3）：393-396.

[3]沈盈洪，丰翔龙，黄荣游.基于网页聚类的搜索结果优化算法研究[J].计算机应用，2010，30（1）：51-54.

[4]陈冬玲，王大玲，于戈，于芳.基于PLSA方法的用户兴趣聚类[J].东北大学学报（自然科学版），2008，29（1）：53-56.

[5]曾黄麟，刘小芳.模糊中心聚类学习方法的比较与改进[J].四川轻化工学院学报，2004，17（1）：1-8.

[6]陈水利，李敬功，王向公.模糊集理论及其应用[M].北京：科学出版社，2005.

[7]何清.模糊聚类分析理论与应用研究进展[J].模糊系统与数学，1998（2）：89-94.

[8]贺仲雄.模糊数学及其应用[M].天津：天津科技出版社，1983.

矩阵在数学建模中的应用范文第5篇

关键词：DEMATEL；ANP；MMOIP；绿色供应商；评估选择

引言

在供应链管理中，供应商评估选择是一个很重要的问题 [1]。选择一个最佳供应商不但能降低企业的采购成本，还能提高企业的竞争力[2]。绿色供应商选择对企业来说至关重要。所以，建立一套科学有效的绿色供应商评估选择系统非常具有理论和实践价值。

Dickson在1966年研究了供应商选择问题，列出23个准则，成为供应商评价选择后续研究基础。绿色供应链管理的提出，使绿色供应商评价选择成为研究重点。Noci[3]在绿色供应商选择中，加入绿色竞争力（green competence）、环境效率（environmental efficiency）、绿色形象（green image）、和生命周期成本（life cycle cost）指标，提出了基于供应商环境绩效的绿色伙伴评价系统。Wei-Chang Yeh，Mei-Chi Chuang[4]以生产能力、产量、生产成本等为定量指标，以产品平均质量、ISO14000认证通过等为定性指标构建多目标规划并使用两种不同的GA运算求解模型。本文从指标间相互关系出发，研究多采购来源绿色供应商评价选择问题，使用DEMATEL、ANP及MMOIP（混合多目标整数规划）综合方法对绿色供应商进行定性和定量的评价选择。

1.基于DEMATEL、ANP及MMOIP的供应商评价选择的综合方法

供应商选择评价是一个复杂多准则决策问题，评价中既有定性指标，也有定量指标，并且指标间存在相互关系。在绿色供应商评价选择中，运用ANP方法构建供应商选择的依存、反馈网络处理指标间的关系。但ANP方法也存缺陷。

DEMATEL方法是进行系统因素重要程度分析的方法，能够揭示重要影响因素以及内部构造。本文采用DEMATEL方法对ANP方法中内部依赖矩阵进行改进，可更加客观有效地确定评价指标权重。本文从多采购来源角度研究供应商选择，使用MOIP（多目标整数规划）方法，构建最优化模型对供应商进行评价选择。

1.1 DEMATEL方法

假设绿色供应商评价选择指标由m个一级指标和n个二级指标构成，DEMATEL的主要过程如下：

步骤一：计算初始平均矩阵，代表一个指标对另一个指标最初的直接影响。

步骤二：计算直接影响矩阵，将平均矩阵A规范化就可以得到规范化的初始直接关系矩阵D。

步骤三，计算总影响矩阵T，在ANP方法中需要将该矩阵加入未加权的超级矩阵中，计算加权的超级矩阵。

1.2 DEMATEL-ANP方法

由于ANP在处理指标相关关系时存在缺陷，本文使用DEMATEL方法来对ANP进行改进。具体步骤如下：

步骤一：对两指标之间的各子指标使用ANP方法构建两两比较矩阵

步骤二：关系权重的计算。

步骤三构建未加权的超级矩阵。在DEMATEL方法中，可以得到两类依赖关系矩阵，一类是子指标之间的内部依赖关系矩阵Tc， 一类是指标之间的依赖关系矩阵Td。将规范后的Tc与模糊ANP方法中的外部依赖关系矩阵相结合，形成未加权的超级矩阵WS；

步骤四规范为加权的超级矩阵

以规范后的Td乘以无权重超矩阵WS得到权重超矩阵。

最后，对加权的超级矩阵求极限。

得到候选绿色供应商的相对优先权重，该优先权重将会在MMOIP模型中使用。

1.3 供应商选择的混合多目标整数规划方法（MMOIP）

本文使用混合多目标整数规划方法在约束条件中加入环境约束来选择最佳绿色供应商。构建过程如下：

（1）决策变量：a从供应商采购产品的数量xi；

（2）参数：Wi 供应商i的权重，Ci 供应商i的生产能力，fi 从供应商i处采购产品的固定成本，B 采购商的总预算，D 产品需求量，Pi 供应商i提供的产品单价，qi 供应商i提供的产品的次品率，Ni 供应商i在提供单位产品的过程中总的能源消耗，Gi 供应商i在提供单位产品的过程中总的气体排放。构建如下的多目标规划模型：

2.结论与展望

本文提出了一个新颖的绿色供应商选择评价综合方法，通过一个算例验证了该方法的可行性，为企业在复杂的环境下提供了更贴近现实的决策支持。本文的不足在于：没有对已选择的绿色供应商进行跟踪管理，环境指标的构建不够深入。今后可以从指标的扩建优化研究不确定需求下绿色供应商的选择问题，并可以对供应商进行动态的跟踪管理方面进行研究。（作者单位：中南大学商学院）

参考文献

[1]Ho et al..Multi-criteria decision making approaches for supplier evaluation and selection： A literature review[J].European Journal of Operational Research，2010，202（1）：16–24.

[2]Choy， K.L.， Lee， W.B. and Lo， V. . An enterprise collaborative management system-a case study of supplier relationship management[J].Journal of Enterprise Information Management，2004，17（3）：191-207.